Исследование эволюции трёхмерной границы раздела «разноцветных» жидкостей к точечному стоку в ортотропной пористой среде Крыштопин Дмитрий Викторович Аспирант Орловский государственный университет, физико-математический факультет, Орёл, Россия E-mail: vopros317@mail.ru 1. Постановка задачи. Рассмотрим трёхмерную фильтрацию несжимаемой жидкости в ортотропной однородной и недеформируемой пористой среде с тензором проницаемости K Kij , i, j 1, 2,3 . В прямоугольной системе координат Ox1 x2 x3 компоненты тензора проницаемости K ij ki ij , где k i – постоянные величины, ij – символ Кронекера. Скорость фильтрации определяется обобщённым законом Дарси [1]. Течение жидкости характеризуется обобщённым потенциалом скорости фильтрации φ, который как функция декартовых координат x1 , x2 , x3 удовлетворяет всюду в области течения D (за исключением особых точек) уравнению неразрывности: 3 (1.1) ki 0. xi i 1 xi В области фильтрации D присутствует граница t , разделяющая две жидкости. Полагаем, что фильтрационные свойства жидкостей одинаковы (модель «разноцветных» жидкостей). Дифференциальные уравнения движения границы раздела жидкостей имеют вид dxi dt ki xi , i 1, 2,3 , ( x1 , x2 , x3 ) t . (1.2) В начальный момент времени t 0 положение границы t описывается параметрическими уравнениями ( s1 , s2 – параметры): (1.3) t 0 : x0i x0i s1 , s2 , i 1, 2,3 , ( x01 , x02 , x03 ) 0 . Исследование эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей сводится к интегрированию системы уравнений (1.1), (1.2) при заданных начальных условиях (1.3). Численное решение поставленной задачи проводится методом Эйлера с адаптивным шагом [2]. 2. Исследование эволюции границы к стоку. Обозначим x1 x , x2 y , x3 z . Пусть эксплуатационная скважина заданного дебита расположена в начале координат. Её работу моделируем точечным стоком мощности q ( q – модуль мощности). Кратчайшее расстояние от границы 0 до точки расположения стока обозначим d . В рассматриваемом случае обобщённый потенциал течения примет вид: (2.1) q (4 R) , 1/2 где R x 2 1 y 2 2 z 2 3 , 1 k1 k0 , 2 k2 k0 , 3 k3 k0 , k0 – масштабный коэффициент. Положим k0 k1 1 . Тогда параметр 1 1 , параметры 2 и 3 характеризуют различие компонент тензора проницаемости вдоль осей Oy , Ox и Oz , Ox соответственно. Границу 0 будем моделировать сферой радиуса r 2d , центр которой находится в точке 0,0, d . Большое значение имеет время T достижения границей t скважины. Если прорыв жидкости к скважине происходит вдоль оси Oz x 0, y 0 , то интегрируя систему дифференциальных уравнений (1.2), получим аналитическую формулу для нахождения времени достижения границей t скважины: 4 d 3 . (2.2) 3 q 33/2 Формула (2.2) справедлива, если 3 1 , 3 2 и ближайшая к скважине точка границы Ta 0 находится на оси Oz . В качестве характерного размера выберем расстояние d . За характерное время примем время достижения границей t скважины в изотропном грунте, которое определяется по формуле (2.2) при 3 1 . Тогда при расчётах следует положить d 1 , q 4 3 . На рис. 1 показана зависимость времени T от параметра 2 для значений параметра 3 0.1; 1; 4 . На всех графиках присутствует интервал, где T 2 const . Это означает, что на данном промежутке прорыв происходит вдоль оси Oz , и параметр 2 не влияет на время достижения границей t скважины. Начиная с некоторого значения 2 , время T начинает уменьшаться и стремиться к нулю, прорыв жидкости происходит вдоль оси Oy . На рис. 2 показана зависимость времени T от параметра 3 для значений параметра 2 1; 2; 4 . Видим, что с увеличением параметра 3 время T уменьшается и стремится к нулю. Графики численного расчёта совпадают с аналитическим решением, если прорыв происходит вдоль оси Oz . Когда прорыв происходит не вдоль Oz , то время T Ta . Предложенный метод позволяет исследовать движение произвольной границы раздела «разноцветных» жидкостей к системе скважин в ортотропной пористой среде. Дальнейшая работа предполагает учёт неоднородности анизотропной пористой среды и различия свойств фильтрующихся жидкостей [3]. Рис. 1 Рис. 2 Литература 1. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика: Учебник для вузов. Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 544 с. 2. Крыштопин Д.В., Федяев Ю.С. Математическое моделирование трёхмерной эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей в анизотропной однородной пористой среде // Ученые записки Орловского государственного университета, 2014. № 6 (62). Серия: Естественные, технические и медицинские науки. С. 17-21. 3. Пивень В.Ф. Обобщённый сингулярный интеграл Коши для граничных задач двумерных течений в анизотропно-неоднородном слое пористой среды // Дифференциальные уравнения, 2012. Т. 48, № 9. С. 1292-1307.