5 класс++, серия 2, немного о делимости

5 класс++, серия 1, лето, «Головастик»
5 класс++, серия 2, немного о делимости
1. Некоторые жители острова лжецов и рыцарей сказали, что на острове живет
четное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове живет нечетное число
лжецов. Может ли на острове быть 2013 жителей?
7. По кругу написаны 15 целых чисел, причем сумма
никаких двух соседних и никаких трех идущих подряд
чисел не делится на 3. Сколько из написанных чисел
делятся на 3? Найдите все ответы
2. 100 конфет лежат в 50 коробках. Девочка и мальчик по очереди берут по одной конфете. Начинает девочка. Докажите, что мальчик может играть так, чтобы
две последние конфеты оказались в одной коробке.
3. 100 конфет были разложены по нескольким кучкам.
Пришел Гэндальф и переложил некоторые конфеты в другие кучки. Он говорит, что после этого в каждой кучке количество конфет либо увеличилось, либо уменьшилось ровно
вдвое. Применил ли Гендальф искусство магии?
4. В клетках таблицы 10×10 записаны числа от 0 до 99
(первая горизонталь нумеруется слева направо числами от
0 до 9, вторая от 10 до 19 и т. д.). Перед некоторыми числами поставлены плюсы,
перед остальными - минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали
по 5 плюсов и по 5 минусов. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.
5. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не
превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие
два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел
6. У Алеши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алеша записал,
сколько пирожных в каждой коробке. Сережа взял по одному пирожному из каждой коробки и положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой непустой коробки и положил их на второй поднос - и так далее, пока все пирожные не оказались разложенными по подносам. После этого
Сережа записал, сколько пирожных на каждом подносе. Докажите, что количество
различных чисел среди записанных Алешей равно количеству различных чисел
среди записанных Сережей.
8. Верно ли, что среди любых четырех натуральных
чисел найдется число, которое делится на наибольший общий делитель всех остальных?
9. В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный
вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите
вес каждого из 15 слонов.
10. В двух коробках лежат конфеты. Если к коробке подходит Вася, то он берет
1/3 часть конфет, имеющихся в данный момент в этой коробке, если Петя — то 1/5.
Если у берущего конфеты не получается взять
ровно столько, сколько надо, то он воздерживается от сладкого. Вначале в коробках конфет
было поровну, по истечении некоторого срока
оказалось, что конфет снова поровну. Можно
ли утверждать, что каждый из мальчиков лакомился из первой коробки столько же раз,
сколько из второй?
11. а) Вася режет квадрат 9×9 по линиям так, чтобы получились квадраты 1×1.
При этом резать можно только по прямой линии, но куски можно накладывать
друг на друга. За какое наименьшее число разрезов он сможет получить отдельные квадратики? б) тот же вопрос, но куски нельзя накладывать друг на друга.
12. Можно ли числа от а) 1 до 12; б) 1 до 13; в) 1 до 14 разбить на три группы с
равными суммами?
5 класс++, серия 3, о делимости всерьез и надолго
5 класс++, серия 4, НОД, НОК , остатки
13. Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек? А наоборот?
22. а) Найдите все пары натуральных чисел (a, b), для которых НОК(a, b) + НОД(a,
b) = 77; б) сколько существует пар натуральных чисел (a, b), для которых НОК(a,
b) + НОД(a, b) = 2013?
14. Найдите какие-нибудь пять натуральных
чисел, разность любых двух из которых равна
наибольшему общему делителю этой пары чисел.
15. Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел таких, что наименьшее общее
кратное первых трех из них больше, чем наименьшее общее кратное трех следующих?
16. В прямоугольнике а)1719; б)9992013, нарисованном на клетчатой бумаге,
проведена диагональ. Через какое число узлов она проходит? На сколько частей
эта диагональ делится линиями сетки?
17. Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается
как спереди, так и сзади (например, числа 31013 и 4554 – палиндромы). Докажите,
что если числа a и 4a – палиндромы, то и число 2а – тоже палиндром.
18. Путешественник посетил остров, на котором 1000 жителей, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Все жители острова встали в
круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику, является ли лжецом его
правый сосед. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно
определить, сколько именно лжецов на острове. Определите это и вы.
19. а) Делится ли число 2012!!+2013!! на 2014? (2013!! = 1·3·5·7·…2013,
2012!!=2·4·6·…·2012); б) Делится ли число 2011!!+2012!! на 2013?
20. Доказать, что среди любых 18 последовательных трехзначных чисел найдется
число, делящееся на свою сумму цифр.
21. Число n – шестизначное, в записи которого по одному разу встречаются цифры
1, 2, 3, 4, 5, 6. Докажите, что оно не делится на 11.
23. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между
цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль
24. Найти последнюю цифру числа 72013+92013.
25. а) Найдите все такие простые числа p, q, что
pq = 7(p+q); б) Решите в простых числах уравнение pqr=7(p+q+r).
26. Докажите, что среди семи любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 6.
27. В теремке лежали 100 конфет. Пришла
мышка и съела некоторое количество конфет. Но
тут пришла лягушка, и мышка сьела еще одну конфету, чтобы количество оставшихся делилось поровну на двоих. Потом пришли по очереди зайчик, лисичка,
волк и медведь, и каждый раз мышка ела по одной конфете, чтобы то, что осталось, делилось поровну на всех собравшихся. Наконец пришел слон. Какое
наименьшее количество конфет придется съесть мышке на этот раз, чтобы количество оставшихся делилось поровну на семерых?
28. Разложите 100 орехов на 10 кучек так, чтобы в них было разное число орехов,
но при разбиении любой из куч на две появлялись бы кучи с одинаковым числом
орехов.
29. Сумма трех натуральных чисел равна 520. На какое наибольшее число нулей
может оканчиваться их произведение?
30. Найдите, сколько различных делителей у числа a) 77; б) 25; в) 60; г) 144; д)
p q, гдеp и q – простые числа.
2
5 класс++, серия 5, делите рыцарей!
31. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 60% мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 20% девочек сосед по парте – тоже девочка.
Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки?
32. В шеренгу выстроились100 человек, каждый из которых  рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду,
лжецы всегда лгут. Первый сказал: «Количество рыцарей
среди нас  делитель числа 1», второй сказал: «Количество
рыцарей среди нас  делитель числа 2» и т.д., вплоть до
сотого, который сказал: «Количество рыцарей среди нас 
делитель числа 100». Скольк о в шеренге рыцарей?
33. а) Каких натуральных чисел, меньших 100 000, больше: тех, которые делятся
на 8 и не делятся на 9, или тех, которые делятся на 9 и не делятся на 8? б) кстати, а
сколько и тех, и других?
34. Произведение 15 последовательных натуральных чисел не делится на 4096.
Докажите, что среднее число делится на 8
35. В сборнике должны напечатать 30 статей размером 1 стр, 2 стр, …30 стр. Статьи печатают, начиная с первой страницы, причем каждая статья начинается с новой страницы, но порядок статьей можно менять. Все авторы хотят, чтобы их статья начиналась с нечетной страницы. Бедный редактор пытается выполнить желания авторов. Какое наименьшее число недовольных авторов может остаться после
издания сборника?
36. В четырехзначном числе, в записи которого нет 0 и 9, первую и последнюю
цифру увеличили на 1, а две средние – уменьшили на 1. Известно, что НОД двух
чисел (первоначального и получившегося) – двузначное число, большее 85.
Найдите, чему равен НОД.
37. Докажите, что если цифры десятизначного числа выписать в обратном порядке, то полученное число не будет ровно в три раза больше исходного.
38. В поход пошли 56 математиков и в целое число раз меньше физиков. Они разместились в нескольких палатках, в каждой столько человек, сколько палаток.
Сколько было физиков?
5 класс++, серия 6, шестиугольный автобус
39. В вершинах шестиугольника записаны числа, а на каждой стороне — сумма
чисел в ее концах. Назовем округлением замену нецелого
числа на одно из двух ближайших целых (ближайшее большее или ближайшее меньшее), а целое пусть при округлении не меняется. Докажите, что можно все 12 чисел округлить так, чтобы по-прежнему на каждой стороне стояла
сумма чисел в ее концах.
40. В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе?
41. Рассмотрим числовую последовательность
12 + 34, 56 + 78, 910 + 1112, 1314 + 1516, и т.д.
Сколько чисел в этой последовательности делятся
на 4?
42. а) У четырех натуральных чисел посчитали все
попарные произведения. Докажите, что какие-то
два из этих произведений дают одинаковые остатки
при делении на 6.
б) У семи натуральных чисел посчитали все попарные произведения. Докажите,
что какие-то два из этих произведений дают одинаковые остатки при делении на
25.
в) У восьми натуральных чисел посчитали все попарные произведения. Докажите, что какие-то два из этих произведений дают одинаковые остатки при делении
на 35.
43. Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше одной) групп с
равными суммами. Докажите, что количество этих групп четно.
44. Докажите, что произведение пяти любых последовательных натуральных чисел делится на 120
45. У кассира было 30 монет достоинством в 10, 15 и 20 копеек на общую сумму в
5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10копеечных. На сколько? А сколько каких монет у него было?
5 класс++, серия 7, мальчики и девочки
5 класс++, серия 8, КВН в Италии с сосисками
46. Средний вес мальчиков равен 42 кг, девочек – 27 кг, а
всех школьников –35,5 кг. Докажите, что количество мальчиков делится на 17.
54. Четное трехзначное число приписали само к себе. Докажите, что получившееся
шестизначное число делится на 14.
47. Камни, сложенные в две кучи, собрали и разложили в
три кучи. Докажите, что хотя бы один камень оказался в
меньшей куче, чем та, в которой они лежал раньше.
48. В одном доме живут 9 мальчиков и одна девочка. Назовем "компанией" любую группу, состоящую из двух или более детей из этого дома. Каких компаний
больше: с девочкой или без девочки? На сколько?
49. Докажите, что среди чисел, меньших 10000, поровну чисел с суммой цифр 15
и с суммой цифр 21.
50. В соревнованиях лыжников оказалось, что стартовый номер лыжника в сумме
с занятым местом равен либо 97, либо 96, либо 95, и причём все эти числа (97, 96 и
95) хотя бы один раз встретились. Сколько лыжников могло участвовать в соревнованиях?
51. На доске написаны числа от 11 до 999. Вася стер все числа, имеющие две
одинаковые цифры и все двузначные числа, делящиеся на 10. Докажите, что сумма оставшихся чисел делится на 37.
52. Числа от 1 до 30 разбили на десять троек и в каждой тройке взяли наименьшее число. Какое наибольшее значение может принимать сумма взятых чисел?
53. В компании из 10 человек есть «эрудит», который знает дату рождения каждого из остальных, но никто из остальных не знает даты рождения этого человека.
Насчет того, что знают или не знают остальные, ничего не
известно. Вы можете спросить у любого члена компании
про любого другого её члена, знает ли спрошенный дату
его рождения, и получить честный ответ. Как за девять
таких вопросов наверняка найти «эрудита»?
55. В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка
делает в сутки один оборот, а минутная - 24 оборота,
причем, как обычно, минутная стрелка длиннее часовой
(в обычных часах часовая стрелка делает в сутки два
оборота, а минутная - 24). Рассмотрим все положения
двух стрелок и нулевого деления, которые встречаются и
на итальянских часах, и на обычных. Сколько существует таких положений?
56. Кот может съесть гирлянду сосисок за 37 минут, а пес - за 23 минут. Они начали есть с двух концов, и когда съели всю, то посчитали, сколько процентов от всей
гирлянды досталось каждому. Оказалось, что коту досталось на 10% больше, чем
псу. Кто из них начал есть раньше и на сколько минут?
57. В конкурсе по решению задач участвовали шесть учеников. Катя решила 3/4
всех задач и еще 2/3 от того, что решил Петя. Лена решила 1/2 всех задач и еще
1/10 того, что решил Вася. Маша решила 3/5 всех задач и еще 1/7 от того, что решил Федя. Первенство определялось по числу решенных задач. Две девочки показали одинаковый результат, а больше одинаковых результатов не было. Определите, кто какое место занял.
58. Три команды играли в КВН. Перед игрой игрок Иванов перешел из первой команды во вторую, игрок Сидоров перешел из второй команды в третью, а игрок Петров
перешел из третьей команды в первую. После этого
средний возраст первой команды увеличился на 1 неделю, второй - увеличился на 2 недели, а третьей - уменьшился на 4 недели. Известно, что в первой и во второй
команде по 12 игроков. Сколько игроков в третьей команде?
59. Турист набирает два бака воды, используя два шланга. Из первого шланга в
минуту вытекает 2,9 л воды, из второго - 8,7 л воды. В тот момент, когда меньший
бак наполнился до половины, турист поменял шланги местами, после чего оба бака заполнились одновременно. Какова емкость большего бака, если емкость
меньшего бака - 12, 5 литров?
5 класс++, серия 9, Змей Горыныч и чертики
5 класс++, серия 10, ядерный чемоданчик c яблоками
60. Петя проснулся в восьмом часу утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и показывающей на цифру 8
стрелкой звонка. Через какое время должен прозвенеть звонок?
67. Докажите, что число имеет нечетное количество делителей тогда и только тогда, когда это число является полным квадратом.
61. Трехголовый Змей Горыныч праздновал свой День Рождения. Его головы по
очереди лакомились именинными пирогами и за 15 минут съели два одинаковых пирога. Известно, что каждая
голова ела столько времени, сколько понадобилось бы
двум другим, чтобы вместе съесть один такой же пирог.
За сколько минут три головы Змея Горыныча съели бы
вместе один пирог? Головы у Змея РАЗНЫЕ!
62. Что больше: сумма всех десятизначных чисел, в записи которых встречается комбинация из стоящих подряд
цифр 1 и 2 , или сумма всех десятизначных чисел, в записи которых встречается
комбинация из стоящих подряд цифр 2 и 1, и на сколько?
63. Аня, Ваня и Саня рисовали чертиков на чистых тетрадных листочках. Экономная
Аня нарисовала больше чертиков, чем Ваня и Саня вместе, и
израсходовала на это меньше всех листочков, а расточительный
Ваня нарисовал меньше всех чертиков, но извел больше листочков, чем Аня вместе с Саней. Больше пяти чертиков на листочек не влезает. Докажите, что Аня изрисовала не меньше
шести листочков.
64. Три шпиона наблюдали за движением бронепоезда, едущего с постоянной
скоростью. Первый шпион отметил, что бронепоезд прошёл мимо него в 9.00, второй, располагавшийся на 100 км дальше первого, отметил прохождение бронепоезда в 12.00, а третий, располагавшийся на 100 км дальше второго, — в 17.00. Докажите, что у какого-то из шпионов часы врут не меньше, чем на полчаса
65. Назовём положительную числовую дробь интересной, если сумма её числителя и знаменателя равна 17. Всякую ли дробь можно выразить через интересные с
помощью сложения и вычитания?
66. Требуется разрезать квадрат на 4 части так, чтобы из них можно было сложить
треугольник, у которого одна из сторон в 8 раз длиннее другой. Покажите, как резать и как складывать.
68. Обозначим s(n) разность между суммой четных и суммой нечетных цифр числа
n (если соответствующих цифр в десятичной записи n нет, то их сумма считается
равной 0). Найдите сумму s(1)+s(2)+…+s(2013). И не используя калькулятор
69. Электронная схема "ядерного чемоданчика" состоит из 12 кнопок. Каждая
кнопка управляет своим переключателем: ее нажатие переключает его из положения "вкл" в положение "выкл" и обратно. Начальное положение выключателей неизвестно. Ядерный чемоданчик подает сигнал тревоги на неслышимой (ультразвуковой) частоте в тот момент, когда не менее 8 выключателей оказываются в положении "вкл". Докажите, что
можно сделать не более 40 нажатий на кнопки для того, чтобы чемоданчик гарантированно подал сигнал тревоги.
70. В восьми корзинах лежали яблоки трех сортов: антоновка,
джонатан и ранет, причем в каждой корзине – яблоки только одного сорта. В первой корзине лежали 20 яблок, во второй – 26, в третьей – 28, в четвертой – 32, в
пятой – 36, в шестой – 40, в седьмой – 43, в восьмой – 47. После того, как продали
корзину ранета, его осталось вдвое больше, чем антоновки, но вдвое меньше, чем
джонатана. В каких корзинах лежала антоновка, а в каких – ранет?
71. Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из которых находится в одной из
комнт. На двери каждой комнаты написано: «Тут ровно один мальчик». Назовём
комнату нечётной, если в ней находится нечётное число мальчиков. Найдите количество нечётных комнат, если известно, что среди надписей
на комнатах — ровно четыре неверных.
72. Аня и Веня собирали грибы. У Вени количество грибов
оказалось меньше утроенного количество Аниных грибов.
После того, как Веня подарил Ане четыре гриба, у него всё
равно осталось больше грибов, чем стало у Ани. Сколько
грибов нашёл каждый из ребят, если всего у них меньше 20
грибов?
5 класс++, серия 11, нефть и военные
5 класс++, серия 11, нефть и военные
73. В какое наибольшее количество цветов можно покрасить клетки доски 1010
так, чтобы в каждой строке и каждом столбце были клетки не более, чем 2 цветов?
73. В какое наибольшее количество цветов можно покрасить клетки доски 1010
так, чтобы в каждой строке и каждом столбце были клетки не более, чем 2 цветов?
74. В военную часть приехало n незнакомых друг с
другом новобранцев. Прапорщик сообщил каждому
новобранцу натуральное число так, что сумма всех n
чисел равна 2n–2. Докажите, что можно познакомить
некоторых из них друг с другом так, чтобы каждый
новобранец имел количество знакомых, равное числу, которое ему сообщил прапорщик.
74. В военную часть приехало n незнакомых друг с
другом новобранцев. Прапорщик сообщил каждому
новобранцу натуральное число так, что сумма всех n
чисел равна 2n–2. Докажите, что можно познакомить
некоторых из них друг с другом так, чтобы каждый
новобранец имел количество знакомых, равное числу, которое ему сообщил прапорщик.
75. Квадрат со стороной 2 разбит вертикальными и горизонтальными прямыми на
прямоугольники, раскрашенные в черный и белый цвета в шахматном порядке.
Докажите, что если суммарные площади черных и белых прямоугольников равны,
то из черных прямоугольников можно составить
прямоугольник 12.
75. Квадрат со стороной 2 разбит вертикальными и горизонтальными прямыми на
прямоугольники, раскрашенные в черный и белый цвета в шахматном порядке.
Докажите, что если суммарные площади черных и белых прямоугольников равны,
то из черных прямоугольников можно составить
прямоугольник 12.
76. Цистерна объемом в 100 баррелей была полностью наполнена нефтью. После того, как хозяин использовал половину имеющейся нефти, он долил
туда 100 литров нефти. После этого он опять использовал половину имеющейся нефти, и долил опять
туда 100 литров нефти. Так он сделал семь раз, и в
итоге в цистерне осталось 300 литров нефти. Сколько
литров в барреле нефти?
76. Цистерна объемом в 100 баррелей была полностью наполнена нефтью. После того, как хозяин использовал половину имеющейся нефти, он долил
туда 100 литров нефти. После этого он опять использовал половину имеющейся нефти, и долил опять
туда 100 литров нефти. Так он сделал семь раз, и в
итоге в цистерне осталось 300 литров нефти. Сколько
литров в барреле нефти?
77. В n комнатах находится n+1 человек. На дверях первой написано: «Здесь находится один человек», на дверях второй: «Здесь находятся два человека», …, на
дверях n-ой: «Здесь находятся n человек». Известно, что ровно одна из этих
надписей неверна. Чему может равняться n?
77. В n комнатах находится n+1 человек. На дверях первой написано: «Здесь находится один человек», на дверях второй: «Здесь находятся два человека», …, на
дверях n-ой: «Здесь находятся n человек». Известно, что ровно одна из этих
надписей неверна. Чему может равняться n?
78. Первый человек может выкопать траншею за 2 часа, второй – за 3 часа, третий
– за 5 часов и четвертый – за 6 часов. За какое время будет выкопана эта траншея,
если все четверо начинают работу одновременно и работают каждый со своей постоянной скоростью?
78. Первый человек может выкопать траншею за 2 часа, второй – за 3 часа, третий
– за 5 часов и четвертый – за 6 часов. За какое время будет выкопана эта траншея,
если все четверо начинают работу одновременно и работают каждый со своей постоянной скоростью?
79. По кругу стоят 100 целых чисел, сумма которых больше 350. Докажите, что среди этих чисел есть два идущих подряд числа, сумма которых больше 7.
79. По кругу стоят 100 целых чисел, сумма которых больше 350. Докажите, что среди этих чисел есть два идущих подряд числа, сумма которых больше 7.