Лекция 9. Методы анализа цепей, ... применение средств вычислительной техники

Лекция 9. Методы анализа цепей, ориентированные на
применение средств вычислительной техники
Общие представления о программах машинного анализа цепей.
Формирование компонентных уравнений цепи. Формирование топологических
уравнений цепи. Использование метода узловых напряжений для машинного
анализа. Использование метода контурных токов для машинного анализа.
Метод переменных состояния. Выбор методов формирования уравнений
электрического равновесия.
Цели изучения
1) Определение особенностей расчёта сложных электрических цепей с
использованием средств вычислительной техники.
2) Описание электрической цепи в виде, пригодном для машинного
анализа.
3) Обоснование выбора метода расчёта для различных классов
электрических цепей.
9.1. Общие представления о программах машинного анализа цепей
В рамках теории цепей анализ включает следующие основные этапы:
- переход от принципиальной электрической схемы цепи к её
эквивалентной схеме,
- составление уравнений электрического равновесия,
- решение уравнений и представление полученных результатов.
Характерной особенностью современного уровня развития методов анализа
цепей является широкое применение средств вычислительной техники (СВТ)
не только для решения уравнений электрического равновесия, но и для
формирования уравнений по заданной эквивалентной схеме или для
составления эквивалентной схемы цепи и соответствующих уравнений
электрического равновесия по заданной принципиальной электрической схеме
цепи. Современные методы анализа цепей, основанные на применении СВТ
для комплексного выполнения всех трех (или хотя бы двух последних) этапов
анализа, получили название методов машинного (автоматизированного)
анализа цепей. Методы анализа цепей, в которых формирование уравнений
электрического равновесия производится вручную (независимо от того,
применяют или не применяют ЭВМ для решения уравнений электрического
равновесия), получили название ручных методов анализа.
Автоматизация методов анализа электрических цепей позволяет не только
значительно сократить время анализа, но и существенно повысить его
1
точность. Решение ряда задач анализа, связанных с проектированием
современной аппаратуры на больших интегральных микросхемах, каждая из
которых может насчитывать несколько тысяч элементов, невозможно без
применения автоматизированных методов анализа.
Разработанные программы машинного анализа цепей условно
подразделяют на две большие группы:
- программы общего назначения, предназначенные для решения
широкого круга задач анализа цепей различного типа,
- специализированные программы, ориентированные на решение
отдельных частных задач анализа, например исследование
временных или частотных характеристик линейных цепей,
нахождение рабочих точек нелинейных элементов, определение
чувствительности цепи к изменению параметров элементов и т. п.
Независимо от назначения каждая программа автоматизированного анализа
состоит из нескольких основных блоков, соответствующих основным этапам
анализа цепей:
- блок подготовки исходных данных,
- блок формирования уравнений электрического равновесия,
- блок решения уравнений электрического равновесия,
- блок представления результатов анализа.
1) Блок подготовки исходных данных
Ввод информации о схеме исследуемой цепи, параметрах ее элементов,
формулировка конкретной задачи анализа и способа представления
результатов. Информация о схеме в различных программах вводится поразному: это составленный определенным образом список элементов
принципиальной либо эквивалентной схемы цепи, с указанием типов
элементов, их параметров и номеров узлов, к которым подключены выводы
элементов.
2) Блок формирования уравнений электрического равновесия
Этот этап машинного анализа цепей наиболее трудно поддается
автоматизации. Рассмотренные ранее алгоритмы составления этих уравнений
недостаточно формализованы и непригодны для непосредственного
применения в программах машинного анализа.
3) Блок решения уравнений электрического равновесия
Уравнения электрического равновесия цепи, сформированные любым из
методов, можно решать либо в численной, либо в символьной форме. К
настоящему времени наибольшие успехи достигнуты в области численных
методов решения уравнений электрического равновесия, которые основаны на
хорошо разработанных методах вычислительной математики и легко
2
поддаются алгоритмизации. В результате решения находят числовые значения
токов и напряжений цепи, соответствующие определенным значениям
параметров элементов и величин, характеризующих внешнее воздействие.
Определяющее влияние на выбор методов численного анализа оказывает
уровень развития средств вычислительной техники и соответствующего
математического обеспечения.
4) Блок представления результатов анализа
На этом этапе обрабатываются результаты решения уравнении
электрического равновесия, определяются искомые характеристики цепи, и
выводятся
полученные
данные.
Современные
программы
автоматизированного анализа цепей, как правило, организуют работу СВТ в
диалоговом режиме, при котором пользователь на основе данных
предварительного анализа может вводить директивы, с помощью которых
определяется вид анализа, производится изменение схемы исследуемой цепи
или параметров ее элементов, задается тот или иной способ представления
получаемых результатов.
Программы машинного анализа цепей являются частью современных
систем автоматизированного проектирования (САПР) и входят в состав
математического
обеспечения
автоматизированных
рабочих
мест
проектировщика радиоэлектронной аппаратуры. Несмотря на обилие таких
программ, постоянно возникает необходимость их усовершенствования или
разработки
новых
программ.
Поэтому специалисты
в
области
радиоэлектроники должны четко представлять себе основные принципы,
положенные в основу машинных методов анализа цепей.
9.2. Формирование компонентных уравнений цепи
Для составления уравнений электрического равновесия цепи с помощью
ЭВМ необходимо формализовать исходные о топологии цепи и параметрах
входящих в нее элементов.
В большинстве программ машинного анализа цепей с целью упрощения и
унификации компонентных уравнений ветвей используют расширенное
топологическое описание цепи, при котором каждый идеализированный
двухполюсный элемент рассматривается в качестве отдельной ветви.
В зависимости от того, какая из величин (ток или напряжение) выбрана в
качестве независимой переменной, компонентные уравнения ветвей,
содержащих идеализированные элементы, могут быть записаны в одной из
двух форм: в форме Z или в форме Y.
Для ветви в форме Z (рис. 9.1, а) уравнение имеет вид:
3
u = uez+Z(i-Jz),
(9.1)
для ветви в форме Y (рис. 9.1, б):
i = Jy+Y(u-uey)
(9.2)
где u и i – напряжение и ток ветви,
Z, Y – коэффициенты, определяемые характером входящих в ветвь
идеализированных элементов,
ue, J – напряжение и ток, характеризующие источники энергии в ветви и
независимые начальные условия.
При гармоническом внешнем воздействии мгновенные значения токов и
напряжений заменяются их комплексными амплитудами, независимые
начальные условия полагают равными нулю и компонентные уравнения (9.1.)
и (9.2.) принимают вид:
U  U E  Z ( I  J ),
I  J  Y (U  U E )
где U , I – комплексные амплитуды напряжения и тока ветви,
Z, Y – входное сопротивление и проводимость ветви,
U E , J – напряжение и ток, характеризующие источники энергии в ветви.
I
ue
I
ue
J
U
Y
J
U
Z
а)
б)
Рис. 9.1. Эквивалентные схемы ветвей: а) в форме Z, б) в форме Y.
В таблице 4.1. приведены компонентные уравнения для основных
идеализированных элементов, записанные в соответствии с полученными
формулами.
4
При анализе компонентные уравнения всех ветвей цепи представляют в
одной и той же форме (Z или Y) и объединяют в одно матричное компонентное
уравнение цепи соответственно либо в форме Z, либо в форме Y:
U = Ue + Zв(I – J),
I = J + Yв(U – Ue).
(9.3)
(9.4)
Здесь Z, Y — квадратные диагональные матрицы сопротивлений и
проводимостей цепи;
I, U — векторы (матрицы-столбцы) значений токов и напряжений ветвей;
Ue, J— задающие векторы, характеризующие воздействия на цепь.
5
Таблица 4.1. Компонентные уравнения ветвей, содержащих один
идеализированный элемент
Тип ветви
Форма компонентного уравнения
Z
Y
R
U  0  R( I  0)
С
1 
U  0 
( I  0)
jC
U  0  jL( I  0)
1
I  0  (U  0)
R
I  0  jC(U  0)
L
1 
I  0 
(U  0)
jL
U   E
E
I  J
J
Пример 9.1. Сформировать компонентные матрицы цепи, схема которой
приведена на рис. 9.2, а. Граф цепи изображен на рис. 9.2, б
.
(1)
L1
(2)
6
(3)
L2
C
R2
e
5
1
2
3
4
R3
R1
R4
j
(0)
а)
б)
Рис. 9.2. К примеру 9.1. а) – схема цепи, б) – граф схемы.
6
7 (4)
Компонентные матрицы при описании ветвей в форме Y имеют вид:
Yв =
1/R1
0
0
0
0
0
1/R2
0
0
0
0
0
1/R3
0
0
0
0
0
1/R4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1/jL
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
jC
0
0
1/jL
E
0
0
0
J=
J
U=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Компонентные матрицы при описании ветвей в форме Z имеют вид:
Zв =
R1
0
0
0
0
0
R2
0
0
0
0
0
R3
0
0
0
0
0
R4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
jL
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1/jC
0
0
jL
E
0
0
0
J=
J
U=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
Таким образом, зависимости между токами и напряжениями всех ветвей
электрической цепи могут быть представлены в виде одного матричного
компонентного уравнения. Вся информация о характере ветвей и параметрах
входящих в них элементов заключается в компонентных матрицах.
9.3. Формирование топологических уравнений цепи
Топологические свойства цепи полностью определяются ее графом,
которому ставятся в соответствие топологические матрицы: матрица узлов А,
матрица главных контуров В, матрицу главных сечений Q и др. Правила их
формирования указаны в главе 1. Эти матрицы связаны между собой
определенными соотношениями так, что всегда, зная одну из них, можно
определить любую другую. Наиболее просто формируется матрица узлов, так
как при этом не требуется строить дерево цепи и определять
соответствующую систему главных контуров или главных сечений.
Введённые компонентные и топологические матрицы относятся к
разреженным матрицам, то есть содержат большое число нулевых элементов.
Как правило, в памяти ЭВМ хранится информация только о ненулевых
элементах матриц. При использовании описанного в п. 9.2 способа описания
цепи основная система уравнений электрического равновесия содержит 2р
уравнений (где р – число ветвей схемы). Количество уравнений может быть
уменьшено за счёт исключения из основной системы уравнений зависимых
токов и напряжений с помощью методов узловых напряжений и контурных
токов.
9.4. Использование метода узловых напряжений для машинного
анализа
В матричной форме зависимость напряжений ветвей от узловых
напряжений определяется узловым преобразованием:
U = ATUi0,
(9.5)
где АТ – транспонированная матрица узлов,
U, Ui0 – матрицы-столбцы напряжений ветвей и узловых напряжений.
Для формирования системы узловых уравнений рассмотрим уравнение
цепи в форме Y (9.4). Умножим матрицу узлов на каждое слагаемое:
А I =А J + АYвU –AYвUe.
8
Левая часть уравнения представляет собой матричную запись уравнения
баланса токов, поэтому
А J + АYвU –AYв Ue = 0.
Выражая напряжения ветвей через узловые напряжения согласно (9.5) и
выполняя преобразования, получаем систему узловых уравнений цепи в
матричной форме:
АYвАТUi0 = А(Yв Ue– J),
или
YijUi0 = Ji0,
где Yij – матрица узловых проводимостей, Jio – матрица-столбец узловых
токов,
Y = АYвAT, J = A(YвUe - J).
Поскольку компонентные и топологические матрицы содержат большое
количество нулевых элементов, при формировании используют специальные
алгоритмы, учитывающие разреженность матриц и исключающие
тривиальные операции над нулевыми элементами.
9.5. Использование метода контурных токов для машинного
анализа
В матричной форме токи всех ветвей цепи могут быть выражены через
токи главных ветвей (контурные токи) с помощью контурного
преобразования:
I = BTIii,
(9.6)
Т
где B – транспонированная матрица главных контуров,
I, Iii – матрицы-столбцы токов ветвей и контурных токов.
Для формирования системы контурных уравнений рассмотрим уравнение
цепи в форме Z (9.5). Умножим матрицу главных контуров на каждое
слагаемое:
BU = BUe + BZвI – BJ,
Левая часть уравнения представляет собой матричную запись уравнения
баланса напряжений, поэтому
9
BUe + BZвI – BJ = 0.
Выражая токи ветвей через контурные токи согласно (9.6) и выполняя
преобразования, получаем систему узловых уравнений цепи в матричной
форме:
BZвBТIii = B(Zв J– Ue)
или
Zij Iii = Eii,
где Zij – матрица контурных сопротивлений, Eij – матрица-столбец
контурных э. д. с.,
Z = BZвBT, Eii = B(ZвJ - Ue).
Аналогично формируются матрицы для цепи, находящейся под
произвольным (не гармоническим) воздействием. Компонентные матрицы Zв
и Yв содержат в этом случае операторы интегрирования и
дифференцирования, а узловые и контурные уравнения производные и
интегралы от неизвестных функций времени.
Метод контурных токов не обладает какими-либо преимуществами по
сравнению с методом узловых напряжений, однако процесс формирования
уравнений электрического равновесия с помощью этого метода несколько
сложнее вследствие необходимости выбора дерева графа исследуемой цепи и
связанной с деревом системы независимых контуров.
9.6. Метод переменных состояния
Наличие интегралов в уравнениях электрического равновесия цепи,
составленных методами узловых напряжений и контурных токов, значительно
затрудняет решение этих уравнений и в течение длительного времени
ограничивало возможности применения данных методов при машинном
анализе цепей. Интегралы, входящие в уравнения электрического равновесия,
могут быть устранены путем дифференцирования, однако при этом
повышается порядок соответствующих уравнений, что также является
нежелательным. Поэтому целесообразно составить уравнения электрического
равновесия таким образом, чтобы они вообще не содержали интегралов.
Если в качестве независимых переменных выбрать напряжения емкостей и
токи индуктивностей, то уравнения электрического равновесия цепи не будут
содержать интегралов от неизвестных функций времени. Такие уравнения
10
называются уравнениями состояния цепи, а независимые переменные (токи
индуктивностей и напряжения емкостей) — переменными состояния.
Название отражает тот факт, что именно токи индуктивностей и напряжения
емкостей определяют запасы энергии в реактивных элементах и,
следовательно, характеризуют энергетическое состояние цепи.
Очевидно, что число независимых уравнений, составляемых по методу
переменных состояния, будет равно числу независимо включенных
реактивных элементов, т. е. порядку сложности цепи. Если исследуемая цепь
содержит топологические вырождения, к которым относятся емкостные
контуры и индуктивные сечения, то система уравнений электрического
равновесия цепи наряду с дифференциальными уравнениями будет содержать
алгебраические уравнения, составленные на основании второго или первого
законов Кирхгофа и отражающие связь между напряжениями емкостей или
токами индуктивностей, входящих в соответствующие контуры или сечения.
Основной положительной особенностью метода переменных состояния
является формирование уравнений электрического равновесия цепи
непосредственно в форме Коши, что допускает применение явных методов
интегрирования. Форма Коши предполагает, что уравнения разрешены
относительно производных от искомой реакции цепи. Выбор в качестве
независимых переменных токов индуктивностей и напряжений емкостей
значительно облегчает определение вектора начальных условий цепи,
необходимого для интегрирования системы уравнений.
К недостаткам метода переменных состояния относится значительная
сложность формирования системы уравнений электрического равновесия,
особенно при наличии в цепи топологических вырождений. Недостатки
метода переменных состояния дополняются недостатками явных методов
интегрирования (высокая чувствительность к выбору шага интегрирования).
9.7. Выбор методов формирования уравнений электрического
равновесия
Каждая программа машинного анализа цепей ориентирована на
использование определенного метода формирования системы уравнений
электрического равновесия, поэтому необходимость выбора метода
формирования системы уравнений возникает только при разработке новых
алгоритмов и программ анализа.
В связи с разработкой вычислительных машин с большим объемом памяти
и высоким быстродействием создались условия для широкого применения
неявных методов интегрирования, не требующих представления исходных
уравнений в форме Коши и менее чувствительных к выбору шага
интегрирования. Это привело к тому, что в последнее время резко увеличился
интерес к использованию методов контурных токов и узловых напряжений.
11
Как отмечалось ранее, процесс составления уравнений электрического
равновесия цепи по этим методам легко поддается автоматизации, при
составлении уравнений отпадает проблема топологических вырождений.
Метод контурных токов целесообразно использовать для анализа индуктивносвязанных цепей. Однако алгоритм формирования уравнений при
использовании метода узловых напряжений проще, чем при использовании
метода контурных токов.
Указанные обстоятельства привели к тому, что большинство современных
отечественных и зарубежных программ анализа цепей, разработанных в
последние годы, основаны на использовании метода узловых напряжений и
его различных модификаций.
Выводы
 В настоящее время электрические цепи рассчитывают, в основном, с
применением специального программного обеспечения, в основе
которого лежат уже изученные методы расчёта.
 Для формализации исходных данных для анализа вводится понятие
обобщённой ветви.
 Топология
цепи
описывается
матрицами
сопротивлений,
проводимостей, токов, напряжений ветвей.
 На основе формального описания возможно составление уравнений
электрического равновесия любым известным способом.
 Наиболее широко распространённым является метод узловых
напряжений в связи с наиболее простым описанием исходных данных
и достаточно компактной системой уравнений электрического
равновесия.
12