12. Гусева И.Ю. ЕГЭ. Информатика. Раздаточный материал

©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Методы решения логических задач на уроках информатики и ИКТ
Разнообразие логических задач очень велико. Методов их решения тоже
немало. Но если рассмотреть всевозможные варианты вступительных экзаменов в
ВУЗы за период с 1998 по 2008 год и варианты задач для подготовки к ЕГЭ,
опубликованные за период с 2004 по 2010 год, то можно выделить следующие
методы решения логических задач1
1. Табличный метод2
При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и
результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных
таблиц из 0 и 1.
Задача 1[1]
Шесть приятелей: Саша, Петя, Витя, Дима, Миша и Кирилл, встретившись
через 10 лет после окончания школы, выяснили, что двое из них живут в Москве,
двое — в Санкт-Петербурге, а двое — в Перми.
Известно, что
(1) Витя ездит в гости к родственникам в Москву и Санкт-Петербург.
(2) Петя старше Саши.
(3) Дима и Миша летом были в Перми в командировке.
(4) Кирилл и Саша закончили университет в Санкт-Петербурге и уехали в другие
города.
(5) Самый молодой из них живет в Москве.
(6) Кирилл редко приезжает в Москву.
(7) Витя и Дима часто бывают в Санкт-Петербурге по работе.
Определите, кто где живет. Ответ запишите в виде первых букв имен мальчиков,
живущих в Москве в алфавитном порядке имен без пробелов.
Решение:
Составим таблицу, где каждая строка соответствует городу, а столбец —
человеку:
Одну и ту же логическую задачу можно решать разными методами. При решении некоторых задач
необходимо соединять сразу несколько методов.
2 Для задач, взятых не из вариантов ЕГЭ, а из учебников, задачников и сборников для поступающих
автор переформулирует вопрос таким образом, чтобы ответ можно было записать однозначно, в
формате части В ЕГЭ
1
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Саша
Петя
Витя
Дима
Миша
Кирилл
Москва
Петербург
Пермь
Единица в таблице будет обозначать, что человек живет в данном городе, а ноль
— что точно не живет. Согласно условию, в каждом городе живут ровно 2
человека, каждый живет только в одном городе. Поэтому в каждой строке должно
быть две единицы, а в каждом столбце — одна.
Из условия (1) следует, что Витя живет в Перми:
Саша Петя Витя Дима Миша Кирилл
Москва
0
Петербург
0
Пермь
1
Из (2) и (5) находим, что Петя живет не в Москве. Кроме того, как следует из (6),
Кирилл — тоже не москвич.
Саша Петя Витя Дима Миша Кирилл
Москва
0
0
Петербург
0
Пермь
1
0
Согласно (3), Дима и Миша живут не в Перми:
Саша Петя Витя Дима Миша Кирилл
Москва
Петербург
0
0
0
0
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Пермь
1
0
0
Из условия (4) делаем вывод, что Кирилл и Саша живут не в Санкт-Петербурге,
отсюда сразу следует, что Кирилл живет в Перми. Двух пермяков мы уже
определили, поэтому Саша и Петя живут не в Перми:
Саша Петя Витя Дима Миша Кирилл
Москва
0
Петербург 0
Пермь
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
Далее находим, что Саша — москвич, а Петя живет в Санкт-Петербурге.
Саша Петя Витя Дима Миша Кирилл
Москва
1
0
0
0
Петербург 0
1
0
0
Пермь
0
1
0
0
0
1
По условию (7) Витя и Дима — не петербуржцы, поэтому в Петербурге живет
Миша, а Дима — в Москве:
Саша Петя Витя Дима Миша Кирилл
Москва
1
0
0
1
0
0
Петербург 0
1
0
0
1
0
Пермь
0
1
0
0
1
0
Таким образом, Саша и Дима живут в Москве, Петя и Миша — в СанктПетербурге, а Витя и Кирилл — в Перми.
Ответ: ДС
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Задача2[1]3.
Перед началом турнира по шахматам болельщики высказали следующие
предположения по поводу результатов:
А) Максим победит, Борис — второй;
Б) Борис — третий, Коля — первый;
В) Максим — последний, а первый — Дима.
Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был
прав только в одном из своих прогнозов. Как распределились призовые места? В
ответе запишите без пробелов первые буквы имен мальчиков в порядке занятых
мест.
Решение:
Построим таблицу. Предположим, что в утверждении А) первая часть истинна, а
вторая ложна. Тогда после анализа всех утверждений имеем:
Максим Борис Коля Дима
1 1
0
2 0
0
3 0
1
1
4 0
Получаем противоречие: на 1 месте 2 человека!
Значит, наше предположение неверно.
Поменяем предположение: пусть в первом утверждении вторая часть истинна, а
первая ложна. Получаем:
Максим Борис Коля Дима
1 0
0
1
0
2 0
1
0
0
3 0
0
0
1
4 1
0
0
0
Эта задача несколько отличается от предыдущей, здесь мы высказываем предположение, а затем
либо принимаем, либо отвергаем его
3
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Предположение подтвердилось, т.к. мы не получили противоречия. Ответ: КБДМ
Задача 3[2]
В коридоре лежат принадлежащие пришедшим на праздник четырем молодым
людям кепки (красная, желтая, черная и белая) и стоят пары кроссовок (зеленых,
синих, черных и белых). Ребят зовут Миша, Саша, Вася и Олег. Известно, что:
Обладатель красной кепки не Вася и не Олег
Обладатель желтой кепки Миша или Саша
Черная кепка у Миши или у Олега
У Саши кепка не красная
У обладателя белой кепки белые кроссовки
Зеленые кроссовки не у Миши
Черные кроссовки у Саши
Определите, какому молодому человеку принадлежит каждая вещь. В ответе
расположите первые буквы имен хозяев в порядке: хозяин белых кроссовок,
хозяин черных кроссовок, хозяин синих кроссовок, хозяин зеленых кроссовок
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Решение:
Построим и заполним таблицу. Из анализа четырех первых утверждений4:
кепки
кроссовки
к б ж ч
з б ж ч
0 0 0
1 О
0 1 0
0 В
1 0 0
0 М
0 0 1
0 С
Из анализа утверждений 5-7:
кепки
кроссовки
к б ж ч
з б с ч
0 0 0
1 О
1 0 0 0
Из анализа 2 утверждения следует, что у Васи и у Олега кепка не желтая и им нужно поставить 0.
Так же из анализа 3 следует, что черной кепки нет ни у Васи, ни у Саши
4
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
0 1 0
0 В
1 0 0
0 М 0 0 1 0
0 0 1
0 С
0 1 0 0
0 0 0 1
Ответ: ВСМО
Задачи для самостоятельного решения:
Задача 4[3 т.2]
На заводе работают 3 друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии
Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер. Он самый
младший из друзей. Семенов, женатый на сестре Борисова, старше токаря.
Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика. Ответ запишите первыми буквами
фамилий в порядке перечисления профессий.
Задача 5[Демоверсия -2007, 7]
В финал соревнований по настольному теннису вышли Наташа, Маша,
Люда и Рита. Болельщики высказали свои предположения о распределении мест в
дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет
второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению,
займет четвертое место. Третий считает, что Рита займет третье место, а Наташа
будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из
болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Как распределились
места? В ответ запишите без пробелов первые буквы имен девушек в порядке
занятых мест.
Задача 6 [8].
На очередном этапе автогонок «Формула-1» первые четыре места заняли
Шумахер, Алези, Хилл и Кулхардт. Опоздавший к месту награждения
телерепортер успел заснять пилотов, занявших второе и третье места, которые
поливали друг друга шампанским. В это время Шумахер с четвертым гонщиком
пожимали друг другу руки. Далее в кадр попал мокрый Хилл, поздравляющий
пилота, занявшего второе место. Напоследок оператор снял сцену, в которой
Шумахер и Кулхардт пытались втащить на пьедестал почета гонщика, занявшего
четвертое место. Просматривая отснятый материал, режиссер спортивного
выпуска быстро разобрался, кто из пилотов какое место занял. Он знал, что в
соответствии с церемонией награждения победителей гонок пилоты, занявшие
первые три места, поливают друг друга шампанским из огромных бутылок
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
знаменитой фирмы- спонсора соревнований. Какое место занял каждый пилот?
Ответ запишите в виде первых букв фамилий участников в порядке занятых мест.
Задача 7[2]
В коридоре лежат принадлежащие пришедшим на праздник четырем девочкам
сумочки (розовая, белая, голубая, черная) и зонтики (розовый, голубой, черный и
белый). Девочек зовут Маша, Саша, Вера и Алина. Известно, что:
 Обладательница розового зонтика не Саша и не Алина
 Обладательница голубого зонтика либо Саша, либо Вера
 Розовые и голубые вещи составляют комплекты и принадлежат одним и
тем же девушкам, остальные вещи комплекты не составляют
 Черный зонт принадлежит либо Вере, либо Алине
 Белый зонт либо у Маши, либо у Алины
 Вера не является обладательницей комплекта.
Определите, какой девочке принадлежит какая вещь. В ответе расположите
первые буквы имен хозяек в порядке: хозяйка белого зонтика, хозяйка черного
зонтика, хозяйка розового зонтика, хозяйка голубого зонтика
2. Упорядочивание объектов некоторого множества.
При использовании этого способа объекты, перечисленные в задаче,
упорядочиваются на вертикальной или горизонтальной оси или по кругу
Задача 8[3 т.2].
Трое юношей: Коля, Петя и Юра влюблены в трех девушек: Таню, Зину и
Галю. Но это любовь без взаимности.
1. Коля любит девушку, влюбленную в юношу, который любит Зину.
2. Петя любит девушку, влюбленную в юношу, который любит Галю.
3. Зина не любит Юру.
Кто в кого влюблен? Ответ напишите первыми буквами имен без пробелов,
начиная от Коли.
Решение: Нарисуем круг и обозначим на нем 6 человек, поставим позицию Коли.
Влюбленности будем обозначать по часовой стрелке. Юношей обозначим желтым
цветом.
К
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Прочитаем первую фразу и отметим данные на схеме:
З
К
Ю
Теперь проанализируем третью фразу:
З
К
Теперь вторую:
Г
Ю
П
З
К
Т
П
Ответ: КГЮЗПТ
Задача 9[1]
На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному
человеку. Их зовут Василий, Семен, Геннадий и Иван. Известно, что все они
имеют разные профессии: скрипач, столяр, охотник и врач. Известно, что
(1) Столяр живет правее охотника.
(2) Врач живет левее охотника.
(3) Скрипач живет с краю.
(4) Скрипач живет рядом с врачом.
(5) Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом.
(6) Иван живет рядом с охотником.
(7) Василий живет правее врача.
(8) Василий живет через дом от Ивана.
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Определите, кто где живет. В ответе запишите первые буквы имен людей в
порядке домов слева направо
Решение:
Из условий (1) и (2) следует, что охотник живет не с краю, потому что справа от
него живет столяр, а слева — врач.
Скрипач по условию (3) живет с краю, он может жить как слева, так и справа от
остальных:
скрипач? врач охотник столяр скрипач?
Согласно условию (4), скрипач живет рядом с врачом, поэтому он занимает
крайний дом слева:
1
2
3
4
скрипач врач охотник столяр
Профессии жильцов определили, остается разобраться с именами. Из условия (5)
“Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом” :
1
2
3
4
скрипач врач охотник столяр
С
С
Из условия (6) “Иван живет рядом с охотником” следует, что он — врач или
столяр:
1
2
3
4
скрипач врач охотник столяр
С
С
И
И
Из условия (7) “Василий живет правее врача” определяем, что Василий —
охотник или столяр:
1
2
3
4
Скрипач врач охотник столяр
С
С
И
И
В
В
Согласно условию (8), “Василий живет через дом от Ивана”, поэтому Иван —
врач, а Василий — столяр:
1
2
3
4
скрипач врач охотник столяр
С
С
И
И
В
В
Тогда сразу получается, что Семен — охотник, а Геннадий должен занять
оставшееся свободное место, он —скрипач:
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Ответ: ГИСВ
Задачи для самостоятельного решения
Задача 10[4]
На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут Семен, Николай, Артур и
Роман. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из профессий: врач,
художник, егерь и тренер. Известно, что:
1. Врач живет левее егеря
2. Художник живет рядом с тренером
3. Художник живет правее врача
4. Тренер живет рядом с врачом
5. Артур живет правее тренера
6. Семен живет через дом от Николая
7. Роман живет правее Семена
8. Николай не врач
Выясните, кто какой профессии и кто где живет. В ответе запишите первые буквы
имен людей в порядке домов слева направо
Задача 11[Демоверсия-2010,7]
На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут Алексей, Егор, Виктор и
Михаил. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из профессий: токарь,
столяр, хирург, окулист. Известно, что:
1. Токарь живет левее столяра
2. Хирург живет правее окулиста
3. Окулист живет рядом со столяром
4. Токарь живет не рядом со столяром
5. Виктор живет правее окулиста
6. Михаил не токарь
7. Егор живет рядом со столяром
8. Виктор живет левее Егора
Выясните, кто какой профессии и кто где живет. В ответе запишите первые буквы
имен людей в порядке домов слева направо
Задача 12[9]
На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут Иван, Борис, Михаил и
Андрей. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из профессий: врач,
учитель, слесарь, парикмахер. Известно, что:
1. Врач живет левее слесаря
2. Учитель живет правее парикмахера
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
3. Парикмахер живет рядом со слесарем
4. Врач живет не рядом со слесарем
5. Михаил живет правее парикмахера
6. Андрей не врач
7. Иван живет рядом со слесарем
8. Михаил живет левее Ивана
Выясните, кто какой профессии и кто где живет. Дайте ответ в виде перечня пар
заглавных букв, сначала профессии, затем имени людей, в порядке домов слева
направо. Пары букв «Профессия»-«Имя» отделяйте друг от друга запятыми без
пробелов. (Например: ВИ,СБ,УМ,ПА)
Задача 13[4]
На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут Семен, Николай, Артур и
Роман. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из профессий: врач,
художник, егерь и тренер. Известно, что:
1. Врач живет с краю
2. Тренер живет левее егеря
3. Художник живет рядом с врачом
4. Врач живет левее художника
5. Роман живет правее Семена
6. Роман живет левее тренера
7. Артур - не егерь
Выясните, кто какой профессии и кто где живет. Дайте ответ в виде первых букв
имен людей в порядке домов слева направо.
Задача 14 [6]
На улице, встав в кружок, беседуют 4 девочки: Ася, Вика, Галя, Даша.
Девочка в зеленом платье – не Ася и не Вика - стоит между девочкой в красном
платье и Дашей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в синем платье и
Викой. Какого цвета платье было надето на каждой из девочек? Ответ запишите в
виде строки из 4 символов, соответствующих первым буквам названия цвета
платьев Аси, Вики, Гали, Даши
Задача 15[7]
На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Алексей,
Егор, Виктор и Михаил. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из
следующих профессий: Токарь, Столяр, Хирург и Окулист, но неизвестно, кто
какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:
1) Столяр живет правее Хирурга
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
2) Окулист живет левее Хирурга
3) Токарь живет с краю
4) Токарь живет рядом с Окулистом
5) Егор не Токарь и не живет рядом с Токарем
6) Михаил живет рядом с Хирургом
7) Алексей живет правее Окулиста
8) Алексей живет через дом от Михаила
Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных
букв имени людей, в порядке слева направо.
3. Составление таблиц истинности.
При использовании этого способа строится таблица истинности, в левой
части которой находятся переменные- претенденты на ответ, на каждом из
наборов только одна переменная может принимать значение, равное 1; в
правой части таблицы находятся функции, соответствующие
перечисленным в условии задачи высказываниям. Ищем в правой части
таблицы подходящую под условие задачи строку, а в левой части таблицы на
пересечении этой строки и 1 ищем ответ.
Задача 16[6]
Один из пяти братьев- Никита, Глеб, Игорь, Андрей или Дима –испек маме
пирог. Когда она спросила, кто сделал ей такой подарок, братья ответили
следующее:
Никита: «Пирог испек Глеб или Игорь»
Глеб: «Это сделал не я и не Дима
Андрей: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул»
Дима: «Нет, Андрей, ты неправ»
Мама знает, что трое из сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?
Решение:
Построим таблицу истинности, в левой части которой перечислим имена
мальчиков- претендентов на роль кондитера- и из 16 наборов оставим только те,
где ровно по одной единице, т.к. пирог испек только один из мальчиков. У нас
остается всего 5 наборов:
Н ГИ АД
1 0 0 0 0
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
В правой части таблицы запишем высказывания мальчиков через формулы
алгебры логики и заполним таблицу:
1
НГИАД
10000
01000
00100
00010
00001
Г И
0
1
1
0
0
2
Г •Д
1
0
1
1
0
3
12
1
1
0
1
0
4
3
0
0
1
0
1
Ищем в правой части таблицы строку, в которой ровно три единицы. В левой
части таблицы по этой строке смотрим, у кого из мальчиков стоит единица.
НГИАД
10000
01000
00100
00010
00001
Ответ: Игорь
Г И
0
1
1
0
0
Г •Д
1
0
1
1
0
12
1
1
0
1
0
3
0
0
1
0
1
Задачи для самостоятельного решения
Задача 17[5]
Три ученика, Саша, Коля и Вова, прогуляли информатику. Когда их
спросили, кому пришла в голову эта идея, они ответили следующее:
Саша: «Я никогда не призывал к прогулу, это была идея Коли».
Коля: «Я никогда не предложил бы это первым, во всем виноват Вова».
Вова: «Эта идея пришла в голову Коле. Я просто пошел за компанию».
Внутренним чутьем учитель почувствовал, что двое учеников говорят правду
наполовину, а один – лжет. Кто из учеников был инициатором прогула? Ответ
дайте в виде первой буквы имени
Задача 18[1]
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Три школьника, Миша, Коля и Сергей, остававшиеся в классе на перемене,
были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На
вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее:
Миша: “Я не бил окно, и Коля тоже…”
Коля: “Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!”
Сергей: “Я не делал этого, стекло разбил Миша”.
Выяснилось, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части
заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба раза соврал.
Кто разбил стекло в классе? Ответ дайте в виде первой буквы имени
Задача 19[Демоверсия-2011,4]
Девять школьников, остававшихся в классе на перемене, были вызваны к
директору. Один из них разбил окно в кабинете. На вопрос директора, кто это
сделал, были получены следующие ответы:
Володя: «Это сделал Саша»
Аня: «Володя лжет»
Егор: «Маша разбила»
Саша: «Аня говорит неправду!»
Рома: «Разбила либо Маша, либо Нина»
Маша: «Это я разбила»
Нина: «Маша не разбивала»
Коля: «Ни Маша, ни Нина этого не делали»
Олег: «Нина не разбивала»
Кто разбил окно, если известно, что из этих девяти высказываний истинны только
три? Ответ запишите в виде первой буквы имени.
Задача 20[8]
В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать.
Послал царь четырех богатырей погубить Змея, а награду за то обещал великую.
Вернулись богатыри с победой и спрашивает их царь: «Так кто же из вас главный
победитель, кому достанется царева дочь и полцарства?». Засмущались добры
молодцы и ответы дали туманные.
Сказал Илья Муромец: «Это все Алеша Попович, царь-батюшка»
Алеша Попович возразил: «То был Микула Селянинович»
Микула Селянинович: «Не прав Алеша, не я это»
Добрыня Никитич: «И не я, батюшка»
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Подвернулась тут Баба-яга и говорит царю: А прав-то лишь один из богатырей,
видела я всю битву своими глазами. Кто же победил Змея? Ответ дайте в виде
первых букв имени и отчества победителя без пробелов
Задача 21[12]
Водители трех транспортных средств- участников ДТП- автобуса,
легкового автомобиля и маршрутного такси – давали объяснения инспектору
ГИБДД. На вопрос инспектора о том, кто спровоцировал аварию, водители
ответили следующее:
Водитель автобуса: «Я не нарушал ПДД, и водитель легкового автомобиля- тоже»
Водитель легкового автомобиля: «Водитель автобуса не является нарушителем,
правила нарушил водитель маршрутки»
Водитель маршрутки: «Я не делал этого, ПДД нарушил водитель автобуса»
Известно, что один из водителей исказил оба факта, другой сказал чистую правду,
а третий в одной части своего заявления солгал, а другая часть его признания
истинна. Кто виноват в аварии? Ответ дайте в виде одной из букв: А, Л или М.
Задача 22[13]
Проверяя дневники, классный руководитель заметил, что мальчику Роме
исправлены все двойки за неделю, а сделать это могли только три его друга:
Максим, Андрей и Костя, которые задержались на перемену в классе. Они были
вызваны к директору, где их спросили о том, кто подделал оценки. Были
получены такие ответы:
Андрей: «Максим этого не делал, это все Костя красной ручкой!»
Костя: «Я этого не делал, оценки исправил Максим!»
Максим: «Ничего я не исправлял! Да, и Андрей тоже.»
Стало известно, что один из мальчиков оба раза сказал чистую правду, второй все
соврал, а третий сказал правду только в половине своего ответа. Кто подделал
оценки Роме?
Запишите первую букву имени.
Задача 23[14]
На перемене ученики сломали парту. Учитель спросил всех учеников,
находящихся в классе, и получил следующие утверждения:
Оля: «Я не ломала парту»
Ира: «Это Лена, я все видела»
Лена: «Ира говорит неправду»
Катя: «Сломали мальчики»
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Вася: «Оля не ломала парту»
Сережа: «Это Миша или Дима»
Миша: «Лена никогда не врет»
Дима: «Это девочки сломали»
Если бы учительница знала, что 4 человека говорят правду, она бы без труда
вычислила виновника. Кто сломал парту? В ответе укажите первую букву имени.
4. Использование рассуждений (метод исключения противоречий).
Выписываем всевозможные варианты и вычеркиваем те, которые
противоречат условию задачи. Оставшийся единственный вариант и есть
правильный ответ.
Задача 24[4].
Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась
компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда
лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут
Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Встретив
однажды всех троих в коридоре, директор решил поговорить с мальчиками. Коля
сказал: «Я всегда лгу». Миша сказал: «Коля прав». Директору стало все понятно.
Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду»,
«всегда лжет», «говорит правду через раз».
Решение:
Выпишем всевозможные варианты ответов:
00-всегда лжет
01-говорит правду через раз
11-всегда говорит правду
Коля
Саша
Миша
00
01
11
00
11
01
01
00
11
11
00
01
01
11
00
11
01
00
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Коля сказал: «Я всегда лгу». Значит, он не может ни всегда говорить правду
(т.к. тогда он сейчас лжет), ни всегда лгать (т.к. тогда он сейчас говорит
правду). Таким образом, мы можем вычеркнуть из таблицы 4 строки, где Коля
всегда говорит правду и где он всегда лжет:
к
с
м
00
01
11
00
11
01
01
00
11
11
00
01
01
11
00
11
01
00
Осталось 2 варианта, где Коля говорит правду через раз.
Т.к. Коля сказал «Я всегда лгу», то в данный момент он солгал, т.к. он лжет не
всегда, а через раз. Миша подтвердил ложь Коли, значит он тоже солгал..
Можем вычеркнуть из таблицы еще один набор, на котором Миша всегда
говорит правду:
к
с
00
01
11
00
11
01
01
00
11
11
00
01
01
11
00
11
01
00
Ответ: СМК
Задача 255
5
м
Задача составлена автором
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе
появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду,
другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает,
что их зовут Костя, Сергей и Леша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет.
Встретив однажды Костю в коридоре, директор задал ему два вопроса: «Ты всегда
говоришь правду?» и «Сергей всегда говорит правду?». На оба вопроса он получил
ответ: «Нет». Директору стало все понятно. Расположите первые буквы имен
мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду
через раз».
Решение
Выпишем всевозможные варианты ответов:
00-всегда лжет
01-говорит правду через раз
11-всегда говорит правду
Костя Сергей
Леша
00
01
11
00
11
01
01
00
11
11
00
01
01
11
00
11
01
00
На вопрос «Ты всегда говоришь правду?» Костя ответил: «Нет». Значит, Костя
не может всегда говорить правду, так как в таком случае он сейчас солгал.
Костя также не может и всегда лгать, так как в таком случае он сейчас сказал
правду. Таким образом, мы можем вычеркнуть из таблицы 4 строки, где Костя
всегда говорит правду и где он всегда лжет:
к
с
л
00
01
11
00
11
01
01
00
11
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
11
00
01
01
11
00
11
01
00
Осталось 2 варианта, где Костя говорит правду через раз, а Сергей либо всегда
лжет, либо всегда говорит правду.
На первый вопрос Костя ответил правду, значит на вопрос о Сергее он солгал,
но на вопрос «Сергей всегда говорит правду?» Костя ответил: «Нет». Значит,
Сергей всегда говорит правду:
к
с
л
00
01
11
00
11
01
01
00
11
11
00
01
01
11
00
11
01
00
Ответ: СЛК
Задачи для самостоятельного решения
Задача 26[2].
В семье три сына Петя, Вася, Костя и одна дочь Маша. Однажды все трое
сыновей очень поздно вернулись домой. На вопрос «Почему?», - Петя сказал:»Я
всегда прихожу домой поздно, и не верьте Васе, он лжет». Вася сказал: «Я пришел
домой поздно в первый раз». Костя сказал: «Петя всегда говорит правду».
Слушавшая разговор Маша сообщила родителям, что один из сыновей всегда
говорит правду, второй всегда лжет, а третий говорит попеременно то ложь, то
истину, однако до сих пор никто домой поздно не возвращался. Родители знают,
что дочь всегда говорит правду, и сразу разобрались, кто из сыновей лжет, а кто
нет.
Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке «говорит всегда правду»,
«всегда лжет», «говорит то правду, то ложь»
Задача 27[Демоверсия-2009 ,7]
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась
компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда
лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут
Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое
прогуляли урок астрономии. Директор знает, что раньше никто из них астрономию
не прогуливал. Он вызвал всех троих а кабинет и поговорил с мальчиками. Коля
сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша».
Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета.» Миша сказал: «Все,
что говорит Коля- правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые
буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет»,
«говорит правду через раз»
Задача 28[7]
Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась
компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда
лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут
Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое
прогуляли астрономию. Директор знает, что никогда раньше никто из них не
прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с
мальчиками. Коля сказал: "Я раньше никогда не прогуливал астрономию". Саша
сказал: "Бывает, что я говорю неправду". Миша сказал: "Коля соврал Вам. Саша
никогда не врет". Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен
мальчиков в порядке: "говорит всегда правду", "всегда лжет", "говорит правду
через раз".
Задача 29[13]
Первого апреля три подружки Аня, Света и Оля решили разыграть
одноклассников и договорились, что одна из них будет говорить только ложь,
другая- только правду, а третья- через раз то ложь, то правду.
Они втроем прогуляли классный час и пришли только на праздник, хотя
раньше никогда так не поступали. Классный руководитель выслушала девочек:
Аня: Я всегда прогуливаю классный час, а Света скажет вам неправду.
Света: Я сегодня первый раз прогуляла классный час.
Оля: Аня сегодня говорит только чистую правду.
Классный руководитель догадалась, кто из девочек сегодня в какой роли
выступает. Расположите первые буквы имен девочек в таком порядке: «Всегда
говорит правду», «Всегда лжет», «Говорит правду через раз»
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
5. Использование функций алгебры логики
Задачи, решаемые с использованием алгебры логики, в свою очередь можно
поделить на три группы. Их решение сводится к тому, что вначале
высказывания записываются на языке алгебры логики, затем из них
составляются определенные формулы, эти формулы упрощаются, после чего
получается однозначный ответ
5.1 Все известные в условии задачи факты являются истинными
высказываниями.
Задача 30[1]
Известно, что:
1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C — нет.
2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе.
Определить, какие корабли вышли в море.
Решение:
Введем три высказывания: A — корабль A вышел в море; B — корабль B вышел в
море; C — корабль C вышел в море.
Запишем сложные высказывания 1 и 2 в виде логических функций от переменных
А, В и С и приравняем их к 1, т.к. известные факты- истина.
1. (А →C)=1
2. B⊕C = 1 .
Оба высказывания истинны одновременно, то есть их логическое произведение
тоже истинно: (А →C) ⋅(B⊕C)=1
Упростим левую часть выражения при помощи законов математической логики:
(A⋅C)⋅(B⊕C)=1 .
(А⋅
)⋅(B⋅
+ B⋅C)= 1 .
A⋅B⋅C = 1 .
Это уравнение имеет единственное решение: A = 1 , B =0 и C=1 . Это значит, что
в море вышли корабли A и C.
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Задача 316
ЕГЭ по информатике сдавали 4 выпускника: Иванов, Петров, Сидоров, Козлов.
Известно, что:
1. Для того, чтобы Иванов не набрал минимальный балл или Петров набрал,
необходимо, чтобы Сидоров набрал и Козлов не набрал.
2. Для того, чтобы не набрал Сидоров, а Петров набрал, необходимо, чтобы
Иванов не набрал или Козлов набрал минимальный балл.
3. Неверно, что для того, чтобы не набрал Иванов, достаточно, чтобы набрал
Козлов.
4. Сидоров не набрал минимальный балл
Кто сдал экзамен? В качестве ответа записать первые буквы фамилий без
пробелов в алфавитном порядке перечисления
Решение
Введем три высказывания:
И - Иванов набрал мин.балл
П - Петров набрал мин.балл
С - Сидоров набрал мин.балл
К - Козлов набрал мин.балл
Составим сложные высказывания по известным фактам. Они все истинны.
(И+П)→(С•К)=1
(С•П)→(И+К)=1
(К→И)=1
С=1
Перемножив высказывания, мы так же получим истину:
(И+П)→(С•К)•(С•П)→(И+К)•((К→И))•С=1
Преобразуем выражение согласно законам алгебры логики:
(И•П+С•К)•(С+П+И+К)•((К+И))•С=1
К•И(И•П+С•К)•С=1
К•И•П•С=1
6
Задача составлена автором
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Данное выражение истинно только тогда, когда К и И равны единице, а П и С
нулю. Следовательно, набрали минимальный балл Иванов и Козлов.
Ответ: ИК
Задача 32[11]
В школе в каждой из двух аудиторий может находиться либо кабинет
информатики, либо кабинет физики. На аудиториях повесили шутливые
таблички, про которые известно, что они либо обе истинны, либо обе ложны. На
первой аудитории повесили табличку «По крайней мере, в одной из этих
аудиторий размещается кабинет информатики», а на второй аудитории —
табличку с надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории».
Определите, какой кабинет размещается в каждой из аудиторий.
Решение
Переведем условие задачи на язык алгебры логики. Так как в каждой из
аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:
А — «В первой аудитории находится кабинет информатики».
В — «Во второй аудитории находится кабинет информатики».
Поскольку в каждой аудитории обязательно размещается какой-либо из
этих двух кабинетов, отрицания этих высказываний будут соответствовать:
А — «В первой аудитории находится кабинет физики».
В — «Во второй аудитории находится кабинет физики».
Высказывание, содержащееся на
соответствует логическому выражению:
табличке
первой
аудитории,
табличке
второй
аудитории,
X = A v В.
Высказывание,
содержащееся
на
соответствует логическому выражению:
У = А.
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на
табличках либо одновременно истинные, либо одновременно ложные,
соответствует истинности функции эквивалентности:
(X ↔У) = 1.
Выразим функцию эквивалентности через базовые логические функции и
получим:
(X & У) v (X & У) = 1.
Подставим вместо X и У соответствующие логические выражения:
((A v В) & А) v ((A v В) & А) = 1.
В результате упрощения получим:
В &А = 1.
Для того чтобы выполнялось равенство, обе логические переменные
должны быть равны 1, а соответствующие им высказывания истинны:
В — «Во второй аудитории находится кабинет информатики».
А — «В первой аудитории находится кабинет физики».
Таким образом, логическая задача решена: в первой аудитории находится
кабинет физики, а во второй — кабинет информатики.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 33[6]
Три друга –Петр, Роман и Сергей – учатся на математическом, физическом и
химическом факультетах. Если Петр математик, то Сергей не физик. Если Роман
не физик, то Петр –математик. Если Сергей не математик, то Роман- химик.
Определите специальности каждого. Ответ запишите в виде строки из трех
символов, соответствующих первым буквам названий специальностей Петра,
Романа и Сергея
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Задача 347
Какой из учебных предметов – русский язык, литература, математика, история
– должен быть внесен в расписание уроков при выполнении следующих условий:
1. Если вносится русский язык, то вносится и литература
2. Если не вносится история, то не вносится литература
3. Неверно, что если вносится математика, то вносится история
В качестве ответа записать первые буквы предметов в алфавитном порядке
перечисления
Задача 35 [10]
Для того, чтобы Саша поступил в университет, достаточно, чтобы Аня
или Вика не поступили. Вика поступает в университет вместе с Димой. Не
может быть, чтобы в университет поступили и Аня, и Саша. Для того, чтобы
Аня поступила в университет, необходимо, чтобы поступили Дима и Саша.
Кто поступил? Ответ дайте в виде перечисления в алфавитном порядке
первых букв имен.
Задача 36[10]
Кто из абитуриентов абитуриентов А,В,С и Д играет в шахматы, если
известно следующее:
1. Если А или В играет, то С не играет
2. Если В не играет, то играют С и Д
3. С играет
Ответ запишите в виде перечисления в алфавитном порядке
5.2 В каждом из предположений половина ложна, половина истинна.
Задача 37[4]
В соревновании по настольному теннису в полуфинал вышли четыре
спортсмена: Антон, Василий, Семен и Егор.
Собравшаяся перед телевизором семья высказала такие предположения
относительно результатов соревнований:
Папа: Антон- первый, а Егор -последний
7
Задача составлена автором
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Мама: Егор- первый, а Семен второй
Сын: Василий- первый, а Семен- третий
Когда награждали победителей, оказалось, что каждый из членов семьи был
прав только в одном своем утверждении. Какие места заняли Антон, Василий,
Семен и Егор? В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в
указанном порядке имен
Решение:
Запишем высказывания членов семьи в виде функций алгебры логики. Так как
каждый прав только в одном своем утверждении, соединим части утверждений
исключающим «или» и приравняем к единице:
Папа: А1 Е4=1
Мама: Е1 С2=1
Сын: В1 С3=1
Составим конъюнкцию этих формул. Она тоже истинна:
(А1 Е4)•(Е1 С2) • (В1 С3)=1
После упрощения, используя законы логики, получаем:
Е4 •С2 •В1=1.
Значит, Егор на четвертом месте, Семен- на втором, Василий- на первом, а
Антон- на третьем
Ответ: 3124
Задачи для самостоятельного решения)
Задача 38[5]
Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие
предположения по поводу своих кумиров:
А) Макс победит, Билл – второй;
В) Билл – третий, Ник – первый;
С) Макс – последний, а первый – Джон.
Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков
был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире
заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов
места участников в указанном порядке имен.)
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Задача 398
На олимпиаде по информатике Антонов, Белкин, Волков и Галкин заняли
первые 4 места. Когда их спросили о распределении мест, они дали 3 таких
ответа:
1. Галкин первый или Белкин второй
2. Волков первый или Антонов четвертый
3. Галкин второй или Белкин третий
Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение
истинно? В ответе записать первые буквы фамилий в порядке занятых мест
5.3 Часть предположений ложна, другая часть - истинна.
Задача 40[6]
Три студента Антонов, Волков, Сергеев стремятся сдать сессию на отлично.
Были высказаны следующие предположения:
1. Сдача экзаменов на отлично студентом Волковым равносильна тому, что
сдаст на отлично Антонов или Сергеев
2. Неверно, что сдаст на отлично Волков или одинаково на отлично сдадут
Антонов и Сергеев.
3. Студент Сергеев не сдаст экзамены на отлично и это при том, что если
Антонов сдаст на одни пятерки, то и Волков сдаст на отлично.
После сессии оказалось, что только одно из трех предположений ложно. Кто сдал
экзамены на отлично? В ответе укажите первые буквы фамилий студентов в
алфавитном порядке.
Решение:
Введем простые высказывания:
А- Антонов сдаст сессию на отлично
В –Волков сдаст сессию на отлично
С- Сергеев сдаст сессию на отлично
Тогда сложные высказывания, учитывающие первые три условия задачи,
запишутся в виде:
В↔ А + С (1)
(В + А•С) (2)
С •(А→В) (3)
8
Задача составлена автором
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Учитывая, что из трех сообщений только одно было ложным, получаем 3
возможных варианта:
(1)=1
(1)=1
(1)=0
(2)=1
(2)=0
(2)=1
(3)=0
(3)=1
(3)=1
Прошел только какой-то один из вариантов, поэтому мы можем записать:
F=(В↔ А + С)•((В + А•С))•((С •(А→В)))+ (В↔ А + С)•(((В + А•С)))•(С
•(А→В)) +( В↔ А + С)•((В + А•С))•(С •(А→В))=1
Преобразовав функцию согласно законам логики, получим:
F=А•В•С =1
Следовательно, экзамен на отлично сдадут Антонов и Волков. Ответ: АВ
Задачи для самостоятельного решения
Задача 41[6]
Относительно трех участников соревнований Антонова, Борисова и
Волкова были высказаны предположения, что если Волков будет в тройке
победителей, то и Антонов тоже; Антонов и Волков будут или не будут в
призерах соревнований одновременно; Антонов не будет призером или среди
победителей будут Борисов и Волков. После соревнований оказалось, что одно из
предположений ложно. Кто из спортсменов был в призерах? В качестве ответа
укажите первые буквы имен призеров в алфавитном порядке.
Задача 42[3 т.1]
Аня, Вика и Сергей решили пойти в кино. Учитель, хорошо знавший ребят,
высказал следующие предположения:
1. Аня пойдет в кино только тогда, когда пойдут Вика и Сергей
2. Аня и Сергей пойдут в кино вместе или же оба останутся дома
3. Чтобы Сергей пошел в кино, необходимо, чтобы пошла Вика
Когда ребята пошли в кино, оказалось, что учитель немного ошибся: из трех его
утверждений истинными оказались только два. Кто из ребят пошел в кино? Ответ
запишите первыми буквами имен ребят без пробелов в алфавитном порядке
Задача 43[10]
Миша решил поступить в институт и послал домой три сообщения:
1. Если я сдам математику, то информатику я сдам только при условии, что не
завалю диктант.
2. Не может быть, чтобы я завалил и диктант, и математику
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
3. Достаточное условие завала по информатике – двойка по диктанту
После экзаменов оказалось, что из трех Мишиных сообщений только одно было
ложным. Какие предметы завалил Миша? Перечислите первые буквы названий
экзаменов (М, Д, И) в алфавитном порядке перечисления
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Ответы к задачам для самостоятельного решения
№
Ответ
22
М
4
ИБС
23
Л
5
НЛРМ
26
ВПК
6
ШКХА
27
СКМ
7
АВМС
28
КМС
10
СРНА
29
САО
11
АМВЕ
33
ХФМ
12
ВБ,ПА,СМ,УИ
34
М
13
СРАН
35
ВДС
14
БКЗС
36
ДС
15
ВМЕА
38
3124
17
С
39
ГВБА
18
М
41
АВ
19
Н
42
ВС
20
ДН
43
ДИМ
21
А
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год
Список источников задач:
1. К.Ю. Поляков, А.П. Шестаков, Е.А. Еремин Логические основы компьютера/
Информатика // № 12 / 2010
2. Чуркина Т.Е. ЕГЭ. Информатика. Практикум по выполнению типовых
тестовых заданий ЕГЭ: учебно-методическое пособие-М.:Издательство Экзамен,
2011
3. Информатика. Задачник-практикум в 2-х томах/ Залогова Л.А., М.А.Плаксин,
С.В.Русаков и др. Под ред.И.Г.Семакина, Е.К.Хеннера:Том 1,2.М.:Бином.Лаборатория знаний, 2009
4. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ
Информатика/ авт.-сост. П.А.Якушкин, Д.М.Ушаков-М.:АСТ Астрель, 2011
5.
http://www.kpolyakov.narod.ru
6.
Информатика: ЕГЭ 2009: Самые новые задания/ авт.-сост. О.В.Ярцева,
Е.Н.Цикина.-М.:АСТ:Астель, 2009
7. http://www.fipi.ru Демоверсии ЕГЭ, ФБТЗ
8. Шауцукова Л.З.Информатика: Учебное пособие для 10-11 кл.
общеобразовательных учреждений - М.:Просвещение, 2004
9. ЕГЭ-2010. Информатика. Типовые тестовые задания/П.А.Якушкин,
В.Р.Лещинер, Д.П.Кириенко.-М.:Издательство «Экзамен», 2010
10. Информатика Сборник экзаменационных заданий прошлых лет/ под
ред.Тихомирова В.П., Вальциферова Ю.В.-М: МЭСИ, 2005
11. Угринович Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень : учебник для 10
класса— М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010
12. Гусева И.Ю. ЕГЭ. Информатика. Раздаточный материал тренировочных
тестов. -СПб.: Тригон, 2008
13. Е.М.Зорина, М.В.Зорин ЕГЭ 2010 Информатика Сборник заданий-М.Эксмо,
2009
14. http:// www.mioo.ru Статград Диагностическая работа от 29 ноября 2010 года 1
вариант
©Е.В. Тихонова МОУ СОШ №8 г.Чехова Московской области 2011 год