ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО

1
Существование решения задачи оптимального управления для линейного
уравнения Шредингера
со квадратично суммируемым потенциалом, зависящим от времени.
Сеидова К.М.
Махмудов Н.М.
Нахичеванский Государственный Университет (Азербайджан)
Задачи оптимального управления для линейного уравнения Шредингера
часто возникают в квантовой механике, ядерной физике, нелинейной оптике и в
других областях современной физики и техники, роль управления в которых
играет
потенциал
взаимодействия
и
часто
этот
потенциал
оказывается
квадратично суммируемой функцией, зависящей от времени [1].
В данной работе рассматривается задача оптимального управления для
линейного уравнения Шредингера со квадратично суммируемым потенциалом,
зависящим от времени. При этом исследуются вопросы корректности постановки
задачи оптимального управления. Отметим ,что ранее подобные задачи изучены в
работах , когда управления является ограниченной и измеримой функцией. Когда
управление зависит от пространственной переменной и является суммируемый
функцией подобная задачп изуцена ранее в работе [5].
Пусть требуется минимизировать функционал
T
T
J v   0   0, t   y0 t  dt  0   l , t   y1 t  dt   v  
2
0
2
0

на множестве V  v  vx  : v  L2 0, T , v
i
L2 0 , T 
2
L2  0 , T 
(1)

 b0 при условиях:

 2
 a0 2  ax   vt   f x, t  ,  x, t   ,
t
x
(2)
 x,0   x, x  0, l  ,
(3)
  0, t    l , t 

 0, t  0, T  ,
x
x
(4)
где i 2  1 , a0  0, b0  0, l  0, T  0,   0, 0  0, 1  0 – заданные числа такие,
что
0  1  0 ,
a x 
–
удовлетворяющая условиям:
заданная
ограниченная
измеримая
функция,
2
0  0  ax   1 ,

dax 
  2 ,  x  0, l  ,
dx
(5)
_____
 j  0, j  0, 2 – заданные числа, а функции  x  ,
f x, t  , y0 t , y1 t ,  t 
являются заданными и удовлетворяют условиям:
 W22 0, l  ,
d 0 d l 

 0,
dx
dx
(6)
f  W22, 0 ,
f 0, t  f l , t 

 0,
x
x
(7)
  L2 0, T , y0 , y1 W2 2 0, T  .
1
(8)
Задачу об определении функций    x,t  из условий (2)-(4) при заданном
v V назовем редуцированной задачей. Под решением этой задачи будем


понимать функцию    x,t  из пространства B  C 0 0, T ,W22 0, l   W20, 1 ,
удовлетворяющую условиям (2)-(4) при почти всех x, t    .
Редуцированная задача (2)-(4) является второй краевой задачей для
уравнения Шредингера. Краевые задачи для уравнения Шредингера ранее
изучены. например в работах [2-4] и др. Однако эти результаты не достаточны для
изучения задачи (1)-(4). Поэтому возникает необходимость изучить сначала
краевую задачу (2)-(4) с потенциалом v  vt  из множества V  L2 0, T  .
С помощью метода Галеркина доказано следующая терема о разрешимости
второй краевой задачу для линейного уравнения Шредингера.
Теорема 1. Пусть функции ax,  x, f x, t  удовлетворяют условиям (5)(7). Тогда для v V редуцированная задача (2)-(4) имеет единственное решение
из B и для этого решения справедлива оценка:
 , t  W
2
2
0 , l 


t
L2   

 c0 
W22 0 , l 
 f
W22 , 0  
, t  0, T  ,
(9)
где c0  0 – постоянная не зависит от t ,  , f .
Теперь будем изучить вопрос корректности постановки задачи
оптимального управления (2)-(4). С этой целью доказано следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и
y0  L2 0, T  ,
y1  L2 0, T  ,   L2 0, T  – заданные функции. Тогда существует всюду плотное
3
подмножество G пространства L2 0, T  такое, что для любого   G при   0
задача оптимального управления (1)-(4) имеет единственное решение.
С помощью этой теоремы было доказано, что задача (1)-(4) при   0
имеет единственное решение не для всякого   L2 0, T  . Кроме того, можно
показать пример, что при   0 эта задача, вообще говоря, является неустойчивой
[8].
Несмотря на неустойчивость задачи (1)-(4), при   0 , она и при   0
имеет хотя бы одно решение. Прежде чем доказать такое утверждение приведем
одно следствие теоремы 1.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда редуцированная
задача (2)-(4) для v V
имеет единственное почти всюду решение из
пространства W22, 1  и для этого решения справедлива оценка:

W22 , 1  

 c17 
W22 0 , l 
 f
W22 , 0  
,
(20)
где c17  0 – постоянная не зависит от  , f .
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда задача
оптимального управления (1)-(4) при   0 и для   L2 0, T  при   0 имеет
хотя бы одно решение.
Доказательство. Возьмем минимизирующую последовательность vk   V :
lim J vk   J  *  inf J  v  .
k 
vV
Положим  k x, t    k x, t; vk . Поскольку
vk   V ,
то редуцированная
задача (2)-(4) в силу следствия имеет единственное решение  k x, t  из W22, 1 
для каждого k  1, 2, ... и справедлива оценка:
k
W22 , 1  

 c17 
W22 0 , l 
 f
W22 , 0  
 c
18
, k  1, 2, ... ,
(21)
где c18  0 – постоянная не зависит от k .
Поскольку V
замкнутое, ограниченное и выпуклое множество из
рефлексивного банахово пространства L2 0, T  , это множество слабо компактно и
слабо замкнуто в L2 0, T  . Поэтому из последовательности vk  можно извлечь
подпоследовательность, которую для простоты изложения снова обозначим через
4
vk , что
vk  v слабо в L2 0, T  при k   и v V . Следовательно, справедливо
следующее предельное соотношение
T
T
 v t qt dt  vt qt dt
(22)
k
0
0
при k   для q  L2 0, T  .
Из оценки (21) следует, что последовательность  k x, t  равномерно
ограничено в норме пространства W22, 1  . Тогда из этой последовательности
можно извлечь такую последовательность, которую для простоты изложения
снова обозначим через  k x, t , что  k   слабо в W22, 1  при k   .
Следовательно, можем написать следующее предельное соотношение:
 k   слабо в L2  ,
(23)
 2 k
 2
слабо в L2  ,

x 2
x 2
(24)
 k


слабо в L2 
x
x
(25)
при k   .
Ясно, что элементы последовательности  k  W22, 1   удовлетворяют
следующему интегральному тождеству:
  k

 2 k
i

a
  t 0 x2  ax k  vt  k  dxdt  f x, t  x, t dxdt , k  1, 2, ... ,
(26)
для   L2 . В силу предельных соотношений (23)-(25) имеем:
  k

 

 2 k
 2




i

a

a
x


x
,
t
dxdt

i

a
 ax   x, t dxdt
k
0
 t
2
  t 0 x2

x



(27)
для   L2  при k   .
Не трудно доказать справедливость предельного соотношения:
 v t  x, t  x, t dxdt  vt  x, t  x, t dxdt
k
k

для   L2  при k   .

(28)
5
Таким образом, в силу предельных соотношений (27), (28) переходя к
пределу в интегральном тождестве (26) при k   получим справедливость
интегрального тождества
 

 2
i

a
  t 0 x2  ax  vt   dxdt  f x, t  x, t dxdt
(29)
для любой функции   L2  , откуда следует справедливость того, что

предельная функция    x, t  удовлетворяет уравнению (2) для x, t    .
Легко доказывается, что предельная функция    x, t  удовлетворяет


начальным и граничным условиям (3), (4) для  x  0, l ,  t  0, T  , соответственно.
В силу теоремы вложения пространство W22, 1  компактно вложено
L2 0, T  . Тогда имеют место следующие предельные соотношения:
 k s, t    s, t , s  0, l сильно в L2 0, T 
(30)
(тем более слабо в L2 0, T  ) при k   . Используя это и слабую полунепрерывность снизу нормы в пространстве L2 0, T  и неотрицательность параметров  0 ,
1 ,  получаем, что функционал J  v  слабо полунепрерывен снизу на элементе
v V , являющегося предельной функцией минимизирующей последовательности
vk   V . Поэтому
J * v   J v   _______
lim J vk   J * .
k 
Отсюда следует, что J v   J *  inf J v  , то есть v  vt  из V является
vV
решением задачи (1)-(4). Теорема 3 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление квантовомеханическими
процессами. М.: Наука, 1984, 256с.
2. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Вариационный метод решения обратной
задачи об определении квантовомеханического потенциала // ДАН СССР,
1988, т.303, №5, с.1044-1048.
6
3. Ягубов Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного
уравнения Шредингера // Докторск. дисс. - Киев. - 1994. - 318 С.
4. Искендеров
А.Д.,
Ягубов
Г.Я.
Оптимальное
управление
квантомеханическим потнциалом // Труды ИММ АНА 1998,т.VIII,с.75-80
5. Искендеров А.Д. Определение потенциала в нестационарном уравнении
Шредингера // В сб.: «Проблемы математического моделирования и
оптимального управления», Баку, 2001, с.6-36.
6. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967. - 624 с.
7. Geоbаl M. On existence of optimal control // Math. Nachr. 1970, vol. 93, pp. 6773.
8. Васильев В.П. Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981. 400с.
9. Лионс Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.:
Наука, 1987.