Математический дозор

Математический дозор
№
Задания
1. Сколько натуральных чисел находится в промежутке от 6 до 6,4?
2. В доме, в котором живёт Сергей, один подъезд. На каждом этаже по 4 квартиры. Сергей
живёт в квартире № 19. На каком этаже живёт Сергей?
3. Значение какого из следующих выражений является наибольшим?
1) 2,3+2
2) 15
3) 2 3
4) 8  3 14
Поезд «Енисей» отправляется из Новосибирска в 16:54, а прибывает в Красноярск в 04:40
на следующий день (время отправления и прибытия московское). Сколько приблизительно
часов поезд находится в пути?
5. Кофейник на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 630 р. Сколько рублей
стоил кофейник до распродажи?
6. Какая из фигур на рисунке имеет наибольшее число осей симметрии?
1)
2)
4.
3)
7.
4)
Сила тока в участке цепи вычисляется по формуле 𝐼 =
𝑈
𝑅
(закон Ома).
Пользуясь этой формулой, вычислите сопротивление цепи с напряжением U=220 Вольт и
силой тока I=5 Ампер. Ответ дайте в Омах без указания единиц измерения.
Аня, Денис, Катя и Слава бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того,
что начинать игру должен будет Денис.
9. Вычислите высоту Эйфелевой башни в Париже (в метрах), если она отбрасывает тень
длиной 400 м в тот момент, когда длина тени стоящего рядом с ней шеста длиной 1,5 м
равна 2 м.
x 1
10.
Решите уравнение: 3  27
11. На графиках показано, как во время
телевизионных
дебатов
между
кандидатами А и Б телезрители
голосовали за каждого из них.
Сколько всего тысяч телезрителей
проголосовало за первые 30 минут
дебатов?
8.
12. Прочитайте задачу: «На изготовление 400 деталей первый рабочий затрачивает на 3 часа
меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за
час делает на 20 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый
рабочий?»
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи:
1)
400 480

 20;
x
x3
3)
400 480

 3;
x
x  20
2)
480 400

 3;
x
x  20
4)
400 480

 20.
x 3
x
13. Имеется 2 пакетика семян редиса весом по 10 г. Известно, что расход семян составляет 3,5 г
на 1 м2. Какое количество целых прямоугольных грядок длиной 3 м и шириной 60 см можно
засадить этими семенами?
14. Меньшая сторона прямоугольника равна 6.
Угол между диагоналями равен 60. Найдите радиус окружности,
описанной около этого прямоугольника.
15. Кристалл искусственного алмаза представляет собой октаэдр (см.
рисунок). Его поверхность состоит из восьми равных
равносторонних треугольников со стороной 1 мм. Вычислите
площадь поверхности кристалла в мм2. Ответ округлите до
целого числа.
Решения к заданиям «Математического дозора»
Задание № 1.
Сколько натуральных чисел находится в промежутке от 6 до 6,4?
Решение:
Натуральными числами называются числа, которыми ведется счет предметов.
В промежутке от -6 до 6,4 находятся натуральные числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Всего 6 натуральных чисел.
Ответ: 6.
Примечание: число 0 в школьном курсе математики не относится к множеству
натуральных чисел N. Иногда для удобства построения математической теории это
число присоединяют к множеству натуральных чисел, получая расширенное
множество N0.
Задание № 2.
В доме, в котором живёт Сергей, один подъезд. На каждом этаже по 4 квартиры.
Сергей живёт в квартире № 19. На каком этаже живёт Сергей?
Решение:
Чтобы найти этаж, на котором находится квартира № 19, выполним деление с
остатком: 19 = 4 ∙ 4 + 3, т.е. 4 этажа и еще 3 квартиры. Значит, указанная квартира
находится на 5 этаже.
Ответ: 5.
Задание № 3.
Значение какого из следующих выражений является наибольшим?
1) 2,3+2
2) 15
3) 2 3
4) 8  3 14
Решение:
Вычислим или оценим значения данных выражений:
1) 2,3 + 2 = 4,3;
2) 15 < 16 , т.е. 15 < 4;
3) 2 3 = 4  3 = 12 , 12 < 4;
1
4
4
4
4) 8  3 = 7  3
1
3
= 4 = 4,75.
4
4
Значит, наибольшее значение имеет последнее выражение.
Ответ: 4.
Задание № 4.
Поезд «Енисей» отправляется из Новосибирска в 16:54, а прибывает в Красноярск
в 04:40 на следующий день (время отправления и прибытия московское). Сколько
приблизительно часов поезд находится в пути?
Решение:
С 16:54 до полуночи поезд находится в пути 7 ч 6 мин, от полуночи до 04:40 еще 4
ч 40 мин. Всего: 7ч 6 мин + 4ч 40 мин= 11ч 46 мин, т.е. приблизительно 12 часов
(по правилам округления).
Ответ: 12.
Задание № 5.
Кофейник на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 630 р. Сколько
рублей стоил кофейник до распродажи?
Решение:
Решим задачу по действиям:
1) найдем, сколько рублей составляют 1% первоначальной цены кофейника:
630:60 = 10,5 (руб.);
2) найдем, сколько рублей составляют 100%, т.е. первональную цену кофейника:
10,5 ∙ 100 = 1050 (руб.).
Примечание:
Задачу можно решить по правилу нахождения числа по его проценту.
Чтобы найти число по его дроби, выраженной в процентах, нужно его известную
часть разделить на эту дробь: 630 : 60% = 630 : 0,6 = 1050 (руб.).
Ответ: 1050.
Задание № 6.
Какая из фигур на рисунке имеет наибольшее число осей симметрии?
2)
2)
3)
4)
Решение:
Фигура 1) – круг имеет бесконечно много осей симметрии. Все остальные фигуры
из задания – многоугольники, имеют конечное число осей симметрии.
Ответ: 1.
Задание № 7.
Сила тока в участке цепи вычисляется по формуле I = U/R (закон Ома). Пользуясь
этой
формулой,
вычислите
сопротивление
цепи
с
напряжением
U = 220 Вольт и силой тока I = 5 Ампер. Ответ дайте в Омах без указания единиц
измерения.
Решение:
Из формулы I = U/R выразим сопротивление: R = U/I. Подставим в эту формулу
данные значения U = 220В и I = 5А: R = 220/5; R = 44(Ом).
Ответ: 44.
Задание № 8.
Аня, Денис, Катя и Слава бросили жребий, кому начинать игру. Найдите
вероятность того, что начинать игру должен будет Денис.
Решение:
Чтобы найти вероятность события, надо число благоприятных исходов разделить
на число всех исходов. Всего детей 4, игру может начинать каждый из 4-х, т.е.
число всех возможных исходов равно 4. А вероятность того, что игру будет
начинать конкретный ребенок, например, Денис равна ¼ или 0,25.
Ответ: 0,25.
Задание № 9.
Вычислите высоту Эйфелевой башни в Париже (в метрах), если она отбрасывает
тень длиной 400 м в тот момент, когда длина тени стоящего рядом с ней шеста
длиной 1,5 м равна 2 м.
Решение:
Высота шеста составляет ¾ части от длины его тени. Значит, и высота Эйфелевой
башни в этот момент также сотавляет ¾ от длины ее тени, т.е. 300 м.
Обоснование
решения
следует
из
подобия
треугольников (см. рисунок):
x
1,5
х
1,5
x

2 400
1,5  400
; x = 300.
2
2
Ответ: 300.
400
Задание № 10.
Решите уравнение: 3
Решение:
x 1
 27
3 x 1  27 ; 3 x 1  33 ; x – 1 = 3; x = 3 + 1; x = 4.
Ответ: 4.
Задание № 11.
На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А
и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей
проголосовало за первые 30 минут дебатов?
Решение:
На рисунке видно, что через 30 минут от начала голосования кандидаты А и В
получили одинаковое число голосов: за каждого из кандидатов проголосовали по
25 тысяч телезрителей, т.е. всего проголосовало 50 тысяч телезрителей.
Ответ: 50.
Задание № 12.
Прочитайте задачу: «На изготовление 400 деталей первый рабочий затрачивает на
3 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что
первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в
час делает первый рабочий?»
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи:
400 480

 20;
x
x3
480 400

 3;
2)
x
x  20
1)
400 480

 3;
x
x  20
400 480

 20.
4) x  3 x
3)
Решение:
Проанализируем каждое из данных уравнений:
1) Уравнение составлено в предположении, что x ч – время, которое первый
рабочий затрачивает на изготовление 400 деталей. Тогда (x + 3) ч – время, которое
второй рабочий затрачивает на изготовление 480 деталей. Уравнение связывает
производительности труда рабочих. В правой части уравнения число 20 надо
прибавить, т.к. первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем второй.
Данное уравнение не соответствует условию задачи.
2) При составлении уравнения буквой x (деталей в час) обозначена
производительность труда второго рабочего, а уравнение связывает время работы
первого и второго рабочих. 480/х ч – время, которое второй рабочий затарачивает
на изготовление 480 деталей. По условию задачи производительность первого
рабочего должна быть равна (x + 20) деталей в час, а не (x – 20). Данное уравнение
не соответствует условию задачи.
3) Уравнение выражает зависимость между временем работы первого рабочего и
временем работы второго рабочего, а буквой x (деталей в час) обозначена
производительность труда первого рабочего, тогда по условию задачи
производительность труда второго рабочего (x – 20) деталей в час, а не (x + 20)
деталей в час. Данное уравнение не соответствует условию задачи.
4) Уравнение связывает производительности труда рабочих.
x ч – время, которое второй рабочий затрачивает на изготовление 480 деталей,
(x–3) ч – время, которое первый рабочий затрачивает на изготовление 400 деталей.
По условию задачи, первый рабочий за час делает на 20 деталей больше, чем
второй. Разность производительностей первого и второго рабочих равна 20
деталям в час, что и отражено в уравнении. Данное уравнение соответствует
условию задачи.
Примечание: корень уравнения не является ответом на вопрос задачи. Для
нахождения производительности первого рабочего надо выполнить еще 2
действия: из найденного при решении корня уравнения вычесть 3 и разделить 400
на полученную разность.
Ответ: 4.
Задание № 13.
Имеется 2 пакетика семян редиса весом по 10 г. Известно, что расход семян
составляет 3,5 г на 1 м2. Какое количество целых прямоугольных грядок длиной
3 м и шириной 60 см можно засеять этими семенами?
Решение:
60 см = 0,6 м
1) 10  2 = 20 (г) – масса семян редиса;
2) 3  0,6 = 1,8 (м2) – площадь одной грядки;
3) 1,8  3,5 = 6,3 (г) – масса семян для посадки на одну грядку;
4) 20 : 6,3 = 3
11
(шт.) – грядок можно засеять.
63
Данного количества семян хватит, чтобы засеять 3 целых прямоугольных грядки.
Ответ: 3.
Задание № 14.
Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между
О
диагоналями равен 60. Найдите радиус окружности, описанной
около этого прямоугольника.
Решение:
По условию AD = 6. Равные диагонали прямоугольника
пересекаются в центре описанной окружности О и при пересечении делятся
пополам, т.е. OD = ОА. Значит, треугольник АOD равнобедренный. Кроме того, OD
и ОА являются радиусами окружности. По условию,  АOD = 600. Если в
равнобедренном треугольнике один из углов равен 600, то такой треугольник
является равносторонним. Следовательно, OD = ОА = AD = 6.
Ответ: 6.
Задание № 15.
Кристалл искусственного алмаза представляет собой октаэдр
(см. рисунок). Его поверхность состоит из восьми равных
равносторонних треугольников со стороной 1 мм. Вычислите
площадь поверхности кристалла в мм2. Ответ округлите до
целого числа.
Решение:
Площадь поверхности кристалла S равна сумме площадей составляющих ее восьми
равных равносторонних треугольников: S = 8 S.
Площадь одного из восьми равных треугольников можно
1
2
вычислить по формуле площади треугольника: S   ah . Высоту
1
h
треугольника h при а=1 можно найти по теореме Пифагора (см.
12
3
1
3
3

( мм 2 ) .

( мм ) . Тогда S   1 
1/2
2
2
4
4
2
3
А площадь поверхности кристалла S=8 =2 3 (мм2).
4
рисунок): h  12 
3  1,73. Следовательно, S  2  1,73 = 3,46 (мм2). Округлив результат до целых
по правилам округления, получим: 3,46  3 (мм2).
Ответ: 3.
Примечание: для нахождения площади S равностороннего треугольника со
стороной a можно было сразу воспользоваться известной формулой: S =
3 2
а .
4