Таблица интегралов для Функций, содержащих a+bx в целой степени и функции, содержащие: a2+x2; a2-x2; a+bx2 Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из (а+bx) Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из (а^2+x^2) Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из (а^2-x^2) Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из (x^2-a^2) Таблица интегралов для функций, которые содержат корень из многочлена Таблица интегралов для других алгебраических функций. Таблица интегралов для функций, которые содержат в себе показательные и тригонометрические функции Таблица интегралов для функций, которые содержат в себе показательные и тригонометрические функции. Талица интегралов для функций, содержащих логарифмические функции. Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала). Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке. Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм ΘR при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξi, т.е. (1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] – определение интеграла по Риману. a – нижний предел. b – верхний предел. f(x) – подынтегральная функция. λR - длина частичного отрезка. σR – интегральная сумма от функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R. λR - максимальная длина част. отрезка. Определение интеграла на языке , δ:(по "Коши") Число I – называется определённым интегралом от f(x) на [ a ; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a ; b ]: λR < δ, выполняется неравенство: |I- σR | = |∑n-1i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi ; xi+1] Тогда I = ∫abf(x)dx [править] Геометрический смысл Определённый интеграл как площадь фигуры Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x). Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо: 1) Уметь находить неопределенные интегралы. 2) Уметь вычислить определенный интеграл. Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений. В общем виде определенный интеграл записывается так: Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования. Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Отрезок называется отрезком интегрирования. Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному интегралу. Что такое определенный интеграл? Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число. Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла. Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число. Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы НьютонаЛейбница: Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока. Этапы решения определенного интеграла следующие: 1) Сначала находим первообразную функцию внимание, что константа (неопределенный интеграл). Обратите в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись применения формулы Ньютона-Лейбница. ? Подготовка для 2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: 3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: 4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число. Готово. Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда. Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: так как в точках , отрезка . Такого интеграла тоже не существует, не существует тангенса.