Подготовка к олимпиаде «V КРУГ» (май 2013г.). Домашнее

Подготовка к олимпиаде «V КРУГ» (май 2013г.).
Домашнее задание для самих себя.
1. Внутри круга даны две различные точки. Проведите через них две равных и параллельных хорды.
(Свободными являются обе точки, центр и радиус круга.)
2. Постройте квадрат MNKL, вписанный в квадрат ABCD. (Свободными являются точки A и С; точка
M лежит на стороне АВ и является частично свободной.)
3. Даны 4 точки общего положения. Построить хотя бы одну окружность, расстояния до которой от
этих 4 точек равны. (Свободными являются 4 исходные точки.)
4. Построить треугольник по трём серединам его сторон за наименьшее количество операций, если
разрешено пользоваться только операцией «гомотетия». (Свободны середины сторон.)
5. Вписать в данную окружность w два квадрата ABCD и PQXY (ориентация вершин по часовой стрелке, А, B, P, Q лежат на окружности) с отношением площадей 1:2 так, чтобы стороны CD и XY соприкасались, и A, B, P, Q лежали на w. (Свободными являются центр и радиус окружности, А частично
свободна.)
6. Построить треугольник ABC, в котором высота BH в два раза меньше медианы AM. (Свободными
являются точки A и B, частично свободна точка H.)
7. Даны две непересекающиеся окружности w1 и w2 с центрами O1 O2 и радиусами R1 и R2 соответственно. Построить w3 с радиусом R3=R1+R2, чтобы она касалась медианы треугольника O1O2O3, проведённой из вершины O1. (Центры и радиусы w1 и w2 свободны.)
8. Дана вершина, точка пересечения медиан и высот серединного треугольника. Восстановить исходный треугольник. (Свободны все три исходные точки.)
9. Построить вторую точку пересечения окружностей, основанных на сторонах AB и BC, как на диаметрах, если запрещено пользоваться операцией «окружность». (Свободны точки A, B, C.)
10. Построить отрезок, соединяющий стороны данного угла, проходящий через данную точку, расположенную внутри угла, такой, что он делится ею пополам. (Свободны вершины, стороны угла и данная точка.)
11. Дана окружность w1, вторая окружность w2 изнутри касается с w1. Построить квадрат ABCD таким
образом, чтобы A и B лежали на окружности w1, точка C – на w2, при этом никакие иные точки квадрата данным окружностям не принадлежали. ( Центр окружности w1 свободен, центр w2 и точка С
частично свободны.)
12. Постройте вершину С прямоугольного треугольника АВС (угол С – прямой), если даны точки А и
В и расстояние от прямой АВ до точки пересечения биссектрис внешних углов А и В треугольника
АВС. (Свободны точки А и В, концы отрезка, задающего расстояние.)
13. Даны две окружности w1 и w2. Постройте все точки, удалённые от этих окружностей на расстояния
d1 и d2 соответственно. (Свободны центры и радиусы обеих окружностей, а также длины отрезков
d1 и d2.)
14. Постройте треугольник по основанию медианы M, основанию симедианы X и вершине A, из которой они проведены (Симедиана – отрезок из вершины до противоположной стороны, симметричный
медиане треугольника относительно его биссектрисы). (Свободны точки, A, M, X.)
15. Дан угол BAC. Построить точку K такую, что расстояние КB равно расстоянию от K до луча AC.
(Свободными являются точки A, B, C.)
16. Построить геометрическую интерпретацию следующей задачи: «Метеорит M летит по прямой, пересекающей планету (окружность с центром О и радиусом R). При прохождении метеоритом через
точку P, удалённую от точки столкновения с планетой на расстоянии 5R, из точки S на поверхности
планеты с целью сбить метеорит должна стартовать ракета со скоростью, в три раза меньшей, чем скорость метеорита.» (Свободны - прямая полёта метеорита, точки О и S, радиус R; частично свободна
точка М.)