Уравнения второй степени с параметрами» в 9 классе

Первое занятие элективного курса «Уравнения второй степени с параметрами»
в 9 классе
Тема: Квадратные уравнения
Цели и задачи:
Образовательные – формирование и развитие общеучебных умений при работе с
уравнениями второй степени, содержащими параметр.
Развивающие – развивать логическое мышление, нестандартное мышление,
развивать познавательный интерес к предмету.
Воспитательные – воспитывать культуру диалога, творческую активность,
инициативу.
Оборудование: персональноый компьютер, проектор, экран для демонстрации.
Ход занятия
I. Организационный момент. Приветствие. Объявление цели урока и плана
занятия.
II. Изучение нового материала.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто
приводит к решению задач с параметрами («параметр» с греч. parametron –
отмеривающий).
В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину,
характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы,
машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление,
масса,
коэффициент трения и др.)
В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой,
сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи.
С параметрами мы уже встречались, когда вводили понятие:
функция прямая пропорциональность: у= kx (х и у – переменные, k – параметр,
k≠0);
линейная функция: у= kx+b (х и у – переменные, k и b – параметры);
линейное уравнение: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры);
уравнение первой степени: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры, а≠0);
квадратное уравнение: ax2+bx+c=0 (x – переменная, а,b и с – параметры, а≠0).
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными
числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются
параметрами, а уравнение параметрическим.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …,
k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z. Например, в уравнении x2 -3kx+4=0
буквой k обозначен параметр. Параметру k можно давать любые числовые
значения. Таким образом, будем получать различные квадратные уравнения,
определяемые параметром.
Решить уравнение с параметром – значит, для каждого действительного
значения параметра найти все решения данного уравнения или установить,
что их нет.
Договоримся все значения параметра, при которых уравнение не имеет смысла,
включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.
Два уравнения или две системы, содержащие одни и те же параметры,
называются равносильными, если:1) имеют смысл при одних и тех же значениях
параметров; 2) каждое решение первого является решением второго и наоборот.
Повторение.
Многочлен ах2+bх+с, где а≠0,а,b,с – действительные числа, называют квадратным
трехчленом.
Уравнение вида ах2+bх+с=0, где а≠0,а,b,с – действительные числа, называется
квадратным.
Число D = b2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена ах2+bх+с,
а также дискриминантом уравнения aх2+bх+с=0.
Квадратное уравнение aх2+bх+с=0, где а≠0, не имеет действительных корней, если
дискриминант отрицателен, имеет только два действительных корня, если
дискриминант положителен (х1,2 =
−𝑏±√𝐷
),
2𝑎
и имеет только одно решение (или два
равных корня), если дискриминант равен нулю (x =
−𝑏
2𝑎
).
Рассмотрим некоторые простейшие уравнения с параметром.
Пример 1. При каких значениях с уравнение х2 +2х+с = 0 не имеет корней?
Решение: Какая буква здесь обозначает переменную, а какая параметр?
Квадратное уравнение не имеет корней в том и только в том случае, если
дискриминант отрицателен.
х2 +2х+с=0, D1 = b2 – ac, D1 = 4-4c, D1<0, 4 – 4с<0, 4с>4, с>1
Ответ: (1;∞).
Пример 2. При каких значениях a уравнение ax2 – 4x + 16a=0 имеет единственный
корень?
Решение. Для уравнения особым или контрольным значением параметра
является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
Если а=0, то данное уравнение является линейным -4х=0 с единственным корнем
х=0.
Если а≠0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное
решение при D=0. ax2 – 4x + 16a=0, D1= 4 - a∙16a= 4 – 16a2, 4 – 16a2= 0, a2= 0,25, a=
± 0,5.
Ответ: -0,5; 0; 0,5.
Примеры 3. Найдите все целые значения p, при которых уравнение 2px2 – √2x + p
=0 имеет два различных корня.
Решение. Если p = 0, то уравнение принимает вид: – √2x =0 и имеет один корень.
Если p ≠ 0, то уравнение будет квадратным и имеет два корня, если дискриминант
положителен. 2px2 – √2x + p =0, D= 2 - 8p2, 2 - 8p2 >0, p2 < 0,25, - 0,5 < p < 0,5.
-0,5 < p < 0,5,
p ≠ 0;
p ∈ (-0,5; 0) ∪ (0; 0,5). На объединении данных промежутков
целых значений p нет. Ответ: нет решения.
Пример 4. Определить все значения параметра a, при котором уравнение
2ax2 – 4(a+1)x +4a +1=0 имеет один корень.
Решение. Если a=0, то данное уравнение является линейным – 4x + 1 = 0 с
1
единственным корнем x = .
4
Если a ≠ 0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное
решение при D= 0. D1 = 4(a+1)2- 2a(4a+1)= 4a2 +8a+4 -8a2 - 2a= -4a2 +6a+4,
2a2 -3a -2 = 0, a1 = - 0,5, a2 = 2.
Ответ: -0,5; 0; 2.
III. Закрепление изученного материала.
Пример 5. При каких значениях k уравнение х2+kх+9=0 имеет корни?
Решение: Квадратное уравнение имеет корни в том и только в том случае, если
дискриминант не отрицателен.
х2+kх+9=0, D=k2 – 36, k2 – 36 ≥ 0, (k – 6) (k+6) ≥ 0.
Ответ: (-∞; - 6] U [6;∞).
Пример 6. При каких значениях b уравнение 3bх2 - bх+1=0 не имеет корней?
Решение. Если b = 0, то уравнение обращается в неверное равенство 1=0. Значит,
при b=0 корней нет. Если b≠ 0, то уравнение становится квадратным, и не будет
иметь корней в том и только в том случае, если его дискриминант отрицателен.
3bх2- bх+1=0, D=b2- 12b, b2- 12b < 0. Неравенство выполняется, если 0 < b < 12.
Ответ: 0 ≤ b < 12.
IV. Домашнее задание.
№ 1.23(а), №1.15(а,в) (Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений/…2009 г.Задачник.)