ВАРИАНТ – 3 На двух костях выпал разный результат. Какова вероятность того, что хотя бы на одной выпала пятерка? Решение: Введем обозначения: А1 – первый кубик А2 – второй кубик Тогда возможно всего выпадений (учитывая А1(n1=6), а для A2(n2=5)): n1*n2=6*5=30=n. Далее рассмотрим, чтобы выпала 5 на первом кубике - всего 5 вариантов и если выпадет 5 на втором кубике - всего 5 вариантов (тогда 5+5=10=m – всего вариантов выпадений пятерки, учитывая разное выпадение очков). Тогда: m 1 Р(А)= n 3 1 1 3 2 Мастерская получила 2 сверлильных и 3 токарных станка. Найти вероятность того, что все они проработают полгода без поломок, если для сверлильного станка вероятность поломки в течение полугода равна 0,4, а для токарного — 0,2 . Решение: Р(АВ)=Р(А)*Р(В) Р(А)-вероятность, что сверлильные станки проработают без поломок. Р(В)- вероятность, что токарные станки проработают без поломок Вероятность, что сломается сверлильный станок равна 0,4, вероятность, что он будет работать без поломок 1-0,4=0,6. Вероятность, что токарный станок будет работать без поломок 1-0,2=0,8 Р(А)=0,62=0,36 Р(В)=0,83=0,512 Р(АВ)=0,36*0,512=0,18432 0,18 Ответ: Р(АВ) 0,18 3 Из урны, содержащей 3 красных, 5 синих и 2 белых шара, извлекли одновременно два шара. Какова вероятность того, что они - разного цвета Решение: Введем событие А – «два извлеченных шара разного цвета». Противоположным к этому событию будет событие А -« два извлеченных шара одинакового цвета». К1 – «Первый извлеченный шар красного цвета» К2 – «Второй извлеченный шар красного цвета» С1 – «Первый извлеченный шар синего цвета» С2 – «Второй извлеченный шар синего цвета» Б1 – «Первый извлеченный шар белого цвета» Б2 – «Второй извлеченный шар белого цвета» Тогда: А =К1К2+С1С2+Б1Б2 Следовательно: Р(А)=1-Р( А )=1-Р(К1К2+С1С2+Б1Б2) 3 2 1 Р(К1К2)= * = 10 9 15 Ответ: P( A) Р(С1С2)= 5 4 2 * = 10 9 9 2 1 1 * = 10 9 45 1 2 1 31 Р(А)=1- 15 9 45 45 Р(Б1Б2)= 31 45 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения Ответ: Р(А)= 4 Xi Рi 0,8 0,1 1.2 0,1 1.6 0,2 2,0 0,4 2.4 02 Решение: Составим таблицу: Xi Рi Xi*Рi 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 Сумма: 0,1 0,1 0,2 0,4 0,2 0,08 0,12 0,32 0,8 0,48 1,8 Xi2 Xi2* Рi 0,64 1,44 2,56 4 5,76 0,064 0,144 0,512 1,6 1,152 3,472 М(Х)=1,8; Д(Х)=3,472-1,82=0,232; ( X ) 0,48 Ответ: М(Х)=1,8; Д(Х)=0,232; ( X ) 0,48 5 Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения 0, х 1 2x 1 ,1 x 2 F(X) = 2 1,2 x Найти дифференциальную функцию f(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, построить графики f(x) и F(X), Решение: Найдем f(x): 0, x 1 2x 1 ,1 x 2 f(x)= f ( x ) 2 0,2 x Найдем М(Х): 2 2 2 1 1 x3 M ( X ) x * f ( x )dx x * ( 2x 1)dx x 2 dx xdx 21 21 3 1 2 1 x2 4 2 1 D(X)= x 2 * f ( x )dx M( X) 2 2 2 2 1 2 1 2 x4 3 x * f (x)dx 2 1 x * (2x 1)dx 1 x dx 2 1 x dx 4 2 2 1 x3 6 2 1 2 D(X)= 31 19 0,076 12 12 (X) D(X) 0,276 Графики: f(x) Ответ: М(Х)=1,58; D(X)=0,076; ( X ) 0,276 F(X) 31 12 19 12