ЛЕКЦИЯ 22

1
Предел числовой последовательности.
1. Числовая последовательность и её предел.
2. Основные свойства пределов последовательностей.
3. Существование предела монотонной ограниченной
последовательности.
Введение.
Начало изучению понятия предела положено в средней школе. Там с
помощью предельных переходов определяется длина окружности, площади
боковых поверхностей и объёмы цилиндра и конуса, площади поверхности и
объём шара. Понятие предела использовано также при определении суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Нам предстоит изучить
теорию предела на более общей основе, с необходимой глубиной и
строгостью, что позволит расширить круг приложений теории пределов к
решению теоретических и практических задач.
Понятие предела вместе с понятием функции составляют основу
математического анализа. Все остальные разделы курса так или иначе
используют теорию пределов.
I. Числовая последовательность и её предел.
Определение. Если каждому числу n из натурального ряда чисел
1,2,3,..., n,... поставлено в соответствие вещественное
число U n , то множество вещественных чисел
U 1 ,U 2 ,...,U n ,... (1) называется числовой последовательностью, или просто последовательностью.
Числа U 1 ,U 2 ,...,U n ,... будем называть элементами (или
членами) последовательности (1), U n - общим членом
последовательности, а число n - его номером.
Сокращенно последовательность (1) будем обозначать
1
символом U n . Так, например, символ   обозначает
n
1 1
2 3
1
n
последовательность 1, , ,...., ,... . Формула, задающая
Un ,
Например,
U n  (1) n 1
n 1
.
n2
называется
формулой
общего
члена
последовательности U n . С помощью этой формулы
можно
вычислить
любой
элемент
этой
последовательности.
дана формула общего члена последовательности
Написать
пять
первых
её
элементов.
Положив
2
последовательно
n  1,2,3,4,5
в
общем
члене
U n получим
2
3
4
5
6
U 1  2 ,U 2   2 ,U 3  2 ,U 4   2 ,U 5  2 .
1
2
3
4
5
Формула, задающая U n , не являются единственной. Так, например,
последовательность
–1,1..-1,1,… задается формулой U n  (1) n , или
U n  cos n . Не всегда последовательность U n  можно задать аналитически.
Последовательность считается заданной, если указан способ получения
любого её элемента. По своему определению, последовательность содержит
бесконечное число элементов.
Геометрически последовательность U n изображается на числовой
прямой в виде последовательности точек, координаты которых равны
соответствующим элементам последовательности.
1
Например,   .
n
0
U4 U3
U2
U1
1
4
1
2
1
1
3
Пусть даны произвольные последовательности U n и Vn  .
Произведением
последовательности U n  на число m назовём
последовательность mU n , т.е. mU n   mU n .
Алгебраической суммой, произведением двух последовательностей
назовём соответственно последовательность, U n  Vn  и U n *Vn , т.е.
U n   Vn   U n  Vn , U n * Vn   U n *Vn .
U n 
,
 Vn 
Частным двух последовательностей назовём последовательность 
если
все
элементы
U n  U n 

,V
Vn   Vn  n
последовательности
Vn отличны от нуля, т.е.
 0.
Определение. Последовательность U n называется ограниченной сверху
(снизу), если существует число M (число m ) такое, что
любой
элемент U n
этой
последовательности
удовлетворяет неравенству U n  M (U n  m) .
Последовательность U n  называется ограниченной, если
она ограничена и сверху и снизу.
Последовательность U n  называется неограниченной,
если для любого положительного числа A существует
элемент U n этой последовательности, удовлетворяющий
неравенству U n  A .
3
Например: 1) последовательность n  1,2,..., n,... ограничена снизу (m  1) ;
1 
ограничена
т.е.
0  U n  1,
 
n
последовательность (1) n * n  1,2,3,4,... неограниченная.
2)
ограничена

Определение.
m  0; M  1;
3)

Число
называется
пределом
числовой
a
U n , если для любого
последовательности
положительного числа E существует номер N такой,
что при n  N выполняется неравенство U n  a  E (2).
U n называется
При этом последовательность
сходящейся.
Если последовательность U n  сходится и имеет своим
пределом число a , то символически это записывается
так: lim U n  a .
n
Последовательность, не являющаяся
называется расходящейся.
сходящейся,
Замечание. Предел числовой последовательности имеет геометрическое
истолкование. Неравенство (2) равносильно неравенствам    U n  a   , или
a    U n  a   , которые означают, что элемент U n находится в  окрестности точки a .
Поэтому
определение
предела
последовательности
можно
сформулировать следующим образом: число a называется пределом
последовательности U n , если для любой  окрестности точки a существует
номер N такой, что все элементы U n с номерами n  N находятся в этой 
окрестности.
2. Основные свойства пределов последовательностей.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 3. Алгебраическая сумма, произведение двух сходящихся
последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой
равен соответственно алгебраической сумме, произведению пределов
(U n  Vn )  lim U n  lim Vn lim U n * Vn  lim U n * lim Vn .
последовательностей, т.е. lim
n 
n 
n 
n 
n 
n 
4
Теорема4. частное двух сходящихся последовательностей U n и Vn  при
Vn  0 , есть сходящаяся последовательность, предел которой
условии, что lim
n 
равен частному пределов последовательностей, т.е. lim
n 
Un
U n lim
 n 
.
Vn
lim Vn
n 
Эти теоремы имеют большое теоретическое и практическое значение.
Особое внимание следует обратить на тот факт, что применение теорем
требует существование конечных пределов.
Рассмотрим
последовательность
7n  1
1
1
 lim (7  )  lim 7  lim  7  0  7 ,
n


n


n


n
n
n
(7 n  1) 
7 n  1 lim
lim
 n 
  1.
n 
n
lim n

lim
n 
 7 n  1

.
 n 
с
С
одной
другой
стороны
стороны
n 
Получено неверное равенство 7=1, так как допущена грубая ошибка:
неправильно применена теорема о пределе частного, т.к. последовательности
7n  1 и n не имеют конечных пределов.
U n   не обозначает никакого числа, а является лишь
Запись lim
n 
выражением того, что элементы последовательности U n  по абсолютной
величине неограниченно возрастает. Поэтому с символом  нельзя
обращаться как с числами и писать

 1 , или  * 0  0 , или     0 .

3. Существование предела монотонной ограниченной
последовательности.
Определение. Последовательность U n  называется возрастающей, если
U n  U n 1 , для всех n ; неубывающей, если U n  U n 1 для
всех n ; убывающей, если U n  U n1 для всех n ; не
возрастающей, если U n  U n1 для всех n .
Все такие последовательности называются монотонными ,
а возрастающие и убывающие последовательности
называются строго монотонными . n
Пример.
1) последовательность 1,1/2,1/3,…,1/n,…. убывающая и ограниченная .
2) последовательность 1,2,3,….,n,… возрастающая и неограниченная.
3)
последовательность
1,1,2,2,3,3,…,n,n,…
неубывающая
и
ограниченная.
Монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной
стороны . если монотонная последовательность ограниченна с обеих сторон ,
т.е. просто ограниченна . Немонотонная последовательности этим свойством
не обладают .
5
Например, немонотонная последовательность { (1) n } ограниченна , но
не сходится .
Имеет место следующая основная теорема о монотонных
последовательностях.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Замечание. Условие ограниченности монотонной последовательности
является необходимым и достаточным условием её сходимости. Эта теорема
устанавливает только факт существования предела и ничего не говорит о
самом пределе.
Однако и это в теории пределов имеет большое значение. Иногда важно
только знать, что предел существует.
1 n
)
:
n
1
1
1
(1  1)1 , (1  ) 2 ,..., (1  ) n ,... можно доказать, что она сходится, т.е. lim (1  ) n  e ,
n


2
n
n
где e - иррациональное число e  2,71828... .
Рассмотрим последовательность с общим членом
U n  (1 
Поясним, как он получается.
Подсчитаем несколько членов последовательности.
U 1  (1  1)1  2
1
U 2  (1  ) 2  2,25
2
1
U 3  (1  ) 3  2,37
3
1
U 4  (1  ) 4  2,44
4
1
U 5  (1  ) 5  2,45
5
...............................
U 100  (1 
1 100
)  2,705
100
Сравнивая первые пять результатов, видим, что U1  U 2  U 3  U 4  U 5 .
Можно доказать, что при любом n справедливо неравенство U n  U n1 , т.е.
последовательность U n  монотонно возрастает. В тоже время все
подсчитанные значения U n удовлетворяют неравенству U n  3 . Можно
доказать, что U n  3 справедливо при всех значениях n . Это означает, что
последовательность возрастает и ограниченна числом 3 следовательно она
сходится, т.е. существует предел lim (1  1 / n) n =е
n
Часто этот предел называют 2-м замечательным пределом.
В математике существенную роль играют логарифмы по основанию е,
они называются натуральными и обозначаются lnx= log e x . Можно показать,
что lg x  0,4343 ln x , а ln x  2,303 lg x .
6
Заключение.
Метод пределов не возник в математике сам собой, он оформился
постепенно в результате труда многих математиков, которые начали
рассматривать новые для своего времени задачи, не решаемые
элементарными методами.
Постепенно накапливался опыт и вырабатывались приёмы решения
подобных задач в общей постановке, например задач, когда требовалось
определить мгновенную скорость не в данном конкретном движении, а в
любом, если только была известна зависимость пути от времени. Это привело
к формированию на основе понятия предела новых понятий интеграла и
производной, к созданию математического анализа. Очевидно, что с
применением метода пределов потребовалось развить способы вычисления
пределов, установить правила действий с пределами, т.е. создать теорию
пределов. Основным понятием в этой теории стало понятие бесконечно
малой – переменной, предел которой равен нулю. В этот период
математический анализ назывался анализом бесконечно малых.