Три главные задачи на проценты

Учебно-методическая разработка
по теме
«Задачи на проценты на уроках и
в жизни» в школе олимпийского резерва
с учащимися 8-9 классов
составитель:
учитель математики
МОУ «Лицей №44»
Терушкина В. И.
Структура методической разработки
Содержание
1. Пояснительная записка
2. Дидактический анализ. Принцип построения программы
3. Методические рекомендации
4. Тематическое планирование
5. Примерная разработка занятия по теме: «Три главные задачи на
проценты»
6. Примерная разработка занятия по теме “Проценты на уроках
экономики”
7. Примерная разработка занятия по теме "Решение задач на сложные
проценты"
8. Примерная разработка занятия по теме “Задачи на проценты на
уроках физики”
9. Примерная разработка занятия по теме “Задачи на проценты на
уроках химии”
10.
Приложение.
Несколько
общих
рекомендаций.
Задачи,
связанные с изменением цены. Задачи о вкладах и займах. Задачи
на смеси и сплавы Задачи для самостоятельного решения.
11.
Заключение.
12.
Литература
Пояснительная записка
Решение задачи - есть вид творческой деятельности, а поиск решения - есть процесс
изобретательства.
Важнейшим требованием к школе, заявленным в Концепции модернизации российского
образования является ориентация образования не только на усвоение обучающимися
определённой суммы знаний, но и на развитие его личности, познавательных и созидательных
способностей, успешной социализации в обществе и активной адаптации на рынке труда.
В послешкольной жизни реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное
образование, что требует полноценной общеобразовательной подготовки. Всё больше
специальностей связаны с непосредственным применением математики (физика, химия,
биология, экономика, социология, технология и др.)
Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического
развития, глубины освоения учебного материала. В школьном курсе математики обучению
решения задач уделяется много внимания, но основным методом такого обучения является показ
способов решения определённых видов задач и не даются необходимые знания о сущности задач
и их решений. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих
в общую деятельность по решению задач, не стимулируется постоянный анализ учащимися своей
деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов. Решение задач
по теме “Проценты” нельзя отнести к легко усваиваемым. Ее традиционное изучение
сосредоточено в строгих временных рамках курса V—VI классов, что не позволяет расширять
спектр практических приложений и полноценно учитывать возрастные возможности учащихся в
формировании ряда важных практических умений в работе с процентами.
Вследствие этого фактора, а также необходимости умения решать задачи на проценты в
курсах химии, физики, экономики возможна организация работы олимпийского резерва “Задачи
на проценты на уроках и в жизни” в 8-9 классах. Такая работа позволит сделать курс математики
практико-ориентированным, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания
применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени поддерживается также и
содержанием задач на проценты, фабулы которых могут быть приближены к современной
тематике и к жизненному опыту детей, а затем и подростков, что послужит достаточно сильным
мотивом для решения предлагаемых задач. Необходимо учитывать и тот факт, что на
последующих этапах обучения программой по математике, функционирующей в данное время,
не предусматривается повторное обращение к теме “Проценты”.
На занятиях олимпийского резерва можно компактно повторить теорию вопроса, отработать
навыки решения типовых задач, уделить особое внимание решению задач с практическим
содержанием. Предлагаемые задачи должны различаться по уровню сложности: от простейших
упражнений на применение формул до достаточно сложных расчетов, связанных, например, с
реалиями банковских расчетов или химического производства. Задания могут быть подобраны из
сборников задач вступительных экзаменов в вузы, так как учащиеся 8-9 классов имеют все
необходимые для решения умения и навыки. Информирование учащихся о том, в какие
конкретные вузы и на какие факультеты предлагались те или иные задачи позволит значительно
усилить познавательную мотивацию и сделать процесс занятий более значимым для школьников,
повысить самооценку.
Каждое занятие предполагает: устный счет (автоматизация навыка простейших процентных
вычислений), решение задач с учителем, самостоятельная работа, домашнее задание.
Завершается занятие самооценкой учащихся, фиксируемой в листе самоконтроля.
Дидактический анализ. Принципы построения программы
Дидактика вскрывает закономерности усвоения знаний, умений и навыков, определяет объем
и структуру содержания разработки, совершенствует методы и организационные формы
обучения.
Основным принципом программы является то, что она не предполагает «натаскивание»
ученика, не ориентирована на формирование навыка, а учит осознанию действий. Если
традиционно обучение больше ориентировано на вопрос: «как?», на действия по образцу, то
задача школы олимпийского резерва – усилить внимание к вопросу: «почему?», имеющему
большой развивающий потенциал.
Содержание программы составляют специально подобранные задачи для развития
математического мышления и творческих способностей. Они дополняют задания базовых
учебников.
Цели курса:
 формирование у учащихся устойчивого интереса к математике;
 выявление и развитие математических способностей;
 овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в
практической деятельности;
 интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для
математической деятельности;
 сформирование понимания знаний процентных вычислений для решения широкого круга
задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни.
Задачи:
 дать необходимые знания о сущности задач;
 сформировать умения производить процентные вычисления;
 научить решать основные задачи на проценты;
 научить интегрировать свои знания из различных дисциплин для решения задач;
 помочь учащимся оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
Ожидаемые результаты.
Учащиеся, занимающиеся в занятии олимпийского резерва“Задачи на проценты на уроках и в
жизни” в результате должны:





понимать смысл термина “процент”;
уметь переводить процент в соответствующую дробь;
знать широту применения процентных вычислений в повседневной жизни;
решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;
использовать приемы, упрощающие вычисления.
Методические рекомендации.
В теоретическом плане методы решения основных задач на проценты представляют собой
самостоятельный фрагмент математической теории, имеющий небольшую сложность. Учащиеся,
имеющие высокий уровень математической подготовки, вполне могут успешно изучать тему
самостоятельно. Однако при организации работы олимпийского резерва необходимо учитывать,
что полученные в 5-6 классе навыки работы с процентами, в последующие годы забываются
большинством учащихся, в том числе и сильными, вследствие чего, даже самые простые задачи
на проценты начинают вызывать затруднения, поэтому обязательным является повторение
теории вопроса и приемов решения основных типов задач на проценты. При этом для усиления
мотивации, определяющей потребность детей в дополнительных занятиях математикой
необходимо, объясняя учащимся цели занятий в кружке, подчеркнуть практическую значимость
умений решать задачи на проценты.
Представленные задачи на проценты могут быть решены разными способами:



с опорой на определение одного процента;
с опорой на понятие дроби и формул для нахождения дроби от числа и числа по значению
его дроби;
с опорой на понятие пропорции, свойства пропорции и формул для нахождения членов
пропорции.
Важно предоставить учащимся возможность овладеть разными способами решения,
установить связи между ними и выбрать тот или иной способ для конкретной задачи. Устный
счет является обязательной составляющей каждого занятия, так как приучает к рационализации
вычислений, сравнению показателей, прикидыванию в уме результатов действий, что имеет
значение в повседневной жизни. Поэтому при работе с процентами полезно обратить особое
внимание на следующие факты: 50% -это половина величины, увеличить на 50% - прибавить к
величине его половину и т. д.
На занятиях с целью развития точной, грамотной речи, способности работать в быстром
темпе возможно использование фронтальной работы, которая к тому же дает возможность
руководителю кружка включать большую часть присутствующих на занятии в активную
учебную деятельность. Как форма, позволяющая предупреждать возможные ошибки, могут быть
рекомендованы комментированные упражнения, использование которых фактически помогает
слабому ученику, а учащемуся со средними способностями позволяет проверить свои знания,
сильного же ученика, работающего зачастую по опережающим заданиям, она не затрагивает.
С целью формирования знаний может применяться рассказ или школьная лекция. При
закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков целесообразно
практиковать самостоятельную работу школьников. При выводе формулы сложных процентов
возможно использование исследовательского метода в работе по группам, что позволит
поддержать работу учителей на уроках по формированию исследовательской культуры учащихся
как одной из важнейших составляющих культуры в целом.
Увеличению емкости занятия и его эмоциональной окрашенности может способствовать
использование современных информационно-коммуникационных технологий как учителем
практически на любом этапе занятия, так и учащимся, например, при подготовке домашнего
задания в форме мультимедийной презентации.
Поурочные домашние задания в разумных пределах являются обязательными.
Тематическое планирование
№ п/п
Тема
Кол-во
часов
1
Вводное занятие
1
2
Задачи на нахождение числа по его
процентам
1
3
Задачи на нахождение процентов от данного
числа
1
4
Нахождение процентного отношения двух
чисел
1
5
Задачи на проценты на уроках экономики
5
6
Задачи на проценты на уроках физики
2
7
Задачи на проценты на уроках химии
5
8
Аукцион знаний “Проценты вокруг нас”
2
Примерная разработка занятия по теме: «Три главные задачи на проценты»
Тип урока: комбинированный.
Цели и задачи урока:
Образовательные – сформировать у учащихся умение решать задачи на проценты, отработать
навыки их решения.
Развивающие – развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся
знания в измененной ситуации; развивать логическое мышление, интерес к предмету, навыки
самообразования.
Воспитательные – воспитать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство
ответственности.
Структура урока:
I. Организационный этап– 2 мин.
II. Систематизация и обобщение ранее изученного (беседа, устные упражнения) – 8 мин.
III. Углубление и расширение знаний по теме “Задачи на проценты”– 30 мин.
IV. Постановка домашнего задания – 2 мин.
V. Подведение итогов урока – 3 мин.
I. Организационный этап.
Определение отсутствующих. Проверка готовности учащихся к уроку (рабочее место,
внешний вид). Организация внимания.
II. Систематизация и обобщение ранее изученного материала.
Беседа:
Некоторые дроби, часто встречающиеся в повседневной жизни, получили особое название.
К таким дробям относятся: – половина, – треть, – четверть и
– процент. Дробные
числа удобно сравнивать, если они выражены в одинаковых долях. На практике удобными
оказались сотые доли.
Процентом называется дробь
(0, 01).
Процентом от некоторой величины называется одна сотая её часть.
Процент обозначают знаком %. С помощью этого знака можно записать:
= 1% или 0,01 = 1%. Знак % заменяет множитель 0,01.
1. Запишите проценты в виде десятичной и в виде несократимой обыкновенной дробей.
5%
20% 25% 46% 50% 75% 110% 12,5%
0,05
Проценты – это числа, представляющие собой частный случай десятичных дробей. Так как
любое число можно выразить десятичной дробью, то любое число можно выразить в процентах.
2. Выразите в процентах обыкновенные дроби:
,
,
,
,
.
Слово “ процент” имеет латинское происхождение: “ procentum” – это “ на сто”. Часто вместо
слова “ процент” используют это словосочетание. Например, говорят, что в России на каждые
100 человек приходится 12 человек, имеющих высшее образование. Это означает: 12% населения
России имеет высшее образование.
3. Три главные задачи на проценты.
Учитель: Какие три задачи на проценты вы знаете?
Предполагаемый ответ:
1. Нахождение процентов от данного числа.
2. Нахождение числа по его процентам.
3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Учитель: Как найти
от числа
Учитель: Как найти число,
? Ответ:
которого равны
? Ответ:
Учитель: Как найти процентное отношение числа
к числу ? Ответ:
III. Углубление и расширение знаний по теме “Задачи на проценты”.
Задача 1.
Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена
товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная
стоимость была 3000 р.?
Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара
стала равна:
Второе снижение происходит от новой цены:
Таким образом, общее снижение цены товара равно:
Цена товара после второго снижения стала равной:
4)100% – 55% = 45%
Найдем 45% от 3000р.
5)
= 1350 (р.)
Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной;
1350 р. стал стоить товар.
Задача 2.
Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка
уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой она была вначале?
Сможет ли Катя при таких условиях доесть пирожок?
Решение:
1) 100% – 20% = 80%- процентное содержание пирожка после первого откусывания;
2) Второе откусывание происходит от остатка.
=16% – откусили во второй раз
3) 80% – 16% = 64% – процентное содержание пирожка после второго откусывания;
4) Т.к 64% равны160 г, имеем
(г) – первоначальная масса пирожка
Ответ: 250г, нет
Задача 3.
В магазине батон хлеба стоит 10 руб., а на лотке цена такого же батона – 9 руб.
Определите:
1) На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?
2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?
Решение:
1) По условию цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”.
В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают.
100% – батон в магазине:
= 90%
100%-90%=10% – продается дешевле с лотка
2) На этот раз “дорогой” батон сравнивается с “дешевым”.
Значит 100% – батон на лотке:
= 111,1%
111,1% – 100% = 11,1% – продается дороже в магазине
Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 11,1% дороже, чем на
лотке.
Задача 4.
На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время
часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь
весят ягоды?
Решение:
Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует
найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.
1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.
100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;
100: 100 = 1(кг) – масса сухого вещества.
2) 100%-98% =2% – процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части
воды;
3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем
= 50(кг)
Ответ: 50 кг
Задача 5 .
Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов получится из 17
кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?
Решение:
1) 100%-90% =10% – процентное содержание сухого вещества в свежих грибах;
= 1,7(кг) – масса сухого вещества
100%-15% =85% – процентное содержание сухого вещества в сушеных грибах;
Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем
=2(кг) – сушеных грибов
2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных.
(кг)
Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем
(кг)- свежих грибов надо взять
Ответ: 2 кг, 28,9 кг
Задача 6 .
В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?
Решение:
1) Учтем, что масса полученного раствора
400+80 = 480(г)
2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г?
= 16,7%
Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.
IV. Постановка домашнего задания:
1. Повторить три типа задач на проценты.
2. Решить задачи:
Задача 1. При сушке ромашки теряется 85% первоначального веса. Учащиеся собрали 105 кг
цветов ромашки. Достаточно ли этого количества, чтобы выполнить взятое обязательство – сдать
в аптеку 15 кг сухой ромашки?
Задача 2. Вкладчик взял из сбербанка 25% своих денег, потом оставшихся и ещё 64 тыс. р.
После этого у него осталось на сберкнижке 15 % всех его денег. Как велик вклад?
V. Подведение итогов.
Примерная разработка занятия по теме “Проценты на уроках экономики”
Цель: познакомить учащихся с понятиями “скидка”, “распродажа”, “повышение цены”,
“прибыль”; отработать навыки решения основных задач на проценты.
Ход занятия:
1.Устный счет
а) переведите в десятичную дробь проценты: 10%, 20%, 33%, 45%, 50%, 67%.
б) каким из данных процентов соответствует обыкновенная дробь
?
?
?
в) как легко найти 50% от величины? 20%?
г) приведите примеры процентов, вычисление которых можно свести к делению на 4? На 10?
д) найдите 25% от 48, 0,4, 100,
; 10% от этих же чисел.
2. Объяснение нового материала: беседа учителя с учащимися по теме “Нужны ли знания
процентов при походе в магазин?”, которая выводит на термины: “скидка”, “распродажа”,
“повышение цены” и др.
3. Закрепление. Решение задач.
Задача 1. Мебельный гарнитур стоил 25 000 рублей. Какова будет его цена, если в связи с
рождественскими праздниками, в магазине объявлена скидка на 10% на всю мебель?
Ответ: 22500 (руб.) новая цена гарнитура.
Примечание: важно обратить на возможность более рационального решения с учетом
повторенного на устном счете факта, что найти10% можно, разделив заданную величину на 10.
Задача 2. Некоторый товар сначала подорожал на 10%, а затем во время распродажи подешевел
на 10%. Изменилась ли его цена?
Ответ: цена уменьшилась на 1%.
Задача 3. Антикварный магазин, купив два предмета за 225 тыс. руб., продал их, получив 40 %
прибыли. За какую цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже первого
предмета было получено 25% прибыли, а второго —50%?
Ответ: 90 тыс. руб.; 135 тыс. руб.
Задача 4. (для самостоятельного решения) Стоимость 70 экземпляров первого тома книги и 60
экземпляров второго тома составляла 230 тыс. руб. В действительности за все эти книги
уплатили 191 тыс. руб., так как была произведена скидка: на первый том -15%, а на второй том
- 20 %.
Найдите первоначальную цену каждого из томов.
Ответ: цена первого - 2 тыс. руб., второго - 1,5 тыс. руб.
4.Домашнее задание.
5.Рефлексия: учащимся предлагается оценить занятие в листе самоконтроля.
№
Определение уровня трудности занятия
занятия
легкое
среднее
Настроение
трудное
Самооценка работы на
занятии
в баллах
1
Дальнейшие занятия можно спланировать следующим образом:
Занятие 2 – решение задач на нахождение процентов, на которые нужно увеличить или
уменьшить величину, чтобы получить определенное значение.
Занятие 3- решение задач с использованием понятий “тариф”, “штраф”, “пеня”.
Занятия 4,5- решение задач на проценты в сфере банковских операций.
Примерная разработка занятия по теме "Решение задач на сложные
проценты"
Цель: сосредоточить внимание учащихся на решении разнообразных задач, в условии
которых встречается понятие сложные проценты.
Задачи:





Ознакомить школьников с основными положениями, формулами, теоретическими
обоснованиями и методическими комментариями к решению задач на сложные проценты.
Сформировать умения решения задач на сложные проценты.
Показать различные способы решения этих задач.
Научить анализировать условие задачи в плане выбора оптимального способа решения.
Проверить степень приобретенных навыков через обучающую самостоятельную работу.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
А) Объясните на примерах смысл каждой из фраз:
- цена на товар снижена на 20%;
- производительность труда повысилась на 8%.
Б) Найти число, если 2% его равны: 12; 44; 2,8; 0,4.
В) Рабочий получил путевку в санаторий со скидкой 70% и уплатил за нее 2400р. Сколько стоит
путевка в санаторий без скидки?
III. Объяснение нового материала
Учитель: Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая
величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет
определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.
Рассмотрим
2
случая.
Случай 1. В конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное
количество процентов – р%. Тогда в конце п-го этапа значение некоторой величины А, исходное
значение которой равнялось А0, определяется формулой:
Задача 1. Сберкасса выплачивает 3 % годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?
Решение.
Пусть первоначальная величина вклада составляет А0 рублей. Тогда через п лет эта величина
равняется 2А0 рублей.
Ответ: через 23 года вклад удвоится.
Случай
2.
Прирост
величины
А
на
каждом
этапе
различный.
Пусть величина А в конце 1-го этапа испытывает изменение на р1%, а в конце 2-го этапа – на р2%
и т.д. Если рк > 0, то величина А возрастает; если рк < 0, то величина А убывает. Тогда в конце пго этапа значение величины А, первоначальное значение которой равнялось А0, будет
определяться формулой:
Случай 3. Иногда в задачах встречается понятие «средний процент прироста». Под этим
понимают такой постоянный процент прироста, который за п этапов давал бы такое же
изменение величины А, которое она получает в действительности, при неравных поэтапных
процентах изменения.
Средний процент прироста q% определяется формулой:
Задача 2. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды
уменьшали на тоже же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько
процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?
Решение.
Пусть на х% увеличивалось, а затем уменьшалось это число в каждом случае. Тогда в конце
третьего увеличения значение нового числа определится по формуле сложных процентов:
Затем происходит уменьшение на х% тоже троекратно, т.е.
Следовательно,
после
трехкратного
уменьшения
мы
получим
а по условию оно равно 21,6.
Получим уравнение:
число,
равное
Ответ: на 50 % сначала увеличивали данное число, а затем уменьшали.
Задача 3. Акционерное общество «МММ-лимитед» объявило котировку своих акций на
ближайшие 3 месяца с приростом в процентах последовательно по месяцам на 243 %, 412 % и
629 % по отношению к каждому предыдущему месяцу. Каков ожидаемый средний ежемесячный
рост котировок акций за указанный период?
Решение.
Пусть А0 – первоначальный вклад.
После 1-го месяца
После 2-го месяца
После 3-го месяца
При среднем ежемесячном росте – х%, будем иметь
Следовательно, можно составить уравнение:
– за 3 месяца.
Ответ: 404 % – средний ежемесячный рост котировок акций.
IV. Закрепление материала. Решение задач
Задача 4. Цена товара за последние три квартала возрастала соответственно на 25 %, 116 % и
629 % по отношению к каждому предыдущему кварталу. Каков средний ежеквартальный процент
роста цены за это время?
Решение.
Пусть Аруб – первоначальная цена, тогда в конце I квартала цена будет равна руб., в конце II
квартала –
руб., а в конце III квартала –
руб. При среднем ежеквартальном росте в х% будем
иметь в конце III квартала
. Следовательно, можно составить уравнение:
Ответ: 170 % – средний ежеквартальный процент роста цен.
Задача 5. Производительность труда на заводе трижды увеличивалась на одно и то же число
процентов. В результате число производимых за сутки станков увеличилось с 64 до 125 штук. На
сколько процентов каждый раз увеличивалась производительность труда?
Решение.
– количество станков после 1-го увеличения.
– количество станков после 3-го увеличения.
Следовательно, можно составить уравнение:
Ответ: на 25 % увеличивалась производительность каждый раз.
Задача 6. Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежеквартально на одно и
то же число %. На сколько % ежеквартально увеличился объем продукции, если за 2 квартала он
увеличился на 156 %?
Решение.
Ответ: на 60 % ежеквартально увеличивался объем продукции.
Задача 7. Себестоимость изделия понизилась за 1 полугодие на 10 %, а за второе – на 20 %.
Определить первоначальную себестоимость изделия, если новая себестоимость стала 576 руб.
Решение:
А0 – исходная себестоимость товара
Ответ: исходная себестоимость 800 руб.
Задача 8. Вклад, положенный в сбербанк 2 года назад, достиг суммы, равной 1312,5 тыс. руб.
Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?
Решение:
Ответ: 840 тыс. руб.
Задача 9. Цена товара была понижена на 20 %. На сколько % ее нужно повысить, чтобы
получить исходную цену?
Решение:
Ответ: на 25 %.
V. Самостоятельная работа обучающего характера
Реши любые три задачи на выбор:
1. Пусть вкладчик положил на счет в банке 25000р. и в течение 3-х лет не будет снимать деньги
со счета. Подсчитаем, сколько денег будет на счете вкладчика через 3 года, если банк
выплачивает 30% в год, и проценты после каждого начисления присоединяются к начальной
сумме
25000р.,
т.е.
капитализируются.
2. Зарплата служащему составляла 20000р. Затем зарплату повысили на 20%, а вскоре понизили
на
20%.
Сколько
стал
получать
служащий?
3. На товар снизили цену сначала на 20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить 23,8
тыс.р.
Какова
была
первоначальная
цена
товара?
4. Завод увеличивал объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов.
Найти это число, если известно, что за 2 года объем выпускаемой продукции увеличивался на
21%.
5. Цену товара первоначально понизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 30% и,
наконец, после пересчета произвели снижение на 50%. На сколько процентов всего снизили
первоначальную цену товара?
VI. Подведение итогов.
Примерная разработка занятия по теме “Задачи на проценты на уроках
физики”
Цель: показать учащимся практическое применение умения решать задачи на проценты на
уроках физики; повторить физические законы и формулы, известные учащимся из школьного
курса физики.
Ход занятия
1. Устный счет
а) найдите 10%, 20%, 50% от чисел 100; 0,1; 0,02; 104.
б) число 48 увеличьте на 50%, 100 на 10%.
в) укажите соответствие между предложениями и формулами:
1)нахождение количества, составляющего p% от А.
2)нахождение на сколько процентов А больше, чем В.
3)нахождение количества, большего чем А, на р%.
4)нахождение количества, меньшего чем А, на р%.
5)нахождение сколько процентов составляет А от В.
6)нахождение на сколько процентов А меньше, чем В.
7)нахождение каково количество, р% от которого есть А.
1)
5)
, 2)
, 3)
, 6)
А, 4)
,
, 7)
г) сколько процентов 25 составляет от 100? 10 от 200? Какой из приведенных формул вы
воспользовались?
д) известны ли вам задачи из курса физики, в которых используется данная формула?
2. Объяснение нового материала: школьная лекция учителя о коэффициенте полезного
действия, в ходе которой повторяется известная учащимся формула
КПД=Апол /Азатр
3. Закрепление. Решение задач.
Задача 1. (7кл.) На коротком плече рычага подвешен груз массой 100 кг. Для его подъема к
длинному плечу приложили силу 250 Н. Груз подняли на высоту 0,08 м, при этом точка
приложения движущей силы опустилась на высоту 0,4 м. Найти КПД рычага.
Ответ: КПД рычага 78,4 %.
Задача 2. (8 кл.) Какую работу совершает электродвигатель за 1 ч, если сила тока в цепи
электродвигателя 5А, напряжение на его клеммах 220 В? КПД двигателя 80%.
Ответ: 3168 к Дж.
Задача 3. (8 кл.) Двигатель насоса, развивая мощность N=25кВт, поднимает V=100 м3 нефти
на высоту h=6м за t=8мин. Найти КПД двигателя.
Ответ: КПД двигателя 39,2%.
4.Домашнее задание. Подобрать 1-2 задачи из учебника физики 8 класса, для решения которых
необходимы знания процентов.
5. Рефлексия (лист самоконтроля).
Примерная разработка занятия по теме “Задачи на проценты на уроках
химии”
Цель: сформировать умение работать с законом сохранения массы, ввести понятие
концентрации вещества, процентного раствора.
Ход занятия.
Проверка домашнего задания.
“При влажности 99% грибы весят 100 кг. Сколько будут весить эти грибы, если влажность
уменьшится на 1%?”
Объяснение нового материала.
Всегда выполняется “Закон сохранения объема или массы”: если два раствора (сплава)
соединяют в новый раствор (сплав), то объем (масса) нового раствора (сплава) равен сумме
объемов (масс) исходных растворов (сплавов).
При соединении растворов (сплавов) не учитываются химические взаимодействия их
отдельных компонентов.
Учителем вводятся понятия смеси, чистого вещества, примесей, концентрации смеси (сплава).
Решение задач.
Задача 1. В 100 г 20 %-ного раствора соли добавили 300 г ее 10 %-ного раствора. Определите
концентрацию полученного раствора.
Ответ: 12,5%.
Задача 2. Какое количество воды надо добавить к 100 г 70 %-ной уксусной эссенции, чтобы
получить 5 %-ный раствор уксуса?
Ответ: 1300 г. .
Мозговой штурм
Содержание
а
б
в
г
40 % от 60 составляет
2,4
35
24
нет
2 % числа составляет 120
240
Сколько % составляет 120 от 600
20% 72% 50% нет
600
нет
6000
Концентрация сахара в водном растворе 5 %. Известно , что в нём 30г 600г 120г 570г 500г
сахара. Найдите массу воды, добавленную к сахару
m(р-ра)=100г
20% 40% 5%
10%
m (BaCl2)=20г
m(р-ра)=200г
10% 5%
25% 20%
m (NaCL)=10г
m(сахара)=15г
200г 135г 150г 140г
m(воды)=120г
m(р-ра)-?
Ответы: В,Г,А,В А,Б,Б
Домашнее задание.
Рефлексия (лист самооценки).
Занятие 2 - задачи на переливание.
Занятие 3 – задачи на определение формул исходного химического вещества.
Занятия 4, 5 – задачи на сложные процентные вычисления.
Приложение.
Несколько общих рекомендаций.
Прежде всего вспомним, что 1% - это 0,01.
Полезно также запомнить: при решении задач на проценты число, с которым
сравнивают другое число, принимают за 100%.
Пример 1. сколько процентов составляет каждое из чисел 2 и 8 по отношению к
другому?
Решение. Найдем сначала, сколько процентов составляет число 2 от 8. Число, с которым
сравнивают, - это число 8. Значит, именно его примем за 100%, тогда число 2 примем за х%:
8 – 100%
2 –х%, отсюда х =2*100%/8=25%.
Итак, число 2 составляет 25% от числа 8.
Аналогично, чтобы найти, сколько процентов составляет число 8 от числа 2, примем число 2
(с которым сравнивают) за 100%, а число 8 – за у%:
2 – 100%
8 – у%, отсюда у=8*100%/2=400%
Следовательно, число 8 составляет 400% от числа 2.
Ответ: 25% и 400%.
Напомним основные соотношения и выражения, встречающиеся при решении задач на
проценты.
1. Предложение «Число а составляет р% от числа b» выражается равенством а=b/100*р.
2. Предложение «Число а увеличили на р%» представляется выражением а(1+0,01*р).
3. Предложение «Число а увеличили сначала на р%, а потом еще на q%» представляется
выражением а(1+0,01*р)(1+0,01* q).
4. Предложение «Число а уменьшили на р%» представляется выражением а(1-0,01*р).
5. Предложение «Число а увеличили на р%, а потом уменьшили q%» представляется
выражением а(1+0,01*р)(1-0,01* q).
6. При ответе на вопрос «На сколько процентов число а больше числа b?» требуется
найти значение выражения (а-b)/b*100%.
Пример 2. Число а составляет 40% от числа b, а число с составляет 120% от числа b.
Найти числа а, b, с, если известно, что а меньше с на 72.
Решение. Согласно пункту 1 и условию задачи
а=0,4b
с=1,2b
с-а=72, отсюда 1,2b – 0,4b=72, b=90, а=36, с=108.
Ответ. 36, 90 и 108.
Пример 3. На сколько процентов изменится произведение двух чисел, если первое из них
увеличить на 25%, а второе уменьшить на 60%?
Решение. Пусть а – первое число, b – второе число, аb – их произведение. Согласно
выражениям, указанным в пунктах 2 и 4, новое значение первого сомножителя равно
а(1+0,01*25)=1,25а, новое значение второго сомножителя равно b(1-0,01*60)=0,4b, а их
произведение 1,25а*0,4b=0,5ab. Понятно, что произведение уменьшилось в 2 раза, т.е на 50%
Ответ. Уменьшится на 50%.
Примечание. При сравнении произведений ab и 0,5ab можно также воспользоваться
выражением, приведенным в пункте 6: ((0,5ab-ab)/ ab)*100%=(ab-0,5ab)/ ab*100%=50%.
Пример 4. Количество учеников в VII классах школы на 35% больше, чем в VIII, а в
VIII– на 25% больше, чем в IX. Сколько учеников в каждой из этих параллелей, если всего в
VII – IX классах обучается 315 человек?
Решение. Т. к. в основе сравнения – количество учеников IX классов, примем это
количество за 100%.
Пусть в IX классах школы обучается х человек. Тогда, в соответствии с пунктами 2 и 3, в
VIII классах обучается 1,25х человек, а в VII – 1,35*1,25х человек. По условию задачи
составим уравнение х+1,25х+1,35*1,25х=315, из которого х=80.
Итак, в IX классах обучается 80 человек, в VIII классах 1,25*80=100 человек, в VII классах
обучается 315-(80+100)=135 человек.
Ответ. 135, 100, 80 человек.
Пример 5. Две бригады, работая вместе, изготовили за смену 144 детали. После того как
первая бригада повысила производительность труда на 15%, а вторая на 25%, вместе они
стали изготавливать за смену 172 детали. Определите, сколько деталей стала изготавливать
за смену каждая бригада после повышения производительности труда.
Решение. Пусть первая и вторая бригады за смену изготавливают х и у деталей
соответственно. По условию задачи х+у=144.
В результате повышения производительности труда первая бригада стала изготавливать за
смену 1,15х деталей, а вторая – 1,25у деталей (согласно пункту 2). По условию задачи
1,15х+1,25у=172.
Решив систему уравнений
х+у=144
1,15х+1,25у=172, получим х=80, у=64.
После повышения производительности труда первая бригада стала изготавливать 1,15*80=92
детали, а вторая бригада 1,25*64=80 деталей.
Ответ. 92 и 80 деталей.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Три коробки наполнены конфетами. Во второй коробке конфет на 10% больше,
чем в первой, и на 30% больше, чем в третьей. Сколько конфет в каждой коробке, если
известно, что в первой их на 160 штук больше, чем в третьей?
Ответ. 1040, 1144, 880 конфет.
Задача 2. Реконструкция железнодорожных путей позволила увеличить на 20% скорость
движения поездов на участке длиной 240 км. В результате время прохождения поездами
этого участка сократилось на 48 минут. За какое время поезда стали проходить этот участок?
Ответ. За 4 часа.
Задача 3. Фабрика за первую неделю выполнила 20% месячного плана, за вторую неделю
произвела 120% продукции, выпущенной за первую неделю, а за третью неделю 60%
продукции, выпущенной за первые две недели вместе. Определите месячный план выпуска
продукции, если известно, что для его выполнения за последнюю неделю месяца необходимо
изготовить 2960 единиц продукции.
Ответ. 10000 единиц продукции.
Задача 4. Урожайность на втором поле на 10% больше, чем на первом, а на третьем на
35% больше, чем на первом. Какова урожайность на втором поле, если средняя урожайность
на трех полях составляет 46 ц/га?
Ответ. 44 ц/га.
Задача 5. Вторая бригада выполняет заказ на 1 ч быстрее первой. Если бы
производительность труда первой бригады была на 25% меньше, а второй – на 40% больше,
вместе они выполняли бы заказ за 2 ч. За какое время выполняет заказ одна вторая бригада?
Ответ. За 4 ч.
Задача 6. В настоящее время в поселке 46656 жителей. Известно, что за последние годы
население в поселке ежегодно увеличивалось на 8%.сколько жителей было в поселке 2 года
назад?
Ответ. 40000 жителей.
Задача 7. За первую поездку автомобиль израсходовал 20% имевшегося в баке бензина, а
за вторую – 25% оставшегося бензина, после чего в его баке осталось на 11 л больше, чем
было израсходовано за обе поездки. Сколько литров бензина было в баке первоначально?
Ответ. 55 л.
Задача 8. При подготовке к экзамену ученик прочитал в первый день несколько десятков
страниц учебника. В дальнейшем он ежедневно увеличивал количество прочитанных
страниц на к%. При этом во второй день он прочитал на 20 страниц больше, чем в первый, а
за третий день, прочитав 125 страниц, закончил чтение учебника. Определите, сколько
страниц в учебнике.
Ответ. 305 страниц.
Задача 9. В трех бочках была вода, причем в первой бочке ее было столько же, сколько в
третьей. Из первой бочки перелили 30% воды во вторую бочку, а затем из второй перелили
40% воды в третью, в результате чего в третьей бочке воды стало на 32% больше, чем было
до переливания. Сколько воды отлили из первой бочки, если известно, что во второй бочке
первоначально было 60 л воды?
Ответ. 36 л.
Задачи, связанные с изменением цены.
Решение подавляющего большинства задач этого вида опирается на применение
следующих основных формул, в которых буквами S0 и S обозначены первоначальная и новая
(окончательная) цена некоторого товара соответственно.
1. После повышения цены товара на а% ее новое значение S= S0 (1+а*0,01), а после
снижения цены на а% S = S0 (1-а*0,01).
2. В результате повышения цены товара на а% и последующего понижения на b% ее
новое значение S = S0 (1+а*0,01)(1-b*0,01).
Аналогично, если цена сначала понизилась на а%, а затем повысилась на b%, то
S = S0 (1-а*0,01)(1+b*0,01).
3. Если цена товара повышалась п раз на а%, то ее окончательное значение
S= S0 (1+а*0,01) п , а если цена понижалась п раз на b%, то S= S0 (1-b*0,01) п
Как показывает практика, многим легче понять и запомнить это формулы, если
представить их в виде наглядных схем (рис.1).
с%
S0 (1+а*0,01)(1+с*0,01)
а%
S0 (1+а*0,01).
S0
d%
S0 (1+а*0,01)(1-d*0,01)
Рис. 1
Эта схема без труда прочитывается: исходная цена S0 сначала повысилась на а% (на это
указывает стрелка, направленная вправо вверх), а затем повысилась еще на с% (стрелка
вправо вверх) или понизилась на d% (стрелка вправо вниз). Концы стрелок указывают
результат преобразований исходной цены.
Пример 1. Первоначальная цена товара составляла S0 руб., а новая цена S рассчитывается
по формуле S = S0 (1+0,01*а). Определите, как изменилась цена товара и чему равен процент
этого изменения.
Решение. Выражение S0 (1+0,01*а) имеет стандартный вид (см. пункт 1). Знак «+» в
скобках указывает на повышение цены, а коэффициент а – на размер повышения (в
процентах).
Ответ. Повысилась на а%.
Пример 2. Новая цена S товара рассчитывается по формуле S = S0 (1-12*0,01), где S0 – его
первоначальная цена. Повысилась или понизилась цена на товар и на сколько %?
Решение. В выражении S0 (1-12*0,01) знак «-» в скобках говорит о том, что цена товара
понизилась, а множитель при 0,01 (число 12) показывает, на сколько %.
Ответ. Понизилась на 12%.
В условии задачи выражение, стоящее в правой части формулы, может быть записано иначе.
По невнимательности легко упустить это из виду, что может привести к ошибке. Чтобы
избежать ее, необходимо предварительно преобразовать данное выражение – привести его к
стандартному виду.
Пример 3. Первоначальная цена товара равна S0, а новая цена S задается формулой
S = S0 +0,2*S0. Определите характер изменения цены и процент этого изменения.
Решение. Приведем выражение, стоящее в правой части данной формулы, к
стандартному виду: S0 +0,2*S0 = S0 (1+0,2) = S0 (1+20*0,01). Теперь легко ответить на оба
вопроса.
Ответ. Повысилась на 20%.
Пример 4. Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%.
Изменилась ли цена товара и если да, то на сколько процентов?
Самые нетерпеливые ответят: «Первоначальная цена не изменилась». Думающие ученики
рассуждают приблизительно так: «Первоначальная цена понизилась на 5%, в результате чего
новая сумма оказалась меньше исходной. Затем полученная сумма повысилась на 5%. Но
теперь на 5% приходится сумма меньше той, на которую исходная цена понизилась. Значит,
в результате указанных преобразований первоначальная цена понизилась». Остается
вычислить % понижения.
Решение. Составим схему преобразований.
S0
S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01)
5%
S0 (1-5*0,01)
5%
Имеем: S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01) = S0 (1-25*0,0001) = S0 (1-0,25*0,01).
Итак, первоначальная цена понизилась на 0,25%.
Ответ. Понизилась на 0,25%.
Подумайте, изменится ли результат, если цена товара сначала повысится на 5%, а затем
понизится на 5%. Результат не зависит от порядка проводимых преобразований: полученное
во втором случае выражение S0 (1+5*0,01) (1-5*0,01) тождественно равно рассмотренному
ранее выражению S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01). Таким образом, и в этом случае первоначальная
цена понизится на 0,25%.
Пример 5. Цена на некоторый товар сначала поднялась на 25%, а потом еще на 30%.
Другой товар поднялся в цене на 30%, и его новая цена стала равна новой цене первого
товара. Какова исходная цена первого товара, если второй до повышения цены стоил 1,25
тыс. руб.?
Решение. Пусть искомая цена первого товара х тыс. руб. Отобразим схематично
указанные в задаче преобразования цен.
30%
х(1+25*0,01)(1+30*0,01)
25%
х(1+25*0,01)
х
преобразование цены на первый товар
30%
1,25(1+30*0,01)
1,25
преобразование цены на второй товар
По условию задачи новые цены обоих товаров равны, следовательно, получаем уравнение
х(1+25*0,01)(1+30*0,01) = 1,25(1+30*0,01), откуда х=1.
Ответ. 1 тыс. руб.
Пример 6. Некоторый товар стоил 3150 руб. после двух последовательных понижений
цены он стал стоить 1512 руб. Сколько стоил товар после первого понижения цены, если
второе понижение было на 20% больше, чем первое?
Решение. Обозначим за х процент первого понижения цены, тогда процент второго
понижения – (х+20)%. Составим схему преображений цены товара.
3150
х%
3150(1-х*0,01)
(х+20)%
3150(1-х*0,01)(1-(х+20)*0,01)
Зная, что окончательная цена товара 1512 руб., составим уравнение
3150(1-х*0,01)(1-(х+20)*0,01)=1512.
Решив его, получим: х=160 или х=20.
Первый корень не подходит по смыслу задачи (иначе продавец раздавал бы товар,
доплачивая покупателям 60% его стоимости).
Ответ на вопрос задачи получим, найдя значение выражения 3150(1-х*0,01) при х=20:
3150(1-20*0,01)=3150*0,8=2520.
Ответ. 2520 руб.
Пример 7. После двух последовательных понижении цены товар стал стоить 2400 руб.
Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а
процент второго понижения был на 5% больше, чем процент первого?
Решение. Пусть искомая цена первого товара х руб., а процент первого понижения цены
у%. Тогда процент второго понижения составляет (у+5)%. Изобразим схему преобразований
цены товара.
По условию задачи после первого снижения цена товара составила 3200 руб. Составим
уравнение х(1-у*0,01)=3200.
х%
у%
х(1-у*0,01)
(у+5)%
х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01)
После двух снижений цена товара стала равна 2400 руб. Значит, второе уравнение имеет вид
х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01)=2400.
В результате получаем систему уравнений
х(1-у*0,01)=3200
х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01)=2400
Ее решение – пара чисел х=4000, у=20
Ответ. 4000 руб.
Примечание. Обратите внимание на такой момент: коль скоро в задаче спрашивается о
первоначальной цене, обозначенной за х, то, решая систему, достаточно найти лишь
значение переменной х. Значит, целесообразно выразить переменную у через х и решить
только одно уравнение – относительно х.
Кроме того, полезно решить эту задачу, введя только одну переменную. Рассмотрим и это
решение, поскольку оно поясняет важный момент: как выражается процент изменения
(повышения или понижения) цены через исходную и конечную цены товара.
Итак, пусть х руб. – первоначальная цена товара, а 3200 руб. – цена после первого
понижения. Так как мы сравниваем 3200 руб. с х руб., исходную цену следует принять за
100%. Тогда новая цена составит (3200*100/х)% от нее, а процент первого понижения цены
будет равен (100-3200*100/х)%.
Рассуждая аналогично, можно выразить процент второго понижения цены. Теперь за 100%
примем цену 3200 руб. Окончательная цена 2400 руб. составит (2400*100/3200)%=75% от
нее. Следовательно, второй раз цена понизилась на (100-75)%=25%.
По условию задачи второе понижение цены было на 5% больше, чем первое, значит, сначала
цену понизили на 20%. Получаем уравнение 100-3200*100/х=20, откуда х=4000.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Цену на некоторый товар понизили дважды: сначала на 15%, а потом на 20%.
Чему равен общий процент понижения цены?
Ответ. 32%
Задача 2. Первый товар подорожал на 40%, а потом еще на 25%. Второй товар
подорожал на 30%, после чего оказалось, что новая цена первого товара на 40% выше цены
второго товара. На сколько % первоначальная цена первого товара была больше
первоначальной цены второго товара?
Ответ. На 4%.
Задача 3. Товар А на 20% дешевле товара В. Товар В поднялся в цене сначала на 25%, а
потом еще на 20%. На сколько % необходимо поднять цену товара А, чтобы она стала равна
новой цене товара В?
Ответ. На 87,5%.
Задача 4. Цена первого товара поднялась сначала на 35%, а потом еще на 20% и стала
равна 324 руб. Цена второго товара поднялась на 25% и стала равна первоначальной цене
первого товара. Какова первоначальная цена второго товара?
Ответ. 160 руб.
Задача 5. Товар стоил 5000 руб. Сначала его цену подняли на несколько %, а затем
понизили, причем процент понижения цены оказался на 10% меньше, чем процент
повышения. В итоге товар стал стоить 5200 руб. Какова была цена товара после повышения
цены?
Ответ. 6500 руб.
Задача 6. В течение некоторого периода цена на товар повышалась дважды на 20%. На
сколько % теперь цену надо понизить, чтобы она стала прежней?
Ответ. 56,25%
Задача 7. Цена на некоторый товар повысилась в июне на 10%, в июле – на 20%, а в
августе – на 25%. На сколько процентов по сравнению с первоначальной ценой повысилась
цена товара за лето?
Ответ. На 65%.
Задачи о вкладах и займах.
Дадим несколько пояснений, связанных с деятельностью банков. Клиент помещает
деньги в банк под определенный процент с целью сохранить их и преумножить. Вложенные
деньги банк пускает «в оборот», таким образом, средства вкладчика «обрастают»
дополнительными деньгами, часть которых идет на выплату клиенту процентов по вкладу.
Если за время действия договора банк не изменяет процентную ставку по вкладу, то при
решении приведенных ниже задач можно пользоваться следующими соотношениями.
1. Приняв от клиента сумму S0 под а% годовых, банк должен выплатить клиенту:
Через 1 год сумму S = S0 (1+а*0,01),
Через 2 года сумму S = S0 (1+а*0,01)2 и т. д.,
Через п лет сумму S = S0 (1+а*0,01)п
2. Получив в банке кредит на сумму S0 под а% годовых, клиент должен выплатить банку:
Через 1 год сумму S = S0 (1+а*0,01),
Через 2 года сумму S = S0 (1+а*0,01)2 и т. д.,
Через п лет сумму S = S0 (1+а*0,01)п
Если же в задаче сказано, что в процессе работы с клиентом банк поменял процентную
ставку, следует применить формулы, данные в предыдущих разделах.
Поиск решения задачи о вкладе или займе облегчает применение простой, но очень
полезной таблицы. Она помогает яснее представить рассматриваемую в задаче ситуацию,
четко выделить основные характеристики процесса.
Сумма на нач. года
Сумма на конец года Изменения суммы
1-ый год
…
Пример 1. Клиент положил деньги в банк под определенный процент годовых и через
год снял ¼ часть получившейся суммы. На следующий год банк увеличил процент годовых в
2 раза. К концу второго года сумма вклада превысила первоначальную сумму на 164%. Чему
равен новый процент годовых, установленный банком?
Решение. Пусть S0 – положенная в банк сумма, а х% - первоначальный % годовых.
Заполним таблицу.
Сумма на начало года
Сумма на конец года
Изменения суммы
1-й год
S0
S0 (1+х*0,01)
Снято со счета
¼ S0 (1+х*0,01)
2-й год
¾ S0 (1+х*0,01)
¾S0 (1+х*0,01)(1+2х*0,01)
По условию задачи сумма вклада на конец второго года превышает первоначальную сумму
на 164%.
Поскольку при сравнении величин за 100% принимают ту величину, с которой сравнивают,
за 100% следует принять сумму S0, тогда окончательная сумма составит 264%. Таким
образом, ¾S0 (1+х*0,01)(1+2х*0,01)=2,64 S0.
Разделив обе части уравнения на S0 (по смыслу задачи S0 больше 0) и выполнив
необходимые преобразования, получим равносильное уравнение
х2 + 150х – 12600 = 0
Оно имеет корни х=60, х = - 210. второй корень не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, новый процент годовых по вкладу составил 2*60%=120%
Ответ. 120%.
Примечание. Анализ решения этой задачи показывает, что результат не зависит от
вложенной суммы. А это означает, что можно было производить все вычисления, исходя из
предположения, что вкладчик положил на счет в банке 1 денежную единицу. Отметим, что в
задаче не были указаны единицы, в которых измерялась денежная масса.
Теперь сравните следующие три задачи и укажите, в какой из них исходную сумму
можно принять за 1.
Задача 1. Курс рубля по отношению к доллару каждый квартал падает на 4%. У
вкладчика есть 2 варианта размещения денег в банке. Положить их на рублевый счет с
начислением 120% в конце года либо обменять рубли на доллары и положить деньги на
валютный счет с ежемесячным начислением 6% от текущей суммы.
На сколько процентов сумма на рублевом счете будет через год больше или меньше суммы
на валютном счете? (Курсы покупки и продажи долларов считать неизменными).
Задача 2. Вкладчик положил в сбербанк под некоторый процент 12 тыс. руб. Через год
он снял со счета половину процентной прибавки, а основной вклад и оставшуюся прибавку
оставил в банке. Еще через год на его счете оказалось 36 тыс. руб. Чему равен процент
годовых по этому вкладу?
Задача 3. Фермер взял в банке кредит под некоторый процент годовых. Через год за счет
погашения кредита он вернул банку ¾ всей суммы, которую был должен к этому времени, а
еще через год в счет полного погашения кредита внес сумму, на 21% превышавшую
величину полученного кредита. Чему равен % годовых, по выданному кредиту?
Анализ текстов задач должен привести вас к такому выводу: исходную сумму можно
принять за 1 в задачах 1 и 2.
Решение 1. Пусть вкладчик кладет в банк S0 руб. Тогда при обменном курсе к имеем.
Первый вариант размещения денег.
Сумма на начало года (руб.) Сумма на конец года (руб.)
Сумма на конец года ($)
1-й год
S0
2,25*S0
2,25*S0 к(1-4*0,01)4=
=2,2 S0к*0,964
Второй вариант размещения денег.
Сумма на начало года ($)
Сумма на конец года ($)
1-й год
S0 к
S0 к(1+6*0,01)12 = S0 к*1,0612
По условию задачи необходимо сравнить две суммы: 2,2 S0 к*0,964 и S0 к*1,06 12. примем
вторую сумму за 100%, а первую - за х%.
2,2 S0 к*0,964 - х%
S0 к*1,06 12 - 100%, откуда х = 2,2*0,964 *100/1,06 12 %
В задаче требуется найти значение разности (х-100)%.
Получим: (2,2*0,964*100/1,0612 %)-100 = -7%
Следовательно, сумма на рублевом счете будет меньше чем, на валютном, примерно на 7%.
Ответ. На 7% меньше.
Решение 2. Обозначим процент годовых в банке за х%. Оформим в виде таблицы.
Сумма на начало года
Сумма на конец года
Изменения суммы
1-й год
12
12(1+х*0,01)
Снято со счета 0,5х*12х*0,01
2-й год
12(1+0,5*х*0,01)
12(1+х*0,01)(1+0,5*х*0,01)
По условию задачи в конце второго года на счете вкладчика оказалось 36 тыс. руб. Таким
образом, получаем уравнение 12(1+х*0,01)(1+0,5*х*0,01) = 36, откуда х=-400, х=100. Первый
корень не подходит по смыслу задачи.
Ответ. 100%.
Решение 3. Пусть S0 - сумма выданного кредита, а х% - процент годовых.
Долг на начало года
Долг на конец года
Изменения суммы
1-й год S0
S0(1+х*0,01)
Вернул часть долга 0,75S0*(1+х*0,01)
2
2-й год 0,25S0(1+х*0,01)
0,25S0(1+х*0,01)
Погасил долг полностью
По условию задачи сумма, внесенная в счет полного погашения кредита, превышает его
размер на 21%. Примем сумму S0 за 100%, тогда сумма долга на конец второго года
составляет 121%. Получим уравнение 121*S0 = 100*0,25S0(1+х*0,01) 2
Оно имеет корни х=120, х=-300. Корень х=-300 не подходит, так как по смыслу задачи х
больше 0.
Ответ. 120%.
Пример 2. За время хранения в банке проценты по вкладу начислялись ежемесячно:
сначала в размере 5%, затем 11 1/9%, потом 7 1/7%, наконец, 12% в месяц. Известно, что
каждая процентная ставка действовала целое число месяцев, и по стечению срока хранения
первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок хранения вклада.
Решение. Анализ текста задачи позволяет принять исходную сумму за 1 денежную
единицу. Обозначив сроки хранения вклада под действием указанных процентных ставок за
п1, п2, п3, п4 соответственно, получим уравнение
(1+0.01*5)n1 (1+0,01*100/9)п2(1+0,01*50/7) п3 (1+0,01*12)п4 = 2,8, где переменные п1, п2, п3, п4
могут принимать только натуральные значения.
Подсчитав значение выражений в скобках, и записав каждое из них, а также стоящее в
правой части число 2,8 в виде обыкновенной дроби, получим уравнение
(21/10)n1 (10/9)n2 (15/14)n3 (28/25)n4= 14/5.
Анализируя натуральные числа в записи дробей, можно заметить, что набор их простых
делителей (2, 3, 5, 7) равен числу переменных. Возникает идея – разложить все
получившиеся натуральные числа на простые множители и перемножить слева степени
каждого простого числа-делителя. А затем приравнять показатели соответствующих
степеней, стоящих в обеих частях уравнения. Выполним эти преобразования.
(3*7/225)n1(2*5/32)n2(3*5/2*7)n3(22*7/52)n4= 2*7/5,
3n1-2n2+n3 = 30
n1-2n2+n3 = 0
n1-n3+n4
1
7
=7
n1-n3+n4 = 1
2-2n1+n2-n3+2n4 = 21
-2n1+n2-n3+2n4 = 1
5-n1+n2+n3-2n4 = 5-1,
-n1+ n2 +n3-2n4 = -1.
Сложим почленно второе и четвертое уравнения последней системы: n2–n4=0, откуда n2= n4.
Поставим во второе уравнение n2 вместо n4, сложим первые два уравнения и выразим n1:
n1= (1+ n2)/2. Теперь подставим найденное выражение n1 через n2 в первое выражение и
выразим n3: n3=(3n2-1)/2.Осталось подставить найденные выражения переменных п1, п2, п3, п4
в третье уравнение. В результате получим систему
n3 = (3n2-1)/2
n1 = (1+n2)/2
-2*(1+n2)/2+n2-(3n2-1)/2 +2n2 = 1
n4 = n2,
откуда
n2 = n4 = 3
n1 = 2
n3 = 4.
Следовательно срок хранения вклада п1+ п2+ п3+ п4=2+3+4+3=12 (месяцев).
Ответ. 12 месяцев.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. В банке взят кредит в размере 500 тыс. руб. под определенный процент
годовых. Через год в счет погашения кредита было внесено 500 тыс. руб., а еще через год для
его полного погашения потребовалось выплатить 120 тыс. руб. Чему равен процент годовых
по выданному кредиту?
Ответ. 20%.
Задача 2. Банк выделил трем организациям некоторую сумму на кредиты сроком 1 год.
Организация А получила кредит в размере 40% от этой суммы под 30% годовых,
организация В получила 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Остальные деньги
достались организации С. Через год, когда все кредиты были погашены, оказалось, что банк
получил прибыль в размере 21%. Под какой % был выдан кредит организации С?
Ответ. Под 15%.
Задача 3. Вкладчик положил в банк несколько тыс. руб. Через год банк начислил на эту
сумму проценты в размере 800 руб. Добавив 5000 руб., вкладчик оставил деньги в банке и
через год получил 17064 руб. Найдите первоначальную сумму вклада, если известно, что
процентная сумма по нему не изменилась.
Ответ. 10000 руб.
Задача 4. Фермер взял в банке кредит под 14% годовых. Через год он вынужден был
дополнительно взять в кредит половину суммы первоначального кредита, но уже под 17%
годовых. Еще через год в счет погашения обоих кредитов фермер вернул в банк 479700 руб.
Чему равна сумма первоначального кредита?
Ответ. 250000 руб.
Задача 5. Предприниматель вложил 3/7 своего капитала в покупку товара А, 70%
оставшегося капитала – в покупку товара В, а остальные средства – в покупку товара С. При
реализации товара А предприниматель понес убыток в размере 20%, а при реализации товара
В получил прибыль в размере 10%. Какой % прибыли получил предприниматель от
реализации товара С, если прибыль от реализации всех товаров составила 1%?
Ответ. 32,5%
Задача 6. фирма вложила 50% своего капитала в покупку товара А, 60% оставшегося
капитала – в покупку товара В, а остальные средства внесла в банк под 5% годовых. Через
год, реализовав товары А и В и сняв деньги со счета в банке, фирма получила 22% прибыли.
Какой процент прибыли она получила от продажи товара А, если прибыль от продажи товара
В составила 20%?
Ответ. 30%.
Задача 7. Вкладчик поместил в банк некоторую сумму под 3% годовых. Через сколько
лет сумма на его счете превзойдет первоначальную более чем в два раза?
Ответ. Через 24 года.
Но в математике есть совершенно особый класс задач – задачи на смеси, проценты и
концентрации, умение их решать – чрезвычайно важно как для процесса обучения (сдачи
экзаменов), так и для общего развития.
Задачи на смеси и сплавы. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация»,
«процентное содержание», «проба», «влажность» и т.д. и основана на следующих
допущениях:
1)
Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.
2)
Не делаются различия между литром как единицей ёмкости и литром как
единицей массы.
3)
Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С (которые
m1
m 2 m3
;
имеют массы соответственно m 1 , m 2 , m 3 , то величина m (соответственно m m )
называется концентрацией вещества А (соответственно В, С) в смеси. Ясно, что
m1 m2 m3


1
m m
m
, т.е. от концентрации двух веществ зависит концентрация третьего.
4)
При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь
одного вещества из тех которые сплавляются (смешиваются и т.д.).
5)
Проба – число частей драгоценного металла на 1000 частей сплава. Проба
сплава есть отношение массы благородного металл к общей массе сплава.
Рассмотрим задачи, в которых происходит преобразование исходного вещества. Среди всех
задач по сюжету представляют наибольший интерес те, где идёт процесс сушки или
выпаривания.
Задача 1. Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 %
воды, чтобы получить массу с содержанием 75 % воды?
Решение. Итак, в 500 кг массы содержится 15 % целлюлозы. Выпаривается вода. В новом
веществе остаётся 75 % воды, а исходное количество целлюлозы составляет 25 %, поскольку
массу нового вещества мы примем за 100%. Исходя из такого анализа происходящих
процессов, мы можем решить задачу по действиям:
1)
100 – 85 = 15 (%) составляет целлюлоза в исходной массе;
2)
500 · 0,15 = 75 (кг) масса этой целлюлозы;
3)
100 – 75 = 25 (%) составляет целлюлоза в новой массе;
75
25 · 100 = 300 (кг) составляет полученная масса;
4)
5)
500 – 300 = 200 (кг) воды следует выпарить.
0,5  0,15
.
0
,
25
II способ. Числовое выражение 0,5 Ответ. 200 кг.
Задача 2. Свежие грибы содержат 90 % воды по массе, а сухие грибы 12 %. Сколько
получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение: Проводим анализ. Итак, грибная масса в свежих грибах составляет 10 %, а
сушённых эта же масса – 88 %. Нам нужно определить конечную массу. Для решения задачи,
22  0,1
как и в предыдущем случае мы можем составить числовое выражение: 0,88 .
Результаты же анализа мы можем представить схемой:
Свежие грибы
90% воды
10% гр.м.
22 кг
Сухие грибы
88% гр.м.
12% воды
х кг.
Мы рассмотрели стандартный пример решения задачи на так называемое «сухое вещество»,
когда по условию задачи оно сохраняет неизменную массу. Общая схема решения этой
группы задач такова:
S - 100 %
S1 - g %
S1 - p %
x - 100 %
где S 1 - масса сухого вещества, а р и g – его процентное содержание в различных продуктах.
220
22 кг – 100 %
х = 100 = 2,2 (кг) грибной массы.
х кг - 10 %
220
2,2 кг - 88 %
х = 88 = 2,5 (кг).
х кг - 100 %
Ответ. 2,5 кг.
Рассмотрим задачи на составление растворов (изменение концентрации).
Задача 3. Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г
15 %-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Эта ситуация похожа на предыдущую ситуацию, отличие состоит лишь в агрегатном
состоянии вещества. Итак, мы имеем две массы жидкости, в каждой из которых содержится
определённое количество соляной кислоты. Краткая запись условия и результаты анализа
могут быть представлены следующей схемой.
600 г
15 %
85 %
хг
30 %
уг
70 %
10 %
90 %
 x  y  600,

0,3x  0,1y  0,15  600.
Из схемы составим систему уравнений:
II. Эту же задачу можно решить, составив уравнение 0,3х + 0,1(600-х) = 0,15 · 600.
III. Арифметическое решение. Пусть 300 г. – I раствора и 300 г – II раствора, тогда
1)
300 · 0,3 = 90 (г) соляной кислоты в первом растворе;
2)
300 · 0,1 = 30 (г) соляной кислоты во втором растворе;
3)
600 · 0,15 = 90 (г) соляной кислоты по условию;
4)
(90 + 30) – 90 = 30 (г) соляной кислоты – избыток по предположению;
5)
10 · 0,3 = 3 (г) соляной кислоты в 10 г 30 % раствора;
6)
10 · 0,1 = 1 (г) соляной кислоты в 10 г 10 % раствора;
7)
3 – 1 = 2 (г) соляной кислоты теряется при замене 10 г I раствора на 10 г II
раствора;
8)
30 : 2 = 15 замен необходимо произвести, чтобы избавиться от 30 г кислоты;
9)
15 · 30 = 450 (г) 30 % раствора.
10)
90 · 15 = 1350 (г) 10 % раствора.
Ответ. 450 г. 30 % раствора и 1350 г. 10 % раствора.
Рассмотрим ситуацию со сплавами драгоценных металлов, где используется понятие пробы.
Задача 4. Сплавили 30 г серебра некоторой пробы с медью. Получили сплав 63 пробы.
Определите пробу серебра и количество меди, зная что если бы взяли 20 г серебра, то
получили бы сплав 56 пробы.
Структура текста: У - Т - У. Поэтому можно предположить, что задача решается
составлением системы уравнений. Условия задачи и результаты анализа представим
схемами. Заметим, что схем будет две (условие задачи состоит из двух частей).
Первый сплав
Второй сплав
63 части серебра
примеси
56частей серебра примеси
0,063(30+у)
0,056(20+у)
30 г серебра
0,03х г
медь
уг
20 г серебра
0,02х г прим.
медь
уг
Из условия мы видим, что изменилась лишь масса серебра, проба же его и масса меди
остались прежними. Из схемы следует, что мы можем обозначить пробу серебра за х, а массу
меди за у. Сравнив массу серебра в каждом случае, мы составим систему уравнений:
0,03x  0,063(30  y ),
30 x  30  63  63 y, 60 x  60  63  126 y,



0,02 x  0,056(20  y ).
20 x  20  56  56 y. 60 x  60  56  168 y.
42 у = 60 · 7 ; у = 10 (г) меди. х = 84 (проба).
Ответ. 84 проба серебра и 10 г. меди.
Если в предыдущих задачах мы рассматривали процесс соединения веществ, то теперь
рассмотрим обратный ему процесс разделения веществ на фракции.
Задача 5. Из молока, жирность которого составляет 5 %, изготовляют творог жирностью
15,5 %. При этом остаётся сыворотка 0,5 %. Сколько творога получится из 1 т молока?
Краткое условие представим схемой:
Молоко 1 т
Жир.5 % примеси
Творог
Сыворотка
50 кг
Жир
примеси
Жир
примеси
15,5%
0,5%
Анализируя эту схему мы можем получить новую, обозначая искомую величину за х.
Примеси
Примеси
Творог х кг
Сыворотка (1000-х) кг
Жир 0,155х кг
Молоко 1000 кг
Жир 0,005(1000-х) кг
Жир 50 кг
Примеси
Из неё видно, что имеющийся в молоке жир переходит в творог и сыворотку. Используя это
наблюдение, составим уравнение:
0,155х + 0,015(1000 – х) = 50 ; х = 300.
Ответ. 300 кг.
Рассмотрим задачи, использующие физические понятия и закономерности.
3
3
Задача 6. Из двух жидкостей, плотность которых 1,2 г/см и 1,6 г/см , составили смесь
массой 60 г. Сколько граммов каждой жидкости взято и какова плотность смеси, если её
3
8см имеют массу такую же, как масса всей менее тяжёлой из смешанных жидкостей.
В данной задаче используются понятия плотности, массы, объёма, которые связаны так же,
как и путь, скорость, время, следовательно, анализ и поиск решения данной задачи сходен с
анализом задачи на движение.
Составим на основе анализа условия схему:
60  x
x
V2 
V1 
1,6
1,2

V=8
60
x 60  x

1,2
1,6
60 г = m
m 2 =60 – x
x = m1
1  1,2
V1 
x
1,2
 2  1,6
V2 
60  x
1,6
Составленная схема позволяет ввести переменную и выразить все компоненты на схеме. По
структуре она совпадает со схемами для решения задач на движение и на совместную
работу. Отметим, что менее тяжёлая – первая жидкость.
3
Зная, что 8 см жидкости имеют ту же массу, что и вся менее тяжёлая жидкость, составим
уравнение ирешим:
60  8
x
x 60  x

1,2
1,6
.
В заключение разговора о решении задач на сплавы, смеси, концентрации, отметим, что при
внешнем различии сюжета задачи на сплавы, смеси, концентрации, на соединение либо на
разделение различных веществ, решаются по общей схеме.
Заключение.
С математической точки зрения тема “Проценты” в школьной математике является
простейшей, если ограничить ее рамками школьных учебников. Научить процентам - это в
первую очередь научить быстро и без колебаний переводить ту или иную словесную
формулировку с участием процентов в соответствующую математическую формулировку
шаблонных вопросов и решение на их основании самих задач. В таком умении современный
человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно достаточно одних банковских операций. Совершенно справедливо то, что понятие процента,
как математически тривиальное, вводится уже в самом начале средней ступени обучения, но
неприемлем тот факт, что жизненно важные понятия и умения операций с процентами не
закрепляются в старших классах.. Следствием этого может стать неуспешная социальная
адаптация. из-за нарушение деловых коммуникаций.
Таким образом, дополнительная работа по развитию и совершенствованию навыка решения
задач на проценты имеет значимость не только для будущих абитуриентов, которые
возможно встретятся с такими заданиями на ЕГЭ, но и для всех учащихся, так как
современная жизнь неминуемо заставит в своей повседневности решать задачи на проценты.
Литература.
Бродский И.Л., Видус А.М., Коротаев А.Б. Сборник текстовых задач по математике
для профильных классов 7-11кл.
Соколова А.В., Пикан В.В., Оганесян В.А. Из опыта преподавания математики в
средней школе: пособие для учителя. М. Просвещение 1979г.
Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М. Просвещение 1994г.
Фридман Л.М. Изучаем математику. М.Просвещение 1995г.
Бродский И.Л., Видус А.М., Коротаев А.Б. Сборник текстовых задач по математике
для профильных классов 7-11кл.
Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. Система тренировочных задач и
упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991. – 208с.
Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методическое пособие / Н.А.
Малахова, В.В.Орлов, В.П.Радченко, В.Е.Ярмолюк; под ред. к.п.н., доц. Радченко, к.п.н.
В.В.Орлова. С. Петербург: «Образование», 1992;
Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/ Т.А.
Иванова, Е.Н.Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И.Кузнецова: Под ред. проф. Т.А.Ивановой.
Н.Новгород: НГПУ,2003;
Шарыгин И.Ф. Математический винегрет. – М.: Издание агентства “Орион”, 1991;
Шумилина Н.Д. Задачи для “шустриков” и “мямликов” //3-я научно-методическая
телеконференция “Информационные технологии в общеобразовательной школе” (25.11.2002
– 31.03.2003 г.) – Новосибирск, НООС;
Шумилина
Н.Д.
Переправа,
переправа
(Задачи
разного
уровня
сложности)//Информатика в школе. 2003. №6;
http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=399-сайт
«МАТЕМАТИКА.ШКОЛА.БУДУЩЕЕ»;
http://nsc.1september.ru/articlef.php?ID=200200904 - статья «Как научится решать
задачи», На этот вопрос отвечает Мария Бура, методист Сибирского института
развивающего обучения "Пеленг" г. Томска»;
http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-145.pdf
- Сложность и трудность
структуры решения текстовой задачи. Н.Г. Рыженко, Омский государственный
педагогический университет. В статье рассмотрено применение метода графового
моделирования для оценки сложности структур решений задач;
http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-144.pdf - статья «Структурная полнота
систем задач в курсе математики 6 класса» Н.Г. Рыженко, Е.Г.Соломатова, Омский
государственный педагогический университет. В статье рассмотрено применение метода
графового моделирования для оценки сложности структур решений задач, приведены
структуры решений сюжетных задач, показаны возможности применения метода графового
моделирования для систематизации задач по нарастающей сложности структур их решений.
Журнал»Математика для школьников»,№2,2006г
Журнал»Математика в школе»№8,2007г. И.Ф.Шарыгин.Факультативный курс по
математике.Решение задач,1989г; Звонкин А.К., Кулаков А.Г., Ландо С.К., Семенов А.Л.,
Шень А.Х. Алгоритмика – М.: Дрофа, 1997;
Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/ Т.А.
Иванова, Е.Н.Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И.Кузнецова: Под ред. проф. Т.А.Ивановой.
Н.Новгород: НГПУ,2003;
Шарова О.П. О некоторых аспектах методики обучения учащихся решению
сюжетных задач арифметическим методом/ Вопросы методики обучения математике в
средней школе: Учебное пособие/отв. ред. Т.Н. Карпова, Т.М.Корикова.-Ярославль:
Издательство
ЯГПУ
им.
К.Д.Ушинского,
2002
(http://www.yspu.yar.ru/vestnik/uchenue_praktikam/27_3/