Четность

четность
Два натуральных числа назовем родственными, если в десятичной записи обоих чисел
использованы различные цифры и каждая цифра первого числа является делителем
второго, а каждая цифра второго числа является делителем первого. Докажите, что
родственными могут быть только четные числа.
Доказательство.
Если одно из чисел нечетное, то в записи второго числа нет четных цифр, следовательно,
второе число – нечетное и в записи первого числа также нет четных цифр. Заметим, что
цифры 5 в записи обоих чисел быть не может, то есть оба числа записаны только цифрами
1, 3, 7 и 9. Ни одна из этих цифр не делится на три других, значит, оба числа должны быть
двузначными. Несложным перебором убеждаемся, что это невозможно.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Каждый из трех человек выписал 100 различных слов. После этого слова, встречающиеся
не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного осталось 45 слов, у другого – 68, а у
третьего – 54. Докажите, что по крайней мере одно слово выписали трое.(Московская
олимпиада)
Доказательство.
Допустим, каждое вычеркнутое слово написали ровно два человека. Так как они оба его
вычеркнули, то число вычеркнутых записей четно. Но первоначальное число записей,
равное 300, четно. Поэтому должно быть четным и число оставшихся записей. Однако по
условию осталось нечетное число записей: 45+68+54=167. Противоречие.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В начале времен в Ачухонии жили 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Рыцари
убивают драконов, драконы едят принцесс, а принцессы изводят до смерти рыцарей.
Древнее заклятие запрещает убивать того, кто сам погубил нечетное число других
жителей. Сейчас в Ачухонии остался всего один житель. Кто это?(?)
Ответ. Дракон.
Решение.
Предположим, что последним остался рыцарь. Это означает, что рыцари убили всех
драконов, а драконы съели всех принцесс. Поскольку принцесс нечетное количество, один
из драконов должен был съесть нечетное число принцесс и не мог быть убит.
Противоречие. Аналогично, если последней осталась принцесса, один из рыцарей должен
был убить нечетное число драконов и не мог быть изведен до смерти. Дракон может
остаться, например, так: один из рыцарей убивает всех драконов, кроме одного, затем
одна из принцесс изводит всех рыцарей, после чего оставшийся дракон поедает всех
принцесс.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Сколько решений в целых числах имеет уравнение x 3  x  15  2 x 4 ?
(Юрасов Дима)
Ответ. 0 решений.
Решение.
Если х - четное число, то х 3 - четное, х  15 - нечетное.
4
Сумма четного и нечетногочисел – нечетна. Однако 2х - число четное. Получили
противоречие. Аналогично в случае нечетного х .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Существуют ли такие натуральные числа a и b , для которых выполняется равенство
2a  14b  1  2004 ?(Городская олимпиада)
Ответ. Нет.
Решение.
Какие бы ни были числа a и b , числа 2a  1 и 4b  1 нечетные, а произведение нечетных
чисел – также нечетное.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
четность
Числа a и b - целые. Известно, что a  b  2004 . Может ли разность 7a  3b быть равна
числу 2003? (Московские регаты)
Ответ. Нет.
Решение 1.
Т.к. сумма чисел a и b является четным числом, то эти числа имеют одинаковую
четность. Значит, и числа 7a и 3b тоже имеют одинаковую четность, следовательно, их
разность должна быть четной, а число 2003 – нечетное.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Четверых людей разбили на пары. Оказалась, что одна пара в сумме старше второй пары
на 15 лет. Тогда этих же людей разбили на пары иначе. Может ли получиться так, что
одна полученная пара будет младше другой пары ровно на 8 лет?
(КостромаТЮМ)
Ответ. Нет.
Решение.
Рассмотрим первое разбиение на пары. Т.к. разность в возрасте пар нечетна, то суммарные
возрасты пар имеют разную четность. Т.е. общий возраст пар (всех четырех людей)
нечетный.
Рассмотрим второе разбиение на пары. Если разность в возрасте пар четна, то суммарные
возрасты пар имеют одинаковую четность. Значит, общий возраст пар (всех четырех
людей) четный.
Но общий возраст не может быть одновременно четным и нечетным. Противоречие.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Три целых числа x , y и z удовлетворяют уравнению x 2  y 2  z 2 . Доказать, что одно из
них четное.
(Московские олимпиады)
Доказательство.
Пусть x , y , z - нечетные целые числа, удовлетворяющие уравнению:
x2  y2  z 2 .
Пусть x  2a  1, y  2b  1 , z  2c  1 .
Тогда
2a  12  2b  12  2c  12 ,
4a 2  4a  1  4b 2  4b  1  4c 2  4c  1,

 

2 2a 2  2b 2  2a  2b  1  2 2c 2  2c  1 .
Слева четное число, а справа – нечетное. Противоречие. Значит, одно из чисел x , y , z
должно быть четным.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На некотором острове расположено 15 государств. Для каждого из них хотя бы одно
соседнее государство – дружественное. Докажите, что найдется государство, у которого
четное количество дружественных соседей. (Два государства называются соседними, если
у них имеется целый кусок общей границы).( «Математика: Интеллектуальные марафоны,
турниры, бои 5-11 классы: Книга для учителя. Авторский коллектив: Блинков А.Д.,
Семенов А.В. и др.»
Доказательство.
Предположим, что у каждого государства нечетное количество дружественных соседей,
тогда, сложив 15 нечетных чисел, получим нечетное число. С другой стороны,
государство А дружественно государству В, то и В дружественно А. Следовательно,
найденная нами сумма должна быть четной. Из полученного противоречия следует, что
наше предположение неверно и хотя бы у одного государства четное количество
дружественных соседей, что и требовалось доказать.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
четность
Докажите, что из любых трех натуральных чисел можно найти два, сумма которых
делится на 2.( из книги Смыкаловой Е.В. «Дополнительные главы по математике для
учащихся 5 класса».
Доказательство.
Среди трех чисел обязательно найдутся два числа одинаковой четности, их сумма будет
четной, и, следовательно, будет делиться на 2.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Хулиган Вася вырвал из
разных мест книги 25 листов и сложил номера всех пятидесяти вырванных страниц. У
него получилось число 2006. Когда об этом узнал Коля, он заявил, что при подсчете Вася
ошибся. Ошибся ли Вася на самом деле?
(Московские олимпиады)
Ответ. Вася ошибся.
Решение.
На каждом из вырванных листов – две страницы. Номер одной из них – четное число, а
другой – нечетное. Поэтому в сумме номеров всех вырванных страниц 25 четных и 25
нечетных слагаемых, следовательно, вся сумма нечетна. Значит, она не может равняться
четному числу 2006.