  b a 

Производная и дифференциал функции одной переменной
4.1.1. Пусть в некотором промежутке
a, b 
определена
функция y  f (x) . Пусть точка x 0  a, b  и пусть её приращение
x 0 такое, что x 0  x 0  a, b . Тогда функция y  f (x) получит
приращение y 0  f ( x 0  x 0 )  f ( x 0 ) в точке x 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y  f (x) в точке
x 0  a, b  называется предельное значение (предел) отношения
приращения y 0 функции к приращению аргумента x 0 при
x 0  0 , т.е.
y 0
lim
.
(4.1)
0
x 0 0 x
Для обозначения производной функции y  f (x) в точке x 0
используется следующая символика:
dy
f ' ( x 0 ) , f x' ( x 0 ) , y ' ( x 0 ) , y x' ( x 0 ) ,
0 .
dx x  x
Из этих символов первый используется чаще других.
Итак, по определению
f ( x 0  x 0 )  f ( x 0 )
'
0
f ( x )  lim
.
(4.2)
0
x 0 0
x
4.1.2. Если предельное значение (предел) есть конечное
число, то производная называется конечной, если предельное
значение (предел) равно бесконечности, то производная
называется бесконечной. Если предельного значения (предела) не
существует (ни конечного, ни бесконечного), то говорят, что
функция y  f (x) в точке x 0 производной не имеет (производная
функции y  f (x) в точке x 0 не существует).
4.1.3. Пусть функция y  f (x) имеет конечную производную
в каждой точке множества А, тогда производная f ' ( x)
представляет собой функцию g (x) аргумента x , определённую
на множестве А. Частное значение функции g ( x 0 )  f ' ( x 0 )
1
называется частным значением (для краткости - значением)
производной в точке x 0 (символика f ' ( x 0 ) ).
4.1.4. Используя определение производной, вычислим
производную функции y  f ( x)  x 2 в точке x 0 . Придавая
аргументу x в точке x  x 0 приращение функции:

y 0  f ( x 0  x 0 )  f ( x 0 )  x 0  x 0
 
   x 
2
 x 0  2 x 0  x 0  x 0
Составим отношение
y 0

 
2 x 0  x 0  x 0
2
0 2
  x 
2
0 2

 
2
 2 x 0  x 0  x 0 .
2
 2 x 0  x 0 .
x 0
x 0
Найдём предел этого отношения при x 0  0 :
y 0
0
0
0
0
0
0
.
lim

lim
2
x


x

lim
2
x

lim

x

2
x

0

2
x
0
0
0
0
0
x 0 x
x
x 0
x 0
Таким образом, значение производной функции f ( x)  x 2 в
точке x 0 равна числу 2x 0 , т.е. f ' ( x 0 )  2 x 0 . Для любого
имеем f ' ( x)  2 x .
Следовательно,
функция
x   ,  
g ( x)  2 x есть производная функции f ( x)  x 2 для x   ,   .


УПРАЖНЕНИЯ.
Используя определение производной найти производные
следующих функций в точке x  x 0 :
1
1
1
1
y ,
y
y  x 3,
,
y 2 ,
y 3,
y  x,
x
x
x
x
1
, y  x 2  x , y  cos 2 x .
y 3 x,y 
2x  1
4.2.1. Пусть функция y  f (x) определена и непрерывна в
промежутке a, b  . Пусть, далее, точка M 0 x 0 , f ( x 0 ) графика Г


0
функции f (x) соответствует некоторому значению аргумента x ,
а точка P x 0  x 0 , f ( x 0  x 0 ) - значению аргумента x 0  x 0 ,
где x 0 - приращение аргумента. Проведём через точки M 0 и P


2
прямую S и назовём её секущей. Имеем M 0Q  x 0 , QP  y 0 .
Обозначим
через (x 0 )
угол
между
положительным
направлением оси Ox и секущей. Очевидно, этот угол зависит от
x 0 (Рис.4.1).
График функции y  f (x)
Рис.4.1
4.2.2. УТВЕРЖДЕНИЕ. Если функция y  f (x) в точке x 0
имеет конечную производную f ' ( x 0 ) , тогда существует
невертикальная касательная к графику Г функции f (x) в точке
M 0 x 0 , f ( x 0 ) . Угловой коэффициент k этой касательной K (т.е.
тангенс угла наклона касательной к оси Ox) равен значению
производной в точке x 0 , т.е. f ' ( x 0 ) .


4.2.3. Из Рис. 4.1 следует, что
QP
y 0 f ( x 0  x 0 )  f ( x 0 )
0
tg (x ) 


,
0
M 0 Q x 0
x
откуда получаем
y 0
0
(x )  arc tg 0 .
x
3
(4.3)
По условию, существует (конечная) производная f ' ( x 0 ) , т.е.
существует предельное значение (предел) lim
0
y 0
 f ' ( x 0 ) . Из
x 0
непрерывности функции arctg u для всех значений u следует, что
существует (конечное) предельное значение правой части
выражения (4.3) равное arctg f ' ( x 0 ) . Таким образом, доказано,
что существует (конечное) предельное значение
 0  lim (x 0 )  arctg f ' ( x 0 ) .
0
x 0
x 0
Это означает, что существует предельное положение секущей
S, т.е. существует касательная к графику Г функции f (x) в точке
M 0 x 0 , f ( x 0 ) , причём угол наклона  0 этой касательной к оси


Ox равен  0  arctg f ' ( x 0 ) , откуда f ' ( x 0 )  tg 0 .
Утверждение доказано.
4.2.4. Равенство f ' ( x 0 )  tg 0 , где  0 - угол между
положительным направлением оси Ox и касательной K к графику
Г функции y  f (x) в точке x 0 , f ( x 0 ) , принято называть
геометрической интерпретацией (смыслом) производной.


4.2.5. ПРИМЕР. Найдём угловой коэффициент касательной K
к графику Г функции f ( x)  x 2 в точке M 0 с абсциссой x 0  1 и
составим уравнение этой касательной K.
Угловой коэффициент tg0
касательной K равен
f ' ( x 0 )  2 x 0 в точке с абсциссой x 0 , поэтому f ' (1)  2  1  2 .
Чтобы составить уравнение касательной, следует написать
известное из геометрии уравнение прямой, проходящей через
данную точку M 0 ( x 0 , y 0 ) с данным угловым коэффициентом k

y  y0  k x  x0

и вместо k подставить значение производной f ' ( x 0 ) , а вместо y 0
- значение функции f ( x 0 ) . Итак, имеем
y  1  2 x  1
или окончательно получаем уравнение касательной
4
y  2 x  1.
4.3.1. В экономической теории и её приложениях часто
используются величины, зависящие от времени t, которое в одних
случаях принимает только дискретные значения (неделимой
единицей времени может быть один год, один квартал, один
месяц и т.п.), в других время меняется непрерывно. Величина,
значения которой определяются на практике только в дискретные
моменты времени (например, величина национального дохода в
году t, в году t+1 и т.п.) может с помощью интерполяции (см.
раздел 1.4.12) стать величиной, которая зависит от времени
непрерывно, т.е. стать функцией f (t ) не дискретного, а
непрерывного времени t. Тогда отношение
f (t )  f (t 0 )
(4.6)
t  t0
представляет собой среднюю скорость изменения показателя
f (t ) на временном отрезке t 0 , t  . Значение скорости изменения
показателя f (t ) может быть столь же важным, как и значение
самого показателя. Если отрезок t 0 , t  стягивается в точку t 0 , то
естественно говорить о мгновенной скорости показателя f (t ) в
точке t 0 . Мгновенная скорость показателя f (t ) в точке t 0 , как
правило, хорошо аппроксимирует (приближает) значение средней
скорости на отрезке t 0 , t  достаточно малой длины. А
мгновенная скорость изменения показателя f (t ) в точке t 0 есть
не что иное, как значение производной f ' (t ) функции f (t ) в
точке t 0 :
f (t )  f (t 0 )
f ' (t 0 )  lim
.
(4.7)
t t0
t  t0
Таким образом, значение производной f ' (t ) функции f (t )
по времени может быть полезным для приближённой
характеристики средней скорости изменения экономического
показателя на относительно малом временном отрезке t 0 , t , ибо
f (t )  f (t 0 )
f ' (t 0 ) 
(4.8)
t  t0
5
если разность t  t 0 достаточно мала. Отмеченное обстоятельство
представляет собой вариант экономической интерпретации
(смысла) производной. Ещё два варианта экономической
интерпретации даются в разделах 4.3.2 и 4.3.3.
4.3.2. В экономической теории и её приложениях в
отношениях вида
f ( x)  f ( x 0 )
(4.9)
x  x0
независимая переменная не обязательно является временем.
Пусть функция f ( x)  u( x) есть функция полезности
индивидуума (см. раздел 1.9.7), т.е. функция, частное значение
f ( x 0 ) которой равно уровню удовлетворения потребностей
индивидуума, если он приобретает или потребляет некоторый
продукт (товар) в количестве x 0 единиц. Тогда отношение
u ( x)  u ( x 0 )
(4.10)
x  x0
показывает, насколько изменится уровень удовлетворения
потребностей индивидуума, если объём приобретаемого или
потребляемого им продукта (товара) изменится на величину
x  x 0 . Проще всего выписанная дробь интерпретируется, если
изменение x  x 0 равно одной единице.
Дробь (4.13) при относительно малой разности x  x 0 (или
если разность x  x 0  1) называется предельной полезностью
продукта (товара) в точке x 0 (см. раздел 1.9.7). Строго говоря,
это так называемый конечный (и не совсем точный) вариант
понятия предельной полезности.
Более точно понятие предельной полезности определяется
как
u ( x)  u ( x 0 ) du( x 0 )
lim

,
(4.11)
0
x  x0
x x0
dx
т.е. как значение производной u ' ( x 0 ) функции полезности u(x) в
точке x 0 .
В разделе 1.9.7 было показано, что предельная полезность
убывает, если объём потребляемого продукта (товара) растёт
6
(закон убывающей предельной полезности). Этот закон тем более
верен для предельной полезности, значения которой
принимаются равными значениям производной u ' ( x) функции
полезности u(x) .
Для содержательных рассуждений более удобным является
конечный вариант предельной полезности, для формальных
преобразований больше подходит вариант предельной
полезности в форме производной функции полезности. Эти два
варианта предельной полезности мало отличаются друг от друга,
если разность x  x 0 достаточно мала. Говорят, что второй
вариант предельной полезности аппроксимирует (приближает)
первый.
4.3.3. Пусть функция f (x) есть производственная функция
(см. раздел 1.9.8) т.е. функция, частное значение f ( x 0 ) которой
равно (максимально возможному) объёму выпускаемой фирмой
продукции, если ресурс фирмой затрачивается (используется) в
количестве x 0 единиц. Тогда отношение
f ( x)  f ( x 0 )
x  x0
показывает, насколько изменится объём выпускаемой фирмой
продукции, если объём затрачиваемого (используемого) ресурса
изменится на величину x  x 0 . Дробь при относительно малой
разности x  x 0 (или если разность x  x 0  1 ) называется
предельной производительностью ресурса в точке x 0 (см. раздел
1.9.8). Строго говоря, это так называемый конечный (и не совсем
точный) вариант понятия предельной производительности. Более
точно понятие предельной производительности определяется как
f ( x)  f ( x 0 ) df ( x 0 )
lim

,
x  x0
x x0
dx 0
т.е. как значение производной f ' ( x 0 ) производственной функции
f (x) в точке x 0 .
Взаимосвязь между конечным вариантом предельной
производительности и предельной производительности в форме
7
производной
производственной
функции
взаимосвязи, описанной в конце раздела 4.3.2.
аналогична
4.3.4. В разделах 4.3.1 - 4.3.3 было рассмотрено три варианта
экономической интерпретации (смысла) производной. В разделе
4.15.1 приведено фундаментальное понятие экономической
теории - понятие эластичности, включающее в себя в качестве
составной
части
понятие
производной.
Основы
дифференциального исчисления функции одной переменной (и
нескольких переменных) используются в качестве эффективного
средства решения многих задач экономической теории и
хозяйственной практики. Это средство в рамках экономической
теории принято называть предельным анализом.
4.4.1. В полной аналогии с понятиями левого и правого
предельных значений (пределов) функции y  f (x) в точке x 0
(см. раздел 2.6.1) вводится понятие левой и правой производной
функции y  f (x) в точке x 0 (более точная терминология:
производная слева в точке x 0 , производная справа в точке x 0 ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Левой (конечной) производной функции
y  f (x) в точке x 0 называется конечное предельное значение
(предел)
f ( x)  f ( x 0 )
f ( x 0 )
lim
 lim
,
(4.12)
0
x  x0
x  x 0 0
x  x 0  0 x
( x 0 - точка из области определения функции y  f (x) ).
В этом случае график Г функции y  f (x) касается в точке
M 0 x 0 , f ( x 0 ) невертикальной прямой K 1 слева от точки x 0 .
Поэтому прямая K 1 называется левой касательной графика Г в
точке M 0 x 0 , f ( x 0 ) . Левая производная функции y  f (x) в




точке x 0 обозначается символом f ' ( x 0 )
Аналогично определяется правая (конечная) производная
функции y  f (x) в точке x 0 :
f ( x)  f ( x 0 )
f ( x 0 )
'
0
f  ( x )  lim
 lim
.
(4.13)
0
0
0
0
x x 0
x  x  0 x
xx
8
В этом случае график Г функции y  f (x) имеет в точке
M 0 x 0 , f ( x 0 ) правую касательную K 2 (см. Рис. 4.2).


Односторонние касательные графика функции y  f (x)
в точке x 0
Рис. 4.2
Левую и правую производную принято называть
односторонними производными.
Из сопоставления равенств (4.7), (4.15) и (4.16) и из свойств
левого и правого предельных значений (пределов) функции
y  f (x) в точке x 0 (см. разделы 2.6.2 и 2.6.3) вытекают
утверждения:
1) Если функция y  f (x) имеет в точке x 0 производную
f ' ( x 0 ) , то эта функция имеет в точке x 0 как левую, так и правую
производные, причём f ' ( x 0 )  f ' ( x 0 ) ;
2) Если функция y  f (x) имеет в точке x 0 как левую, так и
правую производные, причём f ' ( x 0 )  f ' ( x 0 ) , то функция
y  f (x) имеет в точке x 0 производную f ' ( x 0 ) , причём
f ' ( x 0 )  f ' ( x 0 )  f ' ( x 0 ) .


4.4.2. Если в каждой точке x промежутка a, x 0 функция
y  f (x) имеет (конечную) производную, если она непрерывна в
точке x 0 слева и если lim f ' ( x) существует и конечен, то
x x0 0
9
левая (конечная) производная f ' ( x 0 ) существует и вычисляется
по формуле
f ' ( x 0 )  lim f ' ( x) .
(4.14)
0
x  x 0
Приведённое утверждение будет доказано в главе пятой.


4.4.3. Если в каждой точке x промежутка x 0 , b функция
y  f (x) имеет (конечную) производную, если она непрерывна в
точке x 0 справа и если lim f ' ( x) существует и конечен, то
x x0 0
правая (конечная) производная f ' ( x 0 ) существует и вычисляется
по формуле
f ' ( x 0 )  lim f ' ( x) .
(4.15)
x  x 0 0
Приведённое утверждение будет доказано в главе пятой.
4.4.4. Если точка x 0  a, b  и если функция y  f (x) имеет
конечные (и неравные друг другу) односторонние производные
f ' ( x 0 ) и f ' ( x 0 ) , то при x  x 0 производной (ни конечной, ни
бесконечной) f ' ( x 0 ) не существует, и в точке M 0 x 0 , f ( x 0 )
график Г функции y  f (x) имеет односторонние касательные K1
и K 2 , образующие угол. Точка M 0 x 0 , f ( x 0 ) - угловая (Рис.4.2).




В дальнейшем односторонние производные при x  x 0 будут
находиться как с помощью формул (4.17) и (4.18), так и исходя из
определения левой и правой производной по формулам (4.15) и
(4.16).
4.4.5. ПРИМЕР. Найдём односторонние производные
функции f ( x)  x в точке x  0 , используя формулы (4.15) и
(4.16).
x 0
x
f ' (0)  lim
 lim  1,
x 0  0 x  0
x 0  0 x
x 0
x
f ' (0)  lim
 lim
 1 .
x 0  0 x  0
x 0  0 x
10
Но так как f ' ( x 0 )  f ' (0) , то функция y  f ( x)  x не имеет
в точке x  0 производной. Отметим, что функция y  x
непрерывна в точке x  0 и не имеет производной в этой точке.
4.4.6.
функции
ПРИМЕР.
Найдём
односторонние
производные
y  x 2  1  1,
используя формулы (4.17) и (4.18).
При x  1 имеем x 2  1  0 , так что y  x 2 и y '  2 x . При
x  1 имеем x 2  1, так что y   x 2  2 и y '  2 x . Имеем
f ' (1)  lim y '  lim 2 x   2 ,
x 10
f ' (1)
x 10
 lim y  lim  2 x   2 ,
'
x 1 0
'
x 1 0
f ' (1)
 lim y  lim  2 x   2 ,
f ' (1)
 lim y  lim 2 x   2 .
x 10
x 10
'
x 1 0
x 1 0
График Г функции y  x 2  1  1 изображён на рис. 4.3.
График функции y  x 2  1  1
Рис. 4.3
Точки M 1  1, 1 и M 2 1, 1 - "угловые". График Г в точке
M 1 имеет левую касательную K 1 и правую - K 2 , в точке M 2 11
левую касательную K 3 и правую - K 4 . Уравнения этих
касательных имеют вид:
y  1  2x  1 - K 1 ,
y  1  2x  1 - K 2 ,
y  1  2x  1 - K 3 ,
y  1  2 x  1 - K 4 .
4.5.1. Пусть функция y  f (x) определена в промежутке
a, b  и x 0  a, b. Если
lim
f ( x 0 )
 lim
f ( x)  f ( x 0 )
    
(4.16)
x
xx
то говорят, что функция y  f (x) при x  x 0 имеет левую
(бесконечную) производную. Символика: f ' ( x 0 )      . В
этом случае график Г функции y  f (x) касается вертикальной
прямой K (имеющей уравнение x  x 0 ) в точке M 0 x 0 , f ( x 0 )
x 0 0  0
0
0
x  x 0 0


слева от точки x  x 0 (Рис. 4.4а и 4.4б).
График функции y  f (x)
f ' ( x 0 )  
Рис. 4.4.а
График функции y  f (x)
f ' ( x 0 )  
Рис. 4.4.б
Прямая K называется вертикальной касательной графика Г
функции y  f (x) в точке M 0 x 0 , f ( x 0 ) .
Аналогично определяется правая бесконечная производная.


4.5.2. Если функция y  f (x) в каждой точке x промежутка
a, x 0 имеет (конечную) производную, если функция y  f (x)
непрерывна в точке x 0 слева и если lim f ' ( x)   , то левая


x  x 0 0
(бесконечная), производная существует и вычисляется по
формуле
12
f ' ( x 0 )  lim
x  x 0 0
f ' ( x) .
(4.17)
Аналогично вычисляется правая (бесконечная) производная:
f ' ( x 0 )  lim f ' ( x) .
(4.18)
x x0 0
x 0  a, b  и если существуют (бесконечные)
односторонние производные f ' ( x 0 ) и f ' ( x 0 ) , то очевидно
Если
lim
f ( x 0 )
равен бесконечности, и поэтому говорят, что
x
функция f (x) в точке x 0 имеет бесконечную производную. В
этом случае график Г функции y  f (x) имеет в точке
M 0 x 0 , f ( x 0 ) единственную вертикальную касательную K и
вблизи этой точки M 0 своей структурой напоминает "клюв"
0
x  0

0

(если f ' ( x 0 ) и f ' ( x 0 ) - разных знаков) или "перегиб" (если
f ' ( x 0 ) и f ' ( x 0 ) - одного знака) (Рис. 4.5а, б, в, г).
а) f ' ( x 0 )   , f ' ( x 0 )   ;
б) f ' ( x 0 )   , f ' ( x 0 )   ;
в) f ' ( x 0 )  f ' ( x 0 )   ;
г) f ' ( x 0 )  f ' ( x 0 )   .
График функции y  f (x)
f ' ( x 0 )   , f ' ( x 0 )  
Рис. 4.5.а
График функции y  f (x)
f ' ( x 0 )   , f ' ( x 0 )  
Рис. 4.5.б
13
График функции y  f (x)
f ' ( x 0 )  f ' ( x 0 )  
Рис. 4.5.в
График функции y  f (x)
f ' ( x 0 )  f ' ( x 0 )  
Рис. 4.5.г
4.5.3. Найдём производную y функции 1 
имеем
'
2
x3.
При x  0
1
2 
2 1
y   x 3   3 .
3
3 x
Областью определения функции является вся числовая ось,
областью определения производной y ' является вся числовая ось,
кроме точки x  0 .
По формулам (4.17) и (4.18) имеем
f  (0)  lim f ' ( x)   ,
'
x 0  0
f  (0)  lim f ' ( x)   ,
x 0  0
т.е. около точки M 0 0, 1 график Г имеет форму "клюва" (Рис.
4.6).
График функции y  1 
Рис.4.6
14
2
x3
4.6.1. Пусть функция y  f (x) определена в промежутке
a, b  , точка x 0  a, b, x 0 - приращение аргумента такое, что
- приращение
x 0  x 0  a, b ,
y 0  f ( x 0  x 0 )  f ( x 0 )
функции в точке x 0 , соответствующее приращению аргумента
x 0 .
называется
y  f (x)
дифференцируемой в точке x 0  a, b , если её приращение y 0 в
точке x 0 , соответствующее приращению аргумента x 0 , может
быть представлено в виде:
(4.21)
y 0  A  x 0  (x 0 )  x 0 ,
где А - некоторое число, не зависящее от x 0 , (число А зависит,
вообще говоря, от x 0 ),
(x 0 ) - бесконечно малая функция аргумента x 0 при
(x 0 )  0 .
x 0  0 , т.е. lim
0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция
x 0
0
При x  0 функция (x 0 ) , вообще говоря, не
определена, и ей в этой точке можно придать любое значение.
Для дальнейшего удобно считать, что (0)  0 . Тогда функция
(x) будет непрерывна в точке x 0  0 и равенство (4.21)
можно будет распространить и на значение x 0  0 . Строго
говоря, множитель (x 0 ) зависит не только от x 0 , но и от x 0 ,
т.е. (x 0 , x 0 ) .
4.6.2. ЗАМЕЧАНИЕ. Второе слагаемое в правой части (4.21)
можно переписать в виде o(x 0 ) , так как обе функции (x 0 ) и
x 0 являются бесконечно малыми при x 0  0 и произведение
этих функций (x 0 )  x 0 есть бесконечно малая более высокого
порядка, чем x 0 . Таким образом, выражение (4.21) можно
переписать в виде
y 0  A  x 0  o(x 0 ) .
15
4.6.3. ТЕОРЕМА. Для того чтобы функция y  f (x) была
дифференцируемой в точке x 0  a, b , необходимо и достаточно,
чтобы она имела в этой точке x 0 (конечную) производную.
y  f (x)
дифференцируема в точке x 0 . Тогда функция f (x) имеет в точке
x 0 конечную производную.
Доказательство необходимости. Приращение y 0 в точке x 0 ,
соответствующее приращению аргумента x 0 имеет вид (4.21).
Считая x 0  0 и, поделив обе части выражения (4.21) на x 0 ,
получим
y 0
0

A


(

x
).
0
x
Правая (а потому и левая) часть равенства имеет предельное
значение (предел), равный А при x 0  0 . Следовательно,
y 0
'
0
f ( x )  lim
 A,
0
0
x 0 x
0
т.е. функция f (x) при x  x имеет (конечную) производную
f ' ( x 0 )  A.
Необходимость доказана.
f ' (x0 )
Достаточность. Пусть существует (конечная)
функции y  f (x) в точке x 0 , тогда функция
f (x)
дифференцируема в точке x 0 .
Доказательство достаточности. По условию
y 0
(4.22)
lim
 f ' (x 0 )
0
0
x 0 x
'
0
и f ( x ) - число.
Положим
y 0
0
(x )  0  f ' ( x 0 ) .
(4.23)
x
4.6.4.
Необходимость.
Пусть
16
функция
Из существования предела (4.22) вытекает, что функция
(x 0 ) - бесконечно малая при x 0  0 . Умножая левую и
правую часть равенства (4.23) на x 0 , приходим к выражению
y 0  f ' ( x 0 )  x 0  (x 0 )  x 0 ,
совпадающему с (4.21) при A  f ' ( x 0 ) , т.е. функция
дифференцируема в точке x 0 .
Достаточность доказана.
f (x)
4.6.5. Замечание. Из теоремы раздела 4.6.3 следует, что
понятие дифференцируемости функции в точке x 0 эквивалентно
понятию существования у функции f (x) в точке x 0 (конечной)
производной. Поэтому в дальнейшем операцию отыскания
(конечной)
производной
будем
называть
операцией
дифференцирования.
4.7.1. ТЕОРЕМА. Если функция y  f (x) дифференцируема в
точке x 0 , то она непрерывна в этой точке.
y  f (x)
дифференцируема в точке x 0 , то для её приращения y 0 в точке
x 0 справедливо представление
y 0  A  x 0  (x 0 )  x 0 ,
из которого следует, что
lim f ( x)  f ( x 0 )  lim y 0  lim A  x 0  (x 0 )  x 0 
0
0
0
4.7.2.
x 0
Доказательство.


x 0
Так
как
x 0
функция




 lim A  x 0  lim (x 0 )  x 0 
x 0 0
x 0 0
 A  lim x 0  lim (x 0 )  lim x 0  A  0  0  0  0 .
x 0 0
x 0 0
x 0 0
А это и означает (см. раздел 3.1.1) что функция y  f (x)
непрерывна в точке x 0 .
17
4.7.3. Замечание. Утверждение, обратное теореме раздела
4.7.1 несправедливо: из непрерывности функции y  f (x) в точке
x 0 не вытекает, вообще говоря, её дифференцируемость в точке
x 0 . Примером такой функции является функция y  f ( x)  x ,
которая непрерывна при x  0 , но, (как видно из примера раздела
4.4.5) не имеет в этой точке (конечной) производной и,
следовательно, не дифференцируема в точке x  0 .
4.7.4 Пример. Покажем, что функция y  3 x в точке x  0 не
является дифференцируемой. В точке x  0 приращение
аргумента x 0 соответствует приращение функции
y  0  x  0  x . Откуда
0
3
0
3
3
0
y 0
x
0

3
x 0
x
0

1
x
Переходя к пределу отношения при x 0  0 , получим
y 0
1
lim

lim
 ,
0
0 2
x 0 0 x
x 0 0 3
x
3
0
.
 
т.е. функция y  3 x в точке x  0 не имеет конечной
производной, т.е. не является дифференцируемой. График
функции Г функции y  3 x в точке x  0 имеет вертикальную
касательную - ось Оy, угловой коэффициент которой k  tg  0
равен бесконечности (Рис. 1.15).
f ' ( x 0 )  x 0 называется дифференциалом
(точнее первым дифференциалом) функции f (x) в точке x 0 .
Символика:
df ( x0 )  f ' ( x0 )  x0 ,
(4.26)
или, если x - произвольная точка, то
df ( x)  f ' ( x)x .
4.8.1. Величина
4.8.2. Пусть функция y  f (x) дифференцируема в точке x 0 ,
что эквивалентно существованию (конечной) производной
f ' ( x 0 ) , т.е. приращение y 0 такой функции может быть
записано в виде суммы двух слагаемых:
18
y 0  A  x 0  (x 0 )  x 0 ,
(x 0 )  0 . Первое
где множитель (x 0 ) таков, что lim
0
x 0
( A  f ( x 0 ))
линейно
относительно
A  x 0
приращения x 0 , а второе (x 0 )  x 0 является бесконечно
малой функцией более высокого порядка, чем приращение x 0 .
Поэтому, если A  0 , то первое слагаемое - главная линейная
часть приращения y 0 функции f (x) в точке x 0 , а второе
слагаемое - "хвост", который является бесконечно малой
функцией более высокого порядка.
Таким образом, в случае дифференцируемой в точке x 0
функции f (x) и в случае A  0 дифференциал df ( x 0 ) есть
главная линейная часть приращения y 0 . Эта главная линейная
часть приращения является линейной однородной функцией
аргумента x 0 .
Удобно ввести в рассмотрение понятие дифференциала
аргумента x. При этом следует различать два случая:
1) аргумент x есть независимая переменная,
2) аргумент x является дифференцируемой функцией x  (t )
некоторой переменной t, которую можно считать независимой.
В случае 1) принято отождествлять дифференциал аргумента
с его приращением, т.е. считать, что dx0  x 0 .
Это соглашение вполне правомерно, ибо независимая
переменная x может рассматриваться как функция вида
y  f ( x)  x , для которой dx0  f ( x 0 )  x 0  x 0 , т.е. dx0  x 0 .
В случае 1) равенство (4.25) принимает вид
dy 0  f ( x 0 )dx0 .
(4.28)
Но из этого соотношения следует, что
dy
(4.29)
f ( x0 )  0 .
dx0
Следовательно, производную функции y  f (x) в точке x 0
можно рассматривать как отношение дифференциала функции к
дифференциалу независимой переменной.
Случай 2) будет рассмотрен ниже. Для него представление
(4.28) также справедливо.
слагаемое
19
4.8.3. Геометрический смысл дифференциала.
Пусть точка M 0   x 0 , f ( x 0 )  на графике Г функции y  f (x)
соответствует значению аргумента x 0 (Рис. 4.7), точка
P   x 0  x 0 , f ( x 0  x 0 )  - значению аргумента x 0  x 0 ,
прямая К - касательная к графику Г функции y  f (x) в точке
M 0 ,  0 - угол между положительным направлением оси Оx и
касательной К.
График функции y  f (x) , df ( x0 )  f ' ( x0 )  x0
Рис. 4.7
Пусть M 0 N Ox , NP Oy , Q - точка пересечения
касательной К с прямой NP. Тогда приращение функции y 0
равно величине (т.е. длине со знаком) отрезка NP. Из
прямоугольного треугольника M 0 NQ получаем
NQ  tg  0  x 0  f ( x 0 )  x 0  dy 0 ,
т.е. дифференциал функции dy0 функции y  f (x) в точке x 0
равен величине отрезка NQ. На Рис. 4.7 видно, что величины
отрезков NQ и NP различны.
Таким образом, дифференциал dy0 функции y  f (x) в точке
x 0 равен приращению "ординаты касательной" К к графику этой
функции в точке M 0   x 0 , f ( x 0 )  . Приращение y 0 есть
приращение "ординаты самой функции" в точке x 0 ,
20
соответствующее приращению аргумента, равному x 0 . На Рис.
4.7 величина отрезка QP равна "хвосту" (x 0 )  x 0 . На Рис. 4.7
хорошо видно, что с уменьшением x 0 величина отрезка QP
уменьшается быстрее, чем величина отрезка NQ.
Напомним, что величина вертикального отрезка есть его
длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (от
начала к концу) совпадает с положительным направлением оси
Оy. Величина вертикального отрезка есть его длина, взятая со
знаком минус, если направление отрезка (от начала к концу)
противоположно положительному направлению оси Оy.
4.8.4.Пусть функция y  f (x) дифференцируема в точке x 0 ,
и для простоты полагаем, аргумент x является независимой
переменной. Для приращения функции f (x) в точке x 0 и её
дифференциала имеем следующие выражения
y 0( x  f ( x 0 )  x 0  (x 0 )  x 0 ,
dy 0  f ( x 0 )  x 0 ,
где множитель  ( x 0 ) таков, что lim (x 0 )  0 . Оценим
x0  0
разность y 0  dy 0 :
y 0  dy 0  f ( x 0 )  x 0  (x 0 )  f ( x 0 )  (x 0 )  x 0  o(x 0 ) .
Она, как мы видим, становится как угодно малой при
уменьшении x 0 . Т.е. в приближённых вычислениях можно
положить
y 0  dy 0 .
(4.30)
Целесообразность такой замены оправдывается тем, что
дифференциал dy0 есть линейная функция от x 0 (и его проще
вычислять), в то время как приращение y 0 является, вообще
говоря, нелинейной, т.е. более сложной функцией аргумента x 0 .
Так как y 0  f ( x 0  x 0 )  f ( x 0 ) и dy 0  f ( x 0 )  x 0 , то
равенство (4.30) можно переписать в виде
f ( x 0  x 0 )  f ( x 0 )  f ( x 0 )  x 0
(4.31)
или
f ( x 0  x 0 )  f ( x 0 )  f ( x 0 )  x 0 .
(4.32)
21
Приближённое равенство (4.32) также как и (4.30)
справедливо для любой дифференцируемой в точке x 0 функции с
точностью до величины o(x 0 ) более высокого порядка малости,
чем величина x 0 . Формула (4.32) используется для
приближённого вычисления частных значений различных
функций.
4.8.5. Найдём приближённое значение
f ( x)  x ,
f ( x 0 ) 
101 . В нашем случае
1
x 0  1 ,
,
f ( x) 
2 x
x 0  100 ,
1
 0.05 ,
2 100
f ( x 0 )  10 . Используя формулу (4.32)
имеем
101  100  0.05 1  10.05 .
Выпишем четыре верных знака после запятой для числа
101: 101  10.0498.
4.9.1. Рассмотрим правила дифференцирования суммы,
произведения и частного дифференцируемых функций и
приведём формулы для вычисления производных простейших
элементарных функций. Отметим, что при выводе формул и
практическом вычислении производных обычно пишут не x 0 , а
просто x, но при этом x считают фиксированным.
4.9.2. Теорема (о производной суммы, произведения и
частного).
Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x , то
сумма, произведение и частное этих функций (частное при
условии v( x)  0 ) также дифференцируемы в этой точке и имеют
место формулы:
u( x)  v( x)  u ( x)  v ( x) ,
(4.33)
u( x)  v( x)  u ( x)  v( x)  u( x)  v ( x) ,
(4.34)

 u ( x)  u( x)  v( x)  u ( x)  v( x)

 
.
(4.35)
2
v
(
x
)
v
(
x
)


22
4.9.3. Доказательство теоремы раздела 4.9.2. Рассмотрим
отдельно случаи суммы, произведения и частного.
4.9.4. Пусть y( x)  u( x)  v( x) . Обозначим символами u ,
v , y приращения функций u(x) , v(x) , y(x) в данной точке x ,
соответствующие приращению аргумента x . Тогда
y  y( x  x)  y( x)  u ( x  x)  v( x  x)  u ( x)  v( x) 
 u ( x  x)  u ( x)   v( x  x)  v( x)   u  v .
Таким образом
y u v


.
(4.36)
x x x
Пусть x  0 . Тогда в силу существования (конечных)
производных функций u(x) и v(x) в точке x теоремы об
арифметических операциях над функциями, имеющими
предельные значения (пределы) (см. разделы 2.3.11 и 2.5.4),
существует
конечное предельное значение (предел) при
x  0 правой части (4.36) равное u   v  . Значит, существует
предельное значение и левой части. По определению
производной указанное предельное значение равно y (x) и мы
приходим к требуемому равенству
y  u ( x)  v( x)   u ( x)  v ( x) .
4.9.5.Пусть y( x)  u( x)  v( x) . Тогда
y  y( x  x)  y( x)  u( x  x)  v( x  x)  u( x)  v( x) 
 u( x  x)v( x  x)  u( x  x)v( x)  u( x  x)v( x)  u( x)v( x) 
 u( x  x)  v( x  x)  v( x)  v( x)u( x  x)  u( x) 
u( x  x)  v( x)  v( x)  u( x) .
(Здесь мы прибавили и вычли слагаемое u( x  x)  v( x) ).
Таким образом,
y
v
 u ( x  x) 
 v( x)  u ( x  x) .
(4.37)
x
x
23
Пусть x  0 . Тогда в силу дифференцируемости функций
u
и
u(x) и v(x) существуют предельные значения отношений
x
v
равные соответственно u (x) и v(x) . Так как функция u(x)
x
дифференцируема в точке x , а значит, непрерывна в точке x (по
теореме 4.8.1), то
lim u( x  x)  u( x) .
x 0
Используя теорему об арифметических операциях над
функциями, имеющими конечные предельные значения (см.
разделы 2.3.11 и 2.5.4), заключаем, что предельное значение
правой части (4.37) существует и равно
u ( x)  v( x)  u( x)  v( x) .
Значит, существует конечное предельное значение при
x  0 и левой части (4.37). По определению производной оно
равно y (x) и мы приходим к требуемой формуле:
y ( x)  u ( x)  v( x)   u ( x)  v( x)  u ( x)  v ( x) .
u ( x)
4.9.6. Пусть y 
. Поскольку v( x)  0 , то по теореме об
v( x)
устойчивости знака непрерывной в данной точке x функции (см.
3.10.1), справедливо неравенство v( x  x)  0 для достаточно
малых x , и мы можем записать
u ( x  x) u ( x)
y  y( x  x)  y( x) 


v( x  x) v( x)
u ( x  x)  v( x)  v( x)  u ( x  x)

.
v( x)  v( x  x)
Добавляя и вычитая в числителе слагаемое u( x)  v( x) , будем
иметь
u( x  x)  v( x)  u( x)  v( x)  u( x)  v( x  x)  u( x)  v( x) 
y 
v( x)  v( x  x)
v( x)  u ( x  x)  u ( x)  u ( x)  v( x  x)  v( x)

.
v( x)  v( x  x)
Разделим обе части полученного равенства на x  0 и
получим
24
u
v
 u ( x) 
y
x
x .

(4.38)
x
v( x)  v( x  x)
Пусть x  0 . В силу дифференцируемости (и вытекающей
из неё непрерывности) функций u(x) и v(x)
в точке x
существуют (конечные) предельные значения:
u
v
lim
 u ( x) , lim
 v ( x) , lim v( x  x)  v( x) .
x  0  x
x  0 x
x 0
Таким образом, в силу условия v( x)  0 и теоремы об
арифметических операциях над функциями имеющими
(конечные) предельные значения, существует (конечное)
предельное значение правой части равенства (4.38)
u ( x)  v( x)  u ( x)  v ( x)
.
2
v ( x)
Значит, существует (конечное) предельное значение и левой
части равенства (4.38) и они равны. По определению он равно
y (x) и мы получаем требуемую формулу:

u ( x)  v( x)  u ( x)  v ( x)
 u ( x) 
y  

.

2
v
(
x
)
v ( x)


Теорема раздела 4.9.2 доказана.
v( x) 
4.10.1. Производная постоянной функции равна нулю.
Пусть в промежутке (a, b) мы имеем функцию y  f ( x)  C ,
где С - постоянная. Для этой функции для любых x и x , таких,
что
имеем
x  (a, b) ,
x  x  (a, b)
y  f ( x  x)  f ( x)  C  C  0 . При любом x  0 имеем
y
 0 и, следовательно
x
y ( x)  (C)  0 .
4.10.2. Замечание. Постоянный множитель можно выносить
за знак производной.
Действительно, если u( x)  C , то
u( x)  v( x)  u ( x)  v( x)  u( x)  v ( x)  C   v( x)  C  v( x) 
25
 0  v( x)  C  v ( x)  C  v ( x) ,
то есть
C  v( x)  C  v ( x) .
4.10.3. Производная степенной функции имеет вид

x n  n  x n 1 , x   ,   .
 
Имеем y  f ( x)  x n , где n - целое положительное число.
Используя формулу бинома Ньютона, имеем
n  n  1 n  2

y   x  x n  x n   x n  n  x n 1  x 
x
 x 2  
1 2


  x  n  x n  n  x n 1  x 
.
n  (n  1) n  2
x
 x  2    x  n
1 2
При x  0 получаем
y
n  n  1 n  2
 n  x n 1 
 x  x    x n 1 .
x
1 2
Так как lim x  0 , lim x 2  0,  , lim x n 1  0 , то
x 0
x 0
x 0
   lim yx  n  x
y ( x)  x n
 0
4.11.4. sin x   cos x ,
Имеем
n 1 .
x   ,   .
y  f ( x)  sin x .
x
x
y  sin( x  x)  sin x  2  sin
 cos( x  ) .
2
2
При x  0 получаем
x
x
x
2  sin
 cos( x  ) sin
y
2
2 
2  cos( x  x ) .

x
x
x
2
2
26
x
2  1 (первый замечательный предел) и
x
2
sin
Так как lim
x 0
lim cos( x 
x 0
x
)  cos x (в силу непрерывности косинуса), то
2
y ( x)  sin x   cos x .
y
y ( x)  sin x   lim
 cos x .
x 0 x
x   ,   .
4.10.5. cos x    sin x ,
Имеем
y  f ( x)  cos x .
x
x
y  cos( x  x)  cos x  2  sin
 sin( x  ) .
2
2
При x  0 имеем
x
x
x
 2 sin
 sin( x  )
sin
y
2
2 
2  sin( x  x ) .

x
x
x
2
2
x
sin
2  1 (первый замечательный предел) и
Так как lim
x 0 x
2
x
lim sin( x  )  cos x (в силу непрерывности синуса), то
x 0
2
окончательно получим
y
y   cos x   lim
  sin x .
x 0 x



x


n

,
n

0
,

1
,

2

,

.
2
2

cos x 



Имеем
По
формуле
y  f ( x)  tg x ,
 x   n  .
2


производной частного получаем
4.10.6. tg x  
1
27
4.10.7. ctg x   
1
x  n, n  0,  1,  2,  .
2
sin x

Доказательство аналогично доказательству для tg x  .
4.10.8. log a x  
1
x  0, 0  a  1.
x  ln a
Напомним, что означает символ ln a : ln a  loge x .
Имеем
y  log a x, x  0, 0  a  1 ,
x  x
y  loga  x  x   loga x  loga
.
x
При x  0 получаем
x
x  x
y
1
 x  1 x
 x  1


 loga 1      loga 1     loga 1  
x x
x  x x
x  x
x 



.
x
x  x
1
x

Положив t 
, имеем lim 1    lim1  t t  e (второй
x 0
t 0
x 
x
замечательный предел), а так как логарифмическая функция
является непрерывной, то
x
x 

y
1
 x  x 1
 x  x
y  lim
 lim  loga 1     loga  lim 1    
x 0
x 0 x
x 0 x
x 
x
x  



1
1
  log a e 
.
x
x  ln a
1
Если a  e , то ln x   .
x
4.11.1.Теорема (о производной обратной функции).
Пусть функция y  f (x) строго монотонна и непрерывна в
некоторой δ - окрестности точки x 0 и имеет в точке x 0
(конечную) производную f ( x)  0 . Тогда обратная функция
28
x  ( y) имеет в соответствующей точке y 0  f ( x 0 ) (конечную)
производную, причём
1
( y 0 ) 
.
f ( x0 )
4.11.2. Доказательство. Так как функция
y  f (x)
непрерывна и строго монотонна в некоторой δ - окрестности
точки x 0 , то согласно теореме раздела 3.5.1 в некоторой
окрестности соответствующей точки y 0  f ( x 0 ) определена
функция обратная относительно функции y  f (x) .
Дадим аргументу y обратной функции x  ( y) некоторое
приращение y 0  0 в точке y 0 . Функция x  ( y) получит
некоторое приращение x 0 причём, в силу строгого возрастания
x 0  0 .
(или строгого убывания) обратной функции
Следовательно, можно записать
x 0
1
.

y 0 y 0
x 0
Пусть y 0  0 . Так как обратная функция x  ( y)
непрерывна в точке y 0 (согласно теореме раздела 3.5.1), то
x 0  0 при y 0  0 . Но при x 0  0 предельное значение
1
правой части равенства существует и равно
(напомним,
f ( x0 )
что по условию
f ( x)  0 ). Следовательно, существует
предельное значение и левой части равенства, которое по
определению равно ( y 0 ) . Таким образом, получаем, что
1
( y 0 ) 
.
f ( x0 )
Теорема раздела 4.11.1 доказана.
   a
4.11.3. a x
x
 ln a ,
0  a  1, x   ,   .
Показательная функция y  a x является обратной для
логарифмической функции x  log 2 y . Следовательно
29
1
.
y  ln a
В силу теоремы о производной обратной функции (см. раздел
4.11.1) имеем

1
y ( x)  a x 
 y  ln a  a x  ln a .
x ( y)

Если a  e , то e x  e x .
x ( y) 
 
 
4.11.4. arcsin x  
1
,  1  x  1.
1 x
Функция y  arcsin x является обратной для функции
x  sin y . По теореме о производной обратной функции (см.
раздел 4.11.1) получаем:
1
1
1
1
.
y( x)  arcsin x  



2
x( y ) sin y  cos y
1  sin y
2
Корень взят со знаком плюс, так как cos y положителен в
промежутке  ,  . Учитывая, что sin y  x , окончательно
имеем
arcsin x   1 2 .
1 x
4.11.5. arccos x   
1
,  1  x  1.
1 x
Для доказательства достаточно вспомнить формулу

arccos x   arcsin x
2
.
1
4.11.6. arctg x  
,    x   .
2
1 x
Функция y  arctg x является обратной для функции x  tg y
1

   
, то
 y    ,   . Так как x ( y ) 
 2 2 
cos 2 y

1
y ( x) 
 cos 2 y .
x ( y )
2
30
Но
1
cos 2 y
 1  tg 2 x  1  x 2 , следовательно
arctg x  
4.11.7. arcctg x   
1
1 x
2
.
1
,    x   .
1 x 2
Для доказательства достаточно вспомнить формулу

arcctg x   arctg x .
2
4.12.1. Пусть дана сложная функция y  f (x) такая, что её
можно представить в виде
y  f (u) , u  (x) .
u
В выражении
переменную
называют
y  f (u)
промежуточной переменной (промежуточным аргументом).
4.12.2. Теорема (о производной сложной функции).
Пусть функция u  (x) дифференцируема в точке x 0 , а
функция y  f (u) дифференцируема в соответствующей точке
u 0  ( x 0 ) .
y  f (x)
Тогда
сложная
функция
дифференцируема в точке x 0 , причём для её производной в точке
x 0 справедлива формула:
y ( x 0 )  f (u 0 )  ( x 0 ) ,
(4.39)
где вместо u 0 должно быть поставлено u 0  ( x 0 ) , или, опуская
значения аргументов,
y x'  f u'  u x' ,
т.е. производная сложной функции равно произведению
производной данной функции по промежуточному аргументу u
на производную промежуточного аргумента по x .
4.12.3. Доказательство. Приращению x  0 аргумента x в
точке x 0 соответствует приращение u 0  ( x 0  x 0 )  ( x 0 )
функции u  (x) . Приращению u 0  0 в свою очередь отвечает
31
приращение y 0  f (u 0  u 0 )  f (u 0 ) функции y  f (u) в точке
u 0  ( x 0 ) . По условию функция y  f (u) дифференцируема в
точке u 0  ( x 0 ) , поэтому её приращение в этой точке может
быть представлено в виде
y 0  f (u 0 )  u 0  (u 0 )  u 0
(4.40)
где функция (u 0 ) такова, что lim (u 0 )  0 .
u0 0
Поделив это равенство на x  0 , будем иметь
y 0
u
u
(4.41)
 f (u 0 )  0  (u 0 )  0 .
x 0
x 0
x 0
Из дифференцируемости функции u  (x) в точке x 0
u 0
 ( x 0 ) и 2) функция u  (x)
следует, что 1) lim
x0 0 x
0
непрерывна в точке x 0 (см. теорему раздела 4.8.1), откуда на
основании разностной формы условия непрерывности получаем,
что lim u0  0 , а значит и lim (u 0 )  0 . Предельное
x0 0
x0 0
значение правой части (4.41) при x  0 равно
u
u 
u 0

lim  f (u 0 )  0  (u 0 )  0   f (u 0 )  lim

x0 0 
x0 0 x
x 0
x 0 
0
u 
u 0

 lim (u 0 )  0   f (u 0 )  ( x 0 )  lim (u 0 )  lim

x0 0 
x0 0
x0 0 x
x 0 
0
 f (u 0 )  ( x 0 )  0  ( x 0 )  f (u 0 )  ( x 0 ) .
Таким образом, правая часть равенства (4.41) имеет
(конечное) предельное значение. Следовательно, и левая часть
этого равенства имеет то же предельное значение, которое, по
определению, равно y ( x 0 ) , т.е.
y ( x 0 ) = f (u 0 )  ( x 0 ) ,
или, опуская значения аргументов, получаем
y x'  f u'  u x' .
Теорема раздела 4.12.2 доказана.
32
4.12.4. Замечание. Теорема раздела 4.12.2 и содержащаяся в
её формулировке правило вычисления производной сложной
функции последовательно переносятся на сложные функции
y  f g h(x), y  f g hq(x) и т.п.
4.12.5. Пример. Найдём производную функции y  sin 2 x .
Имеем

sin x 2  x 2  u  sin u 'x  cos u  u x'  u  x 2 , u x'  2 x 

 



 cos u  2 x  cos x 2  2 x  2 x  cos x 2 , т.е.
sin x   2x  cos x
2
2
.
4.12.6. Пример. Найдём производную функции y  tg
x
.
2
Имеем

'


x  x
1
1  x

x

'
 tg   tg  u   u 
ux 
  tg     v  
2  2
2 u
2 u  2  x 2



1
1
1
x ' 1

'

 (tg v) 'x 


v

v

, vx   

x
2
2
2
2 u
2 u cos v

 

1
1

2 u cos 2 v 2

1

1
1
1
1
 
.
x cos 2 x 2
x
x
2 tg
4 tg  cos 2
2
2
2
2

4.12.7. Пусть y  f ( x)  x  , где  - любое действительное
число, x  0, . Степенную функцию x  можно рассматривать
как сложную функцию вида

y  x   e ln x  e ln x .
По правилу дифференцирования сложной функции y  e u ,
где u    ln x , имеем


'


x   e ln x  u    ln x  e ln x x  e u  u x'  u x'   
x

  


33

 e ln x 
т.е.


 x      x  1 ,
x
x
x     x

 1
.
4.13.1. Таблица производных элементарных функций.
1. C   0 .
(С - постоянная)
 
6. cos x    sin x .
   x  
tg x  

1
cos 2 x

 1
2. x    x .
x0
7.
3. log a x  
8. ctg x   
3 a . ln x   1 .
x
9. arcsin x  
1
.
x  ln a
a  1, a  0, x  0
x
   a
x
 ln a .
1
.
sin 2 x
x  n  , n  0,  1,  2, 
x  0
4. a x

 n, n  0,  1,  2, 
2
1
1 x
2
.
 1  x  1

10. arccos x   
a  0,    x  
1
1 x 2
 1  x  1
34
.
   e
4a . e x
x
.
11. arctg x  
1 x 2
   x  
   x  
5. sin x   cos x
1
12. arcctg x   
   x   
1
1 x 2
   x   
4.14.1. Формулы для отыскания дифференциалов суммы,
произведения и частного дифференцируемых функций имеют
вид:
1) d u  v   du  dv ,
2) d u  v   v  du  u  dv ,
 u  u  dv  v  du
3) d   
.
2
v
v
 
Докажем эти формулы. Имеем
1) d u  v   u  v  dx  u  vdx  udx  vdx  du  dv .
2) d u  v   u  v   dx  u  v  u  vdx  v  u  dx  u  vdx 
 v  du  u  dv .

u   v  u  v
u  v  dx  u  v  dx
u u
3) d       dx 

dx


2
2
v
v
v
v
   
v  udx  u  vdx v  du  u  dv
.


v2
v2
4.15.1. Производная входит в качестве существенной
составной части в одно из фундаментальных понятий
экономической теории - в понятие эластичности одной
переменной по другой переменной.
Пусть функция y  f (x) имеет конечную производную в
каждой
точке
некоторого
промежутка
a, b  a  0.
35
Эластичностью E yx ( x 0 ) переменной y по переменной
называется следующее выражение
df ( x 0 )
x0
.
E yx ( x 0 ) 

0
dx
f (x )
x
df ( x 0 )
 tg  ,
Производная
где 
угол
между
dx
положительным направлением оси Оx и касательной к графику Г
f (x 0 )
0
0
функции y  f (x) в точке x , f ( x ) . Отношение
 tg  ,
0
x
где  - угол между положительным направлением оси Оx и



хордой, которая соединяет точку 0  0; 0 и точку x 0 ; f ( x 0 )
графика Г функции y  f (x) (см. Рис 4.8 и Рис. 4.9).
График функции y  f (x)
E yx  0
Рис. 4.8
График функции y  f (x)
E yx  0
Рис. 4.9
Следовательно
df ( x 0 )
tg
E yx ( x 0 )  dx0 
.
tg

f (x )
x0
36

Это равенство даёт геометрическую интерпретацию понятия
эластичности переменной y по переменной x .
Если функция y  f (x) убывает с ростом x, то E yx ( x 0 )  0 ,
(см. Рис. 4.8). Если функция y  f (x) возрастает с ростом x, то
E yx ( x 0 )  0 , (см. Рис. 4.9).
Только что введённое понятие эластичности следует назвать
предельной эластичностью (или точечной эластичностью)
переменой y по переменной x в точке x 0 .
Пусть, например, функция y  f (x) есть функция спроса (см.
раздел 1.9.4), тогда переменная y  Q  принимает значения
объёмов продукта (товара), на которые предъявляется спрос
(индивидуальный или рыночный - в зависимости от постановки
задачи), а переменная x  P  играет роль цены за единицу
объёма этого продукта (товара)  x  0, y  0 . В случае функции
спроса эластичность E yx ( x 0 ) называется эластичностью функции
спроса по цене в точке x 0 (при цене x 0  P0  ).
Аналогично,
E yx ( x 0 )
эластичность
переменной
y
по
переменной x в точке x 0 называется эластичностью
предложения по цене в точке x0 (при цене x 0  P0  ), если
y  g (x) есть функция предложения (  y  Q, x  P, x  0, y  0
(см. раздел 1.9.5).
Эластичность спроса по цене  x  0, y  0 в точке x0
приближённо равна
df ( x 0 )
f ( x)  f ( x 0 )
f ( x 0 )
x0
x0
x0
0
E yx ( x ) 






dx
f (x0 )
f (x0 )
x  x0
f ( x 0 ) x 0
f ( x 0 )
f ( x 0 )
0
0
 100%
f (x )
f (x )
,

x 0
x 0
 100%
x0
x0
или, опуская промежуточные звенья этой длинной цепочки,

37
f ( x 0 )
 100%
df ( x 0 )
f (x 0 )
.
E yx 


dx
f (x 0 )
x 0
 100%
x0
Последняя дробь последней цепочки показывает, на сколько
процентов изменится величина спроса на продукт, если её цена
изменится на один процент. Отмеченное обстоятельство
характеризует по существу эластичность спроса по цене как
относительную величину, равную частному двух относительных
величин.
Аналогично содержательно интерпретируется по существу
эластичность предложения по цене как величина, которая
показывает,
насколько
процентов
изменится
величина
предложения на продукт, если его цена изменится на один
процент.
В связи с тем, что функция спроса убывает с ростом цены,
эластичность спроса по цене есть величина отрицательная
(точнее, не положительная), а эластичность предложения по цене
есть величина положительная (точнее, не отрицательная).
x0
4.16.2. Пусть функция спроса имеет вид y  c  x    0,
тогда эластичность спроса по цене равна
x dy
x
E yx   
 c      x  1   ,

y dx c  x
т.е. в случае функции спроса y  c  x  эластичность спроса по
цене   .
Пусть функция спроса имеет вид y  ax  b a  0, b  0,
тогда эластичность спроса по цене равна
x dy
x
1
,
E yx   
  a   
b
y dx ax  b
1
ax
т.е. эластичность меняется с изменением цены.
Пусть функция предложения имеет вид y  c  x    0 ,
тогда эластичность предложения по цене равна
38
x dy
x
1
 



c

x
 .
y dx c  x 
Пусть
функция
предложения
имеет
вид
y  ax  b a  0, b  0, тогда эластичность предложения по цене
равна
x dy
x
1
,
E yx   
a 
b
y dx ax  b
1
ax
т.е. эластичность меняется с изменением цены.
E yx 
Упражнения.
1.Определить эластичность спроса по цене для следующих
функций спроса
1
ce x ,
y  c  x  x 0   0 , y 
y  e x .
2. Определить эластичность предложения по цене для
следующих функций предложения
y  c  x   x0   0 , y  c  x   x 0   0 , y  c  e x .

4.17.1. Если x является независимой переменной, то
дифференциал дифференцируемой функции, как мы уже знаем,
имеет вид
(4.42)
dy  f ( x)  dx .
Пусть x не является независимой переменной, а
дифференцируемой
функцией
некоторой
независимой
переменной t , т.е. пусть функция y  f (x) является сложной
функцией от t , а именно y  f (x) , x  (t ) , т.е.
y  f (t ).
Так как аргумент t является независимой переменной, то для
сложной функции y  f (t ) и для функции x  (t )
дифференциалы представимы в форме:
dy   f (t )  dt ,
(4.43)
dx  (t )  dt .
По теореме о производной сложной функции (см. Раздел
4.13.1) имеем
 f (t )  f x' ( x)   t' (t )  dt
(4.44)
39
Подставляя (4.44) в первую из формул (4.43), получаем
dy  f x' ( x)   t' (t )  dt ,
Так как согласно второй формуле (4.43) (t )  dt  dx , то
окончательно имеем выражение для dy
dy  f ( x)  dx ,
совпадающее с (4.42).
Таким образом, форма (первого) дифференциала не зависит
от того, является ли аргумент функции независимой переменной
или функцией другого независимого аргумента. Это свойство
первого дифференциала принято называть инвариантностью
формы первого дифференциала.
4.18.1. Производная f (x) функции y  f (x) сама является
некоторой функцией g (x) от x (см. раздел 4.2.3). Следовательно,
по отношению к функции g (x) (т.е. по отношению к f (x) )
можно ставить вопрос о нахождении её производной.
Назовём производную f (x) производной первого порядка
(или первой производной).
Производная от производной первого порядка называется
производной второго порядка (или второй производной).
Производная от производной второго порядка называется
производной третьего порядка (или третьей производной) и т.д.
Производные, начиная со второй, называются производными
высшего порядка и обозначаются y, y, y 4  ,  , y n  ,
или
f ( x), f ( x), f 4  ( x),  , f n  ( x) .
4.18.2. Пример. Найдём производную третьего порядка от
функции y  f ( x)  x  e  x .


y   x  e  x   x   e  x  x  e  x  e  x  x  e  x   x   e  x  x  e  x


 

   




y    y   e  x  x  e  x  e  x  x  e  x 


 e  x   x   e  x  x  e  x  e  x  e  x  x  e  x  2e  x  x  e  x .
40

y    y    2e  x  x  e  x
   2e   x  e  
x

x

 2e  x   x   e  x  x  e  x  2e  x  e  x  x  e  x 
 3e  x  x  e  x  e  x 3  x  .
4.19.1. Пусть дана функция y  f (x) , где x - независимая
переменная. Функция y  f (x) дифференцируема в каждой точке
x некоторого промежутка. Тогда её дифференциал
dy  f ( x)  dx ,
называемый дифференциалом первого порядка, или первым
дифференциалом, является функцией двух переменных:
аргумента x и дифференциала dx (ибо x и dx могут меняться
независимо друг от друга).
Дифференциалом второго порядка в точке x, или вторым
дифференциалом назовём первый дифференциал в этой точке от
первого дифференциала:
d 2 y  d dy  .
(4.45)
Дифференциалом третьего порядка в x, или третьим
дифференциалом назовём первый дифференциал в этой точке от
второго дифференциала:
d3y  d d2y
и т.д.
При вычислении дифференциалов высших порядков важно
помнить, что dx не зависит от x. Поэтому dx при
дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный
множитель. В таком случае будем иметь, предполагая
существование соответствующих производных:
d 2 y  d dy   d  y   dx  d  y   dx   y   dx  dx  y   dx 2 ,
d 3 y  d d 2 y  d y   dx 2  d  y   dx 2   y   dx  dx 2  y   dx 3 .
Легко угадываемый общий закон
d n y  y n   dx n
можно доказать методом математической индукции. Из него
следует, что
 
  

41
y
n 

dny
.
dx n
4.19.2. Покажем, что если x не является независимой
переменной, то уже второй дифференциал не обладает
инвариантностью формы.
Пусть y  f (x) и x  (t ) , и пусть эти функции являются
дифференцируемыми соответствующее число раз. Переменную
y можно рассматривать как сложную функцию от t
y  f (t ).
Её первый дифференциал по t можно записать в виде
dy  y x'  dx , где dx  x t'  dt .
(4.46)
Вычисляем второй дифференциал по t
d 2 y  d dy   d y x'  dx  d y x'  dx  y x'  d dx .
 
Дифференциал d y x'

  
можно, пользуясь инвариантностью
 
формы первого дифференциала, записать в форме: d y x'  y "xx dx ,
так что окончательно получаем
d 2 y  y "xx  dx  dx  y x'  d 2 x  y "xx  dx 2  y x'  d 2 x
(4.47)
или, короче
d 2 y  y "xx  dx 2  y x'  d 2 x .
(4.48)
Если бы переменная x была независимой, то d dx   0 , так
как dx есть постоянная при изменении x величина, и тогда
d 2 y  y   dx 2
(4.49)
Сравнение (4.48) и (4.49) показывает, что если x не является
независимой переменной, то в выражении (4.48) для d 2 y
появляется аддитивный «хвост»
y x'  d 2 x , которого нет в
выражении (4.49) для d 2 y в случае, когда переменная x независимая.
4.20.1. Пусть значения двух переменных x и y связаны между
собой уравнением
(5.55)
F ( x, y)  0 .
42
Если функция y  f (x) , определённая на некотором
интервале такова, что уравнение (4.55) при подстановке в него
вместо y выражения f (x) обращается в тождество, т.е.
F ( x, f ( x))  0 ,
то y  f (x) есть неявная функция, определённая уравнением
(4.55) (см. раздел 1.6.1). Термины «явная функция» и «неявная
функция» характеризует не природу функции, а способ задания.
Каждая явная функция y  f (x) может быть представлена и как
неявная
y  f ( x)  0 .
4.20.2. Пример. Уравнение
(4.56)
x 2  y 2 1  0
неявно определяет бесконечно много неявных функций,
задаваемых уравнением (4.56).
Функциями, задаваемыми
уравнением (4.56), например, являются функции
 1  x 2 , 0  x  1.
2
2
,
f 1 ( x )  1  x , f 2 ( x)   1  x , f 3 ( x )  
2
 1  x ,  1  x  0

2 1
1

x
,  x 1

2
.
f 4 ( x)  
1
 1  x 2 ,  1  x 

2
Если наложить дополнительные условия, которым должна
удовлетворять
неявная
функция
задаваемая
y  f (x) ,
уравнениями (4.56), то может оказаться, что такая неявная
функция может не только существовать, но и будет
единственной. Так, если потребовать, чтобы f ( x)  0 и чтобы
f (x) была определена на отрезке  1, 1, то существует
единственная неявная функция, а именно функция f 1 ( x) , для
которой выполняются эти требования.
4.20.3. Если
дифференцируемая функция
y  f (x)
удовлетворяет уравнению (4.55), то для нахождения производной
этой неявной функции достаточно:
43
1) вычислить производную по x левой части уравнения
(4.55), считая y функцией от x,
2) приравнять эту производную нулю, т.е. положить
F ( x, y)  0 ,
3) решить полученное уравнение относительно y  .
4.20.4. Пример. Найдём производную y  неявной функции y,
задаваемой уравнением
e y  x  y  0.
Находим производную левой части этого уравнения и
приравниваем её к нулю
e y  y  1  y   0 .
Решаем полученное уравнение относительно y  и получаем
ответ
1
1
.
y  y

e 1 x  y 1
Обратим внимание на то, что для того, чтобы выписать
выражение от производной y  неявной функции y(x) , не
требуется выражение этой неявной функции.
4.20.1. Пусть функции
x  ( t ) и y   ( t )
(4.50)
одной переменной t определены и непрерывны в одном и том же
промежутке. Если функция x   ( t ) строго монотонна, то
обратная к ней функция t   ( x ) определена, непрерывна и
строго монотонна (см. теорему раздела 3.5.1). Поэтому
переменную y можно рассматривать как функцию от переменной
x через переменную t , называемую параметром
y    ( x ) .
В этом случае говорят, что функция y  f ( x ) задана
параметрически с помощью уравнений (4.50) (см. раздел 1.5.1).
Отметим, что функция   ( x ) непрерывна в силу теоремы о
непрерывности сложной функции (см. раздел 3.3.1).
4.20.2. Пример. Пусть x  R  cos t , y  R  sin t , 0  t   . Так
как функция x  R  cos t строго убывает при 0  t   , то заданные
44
уравнения следует рассматривать как параметрическое задание
функции y от x . Если выразить t через x из первого уравнения и
подставить во второе, то получим искомую функцию переменной
x в явном виде. Ещё проще придём к цели, если заметим, что
x 2  y 2  R 2 cos 2 t  sin 2 t  R 2 .


Отсюда имеем y  R 2  x 2 или y   R 2  x 2 . Так как
функция y  R  sin t неотрицательна при 0  t   , то выбираем
знак плюс перед радикалом: y  R 2  x 2 . Если   t  2 , то
y   R2  x2 .
4.20.3. Пусть функции x   ( t ) и y   ( t ) имеют (конечные)
производные, причём  ( t )  0 на некотором промежутке. Пусть
функция x   ( t ) строго монотонна, тогда (см. теорему раздела
3.5.1) существует обратная функция t   ( x ) . По теореме о
производной обратной функции (см. раздел 4.11.1) функция  ( x )
1
имеет производную  ( x ) 
, а по теореме о производной
 ( t )
сложной функции (см. раздел 4.12.1) функция y    ( x ) имеет
производную
y     ( x )   ( x ) .
Следовательно,
y t'
 ( t )
'
или y x  ' .
(4.51)
y 
 ( t )
xt
Получили формулу (4.51) производной функции, заданной
параметрически.
4.20.4. Пример. Найдём y 'x , если x  2t  t 2 , y  t 2  2t 3 .
По формуле (4.51) получаем
y 'x
2t  6t 2 2t 1  3t  t 1  3t 
.
 ' 


2  2t
21  t 
1 t
xt
yt'
45
4.20.5. Вычислим вторую производную функции, заданной
 ( t )
параметрически. Заметим, что функция y  
в свою очередь
 ( t )
также задана параметрическими уравнениями:
 ( t )
y 
  1( t ) , x   ( t ) .
 ( t )
Поэтому по формуле (4.51) имеем
 
y "xx  y 'x
'

 ( t )   ( t )   ( t )   ( t )
 ( t ) 
 1' ( t )   ( t ) 

 ( t )2
 '



 ( t )
 ( t )
 (t )
 ( t )   ( t )   ( t )   ( t )
.

 ( t )3
Или, короче, имеем
y"xx

y"tt  xt'  yt'  x"tt
 
3
xt'
.
(4.52)
Производные более высоких порядков находятся аналогично.
46