metod_otdel_konstantx - Всероссийский фестиваль

Профессиональный конкурс работников образования
ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ – КОНКУРС
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА
(2012/13 УЧЕБНЫЙ ГОД)
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ –
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 76
Номинация конкурса: Педагогические идеи и технологии: среднее
образование
Исследовательская работа
«Метод отделяющих констант»
Автор: Серебрякова Татьяна Юрьевна, учитель математики высшей категории
МБОУ СОШ № 76
Место выполнения работы: МБОУ СОШ № 76, 440071, г. Пенза, ул. Лядова,
д. 50
2012-2013 уч. год
Содержание
Введение……………………………………………………………………………...3
1. Доказательство неравенств …………………………………………………4
2. Итерации…………………………………………………………………….…7
3. Решение уравнений…………………………………………….…………....10
4. Рациональность доказательства того или иного конкретного неравенства
методом отделяющих констант…………………………………………..…12
Заключение………….……………………………………………………...……….14
Ресурсы……………………………………………………………………………...15
2
Введение
Чтобы получить высокий балл на ЕГЭ по математике, надо уверенно
решать задачи не только части В, но и группы C. Проведение ЕГЭ в течение
последних лет, показало всем, что нужно быть готовым к любым
неожиданностям на экзамене. Умение выбрать наиболее выгодный метод
решения конкретной задачи зависит от практических навыков, от умения
«видеть» графики, от владения понятием производной и другими средствами
исследования функций.
Данный проект является актуальным т.к. он показывает практическую
пользу «Метода отделяющих констант» при решении многих задач.
Появилась гипотеза: метод отделяющих констант может применяться не
только для доказательства неравенств, но и для решения уравнений.
Поэтому цель исследования: выяснить, что «Метод отделяющих
констант» является рациональным при решении многих неравенств и
уравнений.
Объект исследования: неравенства и уравнения.
Задачи:
1. Проанализировать литературу, посвященную теме «Метод отделяющих
констант»;
2. Разбить материал на логические части;
3. Разработать комплекс практических заданий по теме;
4. Сделать выводы о практической значимости «Метода отделяющих
констант».
3
За последние годы в практику экзаменационных работ ЕГЭ по математике
вошли задачи, решение которых удобно начинать с нахождения множества
значений, принимаемых некоторыми функциями. Иногда решение задачи на
этом и заканчивается — из полученных результатов сразу следует ответ; в
других случаях знание множества значений функции резко сокращает объем
работы, указывает кратчайший путь к ответу.
О некоторых особенностях применения этого метода и рассказывается в
данном проекте.
Доказательство неравенств
Начнем со следующей задачи.
Пример 1. Доказать неравенство [2]
𝑥 2 − 2𝑥 ≥ −3 + sin 𝑥
(1)
Для решения достаточно заметить, что луч [−1; ∞), представляющий собой
множество значений функции
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 = (𝑥 − 1)2 − 1,
не пересекается с множеством значений функции
g(x) = −3 + sin 𝑥,
то есть с отрезком [−4; −2].
Можно сказать и иначе: существует такое число с (например, 𝑐 =
−3
2
), что для
всех 𝑥 ∈ 𝑅 справедливы неравенства 𝑓(𝑥) > 𝑐, 𝑐 > 𝑔(𝑥) (рис. 1), откуда и
следует справедливость не только неравенства (1), но и более сильного
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) для любых 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, то есть всегда
𝑥 2 − 2𝑥 ≥ −3 + sin 𝑥.
В более сложных примерах уже не удается найти константу с,
«отделяющую» значения функции 𝑓(𝑥) от значений функции 𝑔(𝑥) на всей
4
области их задания, но можно разбить числовую прямую на несколько
промежутков, на каждом из которых существует своя отделяющая константа.
Пример 2. Доказать неравенство [4]
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 > 4√3𝑥 − 𝑥 2 − 11
(2)
В этом случае на луче (−∞; √3] (то есть
при
−∞ < 𝑥 < √3)
такой
отделяющей константой является 𝑐1 = −2 (рис. 2), а на луче [√3; ∞) можно
взять отделяющую константу𝑐2 = 1,01.
Разумеется, график на рисунке 2 лишь иллюстрирует сказанное; полное же
доказательство, основанное на идее отделяющих констант, можно изложить,
например, следующим образом. Функция
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
при всех 𝑥 ∈ 𝑅 (и, в частности, при 𝑥 < √3) удовлетворяет неравенству 𝑓(𝑥) >
𝜋
− > −2, то есть 𝑓(𝑥) > 𝑐1 . С
2
другой
стороны,
функция 𝑔(𝑥) =
4√3𝑥 − 𝑥 2 − 11 = −(𝑥 − 2√3)2 + 1
при 𝑥 = √3 принимает
значение 𝑔(√3) = −2 = 𝑐1 ,
5
а слева от точки 𝑥 = √3 эта функция возрастает, поэтому при 𝑔(𝑥) < 𝑐1
при 𝑥 < √3. Итак, 𝑓(𝑥) > 𝑐1 > 𝑔(𝑥) при 𝑥 < √3, то есть при этих значениях х
неравенство (2) справедливо. Осталось рассмотреть значения 𝑥 ≥ √3.
Заметим, что
𝑓(√3) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√3 =
𝜋
3
> 1,01 , причем функция 𝑓(𝑥) —
возрастающая, поэтому 𝑓(𝑥) > 𝑐2 , при 𝑥 ≥ √3. Что же касается функции 𝑔(𝑥),
то при любых 𝑥 ∈ 𝑅 (и, в частности, при 𝑥 ≥ √3) мы имеем 𝑔(𝑥) ≤ 1 < 𝑐2 .
Таким образом 𝑓(𝑥) > 𝑐2 > 𝑔(𝑥), при 𝑥 ≥ √3, то есть и при этих значениях x
неравенство (2) справедливо.
Рассмотренный прием доказательства неравенств вовсе не следует считать
каким-то изысканным, случайным, редко применимым. Напротив, для
непрерывных функций этот прием можно считать универсальным. В самом
деле,
пусть,
например,
непрерывные
функции
𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) заданы
на
отрезке [𝑎; 𝑏], причем прикинув вид этих графиков, мы обнаружили,
что вроде бы на всем этом отрезке справедливо неравенство 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥). Как
можно было бы доказать справедливость этого неравенства?
6
Если для всех 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] справедливо неравенство 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), то графики
функций 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) не имеют общих точек, и потому можно провести
«ступенчатую ломаную» (рис. 3), отделяющую график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) от
графика функции 𝑦 = 𝑔(𝑥). Но это и означает, что отрезок [𝑎; 𝑏] можно разбить
на несколько меньших отрезков, на каждом из которых существует отделяющая
константа 𝑐𝑖 .
Разумеется, в этом рассуждении речь идет лишь о принципиальной
возможности доказать неравенство 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) методом отделяющих констант.
В каждом же конкретном случае искусство применения этого приема состоит в
том, чтобы найти подходящее разбиение отрезка [𝑎; 𝑏] на части и для каждой
из этих частей указать соответствующую отделяющую константу.
Итерации
В общем случае затруднительно дать рекомендации, как подбирать
разбиение на части и соответствующие отделяющие константы. Однако в
некоторых случаях такие рекомендации предложить можно.
Пусть, например, обе функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) — возрастающие (или обе
убывающие), причем 𝑓(𝑎) > 𝑔(𝑎).
[1]
Проведем прямую 𝑦 = 𝑓(𝑎) (рис. 4) и
рассмотрим точку ее пересечения с графиком функции 𝑦 = 𝑔(𝑎). Абсциссу
этой точки обозначим через 𝑥1 . На отрезке [𝑎; 𝑥1 ] за отделяющую константу
можно принять число 𝑐1 = 𝑓(𝑎). Действительно, на всем этом отрезке
выполнены неравенства 𝑓(𝑥) ≥ 𝑐1 , 𝑔(𝑥) ≤ 𝑐1 . Причём, первое неравенство
обращается в равенство лишь в левом конце отрезка [𝑎; 𝑥1 ], а второе — лишь в
правом. Отсюда
7
ясно, что на всем отрезке [𝑎; 𝑥1 ] выполнено неравенство 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥).
Заметим, что отделяющая константа 𝑐𝑖 = 𝑓(𝑎) является в некотором
случае наилучшей, если взять за 𝑐1 , константу, меньшую, чем 𝑓(𝑎), то отрезок,
на котором «действует» эта константа, уменьшится.
Теперь проведем прямую 𝑦 = 𝑓(𝑥1 ) и получим отрезок [ 𝑥1 ; 𝑥2 ], на
котором
𝑐2 = 𝑓(𝑥1 ) является
отделяющей
константой;
затем
проведем
прямую 𝑦 = 𝑓(𝑥2 ) и гак далее (рис. 4). В результате мы разобьем отрезок [𝑎; 𝑏]
на части и для каждой из этих частей получим отделяющую константу, тем
самым доказав справедливость неравенства 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) на всем отрезке [𝑎; 𝑏].
Проведенное рассуждение можно формализовать следующим образом[6].
Мы начинаем с точки 𝑥0 = 𝑎.
Если для некоторого k = 0, 1, ... уже известна точка 𝑥𝑘 , то мы находим
такую точку 𝑥𝑘+1 , что 𝑔( 𝑥𝑘+1 ) = 𝑓( 𝑥𝑘 ).
Повторением этого процесса (или, как говорят в математике, итерацией)
мы по 𝑥0 , находим 𝑥1 , затем по 𝑥1 , находим 𝑥2 и так далее. Если после
нескольких итераций нам удастся добраться до правого конца отрезка, на
8
котором заданы функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥), то неравенство
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)
будет
доказано.
Пример 3. Найти корни уравнения [3]
tg x = 4x − 2,5,
(3)
𝜋
лежащие в интервале [0; ].
2
Решение:
𝜋
Функции 𝑓(𝑥) = tg x, 𝑔(𝑥) = 4x − 2,5 на интервале [0; ] возрастают.
2
Несколько первых итераций здесь выглядят следующим образом (значения
функции 𝑓(𝑥) берутся с недостатком):
𝑥0 = 0;
𝑔( 𝑥1 ) = 𝑓( 𝑥0 ) = 0;
4x1 − 2,5 = 0,
x1 = 0,625;
𝑔( 𝑥2 ) = 𝑓( 𝑥1 ) ≈ 0,72;
4x2 − 2,5 = 0,72;
x2 = 0,805;
𝑔( 𝑥3 ) = 𝑓( 𝑥2 ) ≈ 1,04;
4x3 − 2,5 = 1,04;
x3 = 0,885;
𝑔( 𝑥4 ) = 𝑓( 𝑥3 ) ≈ 1,22
4x4 − 2,5 = 1,22
x4 = 0,93;
𝑔( 𝑥5 ) = 𝑓( 𝑥4 ) ≈ 1,34
4x5 − 2,5 = 1,34;
x5 = 0,96;
𝑔( 𝑥6 ) = 𝑓( 𝑥5 ) ≈ 1,42
4x6 − 2,5 = 1,42
x6 = 0,98; …
9
После двух десятков итераций удается добраться до правого конца
𝜋
интервала [0; ]. Этим устанавливается, что на
2
всем этом интервале
справедливо неравенство 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) и, следовательно, уравнение (3) на
рассматриваемом интервале корней не имеет.
Заметим теперь, что, проводя итерации, мы заранее не знаем, удастся ли
нам добраться до правого конца отрезка [𝑎; 𝑏] (то есть удастся ли нам доказать
справедливость неравенства 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) на всем отрезке[𝑎; 𝑏]). А как будут
выглядеть итерации в случае, когда графики функций 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥), заданных на
отрезке [𝑎; 𝑏], пересекаются, то есть неравенство 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) выполняется не
на всем отрезке?
Рисунок 5 наглядно показывает, что тогда в результате бесконечной
последовательности итераций мы будем получать числа 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑘 , …,
которые приближаются к корню х* уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥); точнее, число
x ∗ = lim 𝑥𝑘
𝑛→∞
представляет собой наименьший корень этого уравнения,
содержащийся на отрезке [𝑎; 𝑏]. Следовательно, с помощью последовательных
итераций мы сможем приближенно вычислить этот корень.
Указанный прием часто применяется в вычислительной практике для
приближенного вычисления корней уравнений. Вообще, в современной
математике очень важную роль играют различные итерационные методы,
дающие возможность не только с любой степенью точности решать уравнения,
но и даже доказывать теоремы.
Решение уравнений
Метод отделяющих констант может применяться не только для
доказательства неравенств, но и, в некоторых случаях, для решения уравнений,
и притом не приближенного, а точного решения.
Пример 4. Решить уравнение [2]
x 2 − 2x sin 𝑥 − 2 cos 𝑥 + 2 = 0 (4)
10
Решение:
Запишем уравнение в виде
(𝑥 − sin 𝑥)2 = −(1 − cos 𝑥)2 , то есть в виде 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), где
𝑓(𝑥) = (𝑥 − sin 𝑥)2 ,
𝑔(𝑥) = −(1 − cos 𝑥)2 .
Очевидно, что для любого 𝑥 ∈ 𝑅 справедливы неравенства 𝑓(𝑥) > 0,
𝑔(𝑥) ≤ 0. Отсюда ясно, что некоторое число x0 только в том случае может
удовлетворять равенству 𝑓(x0 ) = 𝑔(x0 ), то есть быть корнем уравнения (4),
если выполнены равенства 𝑓(x0 ) = 0, 𝑔(x0 ) = 0 то есть если x0
является
решением системы
{
𝑥 − sin 𝑥 = 0,
1 − cos 𝑥 = 0.
Второе уравнение этой системы имеет корни 𝑥 = 2𝑘𝜋 (𝑘 = 0, ±1, ±2, … ),
из которых лишь корень 𝑥 = 0 удовлетворяет первому уравнению. Таким
образом, исходное уравнение имеет единственный корень 𝑥 = 0 .
Пример 5. Решить уравнение [5]
𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 + 1 = √sin
𝜋𝑥
2
.
(5)
Решение:
Это уравнение можно записать в виде 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) , где
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 + 1,
𝑔(𝑥) = √sin
Так как 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥(𝑥 − 1)2 , то 𝑓(𝑥) ≥ 1
𝜋𝑥
2
.
для всех 𝑥 ≥ 0. В то же время
𝑔(𝑥) ≤ 1 для всех x, принадлежащих области определения функции 𝑔(𝑥).
Следовательно, на луче 𝑥 ≥ 0 число 𝑐 = 1 является отделяющей константой для
11
функций 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥). Отсюда вытекает, что неотрицательное число может быть
корнем уравнения (5), только если оно удовлетворяет системе уравнений
𝑓(𝑥) = 1,
{
𝑔(𝑥) = 1.
Первое из этих уравнений, как легко видеть, имеет корни 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 0, из
которых только 𝑥1 удовлетворяет второму уравнению. Итак, уравнение (5)
имеет лишь один неотрицательный корень 𝑥1 = 1.
Теперь посмотрим, нет ли отрицательных корней. Так как при −2 < 𝑥 < 0
функция 𝑔(𝑥) не определена, то отрицательные корни надо искать лишь на
луче 𝑥 ≤ −2. Но при 𝑥 ≤ −2 мы имеем
𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥(𝑥 − 1)2 ≤ 1 − 2 ∗ 32 = −17,
а 𝑔(𝑥) ≥ 0 по определению функции √𝑥. Таким образом, отделяющей
константой для 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) на луче 𝑥 ≤ −2 (в тех точках x, в которых функция
𝑔(𝑥) определена) является, например, число 𝑐 = −10.
Следовательно, рассматриваемое уравнение не имеет отрицательных
корней, то есть 𝑥1 = 1 — единственный корень уравнения (5).
Заметим в заключение, что, несмотря на его универсальность, метод
отделяющих констант не всегда является самым удобным средством для
доказательства того или иного конкретного неравенства. Например, для
𝜋
доказательства неравенства tg x > 4x − 2,5 на интервале [0; ] (см. пример 3)
2
можно было бы использовать тот факт, что производная функции
𝜑(𝑥) = tg x − 4x + 2,5,
равная
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
− 4, обращается в нуль только в одной точке этого интервала, а
𝜋
именно при 𝑥 = . В этой точке значение функции 𝜑 положительно:
3
12
𝜋
𝜋
𝜋
𝜑 ( ) = 𝑡𝑔 − 4 ∗ + 2,5 ≈ 0,04.
3
3
3
В концах же интервала функция 𝜑(𝑥) принимает бо҆льшие значения:
𝜑(0) = 2,5 и 𝜑(𝑥) → ∞, если 𝑥 →
Отсюда
𝜋
2
𝜋
(но 𝑥 < ).
2
можно сделать вывод, что в точке 𝑥 =
𝜋
3
функция 𝑓(𝑥),
𝜋
рассматриваемая на интервале [0; ], принимает наименьшее значение, и
2
потому 𝜑(𝑥) > 0, то есть tg x > 4x − 2,5 на всем этом интервале. Таким
образом, применение производной даст в данном случае более простое
решение.
Напротив, при решении неравенства 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 > 4√3𝑥 − 𝑥 2 − 11 (пример 2)
для нахождения корней производной придется решать уравнение третьей
степени, так что здесь метод отделяющих констант рациональнее.
Умение выбрать наиболее выгодный метод решения конкретной задачи
зависит от практических навыков, от умения «видеть» графики, от владения
понятием производной и другими средствами исследования функций.
13
Заключение
В процессе работы над данным проектом была установлена
практическая значимость «Метода отделяющих констант» при решении многих
задач.
Была подтверждена гипотеза проекта, реализованы все поставленные
задачи
и
установлено,
что
«Метод
отделяющих
констант»
является
рациональным при решении многих неравенств и уравнений.
14
Ресурсы
1. Квант физико-математический журнал для школьников и студентов: М.,
№ 4, 2008;
2. Г.В. Дорофеев. М.К. Потанов, Н.Х. Розов, Пособие по математике для
поступающих в вузы (М., «Наука», 1976, гл. IV, § I);
3. И. Н. Сергеев. ЕГЭ. Математика. Задания типа С. М. «Экзамен», 2010;
4. В. И. Голубев. Решение сложных и нестандартных задач по математике.
М. «ИЛЕКСА», 2007;
5. http://kvant.mccme.ru/;
6. http://www.math.ru/lib/.
15