2.2. Статическая балансовая модель производства.

Глава 2. Межотраслевые балансовые модели.
2.1. Межотраслевой баланс
Часто при экономическом планировании на уровне регионов или
страны в целом возникает необходимость определения объема выпуска
товаров, обеспечивающего заданный спрос населения и производственные
нужды. Решить эту задачу можно с использованием балансовых моделей
производства и распределения продукции. В. основе построения этих
моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления
имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов
с
потребностью в них.
Балансовые методы планирования можно рассматривать на различных
уровнях иерархии экономических объектов: предприятиях, объединениях,
отраслях, народном хозяйстве в целом. Модель межотраслевого баланса
(МОБ) исторически является первой экономико-математической моделью
сводного народнохозяйственного планирования. Первые балансы народного
хозяйства были разработаны Центральным статистическим управлением
СССР в 1923-1924гг. В настоящее время межотраслевые балансы на
национальном уровне составляются приблизительно в восьмидесяти странах
мира. Также строятся межотраслевые балансы на уровне регионов и крупных
городов
Предшественниками МОБ были: экономическая таблица Ф. Кенэ
(1758) и схемы общественного воспроизводства К. Маркса (XIX в.). Русский
экономист В.К.Дмитриев (1868-1913), изучая межотраслевые связи, впервые
использовал для этой цели линейные уравнения и предложил
технологические
коэффициенты.
Автором
современной
модели
межотраслевого баланса (в англоязычных странах он имеет название «inputoutput analysis») является американский ученый (русский по происхождению)
Василий Леонтьев. В 1973 году за разработанные методы экономического
анализа (модель “затраты–выпуск ”) ему была присуждена Нобелевская
премия.
Эта модель позволяет рассчитывать полные затраты валовой
продукции, прямые и косвенные затраты на единицу продукции, а также дает
возможность устанавливать четкие количественные соотношения между
валовым общественным продуктом, национальным доходом, развитием
отдельных отраслей экономики Метод универсален. С его помощью
американцы, например, проводили перестройку экономики с военных
рельсов на мирные. Он был положен в основу индикативных планов,
применяемых в Японии.
Межотраслевой баланс производства и распределения продукции –
инструмент анализа и планирования структуры общественного производства,
учитывающий комплексные взаимосвязи отраслей производственной сферы.
В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продуктов в
балансе, существует различные варианты межотраслевых балансов: в
натуральном выражении, в стоимостном, в натурально-стоимостном, в
трудовых измерителях. По экономическому содержанию информации
балансы можно разделить на плановые и отчетные; по характеру
используемой модели – на статические и динамические.
Рассмотрим фрагмент (три раздела) отчетного межотраслевого баланса
(МОБ), в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости
произведенной продукции в некоторых фиксированных ценах (табл. 1).
Основу баланса составляет совокупность n отраслей материального
производства. В межотраслевом балансе понятие отрасли отличается от
общепринятого, здесь используется понятие “чистой” (или технологической),
т.е. условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта
независимо от ведомственной подчиненности предприятий и фирм.
Таблица 1
Фрагмент таблицы межотраслевого баланса
1
Промежуточный
Конечный Валовый
продукт
Продукт продукт
n
2
...
Итого
n
1
текущие
материальные
затраты
a11
a12
...
a1n
 a1 j
... Y1
X1
... Y2
X2
...
...
...
 anj
Yn
Xn
j 1
n
2
a21
a22
...
a2n
...
...
...
..
...
 a2 j
j 1
n
n
...
a n1
an 2
ann
n
n
n
i 1
i 1
i 1
j 1
n
n
n
Итого  ai1  ai 2 ...  ain   aij
Условно–
чистая продукция
i 1
n
 Xi
i 1
i 1 j 1
n
V1
V2
...
Vn
V j
j 1
n
Валовый продукт
 Yi
X1
X2
...
Xn
Xj
IV
j 1
Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как
потребляющая. Отрасли как производителю продукции соответствует
определенная строка i таблицы, а как потребителю продукции –
определенный столбец j . Так как отрасли являются чистыми, индекс
отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим
процессом..
В первом разделе содержится информация о межотраслевых связях.
Величины a ij находящиеся на пересечении отраслей (т. е. строк и столбцов
таблицы) нужно понимать как стоимость средств производства,
произведенных в i -ой отрасли и потребляемых в качестве материальных
затрат в j -ой отрасли (межотраслевые поставки продукции, обусловленные
производственной деятельностью отраслей). .
Таким образом, каждая i -ая строка первого раздела показывает
распределение продукции
i –ой отрасли между другими отраслями
n
народного хозяйства. Pi   aij – производственное потребление продукции
j 1
i -ой отрасли экономической системой (промежуточный продукт. i –ой
отрасли).
В столбцах первого раздела баланса отражается структура
материальных
затрат
каждой
отрасли.
n
Zj   aij –
суммарные
i 1
n n
производственные затраты j -ой отрасли в отчетном периоде. Z   aij –
j 1i 1
суммарные производственные затраты всех отраслей или суммарный
промежуточный продукт народного хозяйства.
Таким образом, первый раздел МБ показывает общую картину
производственных затрат и распределения продукции отраслей на
производственные цели. Данные I квадранта играют решающую роль в
анализе структуры материальных затрат отраслей, пропорций и
производственных связей между отраслями, потоков системе материальнотехнического снабжения.
Во втором разделе содержатся величины Yi – значения конечного
продукта и X i – значения валового продукта ( i  1, n ).
Конечный продукт – это продукция отраслей материального
производства, поступающая на цели личного и общественного
непроизводственного потребления, накопление и возмещение выбытия
основных фондов, прирост запасов, затраты на просвещение,
здравоохранение, экспорт и т.д.).
n
 Yi – суммарный конечный продукт экономической системы или
i 1
национальный доход, а столбец Y характеризует материальную структуру
национального дохода.
В развернутых схемах баланса конечный продукт каждой отрасли
показывают дифференцировано по направлениям использования: для
потребления, инвестиции, прирост запасов и резервов, экспорт и прочие
расходы.
Первый и второй раздел межотраслевого баланса называют таблицей
"затраты-выпуск". По строкам этой таблицы строится следующее балансовое
соотношение:
n
Xi   aij  Yi ,
j 1
( i  1, n ),
(2.1),
т.е. валовой продукт каждой отрасли равен сумме конечного и
промежуточного продуктов.
В третьем разделе МБ отражается стоимостная структура валового
продукта отраслей. В нашей таблице третий раздел представлен 2-я
строками. В первой стоят величины V j , каждая из которых означает
добавленную стоимость (условно-чистую продукцию) отрасли, а во второй–
X j –валовой продукт. Условно–чистая продукция определяется как разность
между валовой продукцией и суммарными производственными затратами:
n
Vj  Xj   aij ,
i 1
j  1, n
(2.2)
Добавленная стоимость — это та часть стоимости продукта, которая
создается в данной отрасли, Она отражает прибыль, заработную плату,
амортизационные отчисления, налоги и прочие издержки, понесенные
каждым объектом (отраслью) в дополнение к платежам за ресурсы,
поступившие из других отраслей.
Обычно в развернутых МБ условно-чистую продукцию подразделяют
на амортизационные отчисления и чистую продукцию.
Из соотношений (2.1) и (2.2) следует
n
n


 n n
(2.3),
 Vj   aij      aij  Yi 
j 1
i 1
 i 1 j 1

n
n
j 1
i 1
откуда получаем: Vj   Yi
(2.4)
Это соотношение показывает, что суммарный конечный продукт
экономической системы (национальный доход) равен суммарной условно–
чистой продукции. Таким образом, третий раздел также характеризует
национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму
оплаты труда и чистого дохода всех отраслей материального производства, а
величины V j показывают вклад отрасли в национальный доход.
Данные третьего раздела необходимы для анализа соотношений между
вновь созданной и перенесенной стоимостью, между величиной
необходимого и прибавочного продукта в целом по материальному
производству и в отраслевом разрезе. В целом же уравнение (2.4) показывает,
что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства
материально-вещественного и стоимостного состава национального дохода.
Следует отметить, что баланс в натуральных измерителях обычно
содержит только показатели I и II разделов схемы межотраслевого баланса.
Он разрабатывается по важнейшим видам продукции и обычно не
охватывает всего общественного производства.
Подчеркнем, что рассмотренный нами отчетный МБ – это пока не
модель, а лишь способ представления статистической информации об
экономике страны. Он строится на основе агрегирования результатов
отдельных предприятий. Кроме отчетных МБ разрабатываются плановые
МБ. Для их построения необходимо использовать межотраслевые
балансовые модели.
2.2. Статическая балансовая модель производства.
Балансовая модель строится на следующих предположениях о
свойствах экономического объекта:
 Экономическая система состоит из нескольких экономических
объектов. Количество выпускаемой каждым объектом продукции может
быть охарактеризовано одним числом, в качестве которого чаще всего
рассматривается валовой выпуск в некоторых фиксированных ценах.
 Выпускаемая каждым объектом продукция частично потребляется
другими объектами системы, а частично поступает вовне в качестве
конечного продукта данной системы, т. е. выполняется соотношение
n
Xi   aij  Yi i  1, n;
j 1
(2.5)
 Цель системы заключается в производстве заданного количества
конечного продукта.
 Свойство комплектности потребления: для выпуска заданного
количества продукта объект должен получать строго определенное
количество других продуктов.
 Свойство линейности потребления: увеличение выпуска продукции
в некоторое число раз требует увеличения потребления объектом всех
других продуктов в то же самое число раз.
Очевидно, что сформулированные предположения лишь приближенно
отражают реальную экономическую ситуацию, к примеру, предположение о
комплектности потребления, которое предполагает,
что технология
производства в каждом объекте остается неизменной в течение
рассматриваемого промежутка времени, причем в каждой отрасли имеется
единственная технология производства, не допускается замещение одного
ресурса другим.
В реальном производстве один и тот же продукт в зависимости от
применяемой технологии может требовать различное количество
инградиентов, а в модели предполагается, что продукт производится
некоторым усредненным способом. Несмотря на эти упрощения, балансовая
модель является удобным инструментом планирования благодаря своей
простоте и возможности расчета всех показателей плана.
Построение модели.
Выберем в качестве переменных модели величины валового выпуска X i . ( i  1, n; ). В силу предположения 2 часть этого продукта уходит из
системы в качестве конечного продукта Yi . Величины Yi рассматривается в
модели как плановое задание, при этом выполняется соотношение (2.5):
n
Xi   aij  Yi
j 1
( i  1, n; )
Свойства линейности и комплектности потребления определяют
закономерности преобразования ресурсов в системе, а именно, согласно
свойству комплектности для выпуска единицы продукции j – ый объект
должен использовать другие продукты рассматриваемой экономической
системы в определенном соотношении. Пусть   j  (1 j , 2 j ,......  nj ) -вектор,
определяющий
это
соотношение,
где
величины
 ij называют
технологическими коэффициентами или коэффициентами прямых затрат
 ij – количество продукции i - ой отрасли, необходимоe для
производства единицы продукции в j-ой отрасли. Величины  ij не зависят от
объема производства и являются относительно стабильными величинами во
времени.
Матрица, составленная из величин  ij называется матрицей
технологических коэффициентов или матрицей прямых затрат
 11 12 ...  1n 




...

21
22
2
n

A= 
...
... .. 
 ...


 n1  n 2 ...  nn 
Из экономического смысла величин  ij следует, что все элементы
матрицы A не отрицательны. Будем это свойство записывать так: A  0 . Так
как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для
собственного производства в отрасли затрачивалось большее количество
продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы
матрицы A меньше 1:  ii < 1
На основе свойства линейности можно утверждать, что. если j –ый
объект выпустит не единицу продукции, а X j , то ему понадобится (Ошибка!
Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.) единиц продукции i -ой
отрасли, т.е. межотраслевая поставка продукции из i -ой отрасли в j -ую
равняется
Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.
(2.6)Ошибка! Объект не может быть
создан из кодов полей редактирования.
Подставим (2.6) в (2.5) и получим следующую систему балансовых
уравнений:
n
Xi  ij Xj  Yi ( i  1, n; )
(2.7)
j 1
Из экономического смысла величины Ошибка! Объект не может быть
создан из кодов полей редактирования. X j  0
(2.8)
Соотношения (2.7) и (2.8) вместе с изложенной интерпретацией
коэффициентов  ij , векторов X и Y определяют простую балансовую
модель Леонтьева.
В матричной форме модель можно записать следующим образом:
A  X  Y  X
(2.9).

X 0

В балансовой модели считаются заданными: матрица А и вектор
конечной продукции Y. Матрица Х (валовой выпуск) подлежит
определению.
При рассмотрении балансовых моделей встает вопрос об определении
коэффициентов прямых затрат. (матрицы А). В упрощенной модели
предполагается, что коэффициенты прямых затрат в рассматриваемом
промежутке времени постоянны и зависят только от сложившейся
технологии производства, а это позволяет рассчитать их на основе обработки
данных о реальных потоках продукции за прошлый период, представленных
a
в отчетных МБ:  ij  ij
Xj
(2.10)
2.3. Исследование системы балансовых уравнений
Рассмотрим балансовую модель:
A  X  Y  X
X  0

2.11
(2.12)
Исследование системы уравнений (2.11) означает, в первую очередь,
выяснение условий, гарантирующих существование и единственность
неотрицательного решения этой системы. (2.11)– это линейная система из
n уравнений с n переменными. Такие системы имеют единственное решение,
если их определитель не равен нулю. Введем единичную матрицу Е и
запишем (2.11) в виде:
(2.13)
( E  A)  X  Y
Таким образом, для того, чтобы системы уравнений (2.11) имела
решение необходимо, чтобы определитель матрицы ( E  A) был бы отличен
от нуля: ( ( E  A)  0 ). В этом случае существует матрица S  ( E  A) 1
обратная к ( E  A) .
Тогда решение системы (2.11) можно определить следующим образом:
X  ( E  A) 1  Y
(2.14)
Однако, для того, чтобы решение имело экономический смысл,
необходима его неотрицательность, т.е. X  0 . Заметим, что существование
матрицы S не обеспечивает неотрицательность получаемого решения. Кроме
того, с экономической точки зрения особый интерес представляют системы,
имеющие неотрицательное решение при любом задании вектора конечной
продукции, т. е. при любых положительных Y (Y  0) .
Таким образом, основной вопрос, который возникает при исследовании
модели Леонтьева состоит в следующем: сможет ли рассматриваемая
технология, задаваемая матрицей A , обеспечить любой конечный спрос
Y  0 . С математической точки зрения это означает выявление условий,
которым должна удовлетворять матрица A , чтобы при любом Y  0 система
балансовых уравнений имела неотрицательное решение. Ответ на этот
вопрос связан с понятием продуктивности матрицы A .
Определение. Матрица A называется продуктивной, если существует
такой неотрицательный вектор X  0 , что
(2.15).
( E  A)  X  0 , т.е. X  A X
Условие (2.15) означает, что продукции производится больше, чем идет
на производственное потребление (промежуточный продукт A X ).
Следовательно, каждый объект выпускает некоторое количество конечной
продукции. В случае продуктивной матрицы A модель (2.11-2.12) также
называется продуктивной.
Теорема- 1. Продуктивность матрицы A является необходимым и
достаточным условием существования и единственности неотрицательного
решения системы балансовых уравнений (2.11).
Теорема- 2 (необходимое и достаточное условие продуктивности).
Матрица Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей
редактирования. продуктивна тогда и только тогда, когда существует
матрица S  ( E  A) 1 и все ее элементы не отрицательны.
Теорема- 3 (достаточное условие продуктивности)
Матрица A продуктивна, если все ее элементы неотрицательны и
n
сумма элементов по каждому столбцу не более единицы (  ij  1; j  1, n ).
i 1
Достаточное условие может быть использовано только для матрицы A
в стоимостных измерителях. Кроме того, следует отметить, что матрица A
может быть продуктивной и в случае невыполнения этого условия (так как
это достаточный, а не необходимый признак).
Итак, для продуктивной матрицы A решение системы балансовых
уравнений можно записать:
X  S Y
(2.16),
т.е. на основе коэффициентов прямых затрат по заданному конечному
продукту сразу можно определить валовые выпуски отраслей. В этом
заложена основная идея использования межотраслевых моделей для
планирования производства. Из линейности модели Леонтьева следует, что
приращение Y вектора Y и соответствующее приращение X вектора X
связаны между собой уравнением X  S  Y . Следовательно, матрица
позволяет вычислить изменение валового выпуска, вызванное изменением
конечного потребления. Поэтому матрицу S  ( E  A) 1 часто называют
матричным мультипликатором или мультипликатором Леонтьева.
2.4. Экономический смысл матрицы S  ( E  A) 1
Обозначим через sik i  1, n; k  1, n элементы матрицы S и выясним их
экономический смысл. Рассмотрим частный случай: пусть одну единицу
конечной продукции производит некоторая k –ая отрасль, а остальные
отрасли конечной продукции не производят, т.е.
jk
0, если
(2.17)
Yj  
jk
 1, если
Если A -продуктивна, то X  S  Y , т.е
 x1   s11 s12  s1k  s1n 
s 
  
  0   1k 
 x 2   s 21 s 22  s 2 k  s 2 n      s 2 k 
             
 1 
 x  = s
si 2  sik  sin     s ik 
i
i1
  
   
            0    
x  s

s 
 n   n1 s n 2  s nk  s nn 
 nk 
(2.18)
Из равенства векторов в (2.18)следует, что xi  sik ( i  1, n )
(2.19).
Соотношения (2.19) раскрывают экономический смысл элементов sik
матрицы S :
здесь sik – валовое количество продукции, которое должна
изготовить i –ая отрасль, чтобы k –ая отрасль выпустила одну единицу
конечной продукции. Поэтому элементы sik называют коэффициентами
полных материальных затрат, а матрицу S - матрицей полных материальных
затрат (материальные затраты в данном случае – это продукция,
изготовленная объектами рассматриваемой экономической системы).
Коэффициенты прямых затрат  ij характеризуют непосредственные
затраты продукции i -ой отрасли на производство единицы продукции j -ой
отрасли. Однако, кроме прямых затрат существуют косвенные или
опосредованные затраты. Например, рассмотрим формирование затрат
электроэнергии при производстве автомобилей. Ограничимся следующей
технологической цепочкой:
автомобиль —- кузов — листовая сталь — прокат.
Затраты электроэнергии непосредственно при сборке автомобиля
(стадия 1) будут прямыми затратами. Но при изготовлении кузова из
листовой стали и стали из проката также требуется электроэнергия. Эти
затраты прямые при изготовлении кузова и листовой стали являются
косвенными (опосредованными) затратами соответственно первого и второго
порядка при изготовлении автомобиля.
Введение косвенных затрат позволяет дать следующее определение
коэффициентов полных затрат:
коэффициентом полных материальных затрат Сik называется общее
количество продукции i - ой отрасли, необходимое для производства
единицы продукции k -ой отрасли как напрямую, так и опосредованно с
учетом всех промежуточных продуктов на всех стадиях производства,
необходимых при изготовлении продукции k -ой отрасли.
Для производства единицы продукции отрасли k необходимо
затратить напрямую набор продуктов a k  (1k ,  2 k , nk ) , который
формально описывается k –ым столбцом матрицы A . В свою очередь для
производства набора продуктов a k необходима также продукция отраслей
k (1)
экономической. Этот набор продуктов мы обозначим через a . В силу
свойства линейности a k (1) = A  a k . Элементы вектора a k (1) называются
коэффициентами косвенных затрат первого порядка для производства
(1)
единицы продукта k - ой отрасли. Матрица A , составленная из столбцов
a k (1) ( k 1,n ) называется матрицей косвенных затрат первого порядка.
Очевидно, что A(1)  A  A  A2
Косвенными затратами второго порядка называются затраты,
необходимые для обеспечения косвенных затрат первого порядка, т.е.
a k ( 2)  A  a k (1) или в матричной форме: A( 2)  A  A(1)  A  A2  A3 и т.д..
Полные затраты определяются как сумма прямых и косвенных затрат
всех порядков:
C  A  A (1)  A ( 2)   A ( m )  
(2.20)
( m)
m1
Учитывая, что A  A , получаем
2
3
m
C  A  A  A  ....  A  ...
(2.21)
Теорема.
Если
матрица
продуктивна,
то
матрица
A
S  ( E  A) 1 представима суммой сходящегося степенного матричного ряда:
2
3
m
S  E  A  A  A  .... A  .... ..
(2.22)
(доказать самостоятельно!. Доказательство основано на лемме: если
матрица A продуктивна, то lim Am  0 )
m
Сопоставление соотношений (2.21) и (2.22) позволяет установить связь
между матрицами S и C полных материальных затрат: S  E  C Данная
связь определяет экономический смысл различия между матрицами S и C :
в отличие от коэффициентов матрицы C , учитывающих только полные
затраты на производство единицы продукции, диагональные элементы
матрицы S включают также саму единицу конечной продукции. Знание
матрицы полных затрат позволяет провести анализ взаимосвязей конечного и
валового продукта, определить полные затраты на выпуск конечного
продукта того или иного вида, рассчитать различные варианты плана при
разных объемах и структуре конечного потребления.
Определение. Матрицу K  S  E  A называют матрицей косвенных
материальных затрат. Используя соотношение (2.22) можно записать:
2
3
m
(2.23.)
K  A  A  .... A  ....
Косвенные затраты высоких порядков весьма малы, поэтому при
практических расчетах ими можно пренебречь. Соотношения (2.22) и (2.23)
могут быть использованы для нахождения приближенного значения
соответствующих матриц. Чем большее число членов выбирается для их
расчета, тем они точнее.
2.5. Балансовые модели с факторами производства
Для функционирования экономических объектов необходима не только
продукция других объектов этой системы, но и такие факторы производства,
как производственные фонды (оборудование, производственные площади,
труд и т.д. Кроме того, экономическая система может получать продукцию из
других экономических систем. Объемы этих факторов обычно ограничены,
что является причиной того, что не всякий вектор конечного продукта может
быть произведен экономической системой даже в случае продуктивности
матрицы A. Поэтому для определения плана необходимо рассчитать
потребность системы в факторах производства. Допустимым планом будет
лишь план, при котором эти потребности не превосходят имеющихся
объемов факторов.
Потребность системы в факторах производства обозначим
Z  ( z1 , z 2 ,....z m ) , где zi – потребность в i - ом факторе. Потребность может
измеряться как в натуральных единицах (часах, кв. м., т., и пр.), так и в
денежных единицах. Каждый экономический объект будем характеризовать
вектором затрат факторов производства на единицу продукции:
B j  (1 j ,  2 j ,,  mj ) , здесь  ij – количество i –го фактора, необходимое
объекту j для выпуска единицы продукции. Величины  ij называют
коэффициентами прямых затрат факторов производства, а матрицу B ,
составленную из этих коэффициентов -матрицей прямых затрат факторов
производства.
  11  12 ...  1n 
  21  22 ...  2 n 
Каждый столбец матрицы B = 
 определяет прямые
...
... .. 
 ...
 m1 m 2 ... mn 
затраты факторов определенной отрасли, а каждая i – ая строка описывает
потребность системы в i - ом факторе производства. Считаем, что для
факторов производства выполняются свойства линейности и комплектности
потребления.
Если X  ( X 1 , X 2 , X n ) – вектор
валового выпуска
продукции, то суммарная потребность экономической системы в i –том
n
факторе:   ij  X j  Z i . Это соотношение в матричной форме запишется
j 1
можно записать:
Z  B  X  B  S Y
так как X  S  Y , где S  ( E  A) 1 .
(2.24),
Матрица B *  B  S . определяет полные затраты факторов производства
на единицу продукции. Как уже отмечалось, количество каждого фактора
ограничено и задается матрицей D  (d1 , d 2 ,.....d m ) . Тогда план по конечной
продукции является допустимым, если требуемые для его реализации
объемы факторов производства не превышают их наличие, т.е выполняется
соотношение:
(2.25)
B  S Y  D
Запишем балансовую модель с факторами производства:
A  X  Y  X

X 0
(2.26)

 B  S  Y  D
В отличие от простой балансовой модели эта модель даже в случае
продуктивной матрицы A разрешима не для любого Y  0 , а только для Y ,
удовлетворяющего соотношению (2.25), т.е. в данном случае уже нельзя
говорить об удовлетворении любого конечного спроса.
Поэтому прежде чем приступать к решению системы балансовых
уравнений необходимо проверить выполнимость условия (2.25)
при
заданном плане Y . Если это условие не выполняется, то следует изменить
объем выпуска конечного продукта, сохранив его структуру, т.е. все
элементы плана Y должны быть изменены в одно и тоже число раз.
Коэффициент масштабирования при этом определяется следующим образом:
d
i  1, m
k  min ( i )
zi
i
2.6. Ценовые балансовые модели
До сих пор наши рассуждения касались лишь технологии
производства. Рассмотрим баланс по столбцам и исследуем ценовой аспект
балансовых моделей. Запишем балансовые соотношения по столбцам
стоимостного МБ:
n
 aij  Vj  Xj
i 1
j  1, n
(2.27)
Здесь V j – добавленная стоимость.
Предположим, что в будущем году прогнозируется изменение цен в
каждой отрасли j в p j раз по отношению к текущему году при тех же
натуральных значениях векторов X и Y . Величины p j называются
индексами изменения цен.
Введем индексы цен в соотношение (2.27) заменив при этом aij на
n
aij   ij   X j . Тогда (2.27) запишется:  piij  X j  Vj  p  X j
j
i 1
Разделим (2.28) на валовый выпуск X j и получим:
(2.28)
n
 piij  V j'  p j , j  1, n
i 1
(2.29),
где V j' 
Vj
Xj
– доля добавленной стоимости, приходящаяся на единицу
j –ой продукции.
Ценовая балансовая модель в матричном виде запишется:
 AT  P  V '  P

P0

(2.30)
Здесь AT – матрица транспонированная к матрице A технологических
коэффициентов, V ' – матрица долей добавленных стоимостей, приходящихся
на единицу продукции. В модели заданными считаются AT и V ' .
Рассчитывается матрица индексов изменения цен P .
Если предположить, что цены на продукцию отраслей в отчетном
периоде равнялись единице, то p j можно интерпретировать как цену
единицы продукции отрасли j .
Нетрудно установить соответствие между ценовой моделью и моделью
объёмов выпуска, а именно: X  P, A  AT ,Y  V ' . Имея в виду эти
взаимные соответствия, модель объёмов выпуска и ценовую модель
называют двойственными
Для ценовой модели справедливы те же теоретические положения, что
и для модели объемов выпуска. В частности, если А продуктивна, то
найдется единственное неотрицательное решение модели (2.30):
1
P  ( E  AT )  V '
(2.31).
Можно показать, что ( E  AT ) 1  (( E  A) 1 )T ), тогда
P  (( E  A) 1 )T  V '  S T  V '
(2.32)
В ценовой балансовой модели матрица S является мультипликатором
распространения изменения доли добавленной стоимости, т.е.
P  S T  V '
(2.33).
Равенство (2.33).позволяет рассчитать, как повлияет на индексы цен
изменение добавленной стоимости в любой отрасли.
В том случае, когда добавленная стоимость представлена только
оплатой труда, индексы цен пропорциональны коэффициентам
суммарной потребности в труде независимо от планового задания по
конечной продукции, а коэффициент пропорциональности совпадает с
коэффициентом оплаты труда w0 , т.е. P  w0  b* . Покажем это.
T
Пусть b0  (b10 , b20 ,.....bn0 )  вектор прямых затрат труда, тогда 0  b 0j заработная плата, при изготовлении единицы j - ой продукции. Полагаем,
что v 'j  0  b 0j . Тогда
P  S T  V '  S T  w0  b0  w0  S T  b0  w0  b0  ( S T )T  w0  b0  S  w0  b* .
Следовательно, P  w0  b*
2.7. Примеры решения задач
Задача 1. Построить балансовую модель и найти ее решение для
заданного плана по конечной продукции Y  200,300  . Построить плановый
баланс. Как изменится валовый выпуск при увеличении конечного спроса в
1 - ой отрасли на 20 %. Отчетный стоимостной баланс задан в следующей
таблице
1
2
Итого:
V
Х
1
60
80
140
200  140  60
200
2
30
50
80
400-80=320
400
Р
30+60=90
80+50=130
220
380
600
У
110
270
380
Х
110+90=200
270+130=400
600
1. Найдем матрицу технологических коэффициентов A
 а11 а12 


х
х
1
2

   11 12    0,3 0,075  .
А
 а21 а22    21  22   0,4 0,125 
 х
х2 
 1
Матрица A продуктивна в соответствии с достаточным признаком
n
продуктивности: (   ij  1 )
i 1
0,3x1  0,075 x2  200  x1
2. Построим балансовую модель: 0,4 x1  0,125 x2  300  x2
x1  0, x2  0
Так как матрица A продуктивна, существует единственное
неотрицательное решение системы балансовых уравнений, которое найдем
методом обратной матрицы: X  S  Y .
3. Рассчитаем матрицу полных затрат S  E  A точным методом
a) ( E  А)  1 0    0,3 0,075    0,7  0,075 
 0 1  0,4 0,125    0,4 0,875 
1
следовательно,
det( E  А)  det 0,7  0,075   0.5825  0 ,
  0,4 0,875 
1
существует обратная матрица S  E  A .
в) Для нахождения обратной матрицы построим матрицу из
алгебраических дополнений к элементам матрицы A (присоединенную
матрицу Aij ) и транспонируем её.
b)
Алгебраическое дополнение к элементу a ij равняется Aij  (1)i J  M ij ,
где M ij - дополнительный минор к элементу a ij . M ij –это определитель
матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строки i и столбца j .
A11  (1)11  M 11  0,875 ;
A12  (1)12  M 12  (0,4)  0,4 ;
A21  (1) 21  M 21  (0,075)  0,075 ;
A22  (1) 2 2  M 22  0,7
 0,875 0,4  ; A T =  0,875 0,075  , тогда
Aij = 

 0,4 0,7

ij
 0.075 0,7 


1
1,5 0,13 
S
 Aij T  
.
det( E  A)
 0,69 1,2 
г) Найдем решение системы балансовых уравнений: X  S  Y
1,5 0,13   200   339,06 
X  S  Y  


 
 0,69 1,2   300   497,85 
д) Рассчитаем плановые межотраслевые поставки aij   ij  x j
построим плановый стоимостной баланс.
a11  0,3  339,06  101,72 .; a12  0,075  497 ,85  37,34
a21  0,4  339,06  135,62 ; a22  0,125  497 ,85  62,23
Плановый баланс представлен в следующей таблице.
1
2
итого
V
X
1
101,72
135,62
238,34
100,72
339,06
2 P
37,34
62,23
101,57
396,28
497,85
Y
139,06
197,85
336,91
500,00
836,91
и
X
200,00
300,00
500,00
339,06
497,85
836,91
e) Пусть плановое задание по конечной продукции в первой отрасли
увеличиться на 20%, т.е y1  200  0,2  40 , y2  0 .Тогда валовой выпуск
 40   60 
.
увеличиться на X  S  Y  1,5 0,13      
 0,69 1,2   0   27,6 
Задача 2. На основе межотраслевого баланса задачи 1 решить
балансовую модель с факторами производства при следующих условиях: в
отчетном периоде использовались труд и основные фонды в следующих
количествах (в стоимостном измерении).
Отрасли
ресурсы
Основные фонды
труд
1
2
100
30
150
50
Валовой
выпуск
200
400
В плановом периоде наличные объемы этих факторов ограничены и
задаются вектором D  ( 200,150), плановое задание по конечному продукту
Y  200,300  .
 A  X  Y  X 1
Запишем модель с факторами производства:  X  0
(2)
 B  S  Y  D (3)
Для нахождения решения по этой модели прежде всего необходимо
проверить выполнение условия (3). Матрицы A и S
были найдены в
предыдущей задаче.
1. Пусть bij -затраты фактора i на производство продукции в отрасли j
в отчетном периоде. Тогда коэффициент прямых затрат фактора i на единицу
bij
продукции отрасли j  ij  . Найдем матрицу прямых затрат факторов
xj
производства B .

12  100 200 150 400   0,5 0,375 
В   11
=
.

  21  22   30 200 50 400   0,15 0,125 
2. Найдем матрицу полных затрат факторов производства на единицу
продукции
0,5 0,375  1,5 0,13   1,01 0,52 
B *  B  S = 
.
 =
 
 0,15 0,125   0,69 1,2   0,31 0,17 
3. Рассчитаем потребность в факторах производства на выполнение
 1,01 0,52   200   356,22 
планового задания: Z  B  S  Y  B *  Y  
 
 =

 0,31 0,17   300   113,09 
4. Сравним потребность с имеющимися объемами факторов
производства D  ( 200,150). Очевидно, что фактор «труд» имеется в
достаточном количестве, а фактора «основные фонды» не хватает, поэтому
следует скорректировать плановое задание.
Для сохранения структуры выпуска все коэффициенты вектора
Y должны быть уменьшены в одно и тоже число раз. Рассчитаем
150 
 200
d
коэффициент масштабирования k  min ( i ) = min 
;
 =0,56.
zi
 356,22 113,09 
i
Тогда новое плановое задание Yk  k  Y  0,56  (200,300 )  (112,168) ;
1,5 0,13  112  189,87 
X  S  Yk   
=
.
 
 0,69 1,2  168   278,8 
Задача 3. По данным задачи 1 определить индексы цен продукции
отраслей, если добавленная стоимость будет включать только оплату труда.
Коэффициент оплаты труда  0  2 . Как изменятся индексы цен, если
добавленная стоимость кроме оплаты труда будет включать прибыль.
Затраты труда отчетного периода заданы вектором b  (50,80) , прибыль в
расчете на единицу продукции   (2, 4) .
Рассмотрим ценовую балансовую модель:
 АТ  Р  V '  P , где P  ( p , p ) -индексы цен, V ' - доля добавленной
P  0
1
2

стоимости. Индексы цен определяются по следующей формуле P  S T  V '
1. Рассчитаем оплату труда. Для этого определим вектор прямых затрат
труда
по
данным
отчетного
периода:
b b
 30 50 
b0  ( 1 ; 2 )  
;
  0,15; 0,125  . Тогда заработная плата на единицу
X 1 X 2  200 400 
продукции ZP  w0  b0  2  (0,15; 0,125)  (0,3; 0,25) . Следовательно, доля
добавленной стоимости V '  ZP  (0,3; 0,25) .
2. Составим систему ценовых балансовых уравнений:
0,3  p1
0,4   p1   0,3   p1 
 0,3 p1  0,4 p2 
 0,3

     
    или 
 0,075 0,125   p2   0,25   p2 
0,075 p1  0.125 p2  0,25  p2
3. Найдем решение этой системы методом обратной матрицы: .
 1.5 0.69   0,3   0,62 
P  S T  V '  
  
  

 0,13 1,2   0,25   0,34 
4. Рассчитаем изменение цен при включении в долю добавленной
стоимости прибыли   (2, 4) , т.е. V '  (2,4) . Так как матрица S T является
ценовым мультипликатором, изменение индексов цен определится
 1.5 0.69   2   5,75 
следующим образом: P  S T  V '  
   
.
0
,
13
1
,
2
4
5
,
06

   

Контрольные вопросы
1. Суть балансового метода.
2. Понятие межотраслевого баланса. Виды межотраслевых балансов.
3. Содержание разделов межотраслевого баланса
4. Отличие между промежуточным и конечным продуктом.
5. Вычисление национального дохода в балансе.
6. Понятие и содержание условно- чистой продукции.
7. Основные балансовые соотношения межотраслевого баланса.
8. Предположения, лежащие в основе построения балансовой модели.
9. Простая балансовая модель Леонтьева и ее экономическая
интерпретация.
10. Матрица технологических коэффициентов, ее экономический
смысл.
11. Понятие продуктивности матрицы технологических коэффициентов
(определение, экономический смысл, теоремы о продуктивности)
12. Матрица полных затрат, ее экономический смысл и методы
вычисления.
13. Факторы производства. Определение потребности в факторах
производства.
14. Балансовая модель с факторами производства и условия ее
разрешимости.
15. Ценовая балансовая модель и ее экономическая интерпретация.