Расчетно-графическая работа № 1

Расчетно-графическая работа №1
по теории игр
Темы: Экономические постановки игровых задач. Платежная матрица игры, нижняя цена игры, верхняя
цены игры, максиминные и минимаксные стратегии игроков. Смешанные стратегии игроков, сведение
матричной игры к задаче линейного программирования, оптимальные (смешанные) стратегии игроков, цена
игры (в смешанных стратегиях).
Задача 1 (Поставка товаров). Руководство универмага заказывает товар определенного вида. Известно,
что спрос на товар данного вида лежит в пределах от 6 до 9 единиц. В случае, если заказанного товара
окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то имеется возможность срочно заказать и завезти
недостающее количество. Если же спрос будет меньше наличного количества товара, то нереализованный
товар придется хранить на складе универмага. Требуется определить такой объем заказа на товар, при
котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом были бы минимальными.
Расходы на хранение единицы товара составляют 1 тыс. условных денежных единиц, а по срочному
заказу и завозу ─ 2 тыс. условных денежных единиц. Составить платежную матрицу. Определить
нижнюю цену игры (в чистых стратегиях) и максиминную (чистую) стратегию руководства
универмага.
Задача 2 (Планирование посева). Сельскохозяйственное предприятие может посеять одну из трех
культур: A1, A2, A3. Необходимо определить, какую из культур сеять, если при прочих равных условиях
урожаи этих культур зависят главным образом от погоды, а статистические данные о погодных условиях
отсутствуют. План посева должен обеспечить наибольший доход. Состояния погоды можно охарактеризовать тремя вариантами: B1 - сухо, B2 - нормально, В3 - влажно. Урожайность культур в зависимости от
состояний погоды и цена каждой культуры приведены в таблице:
Урожайность культуры в
центнерах
A1
A2
A3
B1
20
7,5
0
B2
5
12,5
7,5
В3
15
5
10
Цена за 1 центнер в усл. ден. ед. 2
4
8
Состояния погоды
Составить платежную матрицу задачи. Определить нижнюю цену игры (в чистых стратегиях) и
максиминную (чистую) стратегию сельскохозяйственного предприятия.
Задача 3 (Уплата налога). В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А - государственная
налоговая инспекция; В - налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т условных денежных единиц.
У стороны А два возможных способа поведения. Один из них (А1 ) состоит в контролировании дохода
налогоплательщика В и взимании с него:
- налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности,
- налога в размере Т и штрафа в размере W, если заявленный в декларации доход меньше действительного,
или в случае сокрытия всего дохода.
Второй способ поведения А2 ─ не контролировать доход налогоплательщика А.
У стороны В три стратегии поведения: В1 ─ заявить о действительном доходе; B2 ─ заявить доход,
меньший действительного, и, следовательно, налог С с заявленного дохода будет меньше Т; В3 ─ скрыть
доход, тогда не надо будет платить налог. Составить платежную матрицу ─ матрицу выигрышей игрока А.
Определить верхнюю и нижнюю цены игры (в чистых стратегиях), максиминные (чистые) стратегии
игрока А и минимаксные (чистые) стратегии игрока В. Положив Т = n+5, W =2n, С=n, где n – номер
студента по списку, свести игру к задаче линейного программирования и найти оптимальные
(смешанные) стратегии игроков А и В и цену игры. Как следует действовать игрокам А и В, если они
придерживаются оптимальной стратегии?
Задача 4 (Рекламная компания). Две фирмы A и B проводят рекламную кампанию на предполагаемых
рынках сбыта, в каждом из двух соседних городов. У фирмы А имеются средства, чтобы оплатить в двух
городах всего четыре способа проведения рекламной кампании, у фирмы В ─ средства на три способа.
Победу каждой фирмы (для определенности фирмы A) в каждом из городов оценим в условных единицах
(очках) следующим образом:
- если у фирмы А больше способов рекламы, чем у противника, то в качестве выигрыша она получает
число очков, равное числу способов рекламы, примененных противником в данном городе с добавлением
одного очка - за победу;
- если у А меньше способов рекламы, чем у противника, то она проигрывает число очков, равное числу
способов рекламы, примененных ею в данном городе и минус одно очко - за проигрыш;
- если число способов рекламы в городе у обеих фирм одинаковое, то каждая из них получает ноль очков.
В качестве общих выигрышей каждой из фирм принимаем суммы ее очков по двум городам в различных
ситуациях. Представить модель конфликта в виде матричной игры, составив матрицу выигрышей фирмы
А. Определить верхнюю и нижнюю цены игры (в чистых стратегиях), максиминные (чистые) стратегии
игрока А и минимаксные (чистые) стратегии игрока В. Cвести игру к задаче линейного программирования
и найти оптимальные (смешанные) стратегии игроков А и В и цену игры. Как следует действовать
игрокам А и В, если они придерживаются оптимальной стратегии?
Задача 5. Торговый агент должен встретиться с иногородним клиентом и собирается лично вручить ему
заказ на 3000 условных денежных единиц (у.д.ед.). Если агент поедет поездом, то потеряет день на работе,
который принес бы ему 1500 у.д.ед. Полет самолетом позволит сократить рабочий день, но если самолет
не полетит из-за тумана, то личная встреча с клиентом не состоится и день на работе будет потерян. В
этом случае придется говорить с клиентом по телефону, что уменьшит сумму заказа на 500 у.д.ед.
Составьте платежную матрицу, элементы которой будут представлять собой доход торгового агента в
зависимости от принятого решения. Определить верхнюю и нижнюю цены игры (в чистых стратегиях) и
максиминные (чистые) стратегии игрока A.
Задача 6 (Конкурентный рынок). Предприниматель располагает двумя видами товаров, которые он
стремится реализовать на рынке, где возможна продажа конкурентом аналогичных товаров.
Предпринимателю не известно, какой вид товаров конкурент будет продавать на рынке, а конкуренту не
известно, какие товары предпринимателя на этом рынке появятся. Пусть игрок А - предприниматель, а
игрок В - конкурент. Игрок А обладает двумя возможными стратегиями Аi - продавать товар i-го вида,
i=1,2. Игрок В также может придерживаться одной из двух стратегий Вi - продавать товар j-го вида, j=1,2.
Предприниматель располагает данными о том, какова вероятность продать тот или иной товар при
наличии на рынке товаров конкурента. Если эти вероятности рассматривать в качестве выигрышей
предпринимателя, то они образуют следующую матрицу игры:
A1
A2
B1
0,2
0,7
B2
0,8
0,3
Определить верхнюю и нижнюю цены игры (в чистых стратегиях), максиминные (чистые) стратегии
игрока А и минимаксные (чистые) стратегии игрока В. Cвести игру к задаче линейного программирования
и найти оптимальные (смешанные) стратегии игроков А и В и цену игры. Как следует действовать игрокам
А и В, если они придерживаются оптимальной стратегии?
Задача 7. Банк А заинтересован в покупке акций некоего акционерного общества В. Стремясь сделать
покупку как можно более выгодной, банк снабжает продавца информацией о реальной стоимости акций,
которая может быть как правдивой (A1), так и заведомо ложной (A2). Продавец может как поверить
информации (B1), так и не поверить (B2). Пусть в качестве платежа используется прирост стоимости по отношению к вложенным средствам и платежная матрица имеет вид
A1
A2
B1
0,6
1,0
B2
1,0
0,5
Какова нижняя цена игры (в чистых стратегиях)  и какой чистой стратегии должен придерживаться
банк, чтобы обеспечить себе выигрыш, не меньший, чем  ? Как изменится ответ при переходе к
смешанным стратегиям?