Вопросы на зачет

Вопросы на зачет
Тема 1. Теория погрешностей. Источники и классификация погрешностей (погрешности
исходных данных, погрешность математической модели, погрешность метода, погрешность
округления, погрешности, возникающие в результате обработки данных на ЭВМ). Устранимая и
неустранимая погрешности. Абсолютная и относительная погрешности, математические операции
над погрешностями (складывание, вычитание, деление, произведение). Прямая и обратная задачи
теории погрешностей.
Литература:
Презентация по теме к лекции (электронный учебник в системе Modul).
Жуков В.К. Теория погрешностей технических измерений. С. 33-75.
По теме на практике необходимо сдать на зачет лабораторную работу.
Тема 2. Основные понятия математической статистики. Случайная величина (СВ)
(одномерная), дискретные и непрерывные СВ. Статистические свойства СВ (математическое
ожидание, среднее, дисперсия, стандартное отклонение, размах вариации, размах вариации
относительно среднего, вариация, мода, медиана, моменты, асимметрия, эксцесс). Функция
распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины (свойства функций).
Нормально распределенная, равномерная, экспоненциально распределенная случайные величины и
их статистические свойства.
Литература:
Презентация по теме к лекции (электронный учебник в системе Modul).
Д. Письменный Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики. С. 60-103.
Жуков В.К. Теория погрешностей технических измерений. С. 3-33.
Тема 3. Метод выборочного наблюдения. Генеральная совокупность, выборка. Методы
статистического исследования реальных объектов и процессов. Методы формирования выборок
(случайный отбор, отбор по группам). Однородность данных выборки, репрезентативность.
Характеристики СВ по данным выборочного наблюдения. Эмпирическая функция распределение
вероятностей и плотность распределения случайной величины. Теоремы Бернулли и Гливенко.
Статистический критерий, гипотеза, ошибки 1 и 2 рода. Критерии Колмогорова и Хи-квадрат для
оценки истинности гипотезы о виде распределения случайной величины.
Литература:
Презентация по теме к лекции (электронный учебник в системе Modul).
Д. Письменный Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики. С. 175-190;
210-219.
Жуков В.К. Теория погрешностей технических измерений. С. 3-33.
По теме на практике необходимо сдать на зачет лабораторную работу.
Тема 4. Статистическая оценка погрешности по результатам многократных измерений.
Государственные стандарты в области оценки погрешностей. Доверительный интервал,
доверительная вероятность, приемы оценки доверительного интервала при различных формах
распределения вероятностей СВ. Выброс, способы идентификации выбросов. Статистическая
оценка погрешностей при нормальной форме распределения результатов измерений.
Статистическая оценка погрешностей при равномерной форме распределения результатов
измерений. Статистическая оценка погрешностей при экспоненциальной форме распределения
результатов измерений. Общая оценка погрешности измерений при наличии систематической и
статистической составляющих. ГОСТы, регламентирующие приемы и методы измерений и оценку
погрешностей. Методики выполнения измерений, цель, требования и
Литература:
Жуков В.К. Теория погрешностей технических измерений.
ГОСТ Р 8.563-96 Методики выполнения измерений.
ГОСТ 8.401-80 ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требования.
ГОСТ Р ИСО 5725-1-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов
измерений. Часть 1. Основные положения и определения.
ГОСТ Р ИСО 5725-2-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов
измерений. Часть 2. Основной метод определения повторяемости и воспроизводимости
стандартного метода измерений.
ГОСТ Р ИСО 5725-3-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов
измерений. Часть 3. Промежуточные показатели прецизионности стандартного метода измерений.
ГОСТ Р ИСО 5725-4-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов
измерений. Часть 4. Основные методы определения правильности стандартного метода измерений.
ГОСТ Р ИСО 5725-5-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов
измерений. Часть 5. Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода
измерений.
ГОСТ Р ИСО 5725-6-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов
измерений. Часть 6. Использование значений точности на практике.
ГОСТ 8.207-76 ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки
результатов наблюдений. Основные положения.
МИ 1552-86 ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов
измерений.
МИ 2083-90 ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их
погрешностей.
МИ 2232-2000 ГСИ. Обеспечение эффективности измерений при управлении технологическими
процессами. Оценивание погрешности измерений при ограниченной исходной информации.
МИ 2301-2000 ГСИ. Обеспечение эффективности измерений при управлении технологическими
процессами. Методы и способы повышения точности измерений.
Задачи для самостоятельного решения
Тема 1. «Теория погрешностей: однократные измерения».
Задача 1.1. Вычислить абсолютную и относительную погрешности вычислений, округлить
приближенное значение, оставив только верные знаки:
Точное значение: 3,365289
Приближенное значение: 3,36
Задача 1.2. Оценить допустимую величину абсолютной погрешности,
относительная погрешность результата измерения не должна превышать 10%.
если
Точное значение: 3,3652890
Приближенное значение: 3,36
Задача 1.3. Оценить какой из результатов вычислен более точно:
а) 1/3=0,33
б) 100/3=33,3.
Задача 1.4. Найти риск возникновения заболевания в зависимости от дозы токсиканта:
D  доза токсиканта; риск профессионального заболевания R ( D ) :
а) D  1.25  0.3 ; R( D)  0.01D2  0.3D, если D  [0,3] .
б) D  2.25  0.25 ; R( D)  0.2 D, если D  [0,5]
в) D  3.16  0.15 ; R( D)  1  e0.1D .
Ответьте на следующие вопросы:
1) Каков прирост вероятности возникновения заболевания при повышении дозы
токсиканта на 1 мг?
2) Если допустимый риск составляет 1 10 6 , какова величина ПДД?
0.5
qe  qc
Задача 1.5. Рассчитать величину индивидуального дополнительного риска R 
1  aqc
для следующих начальных условий:
- численность группы испытуемых подверженных влиянию дополнительных
факторов 200 чел.; число заболевших из них 25 чел.;
- численность группы людей не подверженных влиянию исследуемого фактора 300
чел., заболеваемость – 15 чел.
Округлить результат с учетом достаточного уровня точности. Представить результат
измерений в виде числа с плавающей точкой.
Ответьте на вопрос: Насколько чаще возникают заболевания в группе испытуемых в
результате действия дополнительных факторов?
Задача 1.6. Рассчитать величину индивидуального дополнительного риска R 
qe  qc
1  aqc
для следующих начальных условий:
- численность групп испытуемых наблюдаемых за десятилетний период
подверженных влиянию дополнительных факторов 200±10 чел.; число заболевших
из них 25±5 чел.;
- численность группы людей неподверженных влиянию исследуемого фактора
300±50 чел., заболеваемость – 15±3 чел.
Представить результат измерений в виде R  R .
Задача 1.7. Найти риск возникновения заболевания в зависимости от доз токсикантов
D1 , D2  дозы токсикантов; риск профессионального заболевания R( D) :
а) D1  1.25  0.3 ; D2  1.25  0.3 ; R( D)  0.01D12  0.3D2 ;
б) D1  2.25  0.25 ; D2  1.25  0.25 ; R( D)  0.2 D1  0.05D2 ;
в) D1  3.16  0.15 ; D2  1.25  0.25 ; R( D)  1  e0.1D1
0.5
 0.2 D10.15
.
Задача 1.8. Определить уровень профессионального индивидуального риска для
рабочих горно-рудной промышленности при известных следующих данных
статистического наблюдения за период 1994-2009 гг.:
- среднегодовое число погибших - 908 чел.;
- среднегодовой объем производства руды - 13559 млн. куб. метров.
Задача 1.9. Определить уровень социального риска для нефтедобывающего
производства при известных следующих данных статистического наблюдения за период
1994-2009 гг.:
- индивидуальный риск – риск гибели рабочего в расчете на 100 млн. тонн добытой
нефти составляет 6,11 чел.;
- среднегодовой объем производства нефти - 39034 млн. тонн.
Задача 1.10. Оценить уровень предельно допустимой дозы
обеспечивающей допустимый уровень риска R  1106 :
а) R( D)  0.01D 2  0.3D ;
б) R( D)  0.2 D ;
в) R( D)  1  e0.1D .
0.5
D ПДД
(ПДД, мг),
Тема 2. «Основные понятия математической статистики»
Задача 2.1. Рассчитать основные статистические характеристики случайной величины X
(рост человека) в некоторой произвольно выбранной группе, если таблица наблюдений
имеет вид:
N
Xn
1
165
2
170
3
175
4
170
5
180
Задача 2.2. Построить (графически) эмпирическую функцию распределения
вероятностей случайной величины X (рост человека) в некоторой произвольно
выбранной группе, если таблица наблюдений имеет вид:
N
Xn
1
165
2
160
3
177
4
169
5
170
6
173
7
175
8
170
9
180
10
185
Задача 2.3. Построить (графически) эмпирическую функцию плотности распределения
вероятностей случайной величины X (вес человека) в некоторой произвольно выбранной
группе, если таблица наблюдений имеет вид:
N
Xn
1
65
2
70
3
60
4
70
5
80
6
55
7
75
8
63
9
68
10
58
11
57
Задача 2.4. Найти функцию распределения вероятностей положительно определенной
случайной величины X, если известна функция плотности распределения вероятностей
Q( x)  a x3/ 4 , где a  положительный параметр.
Определить максимальное и минимальные значения СВ.
xn 1
n
x
dx=
∫
Примечание: используйте следующее правило интегрирования
n 1 .
Задача 2.5. Построить графически функцию распределения вероятностей равномерно
распределенной случайной величины X, если известна закономерность для плотности
распределения вероятностей Q ( x) . Минимальное значение X  0 . Определить
максимальное значение X.
Q ( x)  0, x  a
.

0.02, x  [ a, b]
0,
xb

Задача 2.6. Построить графически функцию плотности распределения вероятностей
равномерно распределенной случайной величины X, если известна функция
распределения вероятностей F(x). Определить максимальное значение X, если
минимальное равно 0.
F ( x)  0,
xa
.

0.05  x, x  [a, b]
1,
xb

Задача 2.7. При известном равномерном распределении СВ F ( x) определить квантиль
вероятности 0,95, т.е. интервал значений x при котором F ( x)  0.95 .
F ( x)  0,
xa

0.05  x, x  [a, b]
1,
xb

Задача 2.8. При известном равномерном распределении СВ F ( x) определить квантиль
вероятности 0,05, т.е. интервал значений x при котором F ( x)  0.05 .
F ( x)  0,
xa

0.05  x, x  [a, b]
1,
xb

Тема 3. «Метод выборочного наблюдения»
Задача 3.1. Выполнить проверку с помощью критерия  2 -Пирсона гипотезы о
равномерности распределения вероятностей значений СВ.
 2 (0.05)table  16.9 .
N
Xn
1
65
2
70
3
60
4
70
5
80
6
55
7
75
8
63
9
68
10
58
11
57
Задача 3.2. Выполнить проверку с помощью критерия Колмогорова гипотезы о
равномерности распределения вероятностей значений СВ.
1.358
D(0.05)table 
 0.41 .
11
N
Xn
1
65
2
70
3
60
4
70
5
80
6
55
7
75
8
63
9
68
10
58
11
57
Задача 3.3. Выполнить классификацию объектов (по росту) по правилу «выше
среднего/ниже среднего», оценить статистические характеристики полученных групп
данных (максимум, минимум, среднее, количество объектов, дисперсия).
N
Xn
1
65
2
70
3
60
4
70
5
80
6
55
7
75
8
63
9
68
10
58
11
57
Задача 3.4. Выполнить классификацию объектов (по росту) по правилу « 3 x », оценить
статистические характеристики полученных групп данных (максимум, минимум, среднее,
количество объектов).
N
Xn
1
65
2
70
3
60
4
70
5
80
6
55
7
75
8
63
9
68
10
58
11
57
Задача 3.5. Оценить однородности выборки результатов измерений и найти выбросы
(если они присутствуют).
N
Xn
1
65
2
70
3
60
4
70
5
85
6
55
7
75
8
63
9
68
10
58
11
57
Задача 3.6. Оценить с помощью t-критерия статистическую значимость степени различия
среднего показателя смертности в республике Дагестан и Алтайском крае, при
предположении о равенстве дисперсий выборок.
N
Республика
Дагестан
Алтайский
край
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6,2
7,1
6,5
6,1
6,2
6,1
6,0
5,9
6,0
5,7
5,9
11,1
14,7
14,3
14,7
15,7
15,9
15,8
16,7
15,2
14,
9
15,0
Задача 3.7. Оценить с помощью t-критерия статистическую значимость степени различия
среднего показателя смертности в республике Дагестан и Алтайском крае, при
предположении о неравенстве дисперсий выборок.
N
Республика
Дагестан
Алтайский
край
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6,2
7,1
6,5
6,1
6,2
6,1
6,0
5,9
6,0
5,7
5,9
11,1
14,7
14,3
14,7
15,7
15,9
15,8
16,7
15,2
14,
9
15,0
Тема 4. «Статистическая оценка погрешности по результатам многократных
измерений. Государственные стандарты в области оценки погрешностей.»
Задача 4.1. Определить статистическую погрешность измерений при доверительной
вероятности 0,05 при многократном измерении признака. Предполагается, что СВ имеет
близкое к нормальному распределение вероятностей СВ. Представить результат в виде:
X±ΔX.
Табличное значение статистики Стьюдента: t st (0.05)  3.18
N измерения
X
1
110
2
112
3
115
4
108
5
107
Задача 4.2. Результаты измерения коэффициента смертности населения в регионе за пять
лет (промилле – чел. умерших/тыс. населения) представлены в таблице. Оценить общий
коэффициент смертности, в целом за период наблюдения, в виде X±ΔX. Определить какова
вероятность смерти случайно выбранного субъекта в регионе. Насколько данная величина
превышает уровень допустимого риска 1106 .
Табличное значение статистики Стьюдента: t st (0.05)  3.18
N измерения
X
1
2
3
4
5
16,8
17,1
17,2
15,5
14,4