 

Занятие № 6
Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов
Теорема 1. Для любого угла  справедливы тождества:
sin 2  2 sin  cos ; cos 2  cos 2   sin 2  ,
(1)
которые называются формулами двойного угла.
Доказательство. В формулах sin   β   sin  cos β  cos sin β и
cos  β   cos  cos β  sin  sin β положим  равным  . Получим тождества:
sin 2  2 sin  cos  , cos 2  cos 2 - sin 2 .■
2
2
Следствие. Из формулы cos 2  cos  - sin  следуют формулы:
1  cos 2  2 sin 2 , 1  cos 2  2 cos 2
.
Доказательство.
 1 - cos 2  2 sin 2


cos 2  cos2 - sin 2  1  sin 2  sin 2  1  2 sin 2


cos 2  cos2 - sin 2  cos2  1  cos2  2 cos2  1  1  cos2  2 cos2 . ■
Теорема 2. Формулы двойного угла для тангенса и котангенса имеют вид:
tg 2 

 n
2 tg 
,
где




n
,


 , n  Z;
1 - tg 2
2
4 2
ctg 2  
ctg 2  1
, где
2 ctg

n
2
, nZ.
Доказательство.
ctg  ctg  1
tg   tg 
и ctg     
положим  равным  . В
1 - tg  tg 
ctg  ctg
результате получим формулы двойного угла для тангенса и котангенса.■
Используя формулы двойных углов, можно получить формулы половинного угла для
В формулах tg     
тригонометрических функций.
1. Из формул следствия теоремы 1 найдем sin  и сos 2 :
1 - cos2
1  cos2
2
sin 2 
, cos  
.
2
2
2
В данных формулах
 заменим на

:
2
sin 2
откуда следует sin

2


2

1 - cos
1  cos
2

, cos
,
2
2
2

1 - cos

, cos
2
2
Знаки перед корнями соответствуют знакам sin
2. tg

2

1  cos
2

2
и cos

2
.
.
1 - cos

, где    2n, n  Z ;
2
1  cos
ctg

2
1  cos
, где   2n, n  Z .
1 - cos

Знаки перед корнями соответствуют знакам tg

и ctg
2

2
.
Доказательство. Формулы получаются при почленном делении каждого тождества из предыдущего
пункта 1.
3. Для любого     2n, n  Z справедлива формула tg
для любого
  n, n  Z справедлива формула tg

2


2

sin 
;
1  cos
1 - cos
sin
.
Доказательство первой формулы:
tg

2

sin
cos

2 


sin
2
cos

 2 cos
 2 cos

2 

sin 
2 cos 2


sin 
.
1  cos 
2
2
2
2
Вторая формула доказывается аналогично.■
4. Выразим тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Докажем, что для
любого угла
ctg  
 ,     2n,
1 - tg 2
2 tg
n  Z , справедливы формулы: sin  

2

, если при этом  

2
Доказательство. sin  
1

1 - tg
2 
2 sin
sin
2
2
Разделив числитель и знаменатель дроби на cos

2

2

2
cos
2
 cos

2 .
получим: sin  
2
1  tg
2
2 tg
Аналогичным способом доказывается вторая формула:
1 - tg 2

2

2
2

.
2

2
( cos 2

2
cos 
,
,
2

2
1  tg
1  tg
2
2
2 tg
 n, n  Z , то tg 
2
sin 2 
2 tg

2

.
2
 0 , так как
    2n, n  Z ),
cos 
cos2
sin 2

2

2
 sin 2
 cos2


1 - tg 2

cos
2
ctg 

sin 
2 
 1  tg

2

2 

2
1 - tg 2
1  tg 2

 
  2 tg
2
 :
  1  tg 2 
 
 
2

2 ;

2

2 
 1 - tg
2;



2 tg


2
Рассмотрим примеры на применение вышерассмотренных формул
Пример № 1
Упростите выражение:
sin 2
sin 
Решение: В числите дроби мы видим формулу синуса двойного угла sin2α =2 sinαcosβ, имеем
sin 2 2 sin  cos 

 2 cos 
sin 
sin 
( здесь мы числитель и знаменатель дроби сократили на одинаковый множитель sinα).
Пример № 2
Упростите выражение: cos2 β- cos2β
Решение: в данном выражении встречается формула косинуса двойного угла
cos2β = cos2 β-sin2β
упростим выражение cos2 β- cos2β = cos2 β – (cos2 β-sin2β) = cos2 β – cos2 β+sin2β = sin2β
Упростите следующие выражения самостоятельно:
а)
sin 2
sin 2
 sin  ; б) cos2β + sin2β; в)
 cos 
2 sin 
cos 
Пример № 3
Найти значение sin2α, если cosα = -0,8, α - угол 3-ей четверти.
Решение: сначала вычислим sinα . Так как α – угол 3-ей четверти, то sinα<0. Поэтому
sin    1  cos 2    1  (0,8) 2   1  0,64   0,36  0,6
По формуле синуса двойного угла имеем: sin2α =2 sinαcosβ = 2·(-0,6)·(-0,8) = 0,96
Самостоятельно найди значение cos2α, если sinα = -0,8, α - угол 3-ей четверти.
Пример № 4
Упростить выражение:
1  cos 
1  cos 
Решение: к выражению 1 – cosα применим формулу 1 – cos2α= 2sin2α и, представиd α в виде
произведения 2·


, получим 1 – cosα =2sin2 .
2
2
К выражению 1 + cosα применим формулу 1 + cos2α= 2cos2α и, представиd α в виде произведения 2·


, получим 1 + cosα =2cos2 .
2
2
1  cos 
Упростим данное выражение
=
1  cos 
Упростите самостоятельно: а)
sin 
2 cos 2


2  tg 2 

2
2 cos 2
2
2 sin 2
cos 
; б)
2
cos

2
 sin

2
Пример № 5
Вычислите: а) 2sin450cos450
Решение: 2sin450cos450 = sin2·450 = sin900 = 1
б) 4cos2 450 -4sin450
Решение: 4cos2 450 -4sin450 = 4(cos2 450 -sin450) =4 cos2·450 =4 cos900= 0
4tg150
2  2tg150
3 2 3

 2tg 2  150  2tg300  2

в)
2
0
2
0
1  tg 15
1  tg 15
3
3
Вычислите самостоятельно: а) 2sin150cos150
б) cos2 150 –sin150 в)
2tg50
1  tg 2 50