Бином Ньютона

Комбинаторика
Правило суммы и произведения. Формула включений и исключений.
Комбинаторные формулы: размещения, перестановки, сочетания. Упорядоченные и
неупорядоченные разбиения множеств. Полиномиальная формула. Формула Бином
Ньютона. Инверсии. Методы рекуррентных соотношений и производящих функций
Комбинаторика - один из разделов дискретной математики, который приобрел
важное значение в связи с использованием его в вычислительной технике, кибернетике,
робототехнике. Большинство задач комбинаторики можно сформулировать как задачи
теории конечных множеств, поэтому эти две темы - элементы теории множеств
и комбинаторика - рассматриваются взаимосвязано.
Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать
число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех
возможных способов осуществления некоторого действия. Например, сколькими
способами могли быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали на
Олимпийских играх в Сеуле по баскетболу; или сколькими различными способами можно
разместить здания на площади? Задачи такого типа называются комбинаторными.
С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих
специальностей: ученому-химику при рассмотрении различных возможных типов связи
атомов в молекулах, биологу - при изучении возможных последовательностей
чередования аминокислот в белковых соединениях, диспетчеру - при составлении графика
движения и т. д.
Возникновение и развитие комбинаторики тесно связано с развитием других
разделов математики: теории чисел, алгебры. Еще математикам Древнего Востока была
известна формула, выражающая число сочетаний через биноминальные коэффициенты и
Бином Ньютона для натуральных n . С мистическими целями изучались свойства
магических квадратов 3-его порядка.
В XVI веке в жизни привилегированных слоев общества большое место занимали
азартные игры (карты, кости). Были широко распространены лотереи. Возникали вопросы:
сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости,
или сколькими способами можно получить двух королей? Эти и другие проблемы
оказались движущей силой в развитии комбинаторики. Как раздел математики
комбинаторика появилась в трудах Блеза Паскаля и Ферма по теории азартных игр. Эти
труды, составив основу теории вероятностей, одновременно содержали принципы
нахождения числа комбинаций элементов данного конечного множества.
С появлением работы Лейбница и Бернулли «Искусство предположений»
посвященной теории вероятностей комбинаторные схемы выделились в отдельную часть
математики.
Для инженеров комбинаторные задачи приходится решать в следующих случаях:
1. при конструировании:
– для оптимального размещения элементов системы;
– для размещения микросхем на плате или элементов на кристалле;
– при трассировке (выборе маршрута);
2. при синтезе схем и проектирования:
– при решении вопроса, какой набор стандартных микросхем выбрать, чтобы
реализовать разработанную схему устройства;
– при разработке схемы на подсхемы для реализации различными блоками и т. д.;
3. при контроле, выбирая-перебирая последовательность тестирующих сигналов;
4. в организации систем, решая вопрос, каким выбрать оптимальный маршрут передачи
информации по сети и т. п.
Основные правила комбинаторики
1
Пусть имеется k групп А1,А2,...,Аk , причем i-ая группа содержит ni элементов. Тогда:
А. Правило умножения (основная теорема комбинаторики). Общее число N
способов, которыми можно получить упорядоченную совокупность (a1,a2,...ak), где aiAi
(т.е. выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном
порядке), равно N  n1n2 ...nk .
Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно
выполнить способами, а другую способами, то все действие можно
выполнить
числом способов.
Применяется к действиям, которые оформляются совместно, одновременно.
Пример. Пусть требуется составить набор из ручки, карандаша и линейки. Имеется:
5 различных ручек,
7 различных карандашей,
10 различных линеек.
Сколькими способами можно составить требуемый набор?
Решение. Действием в данном случае является составление набора из ручки,
карандаша и линейки; действие распадается на три этапа (части): выбрать ручку, выбрать
линейку и выбрать карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку – можно выполнить
пятью способами, вторую часть действия – выбрать карандаш – можно выполнить семью
способами, третью часть действия – выбрать линейку – можно выполнить десятью
способами. Тогда все действие можно выполнить
способами. Т.е. возможно
350 вариантов такого набора.
Б. Правило сложения. Если один элемент из группы Ai можно выбрать ni
способами, и при этом любые две группы Ai и Aj не имеют общих элементов, то выбор
одного элемента или из A1, или из A2, ..., или из Ak можно осуществить N  n1  n2  ...  nk
способами.
Комбинаторный принцип сложения. Если два действия взаимно исключают друг
друга, и одно из них можно выполнить способами, а другое способами, то оба
действия можно выполнить
числом способов.
Применяется к ситуациям, когда есть выбор между альтернативными действиями
(действия исключают друг друга).
Пример. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные –
3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го
сорта?
Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена n1=30 способами, 2-го сорта –
n2=50 способами. По правилу суммы существует N=n1+n2=30+50=80 способов извлечения
одной детали 1-го или 2-го сорта.
Сочетания и размещения
Набор элементов xi1,…, xik из множества X={x1, …, xn} называется выборкой объема
k из n элементов или, иначе, (n, k)-выборкой.
Выборка называется упорядоченной, если задан порядок следования элементов в
ней. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов,
считаются различными.
Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая
выборка называется неупорядоченной.
В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.
Если элемент после выбора снова возвращается в множество X, то выборку
называют выборкой с возвращением. Если же выбранный элемент не участвует в
дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения.
а) Упорядоченная (n, k)-выборка с возвращением называется (n, k)-размещением с
повторениями и обозначается Ank .
2
б) Упорядоченная (n, k)-выборка без возвращений называется (n, k)-размещением
без повторений или просто (n, k)-размещением и обозначается Ank .
Теорема: Число размещений без повторений равно убывающему факториалу
Ank  n(n  1)( n  2)...( n  (k  1))
Доказательство: Для того чтобы расположить k элементов в определенном порядке
выберем один и будем считать его «первым». Это можно сделать n способами.
Оставшееся множество содержит n  1 элемент. Из него выберем ещё один и будем
считать его «вторым». Для выбора второго элемента существует n  1 способ. Осталось
n  2 элемента. Продолжая рассуждать подобным образом понятно, что k -ый элемент
можно n  (k  1) способами. Пользуясь утверждением, приведенном в начале параграфа
получим
Ank  n(n  1)( n  2)...( n  (k  1))
Пример: Определить, сколько трехзначных чисел можно составить из множества
цифр 1,2,3,4,5 без повторений.
Решение: n  5; k  3; A53  60
Теорема: Число размещений с повторениями из n элементов по k равно Rnk  n k
Доказательство: Рассуждения очень похожи на доказательство числа размещения
без повторений. Значение, которое стоит на «первом» месте можно выбрать n способами.
Значение, стоящее на «втором» месте также можно выбрать n способами (т.к. они могут
повторяться, элементы после выбора не удаляются из множества, из которого выбирают).
И т.д. процедура повторяется k раз.
Перестановками из n элементов называются множества из n элементов,
отличающиеся один от другого порядком элементов. Обозначаем Pn .
Теорема: Число перестановок без повторений равно Pn  n!
Доказательство: Повторяет доказательство предыдущей теоремы, полагая k  n .
Пример: К кассе за получением денег одновременно подошли 4 человека. Сколькими
способами они могут выстроиться в очередь.
Решение: Очередь состоит из 4 различных человек, поэтому эти очереди отличаются
только порядком элементов. Это перестановки без повторений. P4  4! 24
Определение: Сочетаниями без повторений, содержащими k элементов,
выбранных из n элементов заданного множества, называются всевозможные множества
из k элементов, отличающиеся хоть одним элементов (порядок не учитывается), при этом
все элементы различны. Обозначаем С nk
n!
Теорема: Число Сnk 
k!(n  k )!
Доказательство: Рассмотрим перестановку из n элементов по k . Если не считаться
с порядком элементов, то существует k ! Перестановок, которые не различимы.
Ak
Следовательно n k! . Упрощая эту формулу, получим искомую.
Пример: Имеется 6 штаммов бактерий. Для определения скорости их роста
необходимо выбрать 3 штамма. Сколькими способами можно это сделать?
Решение: Способы отбора различаются, если каждая группа штаммов различаются
хотя бы одним элементом. Это число
3
6!
 20
3!(6  3)!
Определение: Сочетаниями с повторениями, содержащими k элементов,
выбранных из n элементов заданного множества, называются всевозможные множества
из k элементов, отличающиеся хоть одним элементов (порядок не учитывается), при этом
допускается неединичное вхождение элементов. Обозначаем S nk
(n  k  1)!
Теорема: Число S nk  Cnkk 1 
k!(n  1)!
Пример: n (n  2) человек садятся за круглый стол. Два размещения по местам
будем считать совпадающими, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в
обоих случаях. Сколько существует способов сесть за стол.
Решение: Общее число перестановок равно n! Но отношение соседства сохраняется
при циклических перестановках (повороте) их n для каждого различного размещения и
n!
при симметричном отображении (их 2). Следовательно
.
2n
Разбиение множества на группы
Если множество из n различных элементов разбивается на k групп так, что в первую
группу попадают n1 элементов, во вторую – n2 элементов, в k-ую группу – nk элементов,
причем n1+n2+...+nk=n, то число таких разбиений равно
n!
N n (n1 , n2 ,...nk ) 
.
n1!n2!...nk !
Пример. Сколькими способами можно разбить группу из 25 студентов на три подгруппы
по 6, 9 и 10 человек в каждой группе?
Решение. Здесь n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Согласно формуле, число таких разбиение
25!
.
равно N 25 (6,9,10) 
6!9!10!
Пример 2. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4,5 и 6, в которых
цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 - по 2 раза?
Решение. Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр,
при этом фактически все семь мест в этом числе делятся на три группы: на одни места
ставится цифра «4», на другие места – цифра «5», а на третьи места – цифра «6». Таким
образом, в нашем случае множество состоит из 7 элементов (n=7), причем n1=3, n2=2,
n3=2), и, следовательно, в силу формулы число таких чисел равно
7!
N 7 (3;2;2) 
 210.
3!2!2!
С63 
Разбиения
Задача 1. Подсчитаем число разбиений конечного множества Х, где X  n , на k
подмножеств Х1, Х2, …, Хk ( k  1) таких, что каждое Хi содержит ni элементов, т.е.
k
 Xi
i 1
 X , X i  X j   при i  j , X i  ni , i=1, 2, .., k.
(1)
Очевидно, что при этом n1+n2+…+nk=n. Отметим, что для некоторых номеров i возможно
X i   . Число указанных разбиений при фиксированных ni обозначается С nn1, n2 ,..., nk .
Замечание. В данном случае набор подмножеств множества Х в разбиении является
упорядоченным, т.е. Х1, Х2, …, Хk – упорядоченная последовательность множеств.
Лемма. С nn1, n2 ,..., nk  C nn1  C nn2 n  ...  C nnk n ...n .
1
1
k 1
4
Доказательство: Множество Х1 может быть выбрано C nn1 . После выбора Х1
множество Х2 можно выбрать C nn2 n способами (т.к. X 2  X \ X1 и X \ X 1  n  n1 ) и т.д.
1
Тогда по правилу произведения выбор упорядоченной последовательности множеств Х1,
Х2, …, Хk можно произвести C nn1  C nn2 n  ...  C nnk n ...n способами.
1
Теорема 1. С nn1 , n2 ,..., nk 
1
k 1
n!
.
n1!n2 !...  nk !
Доказательство: Сnn1, n2 ,..., nk 
(n  n1  ...  nk 1 )!
(n  n1 )!
n!

 ... 

n1!(n  n1 )! n2 !(n  n1  n2 )!
nk !(n  n1  ...  nk 1  nk )!
n!
, что и требовалось доказать.
n1!n2 !...  nk !
Задача 2. Требуется найти число размещений с повторениями из n элементов по
k элементов, в которых первый элемент встречается ровно n1 раз, второй элемент
встречается ровно n2 раз, …, k–ый элемент встречается ровно nk раз (n1+n2+…+nk=n).
Теорема 2. Число таких размещений равно С nn1, n2 ,..., nk .
Доказательство: Каждому размещению указанного типа поставим в соответствие
разбиение множества X  {1, 2, ..., n} номеров элементов в выборке на подмножества Х1,
Х2, …, Хk, где Хi – множество номеров элементов i–го типа в выборке. Очевидно, что при
этом выполняются условия (1). Указанное соответствие между размещениями данного
типа и разбиениями, удовлетворяющими (1), является взаимно однозначным
(биективным). Следовательно, в силу теоремы 1, теорема 2 верна.
[после сокращений]=
Задача 3. Сколькими способами можно разбить конечное множество Х, где X  n ,
на подмножества, среди которых для каждого i=1, 2,…, n имеется mi  0 подмножеств с i
элементами, где
n
 imi
 n ? Заметим, что в отличие от задачи 1 набор подмножеств в
i 1
разбиении не является упорядоченным (т.е. порядок подмножеств в разбиении не является
существенным). Обозначим число указанных неупорядоченных разбиений множества Х
через N nm1,m2 ,..., mn .
n!
Теорема 3. N nm1,m2 ,..., mn 
.
m1!m2 !...  mn !(1!) m1  ...  (n!) mn
Доказательство: Каждое из неупорядоченных разбиений, рассмотренных при
определении величины N nm1,m2 ,..., mn , можно, нумеруя блоки этого разбиения, привести
m1!...  mn ! способами к упорядоченным разбиениям вида
X 1 , …, X m1 , X m1 1 , …, X m1m2 , …, X m1...mn11 , …, X m1...mn ,
где X 1  ...  X m1  1 , X m1 1  ...  X m1 m2  2 ,…, X m1 ...mn1 1  ...  X m1 ...mn  n .
При этом объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств
является совокупностью всех возможных разбиений множества Х. Следовательно, по
правилу суммы, используя теорему 1, получим:
n!
  m1!...  mn ! N nm1,m2 ,..., mn m1!...  mn !
mn
m1
(1!)  ...  (n!)
(где суммирование производится по всем рассматриваемым неупорядоченным
разбиениям), откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.
Пример. Сколькими способами из группы в 25 человек можно сформировать 5
коалиций по 5 человек?
5
Решение: Пусть Х – множество людей в группе, mi – число коалиций по i человек,
где i =1, 2, …, 25. Тогда из условия задачи следует, что X  25 , m5  5 , а для других i
mi  0 , и, таким образом, искомое число равно
Бином Ньютона
k
Числа сочетаний С n называются также биномиальными коэффициентами. Смысл
этого названия устанавливается следующей теоремой, известной также как формула
бинома Ньютона.
Теорема. ( x  y ) n 
n
 Cnk x nk y k .
k 0
Следствие 1.
Следствие 2.
n
 Cnk
 2n .
k 0
n
 (1) k C nk
 0.
k 0
Одним из эффективных способов рекуррентного вычисления значений
биномиальных коэффициентов, который можно представить в графической форме,
является треугольник Паскаля1.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
В этом равнобедренном треугольнике каждое число (кроме единиц на боковых
сторонах) является суммой двух чисел, стоящих над ним. Число сочетаний находится в
n+1 ряду на k+1 месте.
1
Блез Паскаль (1623-1662).
6