Организационный момент (формулировка темы, постановка целей и... 1. урока

Приложение 2

Математику уже затем учить надо, что
она ум в порядок приводит.
М.В. Ломоносов
1.
Организационный момент (формулировка темы, постановка целей и задач
урока перед учащимися, план хода урока)
2.
Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по теоретическому
материалу по данной теме.

Теорема 1 (теорема Виета). Если x1 и x2 - корни квадратного уравнения
ax 2  bx  c  0 , то сумма корней равна 
b
c
, а произведение корней равно
:
a
a
b
x1  x2   ,
a
c
x1  x2  .
a

Теорема 1 (обратная теорема Виета). Если числа x1 , x2 таковы, что
x1  x2   p; x1  x2  q , то эти числа – корни уравнения x 2  px  q  0 .

Уравнения называются равносильными, если множества их решений
совпадают.
3.
Решение задач: М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич Сборник задач по
алгебре 8 – 9 классы Учебное пособие для учащихся
общеобразовательных организаций, 18 издание, Москва
«Просвещение»2013
№5.91, стр. 60
При каких значениях к сумма корней квадратного уравнения x 2  k 2  4k  5x  k  0
равна нулю?
Решение:
Для того, чтобы квадратное уравнение имело корни, его дискриминант должен быть
2
больше либо равен нулю, т.е. D  k 2  4k  5  4k  0 .
По теореме Виета имеем: x1  x2  k 2  4k  5  0 по условию задачи. Откуда при
помощи дискриминанта находим k1  1; k2  5 . Осталось проверить, что при
найденных значениях параметра к дискриминант квадратного уравнения будет
неотрицательным. Если это условие не выполнено, то при найденном значении
параметра уравнение вообще не имеет корней, и это значение не подходит под
условие задачи.
1. k1  1; D  (12  1  4  5)2  4  1  4  0 , а значит найденное к подходит под условие
задачи;
2. k2  5; D  ( 52  5  4  5) 2  4  5  20  0 ,
подходит.
Ответ: 1.
№5.95, стр. 60
При каком значении параметра
x 2  2  mx  m  3  0 наименьшая?
m
а
следовательно
сумма
квадратов
найденное
корней
к
не
уравнения
Решение:
Для того, чтобы квадратное уравнение имело корни, его дискриминант должен быть
больше либо равен нулю, т.е. D  2  m 2  4m  3  m 2  16  0 для любого m.
 x1  x2  m  2;
по условию задачи.
 x1  x2  m  3.
По теореме Виета имеем: 
x12  x22  x1  x2   2 x1  x2  m   22  2m  3  m 2  2m  10  m  1  9  9
2
2
.
Причем
равенство достигается при m=1.
Ответ: 1.
№5.99, стр. 60
При каких значениях параметра а один из корней квадратного уравнения
a2  5a  3x2  3a  1x  2  0 в два раза больше другого?
Решение:
По условию x1  2x2 .
Для того, чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант
должен быть больше нуля, т.е. D  3a  12  8a 2  5a  3  a 2  34a  23  0 . (1)
По теореме Виета:
1  3a

x

x

3
x

;
1
2
2
2

a  5a  3

2
x  x  2x2 
.
1
2
2
2

a  5a  3
1  3a

 x2  3 a 2  5a  3 ;

1
x2 
.
 2 a 2  5a  3


1  3a  . ОДЗ: a 2  5a  3  0 . (2)
1

2
a  5a  3 9 a 2  5a  3 2
2  13 2
2
 .
9a 2  5a  3  1  3a  ; 9a 2  45a  27  1  6a  9a 2 ; a 
3  13 3
Осталось проверить, выполнено ли ограничение на ОДЗ и на дискриминант при найденном
значении а. Оба условия будут выполнены, в чем можно убедиться, подставив найденное
значение а в (1) и (2).
2
Ответ: .
3
2
Откуда получим уравнение:


№5.102, стр. 60
При каких значениях параметра с уравнение 5 x 2  4 x  c  0 :
а) имеет действительные различные корни;
б) имеет один корень;
в) не имеет действительных корней;
г) имеет хотя бы один общий корень с уравнением x 2  13x  30  0 ?
Решение:
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта
квадратного уравнения. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два
различных действительных корня, если равен нулю, то корень будет только один,
если же дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.
Так как коэффициент при х четный, то применим формулу:
D
 4  5с .
4
D
а)  4  5с  0 . Откуда имеем: с  0,8; c   ;0,8 .
4
D
б)  4  5с  0 . Откуда имеем: с  0,8 .
4
D
в)  4  5с  0 . Откуда имеем: с  0,8; c  0,8; .
4
г) Решим уравнение: x 2  13x  30  0 .
Вычислим дискриминант: D  169  4   30  289  172 . А затем и корни уравнения:
 13  17
 13  17
 13  17
x1, 2 
; x1 
 2; x2 
 15 .
2
2
2
Используем тот факт, что если число является корнем уравнения, то при подстановке
этого числа в уравнение оно (уравнение) превращается в верное числовое равенство.
1) Подставим x1  2 в исходное уравнение: 5  22  4  2  c  0;20  8  с  0; с  12 .
2) Подставим
в
исходное
уравнение:
x2  15
2
5   15  4  15  c  0;1125  60  с  0; с  1185 .
Ответ: а)  ;0,8 .
б) 0,8.
в) 0,8; .
г) -12;-1185.
№5.104, стр. 61
При каких значениях параметра b корни уравнения 4 x2  3b2  5 b  2x  3  0 равны по
модулю?
Решение:
4
3
Так как коэффициенты а=4 и с=-3 разных знаков, то по теореме Виета x1  x2    0
корни уравнения имеют разные знаки, т.е. они равны по модулю, но противоположны
по знаку. Тогда для выполнения условия задачи нужно, чтобы коэффициент при х
был равен нулю.
3b2  5 b  2  0 . Замена: b  y, y  0 .
3y2  5 y  2  0 .
 y  1;

По теореме Виета находим корни уравнения: 
2 Так оба корня уравнения
y

.

3
положительны, то оба подходят.
b  1  0  b  1;
2
2
0b .
3
3
2
Ответ:  1; .
3
b
№5.106, стр. 61
Найдите
наименьшее
целое
значение
а,
при
котором
2
2
x  2a  2x  12  a  0 имеет два различных действительных корня.
уравнение
Решение:
Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его
дискриминант больше нуля. Так как коэффициент при х – четное число, то применим
формулу:
D
2
 a  2  12  a 2  4a  2  0 . Откуда найдем значения параметра: a  2; . Так
4
как в задаче нужно найти наименьшее целое а, то это 3.
Ответ: 3.
№5.108, стр. 61
При каком значении а уравнение a  2x 2  2a  2x  2  0 имеет один корень?
Решение:
Так как коэффициент при x 2 зависит от параметра, то нельзя утверждать, что
уравнение квадратное. Рассмотрим два случая:
1) a  2  0  a  2 . Подставив найденное значение а в уравнение, получим 2=0,
что неверно. Поэтому при данном а уравнение корней не имеет. Этот вариант
не подходит к условию.
2) a  2  0  a  2 . В этом случае мы имеем дело с квадратным уравнением,
которое будет иметь единственное решение в случае, если его дискриминант
равен нулю. Так как коэффициент при х – четное число, то применим формулу:
a  0;
D
2
. Но a=-2 не подходит.
 a  2  2a  2  aa  2  0  
4
a  2.
Ответ: 0.
№5.109, стр. 61
При каких значениях а уравнение a 2  6a  8x 2  a 2  4x  10  3a  a 2   0 имеет более
двух корней?
Решение:
Так как коэффициент при x 2 зависит от параметра, то нельзя утверждать, что
уравнение квадратное. Рассмотрим два случая:
a  2;
.
a  4.
1) a 2  6a  8  0  
1.а) a  2 . Подставив найденное значение а в уравнение, получим 0=0, что
верно для любого значения переменной х. Т.е. в данном случае уравнение
имеет бесконечно много решений, что подходит к условию задачи.
1.б) a  4 . В этом случае получим: 12x  18  0  x  1.5 . Т.е. уравнение имеет
единственный корень, что не подходит к условию.
2) a 2  6a  8  0  a   ;2  2;4  4; . В этом случае мы имеем дело с
квадратным уравнением, которое будет иметь не более двух корней, что не
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 2.
№5.110, стр. 61
При каких значениях а уравнение 2 x 2  x  a  0 (1) имеет хотя бы один общий корень
с уравнением 2 x 2  7 x  6  0 (2)?
Решение:
Решим уравнение (2):
D  49  4  2  6  49  48  1;
7 1
7 1
7 1
x1, 2 
; x1 
 2; x2 
 1.5 .
4
4
4
Число является корнем уравнения, если при его подстановке уравнение обращается в
верное числовое равенство. Поэтому подставим поочередно найденные корни в
уравнение (1) и найдем значения параметра а для данных значений х.
1) x1  2 . 2  22  2  a  0; a  10 .
2) x2  1.5 . 2  1.52  1.5  a  0; a  6 .
Теперь убедимся, что при найденных значениях параметра дискриминанты
полученных квадратных уравнений будут неотрицательны, т.е. уравнения будут
иметь действительные корни.
1) a  10 . Уравнение (1) принимает вид: 2 x 2  x  10  0 . Вычислим его
дискриминант: D  1  4  2  (10)  1  80  81  0 .
2) a  6 . Уравнение (1) принимает вид: 2 x 2  x  6  0 . Вычислим его
дискриминант: D  1  4  2  (6)  1  48  49  0 .
Ответ: 10;6.
№5.112, стр. 61
При каких значениях а уравнения
x 2  a 2  5a  6x  0 (2) имеют общие корни?


x 2  2a  3x  a 2  7a  12  0
(1)
и
Решение:
Рассмотрим уравнение (2), один из его корней равен 0.
xx  a 2  5a  6  0  x1  0; x2  a 2  5a  6 .
Уравнения равносильны, если множества их решений совпадают. Т.е. корни
уравнения (2) являются корнями уравнения (1). Подставим в уравнение (1) корень
x1  0 : 02  2a  3  0  a 2  7a  12  0  a 2  7a  12  0  a1  3; a2  4 . А теперь решим
уравнение (1) при найденных значениях параметра и сравним корни обоих уравнений.
1) a1  3  (1) : x 2  0  x  0 - оба корня уравнения (1) равны 0. Подставим вместо а 3 в
уравнение (2): x 2  0  x  0 . Итак оба уравнения имеют в этом случае единственный
корень x  0 , т.е равносильны.
2) a1  4  (1) : x 2  2 x  0  x1  0; x2  2 . Найдем теперь при указанном а корни
уравнения (2): - оба корня уравнения (1) равны 0. Подставим вместо а 3 в уравнение
(2):
Т.е.
уравнения
x x  42  5  4  6  0  x1  0; x2   42  20  6  2 .
равносильны и в этом случае.
 



Ответ:3;4.
№5.115, стр. 61
При каких значениях параметра а уравнение a  4 x  x2  1a  1  x  2   0 имеет три
корня?
Решение:
a  4 x  x 2  1  0; (1)
Исходное уравнение равносильно совокупности: 
a  1  x  2  0.(2)
Для того, чтобы исходное уравнение имело ровно 3 решения нужно, чтобы и
совокупность уравнений имела ровно 3 решения, что возможно в случае, когда одно
из уравнений имеет одно решение, а второе – два решения. Перепишем уравнения в
виде: (1) x 2  4 x  a  1  0 и (2) x  2  a  1 .
Уравнение (1) квадратное, количество его решений зависит от дискриминанта. Нам
будут интересны случаи, когда дискриминант больше нуля либо равен нулю. Так как
коэффициент при х – четное число, то применим формулу:
D
 4  (a  1)  a  3 .
4
D
 a  3  0; a  3 . Выясним, сколько корней будет иметь при найденном а
1)
4
уравнение (2): x  2  3  1  x  2  2  0 . Решений не будет. Поэтому этот
случай нам не подходит, так как исходное уравнение тогда имеет ровно 1 корень.
D
 a  3  0; a  3 . Уравнение (1) имеет два различных корня. Тогда уравнение
2)
4
(2) имеет 1 корень, а это возможно только если a  1  0; a  1  x  2 . Теперь
выясним, не совпадает ли один из корней уравнения (1) с полученным корнем
D
 2  0 . Поэтому корни уравнения (1) иррациональны и
4
различны. Отсюда делаем вывод, что исходное уравнение имеет при найденном
значении а три различных корня.
х=2: x 2  4 x  2  0;
Ответ: -1.
4. Подведение итогов урока. Рефлексия.
5. Домашнее задание.
Практическое задание
Сб. задач №№5.92, 5.96, 5.100, 5.103,
5.105, 5.107, 5.111