Y= kx + b.

Y= kx + b.
ПЛАН:
1.Определения:
Функция вида Y= kx + b, где k, b – некоторые числа, х -аргумент, Y– значение функции, называется
линейной функцией.
D(у) – все числа.
Е(у) – все числа.
2. Свойства.
Графиком линейной функции является прямая,
. Если b=0,то функция принимает вид y= kx, называется прямой пропорциональностью. График прямой
пропорциональности проходит через начало координат.
Если k = 0, то функция принимает вид y= b, называется постоянной. График постоянной функции проходит
через точку (0;b), параллельно оси абсцисс.
3. . Взаимное расположение графиков линейных функций.
Даны функции y= k1x + b1 и y= k2x + b2.
Если k1= k2, то графики параллельны;
Если k1и k2 не равны, то графики пересекаются.
4. Примеры графиков линейных функций см.ниже
5.Практическое нахождение углового коэффициента.
6. Упражнения для самостоятельной работе.
7.Задачи из ГИА и ЕГЭ. С решениями
8. Общие свойства линейной функции
1.Определение. Функция вида y= kx + b, где k, b – некоторые числа,
х - аргумент, y– значение
функции, называется линейной функцией.
Для изучения свойств линейной функции введём определения.
Определение 1. Множество допустимых значений независимой переменной, называется областью
определения функции (допустимые – это значит те числовые значения х при которых выполняются
вычисления y) и обозначается D(у).
Определение 2. Множество значений зависимой переменной, называется областью значения
функции (это те числовые значения, которые принимает y) и обозначается Е(у).
Определение 3. Графиком функции называется множество точек координатной плоскости,
координаты которых обращают формулу в верное равенство.
Определение 4. Коэффициент k при х называется угловым коэффициентом.
2.Рассмотрим свойства линейной функции.
1. D(у) – все числа (умножение определено на множестве всех чисел).
2. Е(у) – все числа.
3. Если y = 0, то х = -b/k, точка (-b/k;0) – точка пересечения с осью Ох, называется нулём
функции.
4. Если х= 0, то y= b, точка (0;b) – точка пересечения с осью Оу.
5. Выясним, в какую линию выстроит точки линейная функция на координатной плоскости,
т.е. что является графиком функции. Чтобы построить график функции, нам нужны
координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно
взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить
соответствующие значения y.
2.
Для этого рассмотрим функции
1) y= 2x + 3,
2) y= -3x – 2.
Для каждой функции составим таблицу значений. Зададим произвольные значения переменной х, и
вычислим соответствующие значения переменной Y.
1)
х -1,5 -2 0 1 2
Y0
-1 3 5 7
2)
х -2/3 -2 0 1 2
Y
0
4 -2 -5 -8
Построив полученные пары (х;y) на координатной плоскости и соединяя их для каждой функции
отдельно (мы взяли значения х с шагом 1, если уменьшить шаг, то точки выстроятся чаще, а если
шаг будет близок к нулю, то точки сольются в сплошную линию), замечаем, что точки
выстраиваются в прямую линию в случае 1) и в случае 2).
В силу того, что функции выбраны произвольно (постройте самостоятельно графики y= 0,5x – 4, y=
x + 5),
сделаем вывод, что графиком линейной функции является прямая.
Поэтому для построения графика линейной функции достаточно двух точек !!!!!!!!!!!!
Используя свойство прямой: через две точки проходит единственная прямая, достаточно для
построения прямой взять две точки. .
Чтобы выяснить, является уравнение линейным, надо привести его к стандартному виду.
ax + by + c = 0 либо y = kx + m , где k = – a/ b , а m = – c/ b
3.Из геометрии известно, что прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными.
Исследуем взаимное расположение графиков нескольких функций.
1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x – 4;
2) y= 2x + 2, y= x + 2, y= -0,5x + 2.
Построим группы графиков 1) и 2) и сделаем выводы.
Графики функций 1) расположились параллельно, исследуя формулы, замечаем, что все функции
имеют одинаковые коэффициенты при х.
Графики функций 2) пересеклись в одной точке (0;2). Исследуя формулы, замечаем, что
коэффициенты различны, а число b = 2. (Частный случай- ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ)
Кроме этого, прямые, заданные линейными функциями с k › 0 образуют с положительным
направлением оси Ох – острый угол, с k ‹ 0 - тупой угол. Поэтому коэффициент k называется
угловым коэффициентом.
Рассмотрим графики функций, изображенные на рисунках
y=kx+m
(k0)
Если k 0, то линейная функция
y = k x + m возрастает
y=kx+m
(k0)
Если k 0, то линейная
функция y = k x + m убывает
4. Рассмотрим частные случаи линейной функции, в зависимости от коэффициентов.
1) Если b=0, то функция принимает вид y= kx, тогда k = y/х (отношение показывает, во сколько раз
отличается или какую часть составляет y от х).
Функцию вида Y= kx, называют прямой пропорциональностью. Эта функция обладает всеми
свойствами линейной функции, её особенностью является то , что при х=0 y=0. График
прямой пропорциональности проходит через начало координат точку (0;0).
2) Если k = 0, то функция принимает вид y = b, что означает, при любых значениях х функция
принимает одно и то же значение.
Функцию вида y = b, называют постоянной. Графиком функции является прямая проходящая через
точку (0;b) параллельно оси Ох, при b=0 график постоянной функции совпадает с осью абсцисс.
3) Построим графики функций: у1=х-6 и у2=-х+2.
Сколько точек необходимо для построения графиков функций?
у1=х-6
Ответ: 2.
у2=-х+2
Графики функций у1 и у2 по относительно друг друга перпендикулярны.
произведение к1•к2=к1•к2=1•(-1)=-1.
5.Практическое нахождение углового коэффициента.
Определите угловой коэффициент функций, изображенных на рисунках.
Напишите уравнения прямых
6.Задачи для самостоятельного решения
№1.Выберите верные равенства, если f(x) = 1,5x – 3 .
1)
f(2) = 0 ;
2)
f(0) = 3 ;
3)
f(0) = – 3 ;
4)
f(1) = – 1,5 ;
5)
f(–1) = 1,5 ;
6)
f(–1) = – 4,5 .
№2.Найдите значения функций, если
1)
p1(–1) =
2)
p1(1) =
3)
p1(3) =
4)
p2(0) =
5)
p2(–1) =
6)
p2(–2) =
p1(x) = 7x – 3 ,
p2(x) = 2x + 5 .
№3.Выберите функции, графики которых изображены
на рисунке.
1) f(x) = 3x + 5 ;
2) f(x) = – 2x – 5 ;
3) f(x) = 0,5x – 4 ;
4) f(x) = 2x – 5 ;
5) f(x) = 0,5x + 1 ;
6) f(x) = – 0,5x + 1 .
№4. Выберите функции, графики которых изображены
на рисунке.
1) f(x) = – 2x – 1 ;
2) f(x) = – 2x + 1 ;
3) f(x) = x – 2 ;
4) f(x) = 2x – 1 ;
5) f(x) = 3x + 2 ;
6) f(x) = – 1/3 x + 2 .
№5. Выберите функции, графики которых изображены
на рисунке.
1) f(x) = – 2x – 1 ;
2) f(x) = – 2x + 1 ;
3) f(x) = 2x – 2 ;
4) f(x) = – 3x + 1 ;
5) f(x) = 2x + 1 ;
6) f(x) = 2x + 2 .
№6. Выберите функции, графики которых изображены
на рисунке.
1) f(x) = – 3x – 2 ;
3) f(x) = 1/2 x + 1 ;
5) f(x) = – 3x + 2 ;
2) f(x) = 1/2 x – 1;
4) f(x) = 3x + 1 ;
6) f(x) = – 1/2 x + 1 .
№7. Выберите верные равенства, если f(x) = 3x – 2 .
1)
f(0) = 2 ;
2)
f(2) = 4 ;
3)
f(–1) = 5 ;
4)
f(1) = 1 ;
5)
f(–1) = –5 ;
6)
f(–2) = –8 ;
7.Задачи иэ ГИА и ЕГЭ
1. Постройте график функции
А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
Решение: В уравнении функции
, если известно, что он проходит через точку
два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в
тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.
а) Из того, что график функции
параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То
есть уравнение функции имеет вид
б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции
проходит через точку А(-
3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в
уравнение функции, мы получим верное равенство:
отсюда b=-10
Таким образом, нам надо построить график функции
Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:
2. Постройте график функции
, если он перпендикулярен прямой
и
проходит через точку М(-1;2)
Решение:
Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.
а) Так как график функции
следовательно
, отсюда
, если он перпендикулярен прямой
,
. То есть уравнение функции имеет вид
б) Мы знаем, что график функции
проходит через точку М(-1;2). Подставим ее
координаты в уравнение функции. Получим:
, отсюда
.
Следовательно, наша функция имеет вид:
.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).
Решение:
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты
точек удовлетворяют уравнению прямой
. То есть если мы координаты точек
подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение
и получим систему линейных
уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим
. Подставим значение k в
первое уравнение системы, и получим b=-2.
Итак, уравнение прямой
.
4. Постройте график уравнения
Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель
приравнять к нулю и учестьОДЗ каждого множителя.
Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.
Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и
приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:
Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть
график уравнения
:
6. Постройте график функции
Решение:
Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.
Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому
,
.
Тогда наша функция принимает вид:
То есть нам надо построить график функции
абсциссами x=1 и x=-1:
и выколоть на нем две точки: с
8…СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ y = kx + b

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R

ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:
при k 0 R
при k = 0 {b}

ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
если k 0, b 0, то функция ни четная и ни нечетная
если k 0, b = 0, то функция нечетная
если k = 0, b = 0, то функция четная
если k = 0, b = 0, то функция равна нулю

НУЛИ:
если k 0, то y = 0 при x = -b/k
если k = 0, b 0, то нулей нет
если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R

ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
если k = 0, b > 0, то y > 0 при x
если k = 0, b < 0, то y < 0 при x
если k = 0, b = 0, то y = 0 при x
R
R
R

ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
если k = 0, b > 0, то функция возрастает при x R
если k = 0, b < 0, то функция убывает при x R
если k = 0, b = 0, то функция постоянна при x R

ЭКСТРЕМУМОВ НЕТ