Метод переброски коэффициентов

Лекция 1.
Метод переброски старшего коэффициента.
Для
организации
подготовке
к
ЦТ
итогового
особое
повторения
внимание
курса
следует
математики
уделять
при
подробному
рассмотрению вопросов, на отработку которых в школьной программе
отводится недостаточное количество часов. В последнее время в связи со
спецификой задач, предлагаемых на ЦТ, учащимся очень важно овладеть
специальными методами решения некоторых типов уравнений и неравенств,
быстрыми
способами
вычислений,
нахождением
значений
обратных
тригонометрических функций. Метод переброски старшего коэффициента
при решении неприведённых квадратных уравнений позволяет существенно
сократить время работы над традиционно сложными для учащихся
заданиями. Подробное
описание этого метода есть далеко не во всех
школьных учебниках и пособиях, поэтому показать его учащимся могут
педагоги, сами хорошо владеющие этим методом. В частности, этот метод
незаменим при разложении квадратного трёхчлена на линейные множители,
при сокращении рациональных дробей ну, и как было сказано выше, при
решении уравнений (рациональных, показательных, логарифмических,
тригонометрических), сводящихся к квадратным.
Рассмотрим метод переброски на конкретных примерах. Суть метода
заключается в том, что корни квадратных уравнений
ax2+bx+c=0 (1)
иy2+by+ac=0 (2)
связаны соотношениями:
𝑥1 =
𝑦1
𝑎
;𝑥2 =
𝑦2
𝑎
,
т.е. квадратное уравнение общего вида (1) нужно привести к полному
приведённому квадратному уравнению (2). Корни уравнения (2) находим
подбором, используя теорему, обратную теореме Виета (излишне говорить,
что учащиеся должны быстро и безошибочно находить подбором корни
приведённых квадратных уравнений), а затем, что самое главное, не забыть
разделить их на старший коэффициент а.
Пример 1. Решить уравнение
5x2-7x+2=0 (3)
Выполним «переброску» и решим уравнение
y2 – 7y +10 = 0. (4)
Подбором легко найти корни уравнения (4): у1=2, у2=5.
Теперь разделим найденные корни на старший коэффициент уравнения
2
(3) а=5, получаем 𝑥1 = , x2=1.
5
Так как при решении заданий ЦТ нет необходимости подробной записи,
то всё решение уравнения (3) выглядит следующим образом.
5x2 -7x + 2 = 0,
x2-7x + 10 = 0,
D>0 (обязательное условие!),
𝑥1 =
2
5
, 𝑥2 = = 1.
𝟓
𝟓
Пример 2. Решить уравнение √3𝑥 2 − 5𝑥 − √12 = 0.
Решение:
√𝟑𝑥 2 − 5𝑥 − √12 = 0,
𝑥 2 − 5𝑥 − 𝟔 = 0,D>0
𝑥1 = −
1
√𝟑
, 𝑥2 =
6
√𝟑
.
Избавившись от иррациональности в знаменателе, окончательно
получим:𝑥1 = −
√3
, 𝑥2
3
= 2√3.
Пример 3. Сократить дробь
Решение:
2𝑥 2 +𝑥−3
.
4𝑥 2 +𝑥−5
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Корни
квадратных трёхчленов 2x2+x-3 и 4x2+x-5 находим методом переброски.
2x2+x-3=0,
4x2+x-5=0,
x2+x-6=0,D>0
x2+x-20=0,
D>0
3
2
5
4
𝑥1 = − , 𝑥2 = = 1. 𝑥1 = − , 𝑥2 = = 1.
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
Следовательно:
3
2x2+x-3=2(x+ )(x-1)=(2x+3)(x-1),
2
5
4x2+x-5=4(x+ )(x-1)=(4x+5)(x-1).
4
Окончательно имеем:
2𝑥 2 +𝑥−3
(2𝑥+3)(𝑥−1)
= (4𝑥+5)(𝑥−1) =
4𝑥 2 +𝑥−5
2𝑥+3
4𝑥+5
.
Убедимся в эффективности метода переброски при решении тестовых
заданий.
Задание 1. Найти количество целых значений аргумента, при которых
функция y =-2x2 -5x +7 принимает положительные значения.
Решение. Требуется выяснить, при каких значениях 𝑥y>0. Составим и
решим неравенство:
-2x2 -5x +7>0,
2x2 +5x -7<0,
x2+5x -14<0,
7
2
𝑥1 = − , 𝑥2 = = 1.
𝟐
𝟐
1
2(x+3 )(x-1)<0,
𝟐
Целые решения неравенства: -3;-2;-1;0. Их количество – 4.
Задание 2. Указать промежуток, которому принадлежат корни уравнения
2009x2+2007x -2=0. Варианты ответов:
1) (-∞;-3)
2) [0,1;1)
3) [1;3)
4) [-1;0,1).
Решение.
2009x2+2007x -2=0
Числа, сумма которых равна -2007,а произведение равно -2×2009 – это 2009 и 2. Тогда
𝑥1 = −
2009
2009
и 𝑥2 =
= −1
2
2009
.
Оба корня принадлежат промежутку [-1;0,1).
Ответ: 4)
Задание 3. Найти сумму корней уравнения
2
Варианты ответов: 1) 5
3
Решение.
x2-2x-1 =
3) 4
5𝑥+1
3
4) 3
Уравнение можно решить с помощью системы:
5𝑥+1
x2-2x-1= −
3 x2-11x-4=0,
,
3
5𝑥+1
3
3 x2-x-2=0,
,
5𝑥+1
3
2) 5
‫׀‬x2-2x-1‫=׀‬
(1)
(2)
1
≥0;
x≥− ;
5
Уравнения (1) и (2) решаем методом переброски, получаем
1
12
3
3
2
3
3
3
𝑥 = − или x=
,
𝑥 = − или x= ,
1
1
5
5
1
𝑥 = − или x= 4,
3
2
𝑥 = − или x= 1,
3
x≥− x≥− .
Корнями
исходного
уравнения, удовлетворяющими условию
1
x ≥ − , будут только числа x= 4 и x= 1. Их сумма равна 5.
5
Ответ 2).
Задание 4. (Тестирование 2013г, В6). Найти количество корней
3𝜋
уравнения 32sin2x+8cos4x=23 на промежутке [-π; ].
4
Решение этого уравнения сводится к решению вспомогательного
16t2-32t+15=0;
(sin2x=t)
t2-32t+15×16=0;
15×16=3×5×2×2×2×2=20×12;
20 5
sin2x= = > 1
16 4
или
3
sin2x= .
4
Графический способ решения последнего уравнения позволяет найти 4
корня на заданном отрезке.
Ответ: 4
Задания для самостоятельного решения. Методом переброски найти
корни уравнений:
1) 3x2 -7x+4=0,
7) 2x2 -9x+10=0,
2) 12x2 +7x+1=0,
8) 5x2 -6x+1=0,
3) 9x2 -14x+5=0,
9) 4x2 +x-33=0,
4) 35x2 +2x-1=0,
10)
14x2 -5x-1=0,
5) 5x2 - 8x+3=0,
11)
5x2 -11x+2=0,
6) 3x2 -13x+14=0,
12)
2x2 +7x-30=0.
Ответы:
1
1
1) 1; 1 ;
8) 1; ;
3
5
1
1
3
4
2) − ; − ;
3)
5
9
; 1;
1
1
5
7
4) − ; ;
5)
3
5
; 1;
1
6) 2; 2 ;
3
1
7) 2; 2 ;
2
3
9) -3; 2 ;
4
1
1
2
3
10) ; − ;
1
11) 2; ;
5
1
12) −6; 2 .
5