Линейная алгебра - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал ТюмГУ в г. Тобольске
Кафедра физики, математики и методик преподавания
Евсюкова Е. В.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов 050100.62. (44.03.05). Педагогическое образование
профиль подготовки: “Математика, информатика”
(очная форма обучения)
Тюменский государственный университет
2015
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
______________________________________________________________________________
Дисциплина:
Линейная алгебра
Учебный план: 050100.62(44.03.05) «Педагогическое образование» профиль «Математика,
информатика»
Автор:
______________________________________________________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
СОГЛАСОВАНО:
ФИО
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Евсюкова Елена Владимировна, доцент
кафедры физики, математики и методик преподавания _____________
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
дата
___________
подпись
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля)
Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются не
конкретные математические объекты, а свойства операций над ними. Эта тенденция
привела к возникновению алгебраических структур, изучение которых необходимо для
общематематического образования студентов.
Целью дисциплины «Линейная алгебра»
является развитие навыков
математического мышления, навыков использования математических методов,
математической культуры у студентов, формирование систематизированных знаний в
области алгебры и ее методов, овладение современным математическим аппаратом для
дальнейшего использования в приложениях, в школьном курсе математики.
Задачи изучения дисциплины «Линейная алгебра»





формирование у студентов системы представлений о понятиях и фактах
дисциплины «Линейная алгебра»;
формирование у студентов системы представлений об алгебраических методах и
возможностях их применения;
формирование представлений о важности (необходимости) изучения алгебры
(алгебраических знаний, качественного алгебраического образования) для
осуществления будущей профессиональной деятельности;
современное базовое теоретическое обоснование обязательных разделов курса
алгебры, необходимых для формирования компетенций обучаемого;
формирование уровня математической культуры, достаточный для осознанной
ориентации в многообразии учебной литературы по школьному и вузовскому
курсу алгебры.
1.2. Место дисциплины в структуре ОП
Дисциплина «Линейная алгебра» является дисциплиной цикла
Б 1 – Дисциплины профессионального цикла (базовая часть).
Дисциплина «Линейная алгебра» изучается в III семестре II курса. На ее изучение
отведено 144 часов, из них аудиторных – 54 часа, лекций – 18 часов, практических
занятий – 36 часов, самостоятельная работа студентов – 54 часа. Формы итогового
контроля: зачет в III семестре.
Для освоения дисциплины «Линейная алгебра» студенты используют знания,
умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения математики, алгебры
и начал анализа в общеобразовательной школе.
Содержание дисциплины “Линейная алгебра” тесно связано с другими курсами,
предусмотренными учебным планом по направлению подготовки 050100.62. (44.03.05).
Педагогическое образование. «Математика, информатика»: с основными алгебраическими
структурами (векторные пространства); математическим и функциональным анализом,
численными методами, аналитической геометрией, основаниями геометрии; с физикой.
Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего
изучения дисциплин вариативной части профессионального цикла.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Таблица 1
№ Наименование обеспеп/п чиваемых (последующих)
дисциплин
1.
2.
3.
5.
Основные алгебраические
структуры
Аналитическая геометрия.
Математический анализ
Курсы по выбору студента.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
2 семестр
3 семестр
1.1
1.2
1.2
2.1
2.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.1
1.2
1.3
2.1
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы
Выпускник, освоивший программу бакалавриата должен обладать следующими
общекультурными компетенциями (ОК):
– владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
– готовностью использовать основные методы, способы и средства получения,
хранения и переработки информации, готовностью работать с компьютером как
средством управления информацией (ОК-8).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
знать:
– основы алгебраической теории;

основные разделы алгебры, классические факты, утверждения и методы
указанной предметной области;

- определения и свойства математических объектов в этой области,
формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их
приложений;

уметь:
– решать типовые задачи в указанной предметной области;
владеть:
– навыками решения типовых алгебраических задач;
– представлениями о связи алгебры со школьным курсом математики.
 способами ориентации в профессиональных источниках информации (журналы,
сайты, образовательные порталы и т.д.);
 способами взаимодействия с другими субъектами образовательного процесса;
 различными средствами коммуникации в профессиональной педагогической
деятельности;
 способами совершенствования профессиональных знаний и умений путем
использования возможностей информационной среды образовательного учреждения,
региона, области, страны.
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины «Линейная алгебра» составляет 5 зачетных единиц
(180 часов), из них 80 часов выделены на контактную работу с преподавателем, 73 часа
выделен на самостоятельную работу, дисциплина» изучается на 1-ом курсе во 2-ом
семестре
Семестр III: форма промежуточной аттестации (экзамен). Общая трудоемкость
дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 академических часов, из них 54 часа,
выделены на контактную работу с преподавателем (18 час. – лекций, 36 час. –
практических занятий), 54 часа выделены на самостоятельную работу.
Таблица 2
Вид учебной работы
Всего
Семестры
часов
2
Контактная работа:
54
54
Аудиторные занятия (всего)
54
54
В том числе:
Лекции
18
18
Практические занятия (ПЗ)
36
36
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ: КСР
Самостоятельная работа (всего):
54
54
Общая трудоемкость
зач. ед.
3
3
час
144
144
Вид промежуточной аттестации
зачет
зачет
(зачет, экзамен)
3. Тематический план
Таблица 3.1
3 семестр
1.1 Эквивалентные
3
системы 1,2
векторов.
Элементарные
преобразования. Базис
и
ранг конечной
системы
векторов.
Базис
и
размерность
векторного
пространства.
4
5
2
4
6
-
Самостоятельная
работа*
занятия*
2
Модуль 1
Семинарские
(практические)
занятия*
Лабораторные
1
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции *
Тема
недели семестра
№
Итого Из них
часов
в
по
интерак
теме
тивной
форме,
в часах
Итого
количество
баллов
7
8
9
10
6
12
1
0-6
1.2 Определители
второго и 3,4
третьего порядка. Формулы
Крамера. Определители nго порядка, их свойства.
Миноры и алгебраические
дополнения,
разложение
определителя по строке
(столбцу),
вычисление
определителей.
1.3 Первоначальные сведения о 5,6
системах
линейных
уравнений
(с.л.у.)
Элементарные преобразования
и
равносильность
систем
линейных
уравнений. Ранг матрицы.
Равенство строчечного и
столбцового
рангов
матрицы.
Критерий
совместности
и
определенности с.л.у.
2
4
-
6
12
1
0-8
2
4
-
6
12
1
0-11
6
12
-
18
36
3
25
7,8
2
4
-
6
12
1
0-8
9,
10
2
4
6
12
1
0-8
11,
12,
13
2
4
6
12
1
0-9
6
12
18
36
3
25
2
4
6
12
1
0-6
Всего
Модуль 2
2.1. Метод Гаусса. Пространст
во решений однородной
с.л.у.
Фундаментальная
система решений. Связь
решений неоднородной и
соответствующей однородной
с.л.у.
Линейное
многообразие
решений
с.л.у.
2.2. Алгебраические операции
над матрицами и их
свойства.
Векторное
пространство
матриц
одинаковой
размерности
mxn. Кольцо квадратных
матриц n-го порядка.
2.3. Обратимые
матрицы,
свойства.
Неособенная
матрица.
Элементарные
матрицы.
Критерий
обратимости. Нахождение
обратной
матрицы
с
помощью
присоединения
единичной
матрицы.
Матричные уравнения.
Всего
-
Модуль 3
3.1. Вычисление
матрицы
с
обратной 14,
помощью 15,
присоединенной. Линейные
отображения
векторных
пространств. Ядро и образ
линейного оператора.
3.2. Матрица
линейного
оператора
и
его
координатная форма записи
(связь
между
координатными столбцами
x
и
(x)). Изменение
матрицы
линейного
оператора при переходе к
другому базису. Подобие
матриц.
3.3. Действия над линейными
операторами
и
их
матрицами.
Собственные
векторы и собственные
значения
линейных
операторов.
Линейные
операторы
с
простым
спектром.
3.4. Итоговая
работа
и
собеседование
16,
17
2
4
6
12
1
0-5
18,
19
2
4
6
12
2
0-9
20
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них в интеракт. форме
0-30
6
18
12
36
-
18
54
36
108
4
50
0-100
10
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
Примечание: количество часов в столбцах 4-9 указывается в соответствии с учебным
планом образовательной программы. Значение столбца 10 (Итого количество баллов)
определяется как сумма баллов рейтинговой оценки успеваемости студента.
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
3 семестр
Таблица 4.
Итого количество баллов
электронные
практикумы
комплексные
ситуационные
задания
Информа
ции
онные
системы и
технологи
и
Домашняя работа
0-3
программы
компьютерного
тестирования
Технические
формы
контроля
Самостоятельная
работа
Итоговая работа
0-2
0-2
тест
0-1
0-1
контрольная
работа
Решение задач у
доски
Письменные работы
ответ на семинаре
Модуль 1
1.1.
1.2.
собеседование
Устный опрос
коллоквиумы
№
Темы
0-3
0-2
0-6
0-8
0-2
1.3.
Всего
Модуль 2
2.1
2.2
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1
3.2
3.3.
0-5
3.4.
Всего
0-5
010
010
0-1
0-3
0-2
0-6
0-1
0-1
0-1
0-3
0-2
0-2
0-2
0-6
0-1
0-1
0-1
0-2
0-2
0-2
0-2
0-3
0-6
0-3
0-8
0-11
0-25
0-3
0-3
0-3
0-9
0-2
0-2
0-3
0-7
0-8
0-8
0-9
0-25
0-3
0-3
0-2
0-3
0-6
0-5
0-9
0-30
0-8
0-50
0-5
0-3
0-6
Итого
0-5
10
0-3
10
0100
Формы текущего контроля и распределение баллов по ним определяется преподавателем
курса (автором рабочей программы дисциплины).
5. Содержание дисциплины.
3 семестр
Модуль 1
1.1. Эквивалентные системы векторов. Элементарные преобразования. Базис и ранг
конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.
1.2. Определители второго и третьего порядка. Формулы Крамера. Определители nго порядка, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя
по строке (столбцу), вычисление определителей.
1.3. Первоначальные сведения о системах линейных уравнений (с.л.у.) Элементарные
преобразования и равносильность систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Равенство
строчечного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности
с.л.у.
Модуль 2
2.1. Метод Гаусса. Пространство решений однородной с.л.у. Фундаментальная
система решений. Связь решений неоднородной и соответствующей однород- ной с.л.у.
Линейное многообразие решений с.л.у.
2.2. Алгебраические операции над матрицами и их свойства. Векторное пространство
матриц одинаковой размерности mxn. Кольцо квадратных матриц n-го порядка.
2.3. Обратимые матрицы, свойства. Неособенная матрица. Элементарные матрицы.
Критерий обратимости. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединения
единичной матрицы. Матричные уравнения.
Модуль 3
3.1. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной. Линейные
отображения векторных пространств. Ядро и образ линейного оператора.
3.2. Матрица линейного оператора и его координатная форма записи (связь между
координатными столбцами x и (x)). Изменение матрицы линейного оператора при
переходе к другому базису. Подобие матриц.
3.3. Действия над линейными операторами и их матрицами. Собственные векторы и
собственные значения линейных операторов. Линейные операторы с простым спектром.
(Раздел раскрывает содержание дисциплины (модуля) по темам в соответствии с
ФГОС ВО по направлению подготовки, определяет перечень дидактических единиц,
общий объем знаний, получаемых обучающимися.)
6. Планы практических занятий.
3 семестр
1.1. Эквивалентные системы векторов. Элементарные преобразования. Базис и ранг
конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства – 4 час.
1.2. Определители второго и третьего порядка. Формулы Крамера. Определители nго порядка, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя
по строке (столбцу), вычисление определителей – 4 час.
1.3. Первоначальные сведения о системах линейных уравнений (с.л.у.) Элементарные
преобразования и равносильность систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Равенство
строчечного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности
с.л.у. – 4 час.
2.1. Метод Гаусса. Пространство решений однородной с.л.у. Фундаментальная
система решений. Связь решений неоднородной и соответствующей однородной с.л.у.
Линейное многообразие решений с.л.у. – 4 час.
2.2. Алгебраические операции над матрицами и их свойства. Векторное пространство
матриц одинаковой размерности mxn. Кольцо квадратных матриц n-го порядка.
2.3. Обратимые матрицы, свойства. Неособенная матрица. Элементарные матрицы.
Критерий обратимости. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединения
единичной матрицы. Матричные уравнения. – 4 час.
3.1. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной. Линейные
отображения векторных пространств. Ядро и образ линейного оператора.
3.2. Матрица линейного оператора и его координатная форма записи (связь между
координатными столбцами x и (x)). Изменение матрицы линейного оператора при
переходе к другому базису. Подобие матриц. – 4 час.
3.3. Действия над линейными операторами и их матрицами. Собственные векторы и
собственные значения линейных операторов. Линейные операторы с простым спектром.– 4
час.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум). – Не предусмотрен
8. Примерная тематика курсовых работ (если они предусмотрены учебным планом ОП).
Не предусмотрена.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5
3 семестр
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
Модуль 1
Неделя Объем Кол-во
семестра
часов баллов
дополнительные
Эквивалентные
системы векторов.
Элементарные
преобразования.
Базис
и ранг
конечной системы
векторов. Базис и
размерность
векторного
пространства
1.2 Определители
второго и третьего
порядка.
Формулы
Крамера.
Определители
n-го
порядка, их свойства.
Миноры
и
алгебраические
дополнения,
разложение
определителя
по
строке
(столбцу),
вычисление
определителей.
1.3
Первоначальные
сведения о системах
линейных уравнений
(с.л.у.) Элементарные
преобразования
и
равносильность
систем
линейных
уравнений.
Ранг
матрицы. Равенство
строчечного
и
столбцового рангов
матрицы. Критерий
совместности
и
определенности с.л.у
1.1
Всего
Модуль 2
Выполнение
домашних
заданий.
Индивидуальные
задания
1, 2
6
0-6
Выполнение
самостоятельной работы
№ 1.
Выполнение
домашних
заданий.
Индивидуальные
задания
3, 4
6
0-8
Выполнение
самостоятельной работы №
2.Выполнение
домашних
заданий.
Коллоквиум
Индивидуальные
задания
5, 6
6
0-11
18
0-25
Метод Гаусса.
Пространство
решений однородной
с.л.у.
Фундаментальная
система
решений.
Связь
решений
неоднородной
и
соответствующей
однородной
с.л.у.
Линейное
многообразие
решений с.л.у.
2.2 Алгебраические
операции
над
матрицами и их
свойства. Векторное
пространство матриц
одинаковой
размерности
mxn.
Кольцо квадратных
матриц n-го порядка.
2.1
2.3
Обратимые
матрицы, свойства.
Неособенная матрица. Элементарные
матрицы. Критерий
обратимости.
Нахождение обратной
матрицы
с
помощью
присоединения единичной
матрицы. Матричные уравнения.
Выполнение
домашних
заданий.
Индивидуальные задания
7, 8
6
0-8
Выполнение
Индивидуальсамостоятельные задания
ной работы № 3.
Выполнение
домашних
заданий.
9, 10
6
0-8
Выполнение
Индивидуальсамостоятельные задания
ной работы № 4.
Выполнение
домашних
заданий.
11, 12,
13
6
0-9
18
0-25
6
0-6
Всего
3.1
Модуль 3
Вычисление
обратной матрицы с
помощью
присоединенной.
Линейные
отображения
векторных
пространств. Ядро и
образ
линейного
оператора.
Выполнение
Индивидуальсамостоятельные задания
ной работы № 5.
Выполнение
домашних
заданий.
14, 15
3.2
Матрица линейного Выполнение
оператора и его домашних
координатная форма заданий.
записи (связь между
координатными
столбцами
x
и
(x)).
Изменение
матрицы линейного
оператора
при
переходе к другому
базису.
Подобие
матриц.
Действия
над
линейными операторами
и
их
матрицами.
Собственные
векторы и собственные значения линейных
операторов.
Линейные операторы
с
простым
спектром.
3.4 Итоговая работа
Собеседование
3.3
Всего
Итого
Индивидуальные задания
16, 17
6
0-5
Выполнение
домашних
заданий.
Контрольная
работа.
Коллоквиум
Индивидуальные задания
18, 19,
20
6
0-9
Решение
типовых задач
курса,
собеседование
Индивидуальные задания
0-5
0-5
20
0-20
18
54
0-50
0-100
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
В соответствии с приказом от 19 декабря 2013 г. №1367 фонд оценочных средств для
проведения промежуточной аттестации по дисциплине (модулю) или практике включает
в себя
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ООП и оценочных средств
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
ОК-1
ОК-8
*-дисциплины базовой части
+
+
+
+
+
ВКР
Гос. экзамен
Б.5.У.3 (С.5.У.3) Учебноисследовательская
Б5.У.3.
(С.5.У.3)Учебная
практика по организации
летнего отдыха
Б.5.П.1 (С.П.5.1)
Педагогическая
Б.5.П.2
(С.5.П.3)
Государственная
педагогическая
Б.5.У.1 (С.5.У.1)
Психологическая
Б5.У.2. (С.5.У.2)Учебная
практика по классному
руководству
+
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
Физкультура*
Геометрия
+
Вводный курс
математики
Алгебра
Возрастная анатомия,
физиология и гигиена*
Математический
анализ
Психология*
Иностранный язык*
Технология
самообразования
Делопроизводство в
образовательной
организации
Педагогика *
Индекс
компетенции
История*
10.1.Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций).
Таблица 6
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы,
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.6.
дисциплины
Б.5. (С.5) Практики / НИР
(С.6)
(модули)
ИГА
учебного плана
1 семестр
ОП
Индекс
компетенции
ОК-8
*-дисциплины базовой части
Математический анализ
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
2 семестр
+
+
ВКР
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по организации
летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по классному
руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Физическая культура*
Практические приложения
метода математической
индукции
Алгебра
Геометрия
Физика
Информационные
технологии в математике
Теоретические основы
информатики
Программное обеспечение
ЭВМ
Практикум решения задач на
ЗВМ
Числовые системы
Психология*
Безопасность
жизнедеятельности*
Введение в специальность*
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
Педагогика
Иностранный язык*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.6.
(С.6)
ИГА
Индекс
компетенции
ОК-8
+
+
+
Физика
Информационные
технологии в математике
Программное
обеспечение ЭВМ
+
+
+
+
+
+
+
3 семестр
ВКР
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Подросток в
образовательном
пространстве школы
Профессиональное
становление личности
Физическая культура*
Архитектура компьютера
Геометрия
Алгебра
Математический анализ
Общекультурные,
общепрофессиональны
е компетенции
ОК-1
Психология*
Основы математической
обработки информации*
Педагогика*
Педагогическая риторика*
Иностранный язык*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-8
+
+
+
+
+
+
+
4 семестр
ВКР
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по классному
руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Физическая культура*
Основы искусственного
интеллекта
Организация досуговой
деятельности детей и
подростков
Организация летнего
отдыха детей в регионе
Программирование
Математический анализ
Основы медицинских
знаний и здорового
образа жизни*
Психология*
Педагогика*
Естественнонаучная
картина мира*
Экономика образования
Иностранный язык*
Философия*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Б.6. (С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-8
+
+
+
+
+
+
5 семестр
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Гос. экзамен
ВКР
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Физическая культура*
Групповой подход в
алгебре и геометрии
Избранные вопросы
алгебры и геометрии
Основы исследований в
физико-математическом
образовании
Организация
педагогического
исследования учителя
Основы
микроэлектроники
+
+
Практикум решения
задач на ЭВМ
Программирование
Теория вероятностей и
математическая
статистика
Численные методы
Методика обучения
предметам (математика)
Педагогика *
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-8
+
+
+
+
+
+
6 семестр
ВКР
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по классному
руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Элементарная математика
Групповой подход в
алгебре и геометрии
Избранные вопросы
алгебры и геометрии
Компьютерные сети,
интернет и
мультимедиатехнологии
Web-программирование
Основы исследований в
физико-математическом
образовании
Организация
педагогического
исследования учителя
Физическая культура*
Теория чисел
Информационные
технологии
в образовании*
Современные
средства
оценивания результатов
обучения
Цифровые
средства
обучения
Технические и
аудиовизуальные средства
обучения
Методика обучения
предметам (математика)
Теория вероятностей и
математическая статистика
Профессиональная этика
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-8
+
+
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
+
+
ВКР
Гос. экзамен
Б.5. (С.5) Практики /
НИР
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Теория функций
Элементарная
математика
Методика обучения
предметам
(математика)*
Общие проблемы
теории и методики
обучения (технология)
Математическая
логика и теория
алгоритмов
Дискретная
математика
Маркетинг
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Образовательное право
История математики и
информатики
Основы
предпринимательской
деятельности
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Б.6. (С.6)
ГИА
7 семестр
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-8
+
+
+
+
+
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
+
+
8 семестр
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Гос. экзамен
ВКР
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Защита информации
Теория баз данных и
информационного поиска
Современные
направления развития
математики
Приложения математики в
других науках
Теория функций
Компьютерная графика
Основы теории
автоматического
управления и
робототехники
История региона
Методика обучения
предметам
(математика)*
Элементарная
математика
Компьютерное
моделирование
История Сибири
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-8
+
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
+
+
9 семестр
ВКР
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по организации
летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по классному
руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Защита информации
Подготовка учащихся к
итоговой аттестации по
математике
Развивающие задачи в обучении
математике
Приложения математики в
других науках
Современные направления
развития математики
Теория баз данных и
информационного поиска
Профильное обучение
Активные методы и технологии
обучения информатике
Элементарная математика
Дифференциальные уравнения
Современные образовательные
технологии
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-8
+
+
+
+
+
10 семестр
ВКР
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по классному
руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Теория игр и методы принятия
решений
+
Исследование операций
Общекультурные,
общепрофессиональны
е компетенции
Теория линейных операторов
Профильное обучение
Подготовка учащихся к
итоговой аттестации по
математике
Развивающие задачи в
обучении
математике
Использование
информационных и
коммуникационных
технологий
в образовании
Методика профильного
обучения
Приложения математики в
других науках
Современные направления
развития математики
Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры
Активные методы и
технологии обучения
Информационные системы
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Б.6.
(С.6)
ГИА
+
Таблица 7
код
Карта критериев оценивания компетенций дисциплины «Линейная алгебра»
Направление 050100.62 – Педагогическое образование, профиль подготовки: «Математика, информатика»
Формулировка
компетенции
Результат обучения в
целом
ОК-1
Знает методы и приемы
работы с различными
источниками
информации
владеет культурой
мышления,
способен к
обобщению,
анализу,
восприятию
информации,
постановке цели и
выбору путей её
достижения
Умеет находить
необходимую
информацию и
применять ее для
решения задач
Владеет методами и
приемами работы с
различными
источниками
информации
Результаты обучения по уровням освоения материала
Минимальный
базовый
повышенный
Знает методы и
приемы работы с
учебником
Умеет находить
необходимую
информацию
Владеет методами и
приемами работы с
учебником по
вузовскому курсу
алгебры
Знает методы и
приемы работы с
различными
печатными
источниками
информации
Умеет находить
необходимую
информацию и
применять ее для
решения стандартных
задач
Владеет методами и
приемами работы с
различными
печатными
источниками
информации
Знает методы и
приемы работы с
различными
источниками
информации
Умеет находить
необходимую
информацию и
применять ее для
решения любых задач,
обосновывать и
пояснять выбор
Владеет
самостоятельно
использует общие и
самостоятельно
созданные методы и
приемы работы с
различными
источниками
информации
Виды
занятий
Оценочн
ые
средства
Лекции,
практическ
ие занятия
Тест,
конт
рольная
работа
Лекции,
практическ
ие занятия
Сам.
работа,
контрол
ьная
работа
Лекции,
практическ
ие занятия
Доклад
на семи
наре,
контрол
ьная
работа
код
ОК-8
Формулировка
компетенции
готов использовать
основные методы,
способы и средства
получения,
хранения,
переработки
информации, готов
работать с
компьютером как
средством
управления
информацией
Результат обучения
в целом
Знает: основные
понятия,
определения, типы
задач;
утверждения,
теоремы и методы
их доказательств;
приложения в
разнообразных
областях.
Умеет:
пользоваться
математическим
аппаратом в
областях
математического
знания и
дисциплинах
естественнонаучно
го содержания.
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
базовый (хор.)
повышенный
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
61-75 баллов
91-100 баллов
основные понятия,
определения,
свойства объектов;
формулировки
основных
утверждений.
отличительные
особенности
различных
типов
задач,
рассматриваемых
в
курсе;
методы
доказательств
утверждений и теорем.
связи и приложения
линейной алгебры в
других
областях
математического
знания и дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
определять
задачи
для
достижения
поставленной цели,
определять
тип
каждой поставленной
задачи, ее основные
характеристики;
решать
основные
задачи.
доказывать основные
утверждения, теоремы;
решать
задачи
прикладного
характера;
использовать
теоретический
и
практический
материал,
необходимый
для
представления задачи
в терминах и понятиях
изучаемой
дисциплины.
глубоко вникать в
содержательную
сущность
поставленной задачи;
адекватно применять
математический
аппарат
в
разнообразных
областях
математического
знания и дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
Виды
занятий
Оценочные
средства
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
Владеет:
математическим
инструментарием
достижения
поставленных
целей.
необходимым
инструментарием и
знаниями,
чтобы
понять поставленную
задачу и выбрать
способы ее решения;
в соответствии с
поставленной целью
определить пути ее
достижения.
математическим
инструментарием
в
соответствии
со
спецификой
анализируемого класса
реальных
задач,
необходимых
для
достижения
поставленной
цели;
методами анализа и
моделирования
реальных
исходных
данных.
математическим
инструментарием
в
соответствии
со
спецификой
анализируемого класса
реальных
задач,
необходимых
для
достижения
поставленной
цели;
методами анализа и
моделирования
реальных
исходных
данных;
методами
преобразования
разнообразных форм
исходных данных с
целью их удобного
представления
для
дальнейшего анализа и
моделирования и, как
следствие, достижения
поставленной цели.
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Промежуточная аттестация:
Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно,
хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной)
систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, проверочных работ, коллоквиумов и итоговой
контрольной работы. Эта оценка характеризует уровень сформированности практических
умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины.
Соответствующие умения и навыки, а также критерии их оценивания приведены в
таблице 7.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок
выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых
представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которых соответствует
уровню задач, приведенных в п.10.3. Эта оценка характеризует уровень знаний,
приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания и
критерии их оценивания приведены в таблице 7.
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Оценочные средства текущего
технология оценивания работы студентов
контроля:
модульно-рейтинговая
Контрольные, самостоятельные работы для текущего контроля
по дисциплине “Линейная алгебра”
III семестр
Контрольная работа № 1 по дисциплине «Линейная алгебра»
Контрольная работа
Тема: «Матрицы и определители»
Вариант № 1
I уровень
Заполнить пропуски:
1.1. Произведение матриц A3 x 2 и B2 x 4 равно матрице С размерности …, её элемент с23
находится по правилу … .
1.2. Множество матриц … образует векторное пространство над …
1.3. Произведение а12 . а21 . а33 . а44 входит в определитель … порядка со знаком …
2 1 3
1.4. Разложение определителя 1 0 4 по второму столбцу имеет вид …
3 2 5
Определить истинно или ложно утверждение:
1.5. Матрица, определитель которой равен 2, обратима.
1.6. Определитель не изменится, если одну из строк умножить на ненулевое
число и прибавить к ней другую строку.
1.7. Алгебраическое дополнение элемента а21 единичной матрицы Е3 х3 равно: 1) 0; 2)
1; 3) –1. Указать номер правильного ответа.
II уровень
2.1. Решить матричное уравнение А .Х = В
 1 1  2


А = 0  1 2  В =
 1 1  1


2 1 0


 2  2 3  С =
0 1 0
1

4
5
6

0 1  1

2 1 0
2 3
2 4
4
4




2.2. Вычислить определитель матрицы С.
2.3. Решить систему линейных уравнений (1) с помощью правила Крамера.
 х1  х 2  3 х 3  1

(1)   х 2  3 х 3  3
 х  х  4х  1
3
 1 2
2
1 х х
(2) 1 1 1
1 1 1
1 0
0
3
х
1
0
1
0
IIIуровень
3.1. Решить уравнение (2).
3.2. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из
которых получен из данного прибавлением ко всем элементам 1-ой строки числа в, а
другой аналогичным образом прибавлением числа (-в).
Вариант 2
I уровень
Заполнить пропуски:
1.1 Произведение матриц A2 x 4 и B4 x 3 равно матрице С размерности …, её элемент с21
находится по правилу … .
1.2.Множество матриц … образует кольцо.
1.3. Произведение а13 . а24 . а32 . а41 входит в определитель … порядка со знаком …
1 2 0
1.4. Разложение определителя 3 1 2 по третьему столбцу имеет вид …
5 4 3
Определить истинно или ложно утверждение:
1.5. Матрица А3 х 3 , ранг которой равен 2, обратима.
1.6. Общий множитель элементов определителя можно вынести за знак
определителя.
1.7. Элемент в12 матрицы В = А31х 3 можно вычислить по формуле: 1) в12 = А12 : |А|;
в12 = А21 : |А|; 3) а12 : |А|. (Aij – алгебраическое дополнение элемента аij
невырожденной матрицы А). Указать номер правильного ответа.
II уровень
2.1. Решить матричное уравнение А .Х = В
2)
 1 1  3


А = 0  1 3  В =
 1 1  2


2 1 0


 3  3 3  С =
0 1 0
1

3
4
5

0 1  1

2 1 0
2 3
2 4
4
3




2.2. Вычислить определитель матрицы С.
2.4. Решить систему (1) линейных уравнений с помощью правила Крамера.
 х1  х 2  4 х 3  1

(1)   х 2  4 х 3  3
 х  х  5х  1
3
 1 2
2
5
 2
2
0
0
3
0
5
0
9
2
6
7
2
2
2
0
5
8
7
7
4
5
9
IIIуровень
3.1. Вычислить все члены определителя матрицы А4 х 4 , входящие в него со знаком
«минус» и содержащие сомножителем а23.
3.2.Числа 20927, 53227, 20604, 25755, 289 делятся на 17. Доказать, что определитель 
также делится на 17, не вычисляя его.
Вопросы к коллоквиуму № 1
на тему: «Определители. Системы линейных уравнений»
1. Подстановки, их чётность. Определители 2-го и 3-го порядка. Схема треугольников.
Формулы Крамера.
2. Определитель n-го порядка, его свойства и вычисление.
3. Базис конечной системы векторов. Ранг конечной системы векторов.
4. Базис и размерность векторного пространства. Координаты вектора относительно
заданного базиса. Примеры
5. Первоначальные сведения о системах линейных уравнений. Элементарные
преобразования и равносильность систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
6. Ступенчатые матрицы и вычисление ранга матрицы. Критерий совместности системы
линейных уравнений. Примеры.
7. Свойства решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений, связь
между решениями этих систем.
8. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная
система решений. Примеры.
Вопросы к коллоквиуму № 2
на тему: «Действия над матрицами, обратная матрица.
Линейные операторы и их матрицы.»
1. Операции над матрицами, их свойства. Векторное пространство матриц одинаковой
размерности над полем F. Кольцо квадратных матриц n-го порядка. Примеры.
2. Обратимые матрицы, их свойства. Критерий обратимости матрицы. Способы
вычисления обратной матрицы. Примеры.
3. Линейные операторы: определение, примеры и свойства.
4. Ядро и образ линейного оператора, дефект и ранг. Теорема о сумме ранга и дефекта.
5. Матрица линейного оператора. Взаимно-однозначное соответствие между линейными
операторами и их матрицами. Связь между координатными столбцами x и  ( x ) .
6. Преобразование координат при изменении базиса. Матрица перехода.
7. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
8. Операции над линейными операторами и их матрицами.
9. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Нахождение
собственных векторов линейного оператора.
Самостоятельная работа № 1
Тема: “Векторные пространства”
Вариант 1
1. a) Проверьте образует ли векторное пространство следующая алгебра: множество всех
геометрических векторов плоскости, выходящих из точки O, лежащих на осях координат
с операциями сложения и умножения на действительные числа. b) Проверьте, образует ли
подпространство в R3 множество: A = {( 2, б, в )| б, в R} ?
2. Какое из данных множеств является подмножеством линейной оболочки векторов a =
(1,2) и
b = (3,6):
a) A = { (1,2), (2,6)};b) B = {(x, y)| x, y  Z и y =2x}; c) C = {(x, y) | x, y Q и x =2 y}?
3. Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или
независимость системы векторов. Найти один из базисов, вычислить ранг, выразить
небазисные векторы через выбранный базис: a1 = (1,3,2); a2 = (1,2,0); a3 = (1,1,-2).
4. Дополнить до базиса систему векторов (a1 , a2), заданную в пространстве R 4 .
a1 = (-1,2,4,3); a2 = (3,2,4,5).
5. Проверить образует ли система векторов (1)(a1 , a2 , a3 ) базис в R 3 и найти координаты
вектора x в этом базисе (1). a1 = (1,2,1); a2 = (2,1,0); a3 = (1,1,-2); x = (6,5,-1).
Вариант 2
1. a) Проверьте образует ли векторное пространство следующая алгебра: множество всех
геометрических векторов плоскости, выходящих из точки O, лежащих на прямых y=5x и
y=7x с операциями сложения и умножения на действительные числа. b) Проверьте,
образует ли подпространство в R3 множество: A = { ( б, в )| б, в R} ?
2. Какое из данных множеств является подмножеством линейной оболочки векторов a =
(1,0) и b = ( 2,0). a)A = {(0,0), ( 2 ,0)}; b) B = {(0, y)| y Z }; c) C = {(1,2)}?
3. Пользуясь элементарными преобразованиями установить линейную зависимость или
независимость системы векторов. Найти один из базисов, вычислить ранг, выразить
небазисные векторы через выбранный базис: a1 = (1,-2,1); a2 = (-1,1,0); a3 = (-3,4,-1).
4. Дополнить до базиса систему векторов (a1 , a2), заданную в пространстве R 4 .
a1 = (-2,0,1,2); a2 = (1,3,1,2).
5. Проверить образует ли система векторов (1)(a1 , a2 , a3 ) базис в R 3 и найти координаты
вектора x в этом базисе (1): a1 = (2,1,-3); a2 = (3,2,-5); a3 = (1,-1,1); x = (6,2,-7).
Самостоятельная работа № 2
Тема: «Системы линейных уравнений»
Вариант № 1
1.Исследуйте систему на совместность и определите количество решений системы (1):
 x1  x 2  x3  6

(1)  2 x1  3x 2  x3  1
3x  2 x  2 x  7
2
3
 1
Найти базис направляющего подпространства и вектор сдвига линейного многообразия
решений системы линейных уравнений.
2. Как изменится количество решений системы (1),если к ней добавить уравнение 5x1 - 5 x2
+ 3 x3 = 8?
 x2  x3  0

3. Сколько решений имеет система уравнений (2) tx1  x2  tx3  1 ?
 x x 2
 1 3
Вариант № 2
1.Исследуйте систему на совместность и определите количество решений системы (1):
 x1  x 2  2 x3  2 x 4  5

(1) 
x1  x 2  x3  3
2 x  2 x  x  2 x  4
2
3
4
 1
Найти базис направляющего подпространства и вектор сдвига линейного многообразия
решений системы линейных уравнений.
2. Как изменится количество решений системы (1),если к ней добавить уравнение 3x1 - 3 x2
+ 2 x3 -2x4= 7?
 x1  2 x2  tx3  1

3. Сколько решений имеет система уравнений (2)  tx1  x2  t ?
 x  x  x 1
3
 1 2
Самостоятельная работа № 3
Тема: «Обратная матрица, матричные уравнения»
Вариант № 1
1. Вычислить A-1 и сделать проверку. 2. Решить матричное уравнение A  X = B.
1 1 2
 1  1 3




A = 0 1 1 , B =  4 3 2 
1 1 3
1  2 5




3. Найдите обратную матрицу. При каких ограничениях на параметры матрица обратима.
1 1
 .
а) 
  
Вариант № 2
1. Вычислить A-1 и сделать проверку. 2. Решить матричное уравнение A  X = B.
1 1 3
 8 3 0




A = 0 1 2  , B =   5 9 0 
1 1 4
 2 5 0




3. Найдите обратную матрицу. При каких ограничениях на параметры матрица обратима.
1
a) 

1
.
 
Самостоятельная работа № 4
Тема: «Векторные пространства. Системы линейных уравнений.
Матрицы и определители»
Вариант 1
1. Вычислить ранг системы векторов и определить является ли система линейно
зависимой a1 = ( 1, 2, 1, -1, 7 ), a2 = ( 2, 4, 3, 0, 6 ), a3 = (3, 6, 3, -3, 21),
a4 = ( 4, 8, 6, 0, 12 )?
2. Решить систему а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом:
 х1  х 2  2 х 3  1

  х 2  2 х3  3
 х  х  3х  1
3
 1 2
3. Вычислить произведение матриц:
 1 1  2  2 1 0

 

А ∙В =  0  1 2  ∙  2  2 3 
 1 1  1 0 1 0 

 

4. Найти А-1, если
 1 1  1


А = 0  1 1 
1 1 0 


Вариант 2
1. Вычислить ранг системы векторов и определить является ли система линейно
зависимой a1 = ( 1, 3, -1, 1, 2 ), a2 = ( 2, 6, -3, 0,2 ), a3 = (3, 18, -3, 3, 6),
a4 = (4, 12,- 6, 0, 4 )?
2. Решить систему а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) матричным методом:
 х1  х 2  х 3  1

  х 2  х3  3
х  х  2 х  1
3
 1 2
3. Вычислить произведение матриц:
1 1  4  2 1 0

 

А ∙В =  0  1 4  ∙  4  4 3 
 1 1  3 0 1 0

 

4. Найти А-1, если
 1 1  3


А = 0  1 3 
 1 1  2


Самостоятельная работа № 5
Тема: «Линейные операторы и их матрицы»
Вариант № 1
1. Будет ли линейным оператором векторного пространства R3
отображение
 ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2,0, x1 - x3 ). Определить его матрицу, дефект, ранг, построить
базисы ядра и образа.
2. Линейное отображение  векторного пространства R3 имеет в базисе (1) { e1, e2, e3 }
1 0
 3



матрицу A1 =   1 6 3  . Найти матрицу отображения  в базисе (2) { f1, f2, f3 }, если
 3  3 1


f1 = e1+ e3,, f2 = e1+ e2+ e3, f3 = e1+ 2e3.
3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейного оператора пространства R3:
( x1 , x2 , x3 ) = (x1 - x2 , x1 - x2, x3)
3
4. В пространстве R найти собственные значения и собственные векторы линейного
оператора , заданного матрицей A1 .
 4 5 3 


A1 =   3 2
3 
  2 2  1



Вариант 2
1.Будет ли линейным оператором векторного пространства
R3 отображение
 ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2 – x3, - 3x2+3x3, x2 - x3 ). Определить его матрицу, дефект, ранг,
построить базисы ядра и образа.
2. Линейное отображение  векторного пространства R3 имеет в базисе (1) { e1, e2, e3 }
 1  1 3



матрицу A1 =  4 3 2  . Найти матрицу отображения  в базисе (2) { f1, f2, f3 }, если
1  2 5


f1 = e1+ e3, f2 = e1+ e2+ e3, f3 =2e1+ e2 + 3e3.
3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейного оператора пространства R3:
 ( x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x1,0)
3
4. В пространстве R найти собственные значения и собственные векторы линейного
оператора , заданного матрицей A1 .
0  4  2 



A1 =  1 4
1 
0 0
2 

10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
При подготовке к занятиям можно опираться на конспекты лекций и литературу,
предложенную в разделе 12 данной рабочей программы. В указанном разделе
расположены: список основной литературы, дополнительной литературы, необходимые
интернет-ресурсы.
Подготовка к самостоятельным и контрольным работам
При подготовке к самостоятельным и контрольным работам необходимо проработать
материалы лекционных и практических занятий, дополнительную литературу. В течение
семестра предусмотрен 1 тест, 5- 6 самостоятельных работ и 1 контрольная работа (см. п.
10.3).
III семестр
Вопросы к зачету по дисциплине
«Линейная алгебра», II курс, III семестр
1. Подстановки, их чётность. Определители 2-го и 3-го порядка. Схема треугольников.
Формулы Крамера.
2. Определитель n-го порядка, его свойства и вычисление.
3. Базис конечной системы векторов. Ранг конечной системы векторов.
4. Базис и размерность векторного пространства. Координаты вектора относительно
заданного базиса. Примеры
5. Первоначальные сведения о системах линейных уравнений. Элементарные
преобразования и равносильность систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
6. Ступенчатые матрицы и вычисление ранга матрицы. Критерий совместности системы
линейных уравнений. Примеры.
7. Свойства решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений, связь
между решениями этих систем.
8. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная
система решений. Примеры.
9. Операции над матрицами, их свойства. Векторное пространство матриц одинаковой
размерности над полем F. Кольцо квадратных матриц n-го порядка. Примеры.
10. Обратимые матрицы, их свойства. Критерий обратимости матрицы. Способы
вычисления обратной матрицы. Примеры.
11. Линейные операторы: определение, примеры и свойства.
12. Ядро и образ линейного оператора, дефект и ранг. Теорема о сумме ранга и дефекта.
13. Матрица линейного оператора. Взаимно-однозначное соответствие между линейными
операторами и их матрицами. Связь между координатными столбцами x и  ( x ) .
14. Преобразование координат при изменении базиса. Матрица перехода.
15. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
16. Операции над линейными операторами и их матрицами.
17. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Нахождение
собственных векторов линейного оператора.
Задачи к зачету по дисциплине
«Линейная алгебра», II курс, III семестр
Тема 1: “Векторные пространства”
1. Является ли вектор c = (3,8,11) линейной комбинацией векторов a = (0,1,1) и
b = (1,2,3)?
2. Записать общий вид элементов линейной оболочки, натянутой на систему векторов

a =(1,2) и b = (2,4) и дать ей геометрическое истолкование.
3. Выяснить линейно-зависима или линейно-независима система векторов, найти её ранг.
В линейно-зависимой системе выписать какую-нибудь линейную зависимость. Выделить
какую-нибудь максимальную линейно-независимую подсистему:
a) a1 = (1,2,3,1); a2 =( 2,3,1,2); a3 = (3,1,2,-2); a4 = (0,4,2,5).
b) a1 = (-1,3,3,2,5); a2 =( -3,5,2,3,4); a3 = (-3,1,-5,0,-7); a4 = (-5,7,1,4,1).
4. Проверить, образует ли каждая из следующих систем векторов базис пространства R3 и
найти координаты вектора x в каждом из этих базисов.
a) e1 = (1,1,1), e2 = (1,1,2), e3 = (1,-2,3), x = (6,9,14)
b) e1 = (2,1,-3), e2 = (3,2,-5), e3 = (1,-1,1), x = (6,2,-7)
5. Дополнить до базиса систему векторов, заданных в пространстве R4:
a) a1 = (2,3,4,5); a2 =( 4,6,1,8);
b) a1 = (1,3,4,5); a2 =( 3,8,1,2).
Тема 2: “Системы линейных уравнений”
6. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:
 x1  2 x 2  x 3  x 4  0
 x1  2 x 2  4 x 3  3 x 4  0
2 x  5 x  3 x  x  0
 3x  5x  6 x  4 x  0
 1

2
3
4
2
3
4
a) 
; b)  1
 x1  x 2  6 x 3  4 x 4  0
 4 x1  5 x 2  2 x 3  3 x 4  0
 x1  3 x 2  4 x3  2 x4  0
3 x1  8 x 2  24 x3  19 x4  0
7. Исследовать систему на совместность:
 3 x1  4 x2  x3  7

 x1  2 x2  3 x3  0
7 x  10 x  5 x  2
2
3
 1
8. Найти базис (фундаментальную систему решений) и размерность линейного
пространства решений системы линейных однородных уравнений:
 x1  x 2  3 x 3  0
 x  x  x  2x  0
 1
2
3
4

2 x 1  x 2  4 x 3  x 4  0
 x1  2 x 2  5 x3  x4  0
Тема 3: “Матрицы и определители”
9. Вычислить матрицу обратную данной двумя способами:
 111
 1 2  3




a) A =  0 1 0  ;
b) A =  3 2  4 
 112 
2 1 0 




10. Решить систему в матричном виде:
 x1  4 x 2  5 x 3  4

 x 2  9 x3  0
x  4 x  9 x  0
2
3
 1
11. Решить матричное уравнение:
 1 2  3


3 2  4 X =
2 1 0 


 1  30 


 10 2 7 
 10 7 8 


12. Решите и исследуйте уравнение относительно переменных x, y, z, u.
a b   x y 1 0

  
 = 

 c d   z u  0 1
 t 1
 , B =
13. Найти общее решение матричного уравнения: AXB = C, где A = 
 1 1
 1 1
0 1

 , C = 
 - матрицы над R, в зависимости от параметра t.
1 t 
0 0 
14. Вычислить количество инверсий в перестановке (3,4,2,1,5). Будет ли она чётной?
15. Какая подстановка в Sn имеет наименьшее число инверсий, какая - наибольшее?
16. Какие значения должны принимать i и k, чтобы произведение a17 a23 a31 a4i a54 a66 a7k
a82 a99 входило в определитель девятого порядка a) со знаком “плюс”, b) со знаком
“минус”?
17. Вычислить определители:
1 0 1 2
2 1 0 3
a)
;
0 1 3 2
1 2
1 0
18. Найдите какие-либо решения уравнения:
1 x x2 x3
1
1
1
1
 0.
1 1 1 1
1 0
0
0
19. Решить систему с помощью правила Крамера:
 x1  2 x2  3 x3  7

 2 x1  x 2  x 3  9
 x  4 x  2 x  11
2
3
 1
20. Найти ранг матрицы:
9 
 1 7 7


 7 5 1  1
A =
4 2  1  3


 1 1 3

5


Тема4: “Линейные операторы”
21. Какие из следующих преобразований арифметического векторного пространства R3
являются линейными ? В случае линейности найти матрицу данного линейного
оператора относительно стандартного базиса.
а)  ( x1 , x2 , x3 ) = (x1+ x2+ x3 , x1+ x2, x3) б)  ( x1 , x2 , x3 ) = (x1+ 1 , x2+ 2, x3 + 3)
в)  ( x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x1 x2, , x1 x2 x3)
22. Найдите матрицу линейного оператора, переводящего векторы a1, a2 соответственно
в векторы b1,b2, относительно стандартного базиса (1) e1=(1,0), e2=(0,1), если a1 = (1,1), a2
= (0,1),
b1 = (1,2), b2 = (2,1).
23. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейных операторов пространства
R3: а)  ( x1 , x2 , x3 ) = (x1+ x2 , x1+ x2, x3); б)  ( x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x1,0)
1 3 
 относительно базиса (1) a1 =(1,2);
Линейный оператор  имеет матрицу A1 = 
1 2 
1 2
 относительно базиса (2)
a2 =(3,7).
Линейный оператор  имеет матрицу A2 = 
3 7 
b1=(1,1),b2 = (0,1). Найдите матрицу оператора    относительно базиса (1)(a1,a2).
4.
11. Образовательные технологии
При освоении дисциплины используются различные методы и формы активизации
познавательной деятельности бакалавров (активные и интерактивные) для достижения
запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Учебный процесс, опирающийся на использование интерактивных методов обучения,
организуется с учетом включенности в процесс познания всех студентов группы без
исключения. Совместная деятельность означает, что каждый вносит свой особый
индивидуальный вклад, в ходе работы идет обмен знаниями, идеями, способами
деятельности. Интерактивные методы основаны на принципах взаимодействия,
активности обучаемых, опоре на групповой опыт, обязательной обратной связи. Создается
среда
образовательного
общения,
которая
характеризуется
открытостью,
взаимодействием участников, равенством их аргументов, накоплением совместного
знания, возможность взаимной оценки и контроля.
Данная дисциплина предполагает широкое применение таких интерактивных
технологий, как групповая работа, в процессе которой происходит обмен опытом,
выявляются различные точки зрения, активизируется творческий потенциал каждого
участника, повышается продуктивность его взаимодействия с другими, его социальная
активность. Сопоставление взглядов всех членов группы повышает уровень понимания
ситуации и выработки идей решения рассматриваемых задач.
В рамках данного учебного курса также предусмотрено использование таких
активных методов обучения, как учебные дискуссии, технологии развития критического
мышления, «мозговой штурм» и др. Эти технологии в сочетании с внеаудиторной работой
решают задачи формирования и развития профессиональных умений и навыков
обучающихся, как основы профессиональной компетентности.
Интерактивные формы проведения занятий (групповая работа, дискуссии и др.).
План проведения интерактивных занятий
III семестр
Таблица 8
№
темы
1.1.
1.2.
Тема занятия
Форма проведения
Базис
и ранг конечной Взаимопроверка студентов
системы векторов. Базис и
размерность
векторного
пространства
Определители второго и
Работа в малых группах
третьего порядка. Формулы
Крамера. Определители n-го
порядка, их свойства.
Миноры и алгебраические
дополнения, разложение
определителя по строке
Кол-во
Часов
1
1
1.3.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
3.3.
(столбцу), вычисление
определителей.
Ранг матрицы. Равенство
строчечного и столбцового
рангов матрицы. Критерий
совместности
и
определенности с.л.у.
Метод Гаусса.
Алгебраические
операции
над
матрицами
и
их
свойства.
Обратимые
матрицы,
свойства.
Нахождение
обратной
матрицы
с
помощью
присоединения
единичной матрицы.
Матричные
уравнения
Вычисление
обратной
матрицы
с
помощью
присоединенной.
Матрица
линейного
оператора
и
его
координатная форма записи
(связь
между
координатными столбцами
x
и
(x)). Изменение
матрицы
линейного
оператора при переходе к
другому базису. Подобие
матриц.
Действия над линейными
операторами и их
матрицами. Собственные
векторы и собственные
значения линейных
операторов. Линейные
операторы с простым
спектром.
Взаимопроверка студентов
1
Работа в малых группах
Взаимопроверка студентов
1
1
Работа в малых группах
Работа
в
группах:
составление
тестовых
заданий для групповых
взаимопроверок
Взаимопроверка студентов
Итого
2
1
1
10
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
12.1. Основная литература
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
2. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория
Базовых Знаний, 2008.
4. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб.: Издательство
“Лань”, 2008.
12.2. Дополнительная литература
5. Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
6. Апатёнок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по
линейной алгебре. – Мн: Выш. школа, 1980.
7. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983.
8. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. – М.: Наука, 2000.
9. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые
задания по курсу: «Алгебра и теория чисел»: Учебно-методическое пособие для
студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во
ТГПИ, 1998.
10. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
11. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра: Учебное пособие для студентовзаочников
I-го курса физико-математических факультетов педагогических
институтов. – М.: Просвещение, 1981.
12. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В.
Алгебра. – М.:
Просвещение, 1978.
13. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Часть I:
Учебное пособие для студентов-заочников физико-математических факультетов
педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1974.
14. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
15. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
16. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984.
17. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966.
18. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука, 1975.
19. Громов А.П. Учебное пособие по линейной алгебре. – М.: Просвещение, 1971.
20. Дальма А. Эварист Галуа – революционер и математик. – М.: Наука, 1984.
21. Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для
студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во
ТГПИ, 1999.
22. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1975.
23. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.
24. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.: Наука,
1979.
25. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.
26. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.
27. Кириллов В.А. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1978.
28. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001-2004.
29. Кострикин А.И., Манин Ю.И.
Линейная алгебра и геометрия. – СПб.:
Издательство “Лань”, 2005.
30. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.Куликов Л.Я.,
Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.:
Просвещение, 1993.
31. Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. – М.:
Наука, 1967.
32. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение,
1978
33. Лефор Г. Алгебра и анализ. – М.: Наука, 1973.
34. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
35. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.
36. Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре: Учебное пособие для студентовзаочников II-го курса физико-математических факультетов педагогических
институтов. – М.: Просвещение, 1983Петрова В.Г. Лекции по алгебре и геометрии.
Ч I., II. – М.: Владос, 1999.
37. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и
теория чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995.
38. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.
39. Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник-практикум по алгебре. Часть IV:
Учебное пособие для студентов-заочников II-го курса физико-математических
факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1985.
12.3. Интернет-ресурсы:
1.
Буров, А.Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Электронный
ресурс]: учебное пособие / А.Н. Буров, Э.Г. Соснина. - Новосибирск: НГТУ, 2012. - 186 с.Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=228751 (дата обращения:
14.10.2014).
2.
Углирж, Ю.Г. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия [Электронный
ресурс]: учебное пособие / Ю.Г. Углирж. - Омск: Омский государственный университет,
2013. - 148 с. – Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=238212 (дата
обращения: 14.10.2014).
3.
Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /.
4.
Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных
ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /.
5.
Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU: http://elibrary.ru /.
6.
http://www.wolframalpha.com/.
7.
www.math.ru - сайт посвящён Математике (и математикам. Этот сайт — для
школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой.
8.
www.exponenta.ru - образовательный математический сайт.
9.
www.matematicus.ru - учебный материал по различным математическим
курсам.
10.
www.geometry.ru – материалы по элементарной геометрии.
11.
www.xplusy.isnet.ru - математика для студентов.
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
В процессе изучения дисциплины используются следующие информационные
технологии: мультимедийные технологии, традиционные лекции и практические занятия,
интерактивные формы лекций и практических занятий: занятия в малых группах,
самостоятельная работа, контрольные работы, плановые и дополнительные консультации.
Программное обеспечение:
1.
Microsoft Word.
2.
Microsoft Excel.
3.
Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).

Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки
материалов для учебного процесса).

Учебные аудитории с мультимедийным обеспечением для проведения
лекционных и практических занятий, в частности, оснащенные интерактивной
доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется
ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения
семинарского занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием
учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений,
основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо
усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на
лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе, используя
основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.
В течение первого семестра студенты разбирают и решают задачи, указанные
преподавателем к каждому практическому занятию, разбирают и повторяют основные
понятия и теоремы, доказанные на лекциях, решают домашние задания.
Во третьем семестре запланировано: 2 коллоквиума, 5 самостоятельных работ, 1
контрольная работа в письменной форме, 1 итоговая семестровая работа с
собеседованием, в конце семестра проводится экзамен.
Методические указания при решении контрольных работ
III семестр
Контрольная работа № 1
Цель: Овладение основными понятиями и фактами, касающихся решения систем
линейных уравнений, действий над матрицами и вычисления определителей.
Задание 1:
Вычислить определители: 1)
2 7
3
8
2
;
4
2)  1
8
1
3 5.
2 6
2 7
 2  8  7  3  37 .
3 8
2) Разлагая данный определитель, например, по элементам первой строки, получаем:
2
4 1
3 5
1 5
1 3
 4 
1 3 5  2 
 1
 2  28  4   46  1  22  218 .
2 6
8 6
8 2
8 2 6
Тот же результат получится, если воспользоваться формулой схемой треугольников:
2
4 1
 1 3 5  2  3  6   1   2  1  4  5  8  8  3  1 
8 2 6
Решение:
1)
 2  5   2  4   1  6  218 .
5 
 2 1
 7




0  и B   2  3 .
Задание 2. Найти сумму и разность матриц A   3
  5  2
 0
1 



Решение:
Здесь даны матрицы одного размера 3 2 , следовательно, существуют их
сумма и разность. Согласно определению алгебраической суммы матриц имеем
4 
 2  7 1 5  9

 

A B   3 2
0  3    5  3 ,
  5  0  2  1   5  1 

 

1  5    5  6
 27

 

A  B   3  2 0   3   1
3 .
  5  0  2  1    5  3

 

1 0
1 1 2  3

 

Задание 3. Вычислить: А ∙ В =  0 1 1  ∙   1 6 3  .
1 1 3  3  3 1

 

Решение. Воспользуемся правилом умножения матриц:
 a11

А ∙ В =  a 21
a
 31
a12
a 22
a32
a13   b11 b12

a 23   b21 b22
a33   b31 b32
b13   c11 c12
 
b23  =  c 21 c 22
b33   c31 c32
c13 

c 23  , где
c33 
cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ai 3  b3 j , при i  {1, 2, 3}, j  {1, 2, 3}. Получим:
1 0  1  3  1  (1)  2  3 1  1  1  6  2  (3) 1  0  1  3  2  1
1 1 2  3

 
 

 0 1 1  ∙   1 6 3  =  0  3  1  (1)  1  3 0  1  1  6  1  (3) 0  0  1  3  1  1 =
 1 1 3   3  3 1   1  3  1  (1)  3  3 1  1  1  6  3  (3) 1  0  1  3  3  1


 
 
 8 1 5


 2 3 4 .
11  2 6 


Задание 4. Решить систему методом Гаусса:
 x1  2 x2  2 x3  1

  3x2  3x3  0 .
 x  4 x  5 x  10
2
3
 1
Решение. Решим систему методом Гаусса. Запишем матрицу В и приведем ее к
ступенчатому виду.
2  1
2  1  (1)
 1 2
 1 2
1  2  2 1 






В =  0  3  3 0   1
 0
1
1
0
0 1
1 0

3
 1  4  5 10   I
 0  2  3 9   II  (2)  0 0  1 9   (1)






1  2  2 1 


 0 1
(жирным шрифтом выделены ведущие элементы).
1
0 
0 0
1  9   (1)

rang A = rang B = 3, следовательно, система будет совместной и определенной.
Запишем ступенчатую систему на основе полученной ступенчатой матрицы.
 x1  2 x2  2 x3  1

 x2  x3  0

x3  9

Значение x3 = – 9 подставим во второе уравнение системы и выразим x2 = 9. Затем,
значения x2 = 9 x3 = – 9 подставим в первое уравнение системы и вычислим x1 = 1.
 1  2  9  2  (9)  1  1  1


Проверка:   3  9  3  (9)  0   0  0 .
 1  4  9  5  (9)  10
10  10


Ответ. Система имеет единственное решение:
 x1  1

 x2  9 .
x   9
 3


 1 1  1


Задание 5. Вычислить обратную матрицу А , если А=  0 1  1
1 1 3 


-1
 1 1  1


Решение. А =  0 1  1 = rang A =3, значит, матрица A обратима.
1 1 3 


-1
Вычислим А .
1. Метод
элементарных преобразований:
 1 1  1 1 0 0   II


~
 0 1 1 0 1 0
 0 2 2 1 0 1   II  (2)


 1 1 1 1 0 0


 0 1 1 0 1 0
 1 1 3 0 0 1  I


1 0 0 1 1 0


 0 1  1 0 1 0   III  0,25
 0 0 4 1  2 1   0,25


1
0 
1 0 0 1


 0 1 0 1 4 1 2 1 4  . Таким образом,
 0 0 1 1 4 1 2 1 4


 1 1  1


 0 1  1
 1 1 3 


1
~
~
1
0 
 1


= 1 4 1 2 1 4  .
1 4  1 2 1 4 


2. С помощью алгебраических дополнений:
A–1 =
1
|A| =
1
 || Aij || t (1  i  n, 1 j  n).
| A|
1 1
0 1  1 = (3 + 1 + 0) – (1 – 1 + 0) = 4  0. Поэтому А-1 обратима.
1 1 3
Вычисляем алгебраические дополнения элементов данной матрицы, не забывая о
их знаках:
A11 = (-1)1+1·
A21 = (-1)2+1 ·
1 1
1
3
1 1
1
A31 = (-1)3+1 ·
3
= 4, A12 = (-1)1+2 ·
= – 4, A22 = (-1)2+2 ·
1 1
1 1
0 1
0 1
= 1, A13 = (-1)1+3 ·
= 1,
1 3
1 1
1 1
1 1
= 2, A23 = (-1)2+3 ·
= –2,
1 3
1 1
= 0, A32 = (-1)3+2 ·
1
1 1
1 1
= 1, A33 = (-1)3+3 ·
= 1.
0 1
0 1
1
0 
 1 1  1
 4 1 1 
 4  4 0  1








1
1
А-1 =  0 1  1 =
   4 2  2  =   1 2 1  = 1 4 1 2 1 4  .
4 
4 
 1 1 3 

 



 0 1 1 
 1  2 1  1 4  1 2 1 4 
t
1
0  1 0 0
 1 1  1  1

 
 

Проверка: А ∙ А =  0 1  1 · 1 4 1 2 1 4  =  0 1 0  .
  1 1 3  1 4  1 2 1 4   0 0 1 

 

 
-1
1
0 
 1


Ответ: А = 1 4 1 2 1 4  .
1 4  1 2 1 4 


-1
1 2
 , B =
Задание 6. Решить уравнение: A  X = B, где А = 
3 4
 0 1

 .
 2 3
Решение. |A|  0, поэтому решением уравнения будет матрица X = A–1 B.
Вычислим A–1 с помощью элементарных преобразований:
1 2 1 0
 1 2 1 0   II  1 0  2 1
1 0  2
1 








~
~
~
3 4 0 1  I  3 0  2  3 1
 0  2  3 1 : (2)  0 1 3 / 2  1 / 2 








1 
 2
 . Х =
Следовательно, А-1 = 
 3 / 2  1/ 2
1   0 1  2 1 
 2

 · 
 = 
 .
 3 / 2  1 / 2   2 3   1 0 
1 2  2 1   0 1
 · 
 = 
 .
Проверка: 
3
4

1
0
2
3

 
 

 2 1
 .
Ответ: Х = 

1
0


 1 0 1


2. Решить уравнение: Y C = D, где С =  0 0 1  , D =
 1  1 3


 2  1 5

 .
 0  1 3
|С|  0, поэтому решением уравнения будет матрица Y = D  C –1.
1 0 t
1
1 1 0 



1 
1
–1
t
Вычислим С =
 ||Сij|| =    1 2 1  =  1 2  1 , Y = D  C –1 =
1 
|С |

0 1 0 
 0 1 0


=
1 1 0 
  1 1 1
 2  1 5 

   1 2  1 = 
 .

1
1
1
 0  1 3 



0 1 0 
 1 0 1
  2  1 5
 1 1 1 
 ·  0 0 1  = 
 .
Проверка: 
0

1
3
  1 1 1 



 1  1 3
 1 1 1
 .
Ответ: Y = 
  1 1 1
Задание 7. Решить систему линейных уравнений: 1) используя правило Крамера;
2). методом Гаусса.
3x1  x2  x3  12

5 x1  x2  2 x3  3
 x  x  2x  3
3
 1 2
Решение: 1. Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы:
3 1 1
 5 1 2 .
1 1 2
Разложим определитель
a11 a12 a13
a21 a22
a31 a32
по
элементам
a23  a11  A11  a12  A12  a13  A13 .
a33
первой
строки,
пользуясь
формулой
3 1 1
Δ  5 1 2  3 1 2  5 11  (1)  2 1  (111  1 2  3  1 5  2)  12  0
1 1 2
Запишем и вычислим вспомогательные определители:
12 1 1
Δx1  3
3
1
1
2  12 1 2  3 11  (1)  2  3  (3 11  1 2 12  3  2 1)  0 ;
2
3 12 1
Δx2  5
1
3
3
2  3  3  2  5  3 1  12  2 1  (1 3 1  3  2  3  2  5 12)  84 ;
2
3 1 12
Δx3  5
1
1
1
Тогда x1 
3  3 1 3  5 112  (1)  3 1  (1112  1 3  3  1 5  3)  60 ;
3
x1 0

0 ;
 12
x2 
x2
84

 7

12
; x3 
x3 60

5.

12
2. Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и
упростим ее приведением к треугольному виду.
 3  1 1 12   1 1 2 3   1 1
2 3   1 1 2 3 

 
 

5
3
 
 5 1 2 3  ~  3  1 1 12  ~  0  4  5 3  ~  0 1
4
4
 1 1 2 3   5 1 2 3   0  4  8 3  

 
 
  0 0  3  15 
Таким образом, система равносильна системе
x1  x 2  2 x3  3

5
3

x 2  x3  

4
4


3
x


15
3

Находим x3  5
3 5
28
x2     5  
 7
4 4
4
x1  12  7  5  0
Ответ: x1  0 , x2  7 , x3  5
При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ.
Задание 8. Показать, что система имеет единственное решение
 2 x  3 y  z  13

 4 x  7 y  13
 x  2 y  5 z  4

Решение:
Данная система имеет размер 3 3 (три уравнения и три неизвестных).
Составим матрицу A из коэффициентов при неизвестных:
 2  3 1


A 4
7 0  . Матрица A квадратная 3 3 . Вычислим определитель матрицы  ,
 1  2 5


используя формулу его разложения по элементам первой строки:
2
3 1
7 0
4 0
4
7
 4
7 0  2
  3 
 1

2 5
1 5
1  2
1  2 5
 2  35   3   20  1  1  129 .
Так как определитель системы   129  0 , то данная система имеет единственное
y


решение. Это решение можно найти по правилу Крамера: x  x ; y 
; z  z , где



  129 - главный определитель системы;  x ,  y ,  z - вспомогательные определители,
которые получаются из главного путем замены соответствующего столбца на столбец
свободных членов, и вычисляются аналогично определителю  .
13  3 1
 x   13 7 0  13  7  5   3  0  4  1   13   2 
4 2 5
 1 7  4   3   13  5  13  0   2  455  26  28  195  258 ;
2
y  4
1
13
 13
4
1
0  2   13  5  13  0   1  1  4  4 
5
 1  13   1  13  4  5  2  0  4  130  16  13  260  387 ;
2
z  4
1
3
7
2
13
 13  2  7  4   3   13   1  13  4   2 
4
 13  7   1   3  4  4  2   13   2  56  39  104  91 
 48  52  0.
Отсюда по правилу Крамера имеем:
 y  387

258
y

 3 ;
x x 
 2;

129
 129

0
z z 
 0.
 129
Решение системы единственно, решением является упорядоченная совокупность чисел
2;  3 0 .
Ответ: 2;  3 0.
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Рабочая
программа
пересмотрена
и
одобрена
на
заседании
______________________________________ «__» _______________2014 г.
Заведующий кафедрой ___________________/___________________/
Подпись
Ф.И.О.
кафедры
Образец оформления оборотной стороны
титульного листа УМК. Рабочей программы
дисциплины (модуля) для электронного издания
Евсюкова Е.В. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов 050100.62 (44.03.05) Педагогическое образование.
«Математика» (очная форма обучения). Тюмень, 2015, ___ стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) «Линейная алгебра» опубликована на сайте
ТюмГУ: ______________ (указать наименование дисциплины (модуля) в соответствии с
учебным планом образовательной программы) [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физики, математики и методик преподавания.
Утверждено директором филиала Тюм ГУ в г. Тобольске (наименование Института).
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Шебанова Л.П., канд. пед. наук, доцент, заведующий
кафедрой физики, математики и методик преподавания.
© Тюменский государственный университет, 2015.
© Евсюкова Елена Владимировна, 2015.
Шаблон рабочей программы дисциплины (модуля) для студентов бакалавриата
(специалитета)
Образец оформления листа утверждения
для электронного издания
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Директор Института
_______________________ /Ф.И.О./
__________ _____________ 201__г.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов 050100.62. (44.03.05). Педагогическое образование
профиль подготовки: “Математика, информатика”
(очная форма обучения)
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от ____.____.2014
Содержание: УМК по дисциплине (наименование дисциплины) для студентов (указать
код, название направления и профиля подготовки, форму обучения)
Автор(-ы): ФИО
Объем _____стр.
Должность
ФИО
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
Протокол заседания
кафедры от __.__.2014
№ __
Протокол заседания
УМК от __.__.2014
№ __
Заведующий
кафедрой
(наименование
кафедры)
ФИО
__.__.2014
Рекомендовано
к электронному
изданию
Председатель УМК
(Институт)
ФИО
__.__.2014
Согласовано
Директор ИБЦ
ФИО
__.__.2014
Согласовано