М.У.Вд-1 - Вечерне-заочный факультет - МГТУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФГОУВПО «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
и программного обеспечения ЭВМ
Методические рекомендации к выполнению контрольных
работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета
по дисциплине «Математика»
Часть 2.
Элементы теории функций. Комплексные числа.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Мурманск
2006 г.
2
УДК 517 (076.5)
ББК 22.161Я73
М 54
Составители : В. С. Кацуба, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей
математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ,
Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.
Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой
13.12.2006 г., протокол №3.
Рецензент: Драница Ю. П., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Редактор
Корректор
Мурманский государственный технический университет, 2006
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение…………………………………………………………………………...4
Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные
числа» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»........5
Справочный материал по теме «Элементы теории функций. Комплексные
числа»……………………………………………………………..……………… 7
1. Функции и их свойства………………………………………………..…. 7
2. Предел функции. Предел последовательности.……………………...... 9
3. Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные
функции.…………………………………………………………………. 11
4. Вычисление пределов ……………..……………………………..…..... 14
5. Раскрытие неопределенностей ………………………………………... 15
6. Непрерывность функции, точки разрыва……………………………... 18
7. Комплексные числа……………………………………………………... 20
8. Действия над комплексными числами………………………………… 22
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №3…........23
Справочный материал по теме «Дифференциальное исчисление функций
одной переменной»………………………………………………………………34
1. Дифференцирование функций ……………………………………….…34
2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой .………………..37
3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя .………………37
4. Исследование функций и построение графиков ……………..………..38
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №4…........42
Варианты контрольных работ……………………………………………….….52
Варианты контрольной работы №3…………………………………………….53
Варианты контрольной работы №4…………………………………………….58
Рекомендуемая литература ………………………………………………......... 61
ВВЕДЕНИЕ
4
В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольных работ по темам
«Элементы теории функций. Комплексные числа» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», а также варианты контрольных работ
№3 и №4 по этим темам для студентов ВЗФ.
В результате изучения этих тем студенты 1-го курса должны:
• владеть понятиями функции, сложной и обратной функций, знать
свойства основных элементарных функций, уметь определять их основные
характеристики по графикам функций;
• знать определения предела функции и предела последовательности;
• уметь вычислять пределы, раскрывать неопределенности и анализировать полученный результат с точки зрения определения предела;
• уметь исследовать функции на непрерывность, определять точки разрыва функции и устанавливать тип разрыва;
• знать, что такое мнимая единица и комплексное число, уметь производить операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах;
• уметь решать простейшие алгебраические уравнения на множестве
комплексных чисел;
• владеть основными понятиями дифференциального исчисления (производная и ее геометрический смысл, дифференциал), уметь находить производные функций, заданных явно, неявно или параметрически;
• иметь навыки решения основных задач с использованием производных: геометрические задачи на касательную и нормаль, вычисление пределов
с использованием правила Лопиталя и пр.;
• знать приемы исследования функций с помощью производной.
Данные методические рекомендации включают также список рекомендуемой литературы, справочный материал, необходимый для выполнения
контрольных работ №3 и №4 для студентов 1-го курса и решение примерных
вариантов этих работ, в которых имеются ссылки на используемый справочный материал.
5
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМАМ
«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА» И
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить
соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.
Таблица 1.
№
№
к.раб. задачи
1
2
3
1
3
2
3
3
Содержание (темы)
Литература
3
4
Основные элементарные функции, их графики [1], гл. V, § 14; [2], гл. 4, § 1, 11, 12.1;
и основные характеристики. Сложные функции. [3], гл. VI, № 610–637;
Обратные функции
[4], гл. 4, № 15–38, 43–60, 62–71, 73–108,
151, 153
Предел числовой последовательности и функ- [1], гл. V, § 15–18; [2], гл. 4, § 2–6;
ции непрерывного аргумента. Вычисление пре- [3], гл. VI, № 638–690, 692, 693, 700, 707,
делов, раскрытие основных видов неопреде714–719;
ленностей. Сравнение бесконечно малых функ- [4], гл. 2, № 21–24, 26–28, 63–68,
ций. Эквивалентные бесконечно малые функгл. 4, № 228–246, 285, 289, 346–351,
ции
355, 358–359
Определение непрерывности функции в точке и [1], гл. V, § 19;
на промежутке. Точки разрыва функции и их [2], гл. 4, § 7–9;
классификация. Исследование функции на не- [3], гл. VI, № 723–735;
прерывность
6
1
3
4
4
4
4
2
4
1
2
3
4
3
Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Решение простейших алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел
Определение производной. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные сложных функций.
Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших
порядков
Уравнения касательной и нормали к плоской
кривой
Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя
Монотонность и экстремумы функций. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Полное исследование функции и построение ее графика
4
[1], гл. VI, § 27–28;
[2], гл. 14, § 6.1;
[4], гл. 9, № 1–52
[1], гл.V, § 20, 21, 23.1;
[2], гл. 5, § 1, 4, 5, 7–9, 10.1, 11;
[3], гл. VII, № 771–811, 900–907, 909–
912, 950, 951, 964, 965, 969;
[4], гл. 5, № 14–44, 162–167, 206–211
[1], гл. V, § 20.2;
[2], гл. 5, § 1.2;
[3], гл. VII, № 917–921, 923–930;
[4], гл. 5, № 139–144
[1], гл. V, § 25.2; [2], гл. 6, § 1, 2;
[3], гл. VII, № 1024–1028, 1030–1040;
[4], гл. 5, № 225–240, 258–264
[1], гл. V, § 25.3–25.8;
[2], гл. 6, § 4;
[3], гл. VII, № 1055–1058, 1061–1064,
1083–1084, 1091–1094, 1102–1109;
[4], гл. 5, № 282, 293, 296, 297–300, 315–
324, 334, 339, 342, 344–347
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.
7
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ТЕМЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
1. Функции и их свойства
Переменной называют величину x  X , принимающую значения из некоторого множества значений Х.
Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено в соответствие по определенному правилу f единственное значение переменной у из
множества Y, то говорят, что задана функция y  f ( x) , определенная на множестве Х с множеством значений Y. При этом используют следующие названия:
х ––– аргумент (независимая переменная);
у – значение функции (зависимая переменная);
Х – область определения функции (ООФ);
Y – множество значений функции (ОЗФ).
Функция y  f ( x) , область определения Х которой симметрична относительно начала координат, называется четной, если f ( x)  f ( x) , и называется
нечетной, если f ( x)   f ( x) ,  x  X .
Примеры. y = cosx – четная функция, y = x3 – нечетная функция, y 
x –
функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
Функция y  f ( x) называется периодической, если существует положительное число Т, такое, что f ( x  T )  f ( x) ,  x  X .
Примеры. y = tgx – периодическая функция, наименьший период T = π, y = lnx
– непериодическая функция.
Значение функции y  f ( x) – переменная величина, поэтому можно
рассматравать новую функцию с аргументом у: z = g(y), где z  Z ,
т. е. функцию z = g(f(x)). Такая функция называется сложной функцией от х,
или суперпозицией функций f и g.
Пример. z = tg(х2 + 3x -1) – суперпозиция функций z = tgу и у = х2 + 3x -1.
Если  y  Y ставится в соответствие единственное значение x  X , такое,
8
-1
что y  f ( x) , то говорят, что задана функция x  f ( y) , которую называют
обратной по отношению к функции y  f ( x) . Функции f и f -1 называются
взаимно обратными функциями. Если у обратной функции
x  f -1 ( y)
обозначить аргумент буквой х, а функцию – буквой у, то графики взаимно
обратных функций y  f ( x) и y  f
1
( x) будут симметричны относительно
прямой у = х.
Пример. y = lgx и y = 10x – взаимно обратные функции.
Все функции, задаваемые аналитическим способом, можно разбить на
два класса: элементарные и неэлементарные. В классе элементарных функций
выделяют основные элементарные функции: степенная (у = xn), показательные
(y = ax), тригонометрические (y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx), а также обратные к ним
(логарифмические, обратные тригонометрические и др.).
Элементарными называют функции, полученные из основных элементарных
функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания,
умножения, деления, а также суперпозиции основных элементарных функций.
Все остальные функции относятся к неэлементарным.
Примеры. y = lg(cosx) – элементарная функция, т.к. является суперпозицией
основных элементарных функций y = lgx и y = cosx;

 x 2 , x  0,
y
–

 1, x  0
неэлементарная функция.
Нулями функции y  f ( x) называют точки х, в которых выполнено
равенство f ( x)  0 . Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика
функции с осью Oх.
Пример. У функции y = lg(x) единственный нуль – точка х = 1.
Функция y  f ( x) называется монотонно возрастающей на интервале
х(а; b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства
х2  х1 следует неравенство f ( x 2 )  f ( x1 ) , то есть если любому большему зна-
9
чению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Функция y  f ( x) называется монотонно убывающей на интервале
х(а; b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства
х2  х1 следует неравенство f ( x2 )  f ( x1 ) .
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.
Если функция y  f ( x) монотонна на интервале х(а; b), то она имеет
обратную функцию y  f
1
( x) .
 


Пример. Функция y = tgx монотонна на интервале x    2 ; 2  , ее ОЗФ:


y  (; ) . Она имеет обратную функцию y = arctgx, определенную на
интервале x  (; ) , с ОЗФ:
  
y  ; .
 2 2
Точка х0 называется точкой максимума функции y  f ( x) , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х0 , что для всякой точки х  х0
этой окрестности выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) . При этом число
f ( x0 ) называется максимумом функции f (x ) и обозначается ymax.
Аналогично, если для всякой точки х  х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) , то х0 называется точкой минимума, а число f ( x0 ) – минимумом функции f (x ) и обозначается ymin.
Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов
функции, а числа ymax и ymin называются экстремумами функции.
Пример. Функция y = cosx имеет точки максимумов x  2 k , k  0,  1,  2,... ,
y max  y(2 k )  1 ,
x    2 k , k  0,  1,  2,... ,
и
точки
минимумов
y min  y(  2 k )  1 .
2. Предел функции. Предел последовательности
Пусть функция y  f ( x) определена в некоторой окрестности точки х = а,
где а – конечная или бесконечно удаленная точка на числовой прямой Ох.
Число А называется конечным пределом функции y  f ( x) в точке х = а
10
(или при x  a ), если для любого числа   0 , сколь малым бы оно ни было,
можно указать такую окрестность U(a) точки х = а (не включающую саму
точку а), что при всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство f ( x)  A   .
f ( x)  A , или
Предел функции обозначается так: xlim
a
x a.
Определение конечного предела
символически следующим образом:
при
x a
f ( x)  A при
можно
lim f ( x)  A    0 U (a) / f ( x)  A   x U (a), x  a .
x a
записать
(*)
f ( x)  A в случае,
Геометрически существование конечного предела xlim
a
когда a  (; ) , означает, что значения функции y  f ( x) сколь угодно мало
отличаются от числа А, если значения аргумента становятся достаточно
близкими к точке х = а (рис. 1). При этом в самой точке а функция может быть
не определена или определена, но может иметь значение, отличное от А.
Поведение функции только слева или только справа от точки x  a , т.е. в
ее левой или правой окрестности, характеризуется ее односторонними
lim f ( x)  A ,
пределами (рис. 2): левосторонний предел функции обозначается x
a 0
где условие x  a  0 означет, что х остается левее точки а ( x  a, x  a );
правосторонний предел функции обозначается
lim
x a 0
f ( x)  B , где условие
x  a  0 означет, что х остается правее точки а ( x  a, x  a ).
11
f ( x)  A означает, что существуют оба одноСуществование предела xlim
a
сторонних предела и они совпадают между собой:
lim
x a0
f ( x)  lim
x a 0
f ( x)  A .
f ( x)  A , то в
Если существует конечный предел функции при x   : xlim

его определении (*) U(a) – это окрестность бесконечно удаленной точки числовой прямой (рис. 3). При этом можно рассматривать односторонние пределы:
lim
x  
f ( x) или
lim
x 
f ( x) (рис. 4).
Числовую последовательность u n  обычно рассматривают как функцию
натурального аргумента n: u n  f (n), n  N .
u n  A , то его опредеЕсли существует предел последовательности nlim

ление можно записать символически:
lim u n  A    0  n0 ( ) / u n  A   n  n0 ,
n 
т.е. члены последовательности u n  сколь угодно мало отличаются от числа А
при достаточно больших номерах n (для n  n0 ).
3. Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные
функции
Функция y  f ( x) называется бесконечно малой при x  a , если
lim f ( x)  0 (рис. 5, 6).
x a
12
Пример. y  ( x  2) 2 – бесконечно малая функция при x  2 .
Две бесконечно малые при x  a функции f(x) и g(x) называются
f ( x)
 1.
эквивалентными бесконечно малыми, если xlim
 a g ( x)
Основные соотношения эквивалентностей:
sin x ~ x при x  0 ,
(1)
arcsin x ~ x при x  0 ,
tg x ~ x при x  0 ,
(2)
(3)
arctgx ~ x при x  0 ,
(4)
ln(1  x) ~ x при x  0 ,
(5)
a x  1 ~ x lna при x  0 ,
(6)
e x  1 ~ x при x  0 .
(7)
Функция y  f ( x) называется бесконечно большой при x  a , если для
любого числа B  0 , сколь бы большим оно ни было, можно указать такую
окрестность U(a) точки х = а (не включающую саму точку а), что при всех х,
принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство f ( x)  B .
Предел бесконечно большой функции при x  a обозначается символом
 : lim f ( x)   и называется бесконечным пределом функции при x  a .
x a
Определение бесконечно большой функции при x  a можно записать
символически следующим образом:
lim f ( x)    B  0 U (a) / f ( x)  B x  U (a), x  a .
x a
13
f ( x)   ознаГеометрически существование бесконечного предела xlim
a
чает, что значения функции y  f ( x) становятся сколь угодно большими по
модулю, если значения аргумента достаточно близки к точке х = а (рис. 7, 8).
Приy
мер.
1
– бесконечно большая функция при x  1 .
x 1
u n   означает, что члены
Бесконечный предел последовательности nlim

последовательности u n  становятся сколь угодно большими по модулю при
достаточно больших номерах n:
lim u n    B  0  n0 ( ) / u n  B n  n0 .
n 
Функция y  f ( x) называется локально ограниченной в точке х = а, если
существует такая окрестность точки U(a), в которой значения функции удовлетворяют неравенству m  f ( x)  M , где m и M – некоторые числа.
Любая функция, имеющая конечный предел при x  a , в том числе и
бесконечно малая функция, является локально ограниченной в точке х = а.
Если y  f ( x) – бесконечно большая при x  a , то она не является локально ограниченной в точке х = а.
Пример. y 
1
– локально ограниченная функция во всех точках, кроме
x2  1
точек х = 1 и х = –1.
14
4. Вычисление пределов
При вычислении пределов используют теоремы о конечных пределах и
теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.
Основные теоремы о конечных пределах.
1. Если f(x) = const (const – константа) при x U (a) , то
lim const  const .
x a
C  f ( x)  C  lim f ( x) , где C = const.
2. xlim
a
x a
f ( x)  f (a) , если f(x) – функция, непрерывная в точке х = а (см.
3. xlim
a
п. 6).
f1 ( x)  A 1 и lim f 2 ( x)  A 2 , где A 1, A2 – числа, то
4. Если xlim
a
x a
lim  f1 ( x)  f 2 ( x)   A 1 A 2 , lim  f1 ( x)  f 2 ( x)  A 1 A 2 и lim
x a
x a
x a
f1 ( x ) A 1

f 2 ( x) A 2
при условии, что A 2  0 .
Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях
(для краткости обозначим: бм – бесконечно малая функция, бб – бесконечно
большая функция, огр – локально ограниченная функция).
5. бм  бм = бм.
6. бм  бм = бм.
7. бм  огр = бм.
огр
8. бм  бб , если огр не является бм.
9. бб + бб = бб, если обе бб одного знака.
10. бб  бб = бб.
11. бб  огр = бб, если огр не является бм.
12.
огр
 бм .
бб
15
Примеры.
10  10 (здесь использована теорема 1);
1) xlim
a
10(2 x  1) 10 lim (2 x  1)  10(2  2  1)  30 (здесь использованы теоремы 2, 3
2) xlim
2
x 2
и непрерывность функции у = 2х – 1);
(здесь использована теорема 8);
3)
4) xlim

x 2  4x  5
x2
 x 2 4x 5 
1
1
 4 5 
 lim  2  2  2   lim 1   2   lim 1  4 lim  5 lim 2 
x  x
x  x
x  x
x
x  x   x x  x 

 1  4 lim бм  5 lim бм  1  4  0  5  0  1 (здесь использованы теоремы 2, 4 и 12).
x 
x 
5. Раскрытие неопределенностей
Если некоторый предел существует, но не может быть вычислен при помощи теорем о конечных пределах или теорем о бесконечно малых,
бесконечно больших и локально ограниченных функциях, то говорят, что этот
предел имеет неопределенность и указывают ее вид. Основные виды неопределенностей:   ,
0
 ,
  0
1  .
Чтобы вычислить предел, имеющий неопределенность, нужно предварительно преобразовать функцию, стоящую под знаком предела, таким образом,
чтобы неопределенность исчезла, т.е. раскрыть неопределенность. Для этой
цели рекомендуется использовать определенные правила.
Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность

 

при x   , образованную
16
отношением двух многочленов или иррациональных функций, нужно в
числителе и знаменателе вынести за скобки старшие степени х и сократить
дробь на степень х.
Пример.
2 1 

2 1
x2 3   2 
3  2
3x  2 x  1   
x x 
огр
x x

lim
    lim
 lim
 lim
 lim бм  0
3
x  x  x  7
   x  x 3 1  1  7  x  x1  1  7  x  бб x




x 2 x3 
x 2 x3 


2
(здесь использовано, что
1
 0,
x
1
x
2
 0,
1
x3
0
при x   ).
Из правила 1 следует, что для раскрытия неопределенности

 

при
x   , образованной делением целых многочленов одинаковой степени, доста-
точно вычислить отношение коэффициентов при старших степенях переменной х:
lim
x 
a0 x n  a1 x n1  ....  an
b0 x  b1 x
n
n 1
 a
  0 .
 ....  bn    b0
(8)
0
Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность  0  при x  a , где а – число,
 
образованную отношением двух функций, нужно в числителе и знаменателе
дроби выделить критический множитель (х – а), и сократить дробь на него.
Пример.
lim
x 3
x2  9
( x  3)( x  3)
x3 6
0
    lim
 lim
  1,5
x  2 x  3  0  x 3 ( x  3)( x  1) x 3 x  1 4
2
(здесь
критический множитель – это (х – 3), для его выделения использовано разложение многочленов на множители).
Для выделения критического множителя в случае, когда неопределен-
17
0
ность  0  образована отношением тригонометрических, показательных, или
 
логарифмических функций, используют принцип замены бесконечно малых
функций: при вычислении предела можно заменить любой бесконечно малый
сомножитель на ему эквивалентный. При этом можно использовать теоретические соотношения эквивалентностей (см. формулы (1) – (7)).
Пример.
используем замены эквивалентных бм

arcsin x ~ x при x  0 
arcsin 2 x
arcsin 2 x

0
lim
    lim
 arcsin 2 x ~ 2 x при x  0
2
2
x  0 ln(1  2 x )
 0  x 0 ln(1  (2 x )) 
ln(1  x) ~ x при x  0 

ln(1  (2 x 2 )) ~ 2 x 2 при x  0

 lim
2x
x 0
 2x
2
  lim
x 0









1
огр
  lim
  lim бб  
x  0 бм
x 0
x
(здесь критический множитель – это (х – 0) = х, для его выделения использован
принцип замены эквивалентных бесконечно малых и соотношения эквивалентностей (2) и (5)).
Правило 3. Чтобы раскрыть неопределенность
 1 , нужно свести ее ко вто
рому замечательному пределу, который может быть записан в двух формах:
z
 1
lim 1    e или
z  
z
lim 1  z 
z 0
1
z
e;
здесь е – это иррациональное число, которое можно представить в виде
бесконечной непериодической десятичной дроби: е = 2,7182818… ( e  2,72 ).
 3x  2 


Пример. xlim
  3 x  1 

x3
1 

 lim 1 

x  
3x  1 
 
 1
 3
x
сводим ко второму


  lim
замечатель
ному
пределу

 x 
 (3x  1)  1 


 3x  1 

x3


  x3
 x3
3 x 1 

lim
 lim бб
1 

 3 x 1  e x  3 x 1  e x   0
 lim  1 

.
x   

3x  1 
  
e


18
При вычислении предела учтено, что z 
lim
x 
y
1
 0 при x   ,
3x  1
 x3
x3
x2
бб

     lim
  lim
  lim
  lim бб   , e y  0 при
1
x  
x 
x  огр
x 
1
3x  1   
3
x 3  
x
x

 x3
.
3x  1
6. Непрерывность функции, точки разрыва
Функция y  f ( x) называется непрерывной в точке х0, если:
1) x0  ООФ вместе с некоторой своей окрестностью;
f ( x)  A ;
2) существует конечный предел xlim
x
0
3) этот предел совпадает со значением функции в точке х0, т.е
A  lim f ( x)  f ( x0 ) .
(9)
x x0
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области
определения.
Если функция не является непрерывной в точке х0, но она определена в
окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки х0), то х0
называется точкой разрыва функции.
Для определения вида разрыва в точке х0 находят односторонние пределы
lim
x x0 0
f ( x) и
lim
x x0 0
f ( x) . При этом
если существуют односторонние пределы
lim
x x0 0
f ( x)  lim
x x0 0
f ( x)  A , но
A  f ( x 0 ) , то говорят, что функция терпит в точке х0 разрыв типа выколотой
точки;
f ( x)  A1 и
если существуют односторонние пределы x lim
x 0
0
lim
x  x0  0
f ( x)  A2 , но A1  A2 , то lim f ( x) не существует; в этом случае говорят,
x x
0
19
что функция терпит в точке х0 разрыв типа «скачок»;
если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функции
при x  х0 бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке х0 бесконечный разрыв.
Разрывы типа выколотой точки и типа «скачок» относятся к конечным
разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II
рода.
Примеры.
1)
Функция
 x, x  0,
y
2 x , x  0
непрерывна
x  (; 0)  (0;  )
в
силу
непрерывности функций y = – х и y = 2х. В точке х = 0 функция также непрерывна, т.к.
lim
x  0 0
f ( x)  lim ( x)  0,
lim
x  0 0
x  0 0
f ( x)  lim 2 x  0   lim f ( x)  0;
x  0 0
x 0
f (0)  ( x) x 0  0  lim f ( x)  f (0) .
x0
Следовательно, функция непрерывна для всех x  (;  ) (рис. 9).
2  x, x  0,
2) Функция y  3, x  0

непрерывна x  (; 0)  (0;  ) в силу
непрерывности функций y = 2 + х и y = 3. В точке х = 0 функция терпит разрыв
lim f ( x)  lim (2  x)  2,
типа «скачок» (рис. 10), т.к. x
0 0
x  0 0
lim
x  0 0
f ( x)  lim 3  3 ,
x  0 0
lim f ( x) не существует.
следовательно, x
0
3) Функция y = tgx непрерывна во всех точках своей ООФ, т.е. для x 
k  0,  1,  2,.. . В точках x 
т.к.
lim

x  k 0
2
tg x  ;

2
lim


2
  k,
  k функция терпит разрывы II рода (рис. 11),
x  k 0
2
tg x   .
20
7. Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида
z = x + iy,
(10)
где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. число, для которого
выполнено равенство i 2  1 .
Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.
Если у = 0, то комплексное число z = x + i0 = х является действительным,
в частности, если х = у = 0, то z = 0.
На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n-й степени
n
n1
n2
вида a0 x  a1 x  a 2 x  ... a n1 x  a n  0 , где ak – числа, a 0  0 , имеет ровно
n корней.
Пример. Решим уравнение: х2 + 9 = 0.
x 2  9 
x1, 2    9   9  1  3i .
Следовательно, уравнение имеет 2 корня: x1  3i, x1  3i .
На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно
изобразить точкой М(х; у) или радиус-вектором этой
точки OM (рис. 12), где х = Rez – действительная
часть числа z, у = Imz – мнимая часть числа.
Число z  x  iy называется сопряженным
комплексному числу z  x  iy . Геометрически точки z и z симметричны относительно оси Ох (рис.
12).
21
Модулем комплексного числа называется действительное неотрицатель2
2
ное число z  x  y . Геометрически модуль комплексного числа z  r –
это модуль вектора OM (рис. 12).
Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между
вектором OM и положительным направлением оси Ох (полярные координаты
точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комплексного числа.
Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до
слагаемого 2 n, n  0,  1,  2,..... Значение аргумента, заключенное в промежутке
( ;  ] , называется главным значением аргумента и обозначается argz, тогда
можно записать:
  arg z  2 n, n  0,  1,  2,....
(11)
Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен, его модуль r = 0.
Запись комплексного числа в виде (10) называют алгебраической формой
комплексного числа.
Если использовать формулы связи между декартовыми и полярными координатами x  r cos , y  r sin  , то можно записать тригонометрическую форму комплексного числа:
z  r (cos   i sin  ) ,
(12)
где
y
r  x 2  y 2 , tg   ,   arg z .
x
(13)
Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:
22
y

arctg x , если M  I четверти или M  IV четверти,

arctg y   , если M  II четверти,

x

y
arg z  arctg   , если M  III четверти,

x

 , если x  0, y  0,
2
 
 , если x  0, y  0.
 2
(14)
Пример. Получим тригонометрическую форму комплексного числа z = –2–2i,
используя формулы (13) и (14).
x  2, y  2  r  (2) 2  (2) 2  8 ,
(2;  2)  III четверти 
y

3
 arg z  arctg    arctg1       
 ( ;  ] ,
x
4
4
следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для   arg z
имеет вид:
  3
z  8  cos 
  4

 3
  i sin 

 4

  .

8. Действия над комплексными числами
Равенство двух комплексных чисел z1= x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 означает
равенство их действительных и мнимых частей: x1  x2 , y1  y 2 .
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме определяются следующим образом. Если z1= x1 + iy1,
z2 = x2 + iy2, то
1) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
2) z1 – z2 = (x1 – x2) + i(y1 – y2);
3) z1 z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + х2y1);
z
z z
( x  iy )( x  iy )
1
1 2
1
1
2
2
4) z  z z  ( x  iy )( x  iy ) 
2
2 2
2
2
2
2
( x1 x2  y1 y 2 )  i ( x 2 y1  x1 y 2 )
x22  y 22
, если z 2  0 .
23
z1
Пример. Даны числа z1= 4 – i и z2 = 1 + 3i. Вычислить z  z .
1
2
Найдем z1  4  i, z1  z 2  4  i  1  3i  5  2i , затем выполняем деление
при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:
z1
4i
(4  i)(5  2i) 20  8i  5i  2i 2 22  3i 22 3





 i
z1  z 2 5  2i (5  2i)(5  2i)
29
29 29
25  4i 2
2
(при вычислениях учтено, что i  1 ).
Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение
корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:
если z1  r1 (cos1  i sin 1 ) , z 2  r2 (cos  2  i sin  2 ) , то
1) z1 z 2  r1r2 (cos(1   2 )  i sin(1   2 )) ;
1
1
2) z  r cos(1   2 )  i sin(1   2 ) , если r2  0 ;
2
2
z
r
если z  r (cos   i sin  ) , n  N , то
n
n
3) z  r (cos(n )  i sin(n )) ;
(15)
  2 k
  2 k 

z  n r  cos
 i sin
, k  0,1, 2,... n  1 .
n
n


В ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке ( ;  ] .
4)
n
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ И ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №3
Задача 1. Даны функции y  f ( x), y  g ( x) :
f ( x)  log 3 ( x  0,5)  2, g ( x)  3 sin 2 x.
Требуется:
24
1) используя графики основных элементарных функций, построить графики функций f(x) и g(x). Описать при помощи построенных графиков основные характеристики этих функций: ООФ, ОЗФ, четность, периодичность, промежутки монотонности и экстремумы;
2) составить сложные функции y  f g (x) и y  g  f (x) ;
3) для функции y  f (x) найти обратную функцию y  f
1
( x) , постро-
ить графики обеих взаимно обратных функций в одной системе координат и
записать их ООФ и ОЗФ.
Задача 2. Вычислить пределы, применяя правила раскрытия неопределенностей, основные теоремы о конечных пределах, теоремы о бесконечно малых и
бесконечно больших функциях. Ответы пояснить с точки зрения определения
предела.
а) nlim

1  2n  3n 3
2n  3
2
, nN ;
б) lim
x2
1 x  5  x
;
x2  x  6
1  cos 4 x
в) xlim
;
0 x 2
e  ex
12 x
 x3


г) xlim
  x  2 
.
Задача 3. Исследовать непрерывность функций в соответствии с заданиями.
а) Проверить, является ли функция y 
1
x
4 3
непрерывной в точках х1 = 0 и
х2 = 3. В случае разрыва функции указать тип разрыва и сделать схематический
чертеж в окрестности точки разрыва.
 x 2  3, x  0,

б) Построить график функции f ( x)   x  1, 0  x  4, используя график, записать

3  x , x  4;
промежутки непрерывности функции, перечислить точки разрыва и указать тип
каждого из них.
Задача 4.
Даны уравнение z 2  4 z  20  0 , комплексное число z0  1  3 i и
натуральное число n = 6. Требуется:
25
1) найти корни уравнения z1, z2 на множестве комплексных чисел;
z z z
0
0
1
2) найти комплексное число w  z  2z в алгебраической форме;
1
2
3) получить тригонометрическую форму числа z 0 и вычислить с ее помощью
z0n . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.
Решение задачи 1.
1) Строим графики заданных функций, используя известные графики
основных элементарных функций и простейшие преобразования графиков.
Для построения графика y  log 3 ( x  0,5)  2 в качестве исходного используем график функции y  log 3 x , для которой ООФ: х > 0, у(1) = 0, у(3) = 1,
y(1 3)  1 (рис. 13).
График функции y  log 3 ( x  0,5) получаем
из исходного графика y  log 3 x в соответствии
с преобразованием графиков
y  f ( x)  y  f ( x  a )
(перенос графика на а единиц в направлении
оси Ох). В данном случае график перемещаем
на 0,5 единиц вправо (рис. 14).
Для функции y  log 3 ( x  0,5) ООФ: х > 0,5,
у(1,5) = 0, у(3,5) = 1.
График y  log 3 ( x  0,5)  2 получаем из графика
y  log 3 ( x  0,5) в соответствии с преобразованием
графиков y  f ( x)  y  f ( x)  A (перенос графика на А единиц в направлении оси Oу). В данном
случае график перемещаем на 2 единицы вверх (рис.
15).
Для построения графика y  3sin 2 x в качестве исходного используем
график функции y  sin x (рис. 16).
26
График функции y  sin 2 x получаем из исходного графика в соответствии с преобразованием графиков y  f ( x)  y  f (ax), a  1 (сжатие
графика в а раз в направлении
оси Ох). В данном случае график
сжимаем в 2 раза (рис. 17).
График функции y  3sin 2 x
получаем из графика функции
y  sin 2 x в соответствии с пре-
образованием графиков
y  f ( x) 
y  Af ( x),
A 1
(растяжение графика в А раз в
направлении оси Оу). В данном
случае график растягиваем в 3
раза (рис. 18).
Опишем при помощи построенных графиков основные характеристики функций
y  log 3 ( x  0,5)  2 и y  3sin 2 x в
виде таблицы.
Таблица 2.
№
1
2
3
Характеристика
ООФ
(область
определения
функции)
ОЗФ
(область
значений
функции)
Нули
функции
y  log 3 ( x  0,5)  2
y  3sin 2 x
x  (0,5;  )
x  (;  )
y  (;  )
y [3; 3]
log 3 ( x  0,5)  2  0  x 
11
18
3 sin 2 x  0

x
k
2
, k  0,1,2,...
27
4
5
Четность
Периодичность
Общего вида
Нечетная
Непериодическая
Периодическая с T  
6
Промежутки
монотонности
y  при x  (0,5;  )
7
Точки
экстремумов,
экстремумы
функции
Экстремумов нет
y  f g (x)  для f ( x)  log 3 ( x  0,5)  2 ,
2) Составим сложную функцию
g ( x)  3sin 2 x ,
подставив
в
f(x)

 

 k ;  k ;
4
 4

3


y  при x    k ;
 k , k  0,1,2,...
4
4


x    k , k  0,1,2,... – точки min,
4
y min  3;

x   k , k  0,1,2,... – точки max,
4
y max  3.
y  при x   
вместо
аргумента
х
y  log 3 (3sin 2 x  0,5)  2 .
Аналогично
составляем
сложную
функцию
функцию
g(x):
y  g  f (x)  :
y  3sin 2log 3 ( x  0,5)  2 , т.е. y  3sin2 log 3 ( x  0,5)  4 .
3) Находим обратную функцию для функции y  log 3 ( x  0,5)  2 . Так как
функция является монотонно возрастающей на всей своей ООФ (рис. 15), то
для нее существует обратная функция y  f
1
( x) . Чтобы записать ее аналити-
ческое выражение, решим уравнение y  log 3 ( x  0,5)  2 относительно х, т.е.
получим выражение x  f
1
( y) :
y  log 3 ( x  0,5)  2  log 3 ( x  0,5)  y  2  x  0,5  3 y2  x  3 y2  0,5 .
Переобозначив аргумент обратной функции через х, а функцию через у,
x 2
получим: y  3  0,5 – функцию y  f
1
( x) .
Для функции y  log 3 ( x  0,5)  2 ООФ: x  (0,5;  ) , ОЗФ: y  (;  )
x 2
(табл. 2); для функции y  3  0,5 ООФ: x  (;  ) , ОЗФ: y  (0,5;  )
(для взаимно обратных функций промежутки ООФ и ОЗФ меняются ролями).
28
Построим графики обеих взаимно обратных функций
y f
1
y  f (x)
и
( x) , контролируя их симметрию относи-
тельно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 19).
Ответы:
1) рисунки 15, 18, таблица 2;
2) y  log 3 (3sin 2 x  0,5)  2
и
y  3sin2 log 3 ( x  0,5)  4 ;
x 2
3) y  3  0,5 ; для y  f (x) ООФ: x  (0,5;  ) , ОЗФ:
y  (;  ) ; для y  f
1
( x) ООФ: x  (;  ) , ОЗФ: y  (0,5;  ) ;
графики на рисунке 19.
Решение задачи 2а.
2
2
 1

 1

n 3  3  2  3
n 3  2  3 
1  2n  3n

n
n
n
  lim  n
  lim бб  lim бб  
lim
    lim
2
.
3
n
n
n огр
n
3 

2n  3
   n
2 2
n2  2  2 
n
n 

3
Для раскрытия неопределенности

 

при n   использовано правило 1: в
числителе и знаменателе вынесены за скобки старшие степени n. При вычислении предела учтено, что при n  
1
n2
 0 , что lim const  const , использованы
n
теоремы о конечных пределах и теорема о бесконечно больших функциях:
бб
 бб  огр  бб , если огр  бм .
огр
С точки зрения определения бесконечного предела последовательности
un 
1  2n  3n 3
2n 2  3
, n  N полученный результат lim u n   означает, что для доn
статочно больших значений номера n члены последовательности un становятся сколь угодно большими по модулю.
29
Решение задачи 2б.
lim
x 2
 lim
x2
1 x  5  x
( 1  x  5  x )( 1  x  5  x )
0
    lim

 0  x 2
( x 2  x  6)( 1  x  5  x )
x  x6
2
( 1 x )2  ( 5  x )2
( x  2)( x  3)( 1  x  5  x )
 lim
x2
2( x  2)
1 x  5  x
 lim
x2
( x  2)( x  3)( 1  x  5  x )
1
 2 lim
x2 ( x  3)( 1  x  5  x )
( x  2)( x  3)( 1  x  5  x )
1
2
1
2


.
5( 3  3 ) 10 3 5 3


0
0
Здесь для раскрытия неопределенности   использовано правило 2: в
числителе и знаменателе выделен критический множитель (х –2). Для его выделения в знаменателе использовано разложение многочлена на множители, а в
числителе – домножение числителя и знаменателя на выражение 1  x  5  x ,
сопряженное числителю 1  x  5  x . При вычислении предела использованы теоремы о конечных пределах.
y  f ( x) 
С точки зрения определения предела функции
1
f ( x) 
при x  2 полученный результат lim
x2
5 3
1 x  5  x
x2  x  6
означает, что для значений ар-
гумента х, достаточно близких к точке х = 2, значения функции будут становиться сколь угодно близкими к числу
1
5 3
.
Решение задачи 2в.
используем замены эквивалентных бм :



2 sin (2 x)
1  cos 4 x  0 

2
2
2
lim


lim

sinz
~
z
при z  0  sin (2 x) ~ 2 x   4 x при х  0  



2
2
x 0

e x  e x  0  x0 e x (e x  x  1)  z
2
e  1~ z при z  0  e x  x  1 ~ ( x 2  x) при х  0 
2
 lim
x0
2x 2
e x ( x 2  x)
 lim
x0
2x 2
x
e ( x  1) x
 lim
x0
2x
x
e ( x  1)

0
 0.
1(0  1)
30
0
0
Для раскрытия неопределенности   использовано правило 2: в
числителе и знаменателе выделен критический множитель (х – 0) = х. Для его
выделения использован принцип замены эквивалентных бесконечно малых.
С точки зрения определения конечного предела функции
1  cos 4 x
f ( x)  0 означает, что
при x  0 полученный результат xlim
2
0
ex  ex
для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 0, значения функции
будут становиться сколь угодно сколь угодно близкими к числу 0.
y  f ( x) 
Решение задачи 2г.
1 2 x
 x3
lim 

x   x  2 
 lim
x 

1 

 
 1
5 

x  2 
сводим ко второму замечательному
1 2 x


 ( x  2)  5 
1



  lim 
пределу lim 1  z  z  e
 x   x  2 
z 0


1 2 x
 lim
x 


 1 


x2
 5
5

x  2 
5
 ( x  2)




(1 2 x )
e
5(1 2 x )
lim
x  ( x  2 )
 e  10 .
При вычислении предела использовано дважды правило раскрытия не

определенности   , образованной делением целых многочленов одинаковой
степени (см. формулу (8)):
x3  1
     1,
x  x  2
 1
lim
5(1  2 x)   
 10 x  5  10
    lim

 10 ,
x  x  2
1
   x  x  2
lim
а также непрерывность функции ez: xlim

С
точки
 x3
y  f ( x)  

 x2
зрения
x
z ( x)

e z( x)  e xlim
.
определения
конечного
предела
функции
f ( x)  e 10 означает,
при x   полученный результат xlim

что для достаточно больших (по модулю) значений аргумента х
значения
функции будут сколь угодно близкими к числу e-10.
Ответы: а) nlim

1  2n  3n 3
2n 2  3
 , n  N ;
б) xlim
2
1 x  5  x
x2  x  6

1
5 3
;
31
в)
lim
x 0
1  cos 4 x
e
x2
 ex
12 x
 x 3


г) xlim
  x  2 
0;
 e 10 .
Решение задачи 3а.
Чтобы проверить непрерывность заданной функции y 
1
x
4 3
в каждой из
заданных точек х1 = 0 и х2 = 3, используем определение непрерывности функции в точке.
Найдем ООФ: x  (; 3)  (3;  ) . Проверим выполнение условия (9) поочередно в точках х1 и х2.
Точка х1 = 0:
1) х1 = 0ООФ y 
1
x
4 3
, причем окрестность точки х1 также входит в ООФ;
y  lim
2) существует конечный предел xlim
x
x 0
1
x
4 3
4

1
3

1
3) справедливо y ( x1 ) 
1
x
4 3
4

1
3
x 0

1
3
4
1
3
4
;
 lim y ;
x x
1
следовательно, в точке х1 = 0 заданная функция непрерывна.
Точка х2 = 3:
1) х2 = 3  ООФ y 
1
x
4 3
, следовательно, в точке х2 = 3 заданная функция не яв-
ляется непрерывной. Поскольку функция определена в окрестности точки х2, то
эта точка является точкой разрыва функции.
Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы функции при x  3 :
lim
xx2 0
y  lim
x30
1
x
4 3
  0 ;
 4
бб
lim
x x2 0
y  lim
x30
1
x
4 3
 
 4 бб  
(при вычислении использовано предельное поведение показательной функции
y  4 z при z   ). Так как один из односторонних пределов оказался бесконечным, делаем вывод, что разрыв в точке х2 = 3 бесконечный (разрыв 2-го рода).
32
Построим схематический чертеж графика
функции в окрестности точки разрыва с учетом значений односторонних пределов (рис. 20).
Решение задачи 3б.
Запишем ООФ кусочно-заданной функции
 x 2  3, x  0,

y   x  1, 0  x  4,

3  x , x  4 :
x  (; 0)  [0; 4]  (4;  )  ООФ : x  (; ) .
Построим график функции y  f (x) , объединяя «куски» графиков основных элементарных функций y  x 2  3, y  x  1, y  3  x (рис. 21 – 24).
Анализируя график y  f (x) (рис. 24), видим, что он представляет собой
непрерывную линию для всех х, кроме х = 0. Записываем промежутки непрерывности функции: x  (; 0) и x  (0;  ) .
В точке х = 0 функция имеет разрыв типа «скачок», т.к. не существует
lim f ( x) , но при x  0 существуют конечные односторонние пределы функx0
ции, не совпадающие между собой:
lim
x00
f ( x)  lim ( x 2  3)  3 ,
x 00
lim f ( x)  lim ( x  1)  1.
x00
x00
Ответы:
а) х1 = 0 – точка непрерывности функции y 
1
x
4 3
, х2 = 3 – точка бесконечного
разрыва функции, схематический чертеж графика функции в окрестности точки разрыва на рисунке 20;
33
б) график функции y  f (x) – на рисунке 24, промежутки непрерывности
функции: x  (; 0) и x  (0;  ) , х = 0 – точка разрыва типа «скачок».
Решение задачи 4.
1) Найдем корни уравнения z 2  4 z  20  0 на множестве комплексных чисел:
z1, 2 
(здесь использовано:
 z  2  4i,
4  16  80 4   64 4  8 i


 2  4i   1
2
2
2
 z1  2  4i
 64  64   1  8  i ).
z z z
0
0
1
2) Чтобы найти комплексное число w  z  2z , вычислим сначала z 0 z 0 :
1
2
z 0 z 0  (1  3i)(1  3i)  12  ( 3i) 2  1  3i 2  1  3(1)  4 ( z 0 – это число, сопряжен-
ное числу z0  1  3 i , т.е. z 0  1  3 i ).
Затем находим числитель
z 0 z 0  z1  4  (2  4i)  2  4i
и знаменатель
z1  2 z 2  2  4i  2(2  4i)  6  4i .
Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на
число, сопряженное знаменателю:
w
2  4 i (2  4 i)( 6  4i) 12  8i  24i  16 ( i) 2 12  16 i  16 28  16i 7
4





 i
2
2
6  4 i (6  4 i)( 6  4 i)
36  16
52
13 13
6  (4i)
– получили число w в алгебраической форме.
3) Комплексное число
z 0  1  3 i задано в алгебраической форме z 0  x  y i ,
где x = 1, y =  3 . Получим тригонометрическую форму этого числа
z 0  r (cos   i sin  ) , используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплекс2
2
2
2
ного числа r  x  y  1  ( 3 )  4  2 и его аргумент:
tg 
y  3
y


  3 , z 0  IV четверти    arctg  arctg( 3 )  arctg 3  
x
1
x
3
  
  
Таким образом, z 0  2 cos  3   i sin  3   – тригонометрическая форма





числа z0.

34
6
Для вычисления z 0 используем формулу (15) возведения комплексного
числа в натуральную степень:
 6
6
6
z n  r n (cosn  i sin n )  z 0  2  cos
  3

 6
  i sin

 3

   64 (cos 2  i sin 2 ) .

Здесь аргумент 2   ( ;  ] . Выбираем главное значение аргумента, при( ;  ] ,
надлежащее
промежутку
используя
формулу
(11):
 
  arg z  2 n, n  0,  1,  2,...  2  arg z n  2 n  при
 
n = – 1 получаем
arg z n  0 . Тригонометрическая форма комплексного числа z 06 для   arg z
имеет вид:
z06  64(cos0  i sin 0) .
Подставив значения cos0 = 1, sin0 = 0, получим алгебраическую форму это6
го числа: z0  64(cos0  i sin 0)  64(1  0i)  64.
Ответы: 1) z1,2  2  4i;
2) w 
7 4
 i;
13 13

 
  
3) z 0  2 cos  3   i sin  3   ;






z06  64(cos0  i sin 0) = 64.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
1. Дифференцирование функций
Производной функции y  f ( x) в точке х называется конечный предел
отношения приращения функции y к приращению аргумента x :
y
,
x  0  x
y   lim
(16)
где y  f ( x  x)  f ( x) .
Другие обозначения производной: y x ,
f ( x),
dy
,
dx
df
.
dx
Если существует производная функции y  f ( x) в точке х, то функция
называется дифференцируемой в этой точке. Дифференцирование функции –
35
это процесс нахождения производной
y x . При дифференцировании исполь-
зуют таблицу производных и правила дифференцирования.
Таблица 3.
Таблица производных основных элементарных функций.
1
( x n )  n  x n 1 , n  R
2
(a x )  a x  ln a, a  0, a  1
10
sh x   ch x
3
(e x )  e x
11
(chx)  sh x
4
log a x 
12
(th x) 
5
ln x  1
13
(cth x)  
6
sin x   cos x
14
arcsin x   
7
(cos x)    sin x
15
(arccosx)  
8
9
1
, a  0, a  1
x  ln a
x
1
;
cos 2 x
1
(ctg x)   2 .
sin x
(tg x) 
16
17
1
;
ch 2 x
1
.
sh 2 x
1
1 x2
;
1
1 x2
;
1
;
1 x2
1
(arcctg x)  
.
1 x2
(arctg x) 
Основные правила дифференцирования.
1) Производная от постоянной равна нулю:
( c )  0 .
(17)
2) Производная алгебраической суммы (u  v) двух дифференцируемых функций u (x) и v (x) существует и равна алгебраической сумме производных этих
функций:
(u  v)  u  v
(18)
36
3) Производная произведения двух дифференцируемых функций u (x) и v (x)
существует и вычисляется по формуле:
(u  v)  u   v  u  v .
(19)
4) Производная отношения двух дифференцируемых функций u (x) и
существует и вычисляется по формуле:

 u  u   v  u  v
  
.
v2
v
v (x)
(20)
5) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(c  u ( x))  c  u ( x)
(21)
6) Производная от сложной функции: если y  f ( z ( x)) ,
дифференцируемые функции, то
где f(z) и z(x) –
yx  f z  zx («правило цепочки»).
7) Производная от функции, заданной неявно: если функция y (x) задана уравнением F ( x, y )  0 , то для нахождения y x нужно продифференцировать обе
части тождества
F ( x, y ( x))  0 по аргументу х и из полученного равенства
найти y x как решение линейного уравнения.
 x  x (t ),
8) Производная от функций y (x) , заданной параметрически: если  y  y (t ),

где x(t), y(t) – дифференцируемые функции, то:
y x 
yt
.
xt
(22)
Производные высших порядков: производная 2-го порядка: yx  ( yx )x ,
3-го порядка: y x ( y x)x и т.д. Для обозначений производных высшего порядка используются также символы вида: f ( x), f xx ,
d3 f
. Производные 4 и боdx3
37
лее высоких порядков обозначаются при помощи римских цифр:
y IV , yV .... .
Производная n-го порядка обозначается y (n ) , она получается n-кратным дифференцированием функции y  f (x) : y ( n)  y ( n1)  .

2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
Касательной к кривой l в ее точке М называют предельное положение
секущей MN, когда точка N, двигаясь по кривой l, неограниченно приближается к точке М (рис. 25).
Нормалью к кривой называется прямая,
перпендикулярная касательной к этой кривой и
проходящая через точку касания (рис. 26).
Геометрический смысл производной:
y( x0 ) – это угловой коэффициент касательной к
графику y  f (x) в точке M 0 ( x0 , f ( x0 )) :
k кас.  y ( x0 ). Тогда из условия перпендикулярно-
сти прямых можно найти угловой коэффициент
нормали:
k норм.  
1
k кас.

1
.
y ( x0 )
Если y( x0 ) существует, то уравнение касательной имеет вид:
y  y0  y ( x0 )  ( x  x0 ) ,
(23)
где y0  f ( x0 ) .
Если y ( x0 )  0 , то уравнение нормали имеет вид:
y  y0  
1
 ( x  x0 ) .
y ( x0 )
(24)
3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя
Правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций при x  a равен пределу отношения их производ-
38
ных, если предел отношения производных существует (конечный или бесконечный):
lim
x a
f ( x)
f ( x)
 lim
.
g ( x) x a g ( x)
(25)
Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида  0  или    .
0

Правило Лопиталя справедливо и в случае, когда x   . Его можно применять неоднократно.
4. Исследование функций и построение графиков
Полное исследование функции y  f (x) для построения ее графика
включает следующие пункты (не обязательно именно в этом порядке).
1) Область определения функции (ООФ) и область ее значений (ОЗФ).
Если область определения функции y  f (x) не задана специально, то
считают, что она совпадает с областью допустимых значений ее аргумента, т.е.
с множеством всех точек х, для которых выполнима операция f. При нахождении ООФ используют ООФ элементарных функций y  ln( x) ( x  0) ,
y
1
( x  0) , y  2 n x
x
( x  0) , и др.
Область значений функции находят только в случаях, когда ее можно
сразу указать, опираясь на свойства элементарных функций, например, для
2
 x 
функции y   x  1  , очевидно, y  0 .


2) Четность функции, ее периодичность.
Для установления четности (нечетности) функции y  f (x) , имеющей
симметричную область определения, проверяют справедливость равенств
f ( x)  f ( x) ( f ( x)   f ( x) ) для всех x  ООФ.
В случае четности или нечетности функции исследование ее поведения и
построение графика можно проводить только для x  0 , а затем достроить график, используя симметрию: для четной функции график симметричен относительно оси OY, а для нечетной – относительно начала координат.
39
Для установления периодичности функции проверяют справедливость
равенства f ( x  T )  f ( x) для  x  ООФ, где Т определяется видом функции.
В случае периодической функции исследование проводят для одного промежутка периодичности.
3) Непрерывность функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты.
Для определения промежутков непрерывности функции используют непрерывность основных элементарных функций. В точках, «подозрительных»
на разрыв (отдельных точек, не входящих в ООФ), проверяют выполнение
условий непрерывности. Если функция терпит разрыв в точке х0, то определют
тип разрыва.
Если функция y  f (x) имеет бесконечный разрыв в некоторой точке х0,
то прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции. Если
только один из односторонних пределов при x  х0– 0 или x  х0+ 0 является
бесконечным, то асимптота называется односторонней.
Если функция определена не на всей числовой оси, то необходимо вычислить односторонние пределы функции в точках, ограничивающих промежутки ООФ. Если односторонний предел функции в точке а, ограничивающей
промежуток ООФ, бесконечен, то х = а является односторонней вертикальной
асимптотой графика функции. Например, если ООФ: x  (a;  ) , то нужно
lim f ( x) ; если этот предел окажется бесконечным, то х = а является однайти x
a 0
носторонней вертикальной асимптотой графика функции.
4) Промежутки монотонности и экстремумы.
Для определения промежутков монотонности функции y  f (x) используют достаточный признак монотонности.
Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:
если на интервале х(а, b) производная f (x) сохраняет знак, то функция
y  f (x) сохраняет монотонность на этом интервале, а именно: если f ( x)  0 ,
то f(x) возрастает, если f ( x)  0 , то f(x) убывает.
Для установления точек экстремумов функции y  f (x) используют не-
40
обходимый и достаточные признаки существования экстремума.
Необходимое условие существования экстремума функции: если непрерывная функция y  f (x) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в
этой точке равна нулю или не существует.
Точки, принадлежащие ООФ, в которых производная f ( x ) равна нулю
или не существует, называют критическими точками функции по ее первой
производной (точками, «подозрительными на экстремум»).
Первый достаточный признак существования экстремума: если при
переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная f (x) изменяет свой знак, то в точке х0 есть экстремум причем это максимум, если знак
f (x) меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак f (x) меняется с
минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная
f (x) не изменяет свой знак, то в точке х0 нет экстремума функции f (x) .
Второй достаточный признак существования экстремума: если
y  f (x) – дважды дифференцируемая функция в точке х0 и f ( x0 )  0 , тогда:
если f ( x0 )  0 , то х0 – точка минимума функции, а если f ( x0 )  0 , то х0 –
точка максимума.
Для нахождения точек экстремумов функции y  f (x) сначала находят
критические точки по первой производной. После этого проверяют выполнение в них достаточных условий существования экстремума функции.
5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика и точки перегиба.
Дуга кривой L называется выпуклой, если все ее точки расположены не
выше касательной, проведенной в любой точке этой
дуги (рис. 27), и называется вогнутой, если все ее
точки расположены не ниже касательной, проведенной в любой точке дуги кривой.
Точки, принадлежащие кривой, и отделяющие
участки выпуклости от участков вогнутости, называются точками перегиба кривой (рис. 27).
41
Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции: если функция y  f (x) является дважды дифференцируемой и ее вторая производная f (x) сохраняет знак при всех x(a;b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале: при f (x) <0 – выпуклость вверх, при f (x) >0 – вогнутость (выпуклость вниз).
Необходимое условие для точки перегиба: если х0 – абсцисса точки перегиба графика функции y  f (x) , то ее вторая производная в этой точке равна
нулю или не существует.
Точки, принадлежащие графику функции y  f (x) , в которых f ( x)  0
или f (x) не существует, называются критическими точками функции по ее
второй производной (точками, «подозрительными на перегиб»).
Достаточное условие для точек перегиба: если вторая производная
f (x) при переходе через точку х0, подозрительную на перегиб, изменяет знак,
то точка графика с абсциссой х0 является точкой перегиба. Если f (x) не изменяет знак при переходе через точку х0, то перегиба нет.
При нахождении промежутков выпуклости, вогнутости графика функции
y  f (x) сначала находят критические точки по второй производной, после
этого выделяют промежутки знакопостоянства второй производной на ООФ:
если f ( x)  0 , то кривая вогнутая, а если f ( x)  0 , то кривая выпуклая. Точки
перегиба определяют, используя достаточные условия перегиба.
6) Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, расстояние до которой от текущей точки М кривой стремится к
нулю при удалении точки М от начала координат (рис. 28).
Если график функции y  f (x) имеет
42
наклонную асимптоту с уравнением y  kx  b , то параметры k и b в уравнении
асимптоты можно найти по формулам:
f ( x)
,
x
b  lim  f ( x)  kx .
k  lim
(26)
x 
(27)
x 
Если хотя бы один из этих пределов является бесконечным или не существует, то наклонных асимптот нет. В случае, когда k = 0, график имеет горизонтальную асимптоту с уравнением y = b.
В некоторых случаях (как правило, если f(x) выражена через показательную или логарифмическую функцию), график может иметь асимптоты только
при x   или только при x   .
Иногда ветви графика y  f (x) при x   и при x   имеют разные
асимптоты.
7) Точки пересечения графика с осями координат или другие дополнительные
точки графика.
Дополнительные точки графика находят в случаях, когда недостаточно
информации для выбора масштаба по осям координат, т.е. когда на некотором
промежутке ООФ нет ни точек экстремумов, ни точек перегибов, ни точек пересечения графика с осями координат.
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ И ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №4
Задача 1. Найти производную y x :
а) y 
x  e 2 x  3 tgx
;
1  sin 4 x
б) 2x 5 y 2  x ln y  4x  0 ;
 x  arcsin 2t  3,
2
 y  1  4t  1.
в) 
Задача 2. Дана функция y  3x  ln cos x  2 и значение х0 = 0. Найти уравнения
касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х0. Построить
графики функции, касательной и нормали в окрестности точки (х0, f(х0)).
43
Задача 3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
а) xlim

1  2x
;
ln( 5 x  2)
б) lim
x 0
ex  e x  2
.
(sin 3x) 2
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:
x4
а) y 
;
2  x3
2
1 x
б) y  x  e .
Решение задачи 1а.
Функция у(х) задана в явном виде и является отношением двух функций:
y
x  e 2 x  3tgx u ( x)

. Будем искать ее производную по формуле (20):
1  sin 4 x
v( x)
y x 
( x  e 2 x  3tgx)   (1  sin 4 x)  ( x  e 2 x  3tgx)  (1  sin 4 x) 
(1  sin 4 x) 2
.
Найдем производные ее числителя и знаменателя:
 

( x  e 2 x  3tgx)  x  e 2 x  x  e 2 x  3  ( tgx)  1  e 2 x  x  e 2 x  (2)  3 
 (1  2 x)  e 2 x 
1
cos 2 x

3
cos 2 x
(здесь использованы формулы (18), (19), (21) и «правило цепочки»);
(1  sin 4 x)  1  (sin 4 x)  0  cos 4 x  4  4 cos 4 x
(здесь использованы формулы (17), (18) и «правило цепочки»).
3 

2 x
2 x

 3tgx)  4 cos 4 x
 (1  2 x)  e
  (1  sin 4 x)  ( x  e
2
cos
x


Теперь получаем: y x 
.
(1  sin 4 x) 2
Преобразование результата не производим, поскольку оно не дает существенного упрощения выражения для y x .
Решение задачи 1б.
Равенство 2x 5 y 2  x ln y  4x  0 есть уравнение вида F ( x, y )  0 , которое
неявно задает функцию y (x) . Для нахождения y x продифференцируем обе части тождества F ( x, y ( x))  0 по аргументу х и из полученного равенства
44
найдем y x как решение линейного уравнения:
2x 5 y 2 ( x)  x ln( y( x))  4x  0  (2x 5 y 2 ( x)  x ln( y( x))  4x)x  (0)x
x
2  5 x 4  y 2 ( x)  2 x 5  2 y ( x)  y x  ln( y ( x)) 
 y x  4  0 
y ( x)
10 x 4 y 2  4 x 5 y y x  ln y 

xy x
 4  0  10 x 4 y 3  4 x 5 y 2 y x  y ln y  xy x  4 y  0 
y
y x (4 x y  x)  y ln y  10 x y  4 y 
5 2
4 3
y x 
y ln y  10 x 4 y 3  4 y
4x5 y 2  x
.
Производная неявно заданной функции y x зависит от аргумента х и
функции у, поэтому в ответе нужно отразить их взаимосвязь:
y x 
y ln y  10 x 4 y 3  4 y
4x y  x
5
2
, где 2x 5 y 2  x ln y  4x  0 .
Решение задачи 1в.
 x  arcsin 2t  3,
Для нахождения y x
2
 y  1  4t  1.
Функция у(х) задана параметрически: 
используем формулу (22):


1
 (8t )
yt
1  4t  1 t 2 1  4t 2
 4t  1  4t 2
y x  


 2t  y x  2t
2
1
xt arcsin 2t  3 t
2 1  4t
2
2
1  (2t )
2

(при дифференцировании использованы формулы (17), (18) и «правило цепочки»).
Производная параметрически заданной функции также является функцией, заданной параметрически, поэтому записываем результат в параметриче x  arcsin 2t  3,
ской форме:  y   2t.
 x
Ответы:
3 

2 x
2 x
 (1  2 x)  e 
  (1  sin 4 x)  ( x  e  3tgx)  4 cos 4 x
2
cos x 

а) y x 
;
(1  sin 4 x) 2
45
б) y x 
y ln y  10 x 4 y 3  4 y
4x y  x
5
2
, где 2x 5 y 2  x ln y  4x  0 ;
 x  arcsin 2t  3,
в)  y   2t.
 x
Решение задачи 2.
Найдем ординату точки касания: y0  f ( x0 )  0  ln cos 0  2  ln 1  2  2 .
Для вычисления угловых коэффициентов касательной и нормали найдем
производную y x :
1
1
 (cos x)  0  3 
 ( sin x)  3  tgx .
cos x
cos x
Вычислим угловой коэффициент касательной: k кас.  y ( x0 )  3  tg0  3.
y  3x  ln cos x  2 
y  3 
Тогда угловой коэффициент нормали: k норм.  
1
1
 .
y ( x0 )
3
Запишем уравнение касательной в точке М(0; 2) по формуле (23) и приведем его к виду общего уравнения прямой:
y  y 0  y ( x0 )  ( x  x0 )  y  2  3( x  0)  y  3x  2  3x  y  2  0 .
Запишем уравнение нормали по формуле (24) и аналогично упростим его:
y  y0 
1
1
1
 ( x  x0 )  y  2    ( x  0)  y   x  2  x  3 y  6  0.
y ( x0 )
3
3
Для построения графика функции y  f (x) в окрестности точки (х0; у0)
вычислим значения функции y  3x  ln cos x  2 в точках, близких к х0 = 0:
y(1)  3  ln cos(1)  2  1  ln 0,54  1  0,6  1,6 ,
y(1)  3  ln cos(1)  2  5  ln 0,54  5  0,6  4,4 .
На рис. 29 построены участок графика функции y  3x  ln cos x  2 , касательная 3x  y  2  0 и
нормаль x  3 y  6  0 в окрестности точки М(0; 2).
Ответы: 3x  y  2  0 и x  3 y  6  0 . Графики на
рис. 29.
46
Решение задачи 3а.
В данном пределе функция
1  2x
при x   есть отношение двух
ln( 5 x  2)
бесконечно больших функций, т.е. при вычислении предела нужно устранить

неопределенность вида   . Используем правило Лопиталя (формула (25):

lim
x
1  2 x   lim
1  2x
правило 

 
 
  lim
 x
ln(5 x  2)    
Лопиталя
 x ln(5 x  2) 
2
 2(5 x  2)
 lim
.
1
x
5
5
5x  2
Последний предел есть предел бесконечно большой функции, т.е.
lim
x 
2(5 x  2)
2
2
  lim (5 x  2)   lim бб  .
5
5 x 
5 x
1  2x
  .
ln( 5 x  2)
Следовательно, исходный предел xlim
 
Решение задачи 3б.
В данном пределе функция
ex  e x  2
при x  0 есть отношение двух
(sin 3 x) 2
бесконечно малых функций, т.е. при вычислении предела нужно устранить не0
определенность вида   . Используем правило Лопиталя:
0
lim
x0
e x  e x  2
(sin 3x)
2



e x  e x  2
 e x  e x
 e x  e x
 0  правило
 
 lim
 lim
.
  lim
x0 2 sin 3x cos 3x  3
x0
3 sin 6 x
 0  Лопит.  x0 (sin 3x) 2 


Последний предел при x  0 есть отношение двух бесконечно малых функций,
0
т.е. нужно снова устранять неопределенность вида   . Еще раз используем
0
правило Лопиталя:

 e  x  e x  0  правило
 e x  e x
lim
 
  lim
x0 3 sin 6 x
 0  Лопит.  x0 3 sin 6 x 
Следовательно, xlim
0
e x  e x  2
(sin 3x) 2

1
.
9
  lim
x0
e x  e x
11 1

 .
3 cos 6 x  6 3  1  6 9
47
1  2x
  ;
Ответы: а) xlim
  ln( 5 x  2)
б) xlim
0
e x  e x  2
(sin 3x) 2

1
9.
Решение задачи 4а.
Проведем полное исследование функции y 

x4
.
2  x3
 
3
3
1) ООФ: 2  x  0  x  3 2  1,26, т.е. x   ; 2 
3
.
2;   .
2) Функция не может быть четной или нечетной, т.к. имеет несимметричную
относительно начала координат ООФ. Следовательно, эта функция общего вида, симметрию графика предсказать нельзя. Функция непериодическая.
3) Функция непрерывна на всей ООФ, т.к. является элементарной функцией.
Точка x  3 2 является точкой разрыва, т.к. функция не определена в этой точке, но определена в ее окрестности.
Для определения типа разрыва найдем односторонние пределы при
x
3
2:
lim
3
x  2 0
  огр 

  ;
3
2 x
  бм 
x4
lim
3
x 2 0
  огр 

  
2 x
  бм 
x4
3
(здесь при x  3 2 числитель является ограниченной функцией, а знаменатель
– бесконечно малой). Следовательно, в точке x  3 2 функция терпит бесконечный разрыв и x  3 2 – уравнение вертикальной асимптоты.
4) Промежутки монотонности и экстремумы найдем при помощи 1-й производной:
 x4
y  
 2  x3


3
3
4
2
3
3
3
6
6
3
6

  4 x (2  x )  x (3x )  8 x  4 x  3x  8 x  x  x (8  x ) .

(2  x 3 ) 2
(2  x 3 ) 2
(2  x 3 ) 2
(2  x 3 ) 2

Критические точки по 1-й производной: y   0  х = 0, х = 2; y x не
существует  x  3 2 .
48
Точка x  3 2 не является критической точкой, т.к. 3 2  ООФ. Следовательно, имеем две критические точки: х = 0 и х = 2.
Проверим выполнение достаточных условий монотонности и экстремума
по знаку 1-й производной. На рис. 30 видно, что функция возрастает на интер-




валах x  0; 3 2 и x  3 2 ; 2 , убывает на интервалах x   ; 0 и x  2;   .
В точке х = 0 есть минимум функции,
y min  y (0) 
04
2  03
 0 , в точке х = 2 есть мак-
симум, y max  y(2) 
24
22
3

8
 2,7 .
3
5) Выпуклость, вогнутость графика и точки перегиба исследуем при помощи
2-й производной:
 8x 3  x 6
y   
 (2  x 3 ) 2




2
5
3 2
3
6
3
2

  (24 x  6 x )( 2  x )  (8 x  x )2(2  x )( 3x ) 

(2  x 3 ) 4

(2  x 3 ) (24 x 2  6 x 5 )( 2  x 3 )  6 x 2 (8 x 3  x 6 )
(2  x 3 ) 4
y  
  48 x
2
 24 x 5  12 x 5  6 x 8  48 x 5  6 x 8
(2  x 3 ) 3
12 x 2 ( x 3  4)
(2  x 3 ) 3

.
Критические точки по 2-й производной: y  0  х = 0, x  3 4 ;
y  не
3
существует  x  2 . Точка x  3 2 не является критической точкой, т.к.
3
2  ООФ. Следовательно, критическими точками по второй производной яв-
ляются точки х = 0 и x  3 4 .
Проверим выполнение достаточных условий выпуклости, вогнутости
графика функции по знаку 2-й производной. На рис. 31 видно, что график


функции выпуклый на интервалах x   ;  3 4 , x  (3 2 ;  ) и вогнутый на
интервале
циссой
x  (3 4 ; 3 2 ) . В точке с абс-
x  3 4  1,6
имеется перегиб
49
3
графика, y пер  y( 4 ) 
23
4  1,1 .
3
6) Найдем наклонные асимптоты графика y = kx + b при x   по формулам
(26), (27):
k  lim
x
f ( x)
x4
x3
3x 2
   правило 
 lim

lim



lim
 1 ;




x (2  x 3 ) x
x 2  x 3
x
   Лопиталя x  3x 2
 x4

x 4  2x  x 4
2x



b  lim  f ( x)  kx  lim 
 x   lim
 lim
 
3
3
3
x
x 2  x
x 2  x
2 x


 x
правило 
2
 огр 


0 .
  lim
2
Лопиталя x (3x )  бб 
Следовательно, наклонная асимптота графика имеет уравнение y   x .
7) Точка пересечения с осями координат – единственная: (0; 0), т.к.
y0  x0.
8) Построение графика начинаем с построения асимптот x  3 2 и y   x , затем отмечаем точки графика, в которых функция имеет экстремумы: точку
8

минимума (0; 0), точку максимума  2;   , и точку перегиба
3

этого выполняем построение графика
функции y 

x4
сначала на промежут2  x3

ках x   ;  3 4 и x  (3 4 ; 3 2 ) , затем
на промежутке x  (3 2 ;  ) .
На графике (рис. 32) видны сближение кривой с асимптотами при удалении
от начала координат и перегиб кривой.
Ответ: график на рис. 32.
3 
 3
  4 ; 2 4  . После

3 

50
Решение задачи 4б.
2
1 x
Проведем полное исследование функции y  x  e .
1) ООФ: x  (;  ) , ОЗФ: y  [0;  ) , т.к. e1 x  0, x 2  0 .
2) Функция не является четной или нечетной, т.к. f ( x)  f ( x), f ( x)   f ( x) .
Следовательно, эта функция общего вида. Функция непериодическая.
3) Функция непрерывна на всей ООФ. Точек разрыва нет.
4) Промежутки монотонности и экстремумы найдем при помощи 1-й производной:

y   x 2  e1 x
  2x  e
1 x
 x 2  e1 x (1)  (2 x  x 2 )  e1 x .
Критические точки по 1-й производной: y   0  х = 0, х = 2; y x не
существует – таких точек нет.
Проверим выполнение достаточных условий монотонности и экстремума
по знаку 1-й производной. На рис. 33 видно, что функция возрастает на интервале x  0; 2 , убывает на интервалах x   ; 0 и x  2;   .
В точке х = 0 минимум
функции,
y min  y(0)  0 2  e1  0 , в точке х = 2 максимум,
y max  y(2)  2 2  e12 
4
 1,5 .
e
5) Выпуклость, вогнутость графика и точки перегиба исследуем при помощи 2й производной:



y   (2 x  x 2 )  e1 x  (2  2 x)  e1 x  (2 x  x 2 )  e1 x (1)  (2  2 x  2 x  x 2 )  e1 x 
y  (2  4x  x 2 )  e1x .
Критические точки по 2-й производной: x1, 2  2  2 , т.е. x1  0,6 , x2  3,4 .
Проверим выполнение достаточных условий выпуклости, вогнутости
51
графика функции по знаку 2-й производной. На рис. 34 видно, что график
функции выпуклый на интервале x  (2  2 ; 2  2 ) , и вогнутый на интерва-


лах x   ; 2  2 и x  (2  2 ;  ) .
В
точках
x1, 2  2  2
с
абсциссами
имеются перегибы гра-
фика; вычисляем ординаты точек перегиба: y1  (2  2 ) 2  e 1
2
 1,0 , y 2  (2  2 ) 2  e 1
2
 0,5 .
6) Найдем наклонные асимптоты графика y = kx + b при x   и при
x   (отдельно) по формулам (26), (27).
k  lim
x
f ( x)
x 2  e1 x
 lim
 lim ( x  e1 x )  бб  бб   
x
x
x
x
(здесь при x   обе функции под знаком предела являются бесконечно
большими). Следовательно, при x   наклонных асимптот нет.
При x   получаем:
k  lim
x
f ( x)
x 2  e1 x
x

 lim
 lim x  e1 x  бб  бм  lim x 1    
x 
x
x e
x
x

правило 
1
 огр 

  0;
  lim x 1  
 бб 
Лопиталя x e
b  lim  f ( x)  kx  lim ( x 2  e1 x  0)  lim
x
x
x
x2
e
x 1
2x
   правило 
 
  lim x1 
   Лопиталя x e
2
   правило 
 огр 
 
  0 . Следовательно, при
  lim x 1  
   Лопиталя x e
 бб 
x   график
имеет горизонтальную асимптоту, ее уравнение: у = 0.
7) Точка пересечения с осями координат – единственная: (0; 0), т.к.
y  0  x2  0  x  0 .
8) Построение графика начинаем с построения асимптоты у = 0 (она совпадает
с осью абсцисс), затем отмечаем точки графика, в которых функция имеет экс-
52


4
e
тремумы: точку минимума (0; 0), максимума  2;  , и точки перегиба (x1; y1) и
(x2; y2), где x1  3,4, y1  1,0 , x2  0,6, y 2  0,5 . После этого выполняем построе-


ние графика функции y  x 2  e1 x сначала на промежутках x   ; 2  2 и
x  ( 2  2 ;  ) ,
затем
на
промежутке
x  (2  2 ; 2  2 ) .
На графике (рис. 35) видно сближение
кривой с асимптотой у = 0 при x   и
перегибы кривой.
Ответ: график на рис. 35.
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Каждый вариант контрольной работы №3 для студентов-заочников 1
курса всех специальностей МГТУ содержит 4 задачи, охватывающих материал по теме «Элементы теории функций. Комплексные числа». Каждый вариант
контрольной работы №4 содержит 4 задачи по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».
Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо
изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.
Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия
каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим
вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться
четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).
53
Варианты контрольной работы №3
Задача 1. Даны функции y  f ( x), y  g ( x) .
№ варианта
y  f (x)
1
y  2 x1  3
2
y  log 0,5  x  3  1
3
1
y 
 10 
y  g (x)
y
1
cos 4 x
2
y  2 sin 3x
x2
4
y  2 sin
x
4
4
1

y  lg  x    2
2

y  3 cos
x
2
5
y  5 x2  1
y  4 sin
x
3
6
y  log 1 ( x  0,5)  4
7
y
1
cos 3x
2
y
1
cos 2 x
3
3
1
y  
4
x 3
5
y  5 sin 3 x
8
y  log 2 ( x  4)  0,5
9
y  3 x5  2
y  2 cos
x
5
10
y  log 6 x  3  1
y  3 sin
x
2
Требуется:
1) используя графики основных элементарных функций, построить графики функций f(x) и g(x). Описать при помощи построенных графиков основные характеристики этих функций: ООФ, ОЗФ, четность, периодичность, промежутки монотонности и экстремумы;
2) составить сложные функции y  f g (x) и y  g  f (x) ;
3) для функции y  f (x) найти обратную функцию y  f
1
( x) , по-
строить графики обеих взаимно обратных функций в одной системе координат
и записать их ООФ и ОЗФ.
54
Задача 2. Вычислить пределы, применяя правила раскрытия неопределенностей, основные теоремы о конечных пределах, теоремы о бесконечно малых и
бесконечно больших функциях. Ответы пояснить с точки зрения определения
предела.
№ варианта
Пределы
а) nlim

2n  n 2
, n N ;
n  5n  2
2
1
в) lim
x 0
а) nlim

tg (sin x )
e3x  1
n 3  7n 2  n  1
6n  3n
2
2
в) lim
x0
а) nlim

3
23x  1
sin 2 x
n4  2
3n 4  10
 x2  5 
lim
г) x  2 
 x 1 
;
, n N ;
;
, nN ;
2n 2  4n  1
4
в) lim
x0
а) nlim

5
n 2  9n
2
51 x  5
n 3  12 n 2  5n  3
;
, n N ;
в) lim
x0
43x  4 x
.
2 x 2  5x  3
x2  5  2
.
2x  1  3
б) xlim
4
б) xlim
2
б) xlim
 1
;
3 x
x 2  16
;
x 5
.
x  2  3x  2
2 x 2  3x  2
x2
.
2  x 1
x  3x  4
2
x
;
;
x2
 4x 


г) xlim
  4 x  2 
12  n  n 2
, nN ;
а) nlim

7n  25
tg( x  sin x)
x  8x  9
 2x 2  1 
lim
г) x  2 x 2  3 


ln(1  sin 6 x)
в) lim
;
x0
arcsin 3x
6
.
2
 5x 


г) xlim
  5 x  6 
, n N ;
arctg(3x  x 2 )
3n 3  n 2  3n  4
б) lim
x 3
 x3
x 3
б) lim
x 9
 2x  7 


г) xlim
  2 x  3 
cos 2 x  1
lim
в) x0 ln(1  2 x) ;
а) nlim

3x  1  5
;
x 2  8x
б) lim
x8
 x 2  2x  3 


г) xlim
2
 .
 
 x 3 
;
;
55
а) nlim

7
3n 2  1
n 2  4n  4
, nN ;
ln(1  5 x)
в) xlim
;
0 cos 3x  1
а) lim
n
sin 3x  sin x
в) xlim
0
а) nlim

arctg 5 x
6n 2  12 n  1
n2  3
9
в) lim
x0
а) nlim

;
, nN ;
 
arcsin x 3
2n 4  n 2  n 5
10
в) lim
x 0
б) xlim
5
, nN ;
sin(e 3 x  1)
ln(1  2 x 3 )
.
6 x  x4
;
б) xlim
1
б) xlim
 2
;
x 2  6x  5
x
.
4 x 2  5x  9
x  5x  6
 x 8


г) xlim
  x  5 
;
;
x 4
 x3  x2  9 

lim
г) x 
3

 x 9 
cos 4 x  cos 2 x
n 5  n 3  3n
2  x2  x
 8x  2 


г) xlim
  8 x  5 
5n 2  10 n  3
, nN ;
1  2n
8
( x  1) 3
б) lim
x 1
;
x 2 1
.
5  x  1 x
 3x  1 


г) xlim
  3x  2 
x2  4
;
2 x1
.
Задача 3. Исследовать непрерывность функций в соответствии с заданиями.
а) Проверить, является ли функция y  f (x) непрерывной в точках х1 и
х2. В случае разрыва функции указать тип разрыва и сделать схематический
чертеж в окрестности точки разрыва.
б) Построить график функции y  f (x) , используя график, записать
промежутки непрерывности функции, перечислить точки разрыва и указать тип
каждого из них.
№ варианта
1
а)
y
1
 12 x4
, х1 = 4, х2 = 5
б)
2, x  0,

f ( x)  2  x, 0  x  1,
 2
 x  1, x  1
56
2
1
2
x
 8 3
y
, х1 = 1,5, х2 = 2
2
3
y
4
5
6
7
8
9
10
 10 5  x
y
y
3
 51 x
1
4
x
 9 2
y
y
y
3
2

7 x
, х1 = 0, х2 = 0,5
, х1 = –1, х2 = 2
1
3

 16 x
y
y
, х1 = 1, х2 = 4
2
x
 3 3
1
x
2 1
3
2
x
6 1
, х1 = 5, х2 = 7
, х1 = 3, х2 = 5
, х1 = 1, х2 = 3
, х1 = 0, х2 = 1
, х1 = –0,5, х2 = 1
sin x, x  0,

f ( x)  0, 0  x  2,
3  x, x  2

 x  1, x  0,
1

f ( x)   , 0  x  1,
x

1, x  1
 x 2 , x  1,

f ( x)  2 x  1,  1  x  2,
3, x  2


0, x  0,



f ( x)  tgx, 0  x  ,
2



 x, x  2
1  x 2 , x  0,

f ( x)   x  1, 0  x  2,
1, x  2

cos x, x  0,

f ( x)  1, 0  x  1,
 x  1, x  1

2  x, x  0,

f ( x)   x 2  2, 0  x  2,
2, x  2

1
 x , x  0,

f ( x)   2, 0  x  1,
2 x  4, x  1


 x 2 , x  1,

f ( x)   1, 1  x  2,
3  x, x  2

57
Задача 4. Даны уравнение, комплексное число z 0 и натуральное число n.
Требуется:
1) найти корни уравнения z1, z2 на множестве комплексных чисел;
z z z
0
0
1
2) найти комплексное число w  z  2z в алгебраической форме;
1
2
3) получить тригонометрическую форму числа z 0 и вычислить с ее помоn
щью z0 . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.
№ варианта
Уравнение
1
z 2  2z  5  0
2
z 2  6 z  10  0
z 0  1  i
10
3
z 2  4z  5  0
1
3
z0   
i
2 2
12
4
z 2  8z  20  0
z0   3  i
6
5
z 2  10 z  50  0
z0  2  2 i
8
6
z 2  2 z  10  0
z0 
3 3 3

i
2
2
6
7
z 2  12 z  40  0
8
z 2  8z  25  0
9
z 2  10 z  50  0
z0  2  2 i
8
10
z 2  6 z  18  0
z 0  2  2 3 i
6
z0
z0 
3 3 3
 i
2
2
z0   3  3 i
z0 
3 1
 i
2 2
n
6
8
18
58
Варианты контрольной работы №4
Задача 1. Найти производную y x :
№ варианта
Функции
б)
а)
1
2 x  arctg 5 x
y
1  ln 3x
2
(2 x  1)  tg 3x
y
sin( x  1)
3
y
2 x  arctg x
(3x  2) 5
2 x 3  cos 4 x  3
в)
3 y  4 xy  5x sin y  0
 x  t 2  e 3t ,

 y  t  e t
x 2e y  2xy  6x  0
 x  1  3t 2 ,


1
y  2
3t  1

3xy  x cos y  2 x3  0
 x  arcsin 3t ,

2
 y  ln( 1  9t )
x sin y  xy 2  5x3  0
 x  t  ctg2t,

5
 y  2 t  3t
2
2
4
y
5
sin(ln 2 x)  3x
y
1  25x
4 xy  x  y  x  0
1

,
x 
cos 5t

 y  tg5 t  4
e 2 x  3x 2  1
cos(1  5 x)
3 3
y sin x  x y  3x  0
 x  ln t  (t  1),
 y  1 t2  t

2
xy 2  ln y  3x 2  0
1

 x  (t  1) 2 ,

 yt4

t 1
xy 2  2xctgy  7 x  0
 x  t  sin 2t ,

 y  t  cos t
2 x  x  sin x
2x  5
3x 4e 2 y  xy  6x 2  0
 x  2t  ln 2 t ,


t 2 1
y


t

x 2  x  arctg 2 x
2x  x 2  1
5x5 y 3  xtgy  2 x  0
 x  arccos t ,

2
y  2  1 t
6
7
8
9
10
1 x2
y
y
y
y
y
x  cos 3x
4
3  2x
2
tg3x  2 x 3
1  5x
2
3
5
59
Задача 2. Дана функция y  f (x) и значение х0.
№ варианта
Функция
Точка
2 x
x3
1
y  ln
2
y x
3
y  e 3 x ( x  1)
x0 = 0
4
y  ln( 2 x 2  2 x  3)
x0 = 2
2
x0 = 4
x
x
y
5
x0 = 1
3
x0 = 1
( x  2) 2
6
y  x  2arctg x  1
x0 = 0
7
y  arcsin 3x  3
x0 = 0
8
y
ln x  1
x 1
x0 = 1
9
y  3 2  x3
x0 = 1
10
y  e sin 2 x
x0 = 0
Найти уравнения касательной и нормали к графику функции y  f (x) в
точке с абсциссой х0. Построить графики функции, касательной и нормали в
окрестности точки (х0, f(х0)).
Задача 3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
Пределы
№ варианта
1
2
а)
lim
4 x  3 1
x
lim
x  
x 3 5
12 x  5
3x  4
б)
lim
x 0
lim
x 1
ln cos 2 x
x  sin 3 x
  4arctg x
ln( 5 x  4)
60
3
4
5
6
7
ln( 2  7 x)
4x  3
lim
cos 6 x  1
e2x  2x  1
lim
5x  2
e
1
lim
arcsin x  x
x3
lim
e1 x  7 x
4x  6
lim
x  ln x  x  1
( x  1)  ln x
lim
x  
2 x 3
x  
x  
x 0
x 1
ln( 2 x  3)
lim
3x  e x 2  5
lim
x 2
x2  x  6
2x  3
x 
(5x  4) 2  2 x
lim
x 
ln( 7 x  4)
8
e2x  3
lim
x   5 x 2  1
9
x3  4
lim
x  ln( x 3  4)
10
x 0
lim
x  
tgx  1
cos 2 x  (sin 4 x) 2
lim
x

4
arctg ( x 2  2 x)  x  2
lim
x 2
sin(   x)
lim
x
5x  3
e
 4x
lim
2 x 9

2
x 0
ln sin x  cos x
ctg 3x  2 x  
1  2 x  3x  1
ln( x  1)  2 x
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график.
№ варианта
Функции
а)
б)
1
x2
y
4  x2
y  e4 xx 5
2
y
3
x3
y
x 1
4
2x  1
x2
y  2x 
2
3x 3
2
y  ln( x 2  2 x)
y
x
x2 1
y  (3  x) e x2
61
5
6
7
x2  x  2
x2
2( x  3)
y
( x  2) 2
y
y
x 2  2x  3
x
8
y
3x 2  2
x3
9
y
x3
2( x  1) 2
10
 x  2
y

 x 
2
y
1
ln x
y  3 x3  1
y  x ex
y
y
x  ln x
ex
1 x
 1 x 
y  ln 

1 x 
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т.
Письменный. –М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
2. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев.– М. :
Высш. шк., 1998.– 479 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 / П. Е.
Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М. : Высш. шк., 1999.– 304 с.
4. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев.– М. : Высш.
шк., 2001.– 304 с.