ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ по квантовой механике учебное пособие

С.В.Ивлиев, А.И.Кузовлев, В.В.Маринюк, С.Е.Муравьев
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
по квантовой механике
учебное пособие
1
Аннотация
В настоящем учебном пособии предлагаются простые задачи по квантовой
механике с выбором ответа из заданных вариантов (то есть так называемые
тестовые задачи). Основное количество задач посвящено основным принципам и
идеям квантовой механики, меньшее – ее приложениям. Ко всем задачам даны
ответы.
Тестовые
задачи
можно
эффективно
использовать
для
проведения
контрольных опросов за минимальное время и с минимальными усилиями со
стороны преподавателя, для определения «минимума знаний», необходимого для
допуска студентов к зачету или экзамену, проводимым в традиционной (устной)
манере. Представляется также, что тестовая система гораздо удобнее традиционной
для самоконтроля, поскольку позволяет быстро и на большом количестве примеров
проверить свой уровень знаний.
2
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Математические основы квантовой механики
1. Оператор Â , действующий в некотором линейном пространстве, является линейным, если для
любых элементов  1 и  2 этого пространства имеет место равенство:
ˆ    Aˆ
а. A
1
1
ˆ       Aˆ   Aˆ
б. A
1
2
1
2
ˆ    Aˆ
г. A
2
1
( и
ˆ    Aˆ
в. A
1
2
 - произвольные комплексные числа)
2. Оператор Â , действующий в некотором линейном пространстве, является эрмитовым, если для
любых элементов  1 и  2 этого пространства имеет место равенство:
а. Aˆ   Aˆ  б. Aˆ    Aˆ   в. Aˆ ,   , Aˆ г. Aˆ ,   , Aˆ
1
2
1
2
2
1

1
2
 
1
2
 
2
1
 
1
2


3. Оператор A , действующий в некотором линейном пространстве, является эрмитово
сопряженным оператору A , если для любых элементов  1 и  2 этого пространства имеет место
равенство:

а. A  1  A  2




б. A 1, 2   1, A  2






в. A  1 2  A  2 1 г. A 1 , 2   2 , A  1

4. Операторы A и B , действующие в некотором линейном пространстве, коммутируют, если для
любого элемента этого пространства  имеет место равенство:
а. AB  BA 

 
б. A ,   , B


в. A   B 
г. A   B
5. Для любого эрмитового оператора A , действующего в некотором линейном пространстве,
можно выбрать такой базис, в котором матрица оператора A является:
а. единичной
б. нулевой
в. антисимметричной
г. диагональной
6. Собственные значения любого эрмитового оператора являются
а. положительными
б. Отрицательными
в. вещественными
г. мнимыми
7. Собственные функции эрмитового оператора, отвечающие различным собственным значениям
а. ортогональны
б. отличаются числовым сомножителем в. совпадают
г. являются комплексно сопряженными по отношению друг к другу
8. Собственное значение оператора вырождено, если:
а. этому значению отвечает одна собственная функция
две или более линейно независимых собственных функции
г. это значение отрицательно
б. этому значению отвечает
в. это значение равно нулю
9. Если эрмитовы операторы A и B коммутируют, то
а. любая собственная функция одного из операторов является также собственной функцией
другого оператора
б. операторы не имеют общих собственных функций
в.
операторы имеют общие собственные функции, число которых меньше размерности пространства,
в котором действуют эти операторы
г. существует полная система общих собственных
функций этих операторов
( a, b, c - произвольные действительные числа)
3
10. Какая из четырех матриц является матрицей эрмитового оператора
1 i 
1 1 
1 i
1 2
а. 
б. 
в. 
г. 




i 2
3 4
1 2  i 
 i 2 
1 i
11. Сколько собственных значений имеет оператор, заданный матрицей 

 i 2 
а. одно
б. два
в. три
г. четыре
12. Оператором, обратным оператору четности является:
а. оператор четности
б. оператор однократного дифференцирования
возведения в квадрат
г. оператор двукратного дифференцирования.
в. оператор
 0 i
13. Чему равны собственные значения оператора, заданного матрицей 
:
 i 0 
а. +1 и -1
б. 0 и 1
в. 0 и –1
г. – i и + i
14. Оператор id / dx , действующий в пространстве функций, заданных на интервале [, ] , в
котором определено скалярное произведение, является
а. эрмитовым
б. унитарным
в. совпадающим со своим обратным
г. нелинейным
15. Коммутатор операторов d / dx и умножения на функцию f ( x) равен
а. оператору d / dx ,
б. оператору умножения на функцию f ( x)
умножения на функцию f ( x )
г. оператору d 2 / dx 2
в. оператору
16. Коммутатор операторов четности P̂ и умножения на функцию f ( x) равен
а. оператору P̂ ,
б. оператору f ( x ) Pˆ в. оператору f ( x) Pˆ
г. оператору [ f ( x)  f ( x)]Pˆ
17. Спектр собственных значений оператора является дискретным. Это значит, что
а. оператор имеет бесконечное количество собственных значений
б. оператор имеет конечное
число собственных значений
в. собственные значения можно пересчитать
г.
собственным значением является любое число из некоторого интервала значений.
18. Спектр собственных значений оператора является непрерывным. Это значит, что
а. оператор не имеет собственных значений
б. оператор имеет конечное число собственных
значений
в. собственные значения можно пересчитать
г. собственным значением является
любое число из некоторого интервала значений.
1 2 3


19. Оператор задан матрицей  2 3 4  .
3 4 5


Чему равна сумма всех собственных значений этого оператора
а. 1
б. 3 в. 5
г. 9
20. Произведение операторов d / dx и d 2 / dx 2 на произвольную функцию f ( x) действует так:
а. d 2 f ( x) / dx 2 + df ( x) / dx
б. d 2 f ( x) / dx 2 - df ( x) / dx
в. d 3 f ( x) / dx3
г. d 4 f ( x) / dx 4
21. Сумма операторов d / dx и d 2 / dx 2 на произвольную функцию f ( x) действует так:
4
а. d 2 f ( x) / dx 2 + df ( x) / dx


22.
б. d 2 f ( x) / dx 2 - df ( x) / dx
в. d 3 f ( x) / dx3
г. d 4 f ( x) / dx 4
f ( x) ( x 2  4)dx равен (  (...) -  -функция)

а. 4  f (2)  f (2) 
 
ˆˆ
23. AB

 
в.
1
 f (2)  f (2) 
4
г.
1
 f (2)  f (2) 
4

а. Aˆ  Bˆ 
ˆˆ
24. AB
б. 4  f (2)  f (2) 
1
б. Aˆ   Bˆ 
в. Aˆ   Bˆ 
г. B̂  Aˆ 
б. Aˆ 1  Bˆ 1
в. Aˆ 1  Bˆ 1
г. B̂ 1 Aˆ 1
1
 ( x)
a
в. | a |  ( x)
г.

а. Aˆ 1 Bˆ 1
25.  (ax) 
а. a ( x )
 
26. Â
а. Â
б.

1
 ( x) (где  (...) -  -функция)
|a|

б. Â
в. Â
2
г. Â1
27. Привести матрицу оператора к диагональному виду значит:
а. заменить элементы, находящиеся не на главной диагонали, нулями
б. заменить элементы,
находящиеся на главной диагонали, нулями
в. выбрать другой базис, в котором матрица
оператора равна единичной
г. выбрать другой базис, в котором ненулевые элементы
находятся в матрице оператора на главной диагонали
28. Если в качестве базиса в линейном пространстве выбрать собственные функции некоторого
эрмитового оператора, то его матрица
а. равна единичной
б. кратна единичной
в. диагональна
г. нулевая
29. Пусть f1 ( x) и f 2 ( x) - собственные функции некоторого оператора, отвечающие собственным
значениям a1 и a2 . Функция C1 f1 ( x)  C2 f 2 ( x) ( C1 и C2 - произвольные числа):
а. будет собственной функцией того же оператора
б. будет собственной функцией того же
оператора только в том случае, когда a1  a2
в. никогда не будет собственной функцией того
же оператора
г. об этих свойствах такой функции ничего сказать нельзя
30. В некотором линейном пространстве выбран ортонормированный базис f i . Какой формулой
определяются матричные элементы матрицы некоторого линейного оператора, действующего в
этом пространстве?
ˆ )
ˆ f )
а. akn  ( f k , Af
б. akn  ( f k , Aˆ  f n )*
в. akn  ( Af
г. akn  ( Aˆ  f k , f n )*
n
k, n
5
Ответы. Математические основы квантовой механики
Номер задачи
Ответ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Б.
В.
Б.
А.
Г.
В.
А.
Б.
9.
10.
11.
Г.
В.
Б.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
А.
А.
А.
В.
Г.
В.
Г.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Г.
В.
А.
В.
Г.
Г.
Г.
А.
Г.
В.
29.
30.
А.
А.
6
Общие свойства собственных функций и собственных значений операторов
физических величин
31. Квантовомеханическая система находится в состоянии с нормированной волновой функцией
 (x , t ) , которая может быть представлена в виде разложения по нормированным собственным
функциям оператора физической величины A , имеющего дискретный спектр собственных
значений:
( x, t )  Cn (t ) n ( x) ,

n
( n (x ) - нормированная собственная функция оператора A , отвечающая собственному значению
an ). Вероятность того, что в момент времени t величина A имеет значение an , равна
а. Cn (t )
б. Cn (t )
вероятности
в. Cn (t )
2
г. данных задачи недостаточно для вычисления искомой
32. В некоторый момент времени нормированная волновая функция системы имеет вид
1
2
 (x ) 
 A 1(x ) 
 A 3 ( x ) ,
3
3
где  A 1 (x ) и  A 3 (x ) - нормированные собственные функции оператора физической величины
A , отвечающие собственным значениям A  1 и A  3 , соответственно. Среднее значение
величины A в этот момент равно
а. 7 3
б. 2
в. 5 3
г. 4 3
33. Частица находится в квантовом состоянии, описываемом нормированной волновой функцией
(r , t ) . Какое из нижеследующих утверждений справедливо
а.  (r0 , t ) dV есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t в объеме dV в
2
окрестности точки r0
б.  (r , t0 ) dt есть вероятность обнаружить частицу в точке r в интервале времени ( t 0 , t 0  dt )
2
в.  (r0 , t ) dVdt есть вероятность обнаружить частицу в интервале времени ( t , t  dt ) в объеме dV
2
в окрестности точки r0 .
г.  (r , t0 ) dtdV есть вероятность обнаружить частицу в объеме dV в окрестности точки r в
2
интервале времени ( t 0 , t 0  dt )
34. Известны нормированные собственные значения оператора некоторой физической величины
A и отвечающие им собственные функции: a1  f1 ( x) , a2  f12 ( x) и f 22 ( x) (две линейно
независимых функции), a3  f3 ( x) . Задано разложение нормированной волновой функции
квантовой системы  ( x) по собственным функциям ( x)  C1 f1 ( x)  C2 f 21 ( x)  C3 f 22 ( x)  C3 f 3 ( x)
(где C - некоторые числа). Измеряют физическую величину A . С какой вероятностью значение
a2 можно получить на опыте
а. w(a2 ) | C21 |2
б. w(a2 ) | C22 |2
в. w(a2 ) | C21  C22 |2
г. w(a2 ) | C21 |2  | C22 |2
35. Собственными значениями оператора четности являются
а. все четные целые числа
б. все нечетные целые числа
7
в. +1 и –1
г. 0 и 1
36. Квантовая система описывается нормированной волновой функцией  ( x, t ) . Физической
величине A отвечает квантово-механический оператор Â . По какой формуле – а., б., в. или г. –
можно вычислить среднее значение результатов многих измерений величины A
ˆ ( x, t )dx
а.  ( x, t ) A
*
ˆ
ˆ
| ( x, t ) |2 dx в.  
| ( x, t ) |2 Adx
б.  A
|  ( x, t ) |2
г. 
dx
Aˆ
37. Физическая величина A имеет в состоянии с волновой функцией  ( x, t ) определенное
значение, если
а.  не зависит от времени
б.  ( x, t ) совпадает с одной из собственных функций оператора этой физической величины Â ,
в.  ( x, t ) является собственной функцией оператора Гамильтона системы
г.  не зависит от координат
38. Оператор некоторой физической величины имеет непрерывный спектр собственных значений.
Интеграл от квадрата модуля собственной функции
а. сходится
б. расходится
в. для некоторых состояний сходится, для некоторых
расходится
г. зависит от оператора
39. Оператор некоторой физической величины имеет дискретный спектр собственных значений.
Интеграл от квадрата модуля собственной функции
а. сходится
б. расходится
в. для некоторых состояний сходится, для некоторых
расходится
г. зависит от оператора
40. Какой формулой выражается нормировка собственных функций f a ( x) оператора физической
величины, имеющего непрерывный спектр собственных значений
а.  | f a ( x) |2 dx 1
в.
f
*
a
б.
f
*
a
( x) f a ' ( x)dx  (a  a ') (где  (a  a ') - дельта-функция),
( x) f a ( x ')da  ( x  x ') (где  ( x  x ') - дельта-функция),
г.  | f a ( x) |2 da 1
41. Какой формулой выражается условие полноты системы собственных функций f a ( x) оператора
физической величины, имеющего непрерывный спектр собственных значений
а.  | f a ( x) |2 dx 1
в.
f
*
a
б.
f
*
a
( x) f a ' ( x)dx  (a  a ') (где  (a  a ') - дельта-функция),
( x) f a ( x ')da  ( x  x ') (где  ( x  x ') - дельта-функция),
г.  | f a ( x) |2 da 1
42. Собственные значения и отвечающие им нормированные собственные функции оператора
некоторой физической величины A равны:
a1  1
f1 ( x)  B sin( x / a)
a2  2
f2 ( x)  B sin(2 x / a)
a3  3
f3 ( x)  B sin(3x / a)
…………………………………
(где a и B - некоторые числа, одинаковые для всех функций).
Волновая функция частицы в некоторый момент времени равна  ( x)  C sin(2 x / a) cos(5 x / a) .
Какие значения величины A можно обнаружить при измерениях в этот момент времени?
а. 1 и 2
б. любое целое положительное число
в. 2 и 5
г. 3 и 7
43. Собственные значения и отвечающие им нормированные собственные функции оператора
некоторой физической величины A равны:
a1  1
f1 ( x)  B sin( x / a)
8
a2  2
f2 ( x)  B sin(2 x / a)
a3  3
f3 ( x)  B sin(3x / a)
…………………………………
(где a и B - некоторые числа, одинаковые для всех функций).
Волновая функция частицы в некоторый момент времени равна  ( x)  C sin(2 x / a) cos(5 x / a) .
Среднее значение величины A в этот момент времени равно
а. 5
б. 6
в. 7
г. 8
44. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектр собственных значений a и
собственных функций f a ( x) . Какая из нижеперечисленных формул выражает собой разложение
волновой функции частицы  ( x, t ) по собственным функциям?
б.  ( x, t )   C ( x ', t ) f a ( x ')dx '
а.  ( x, t )   C (a, t ) f a ( x) da
в. f a ( x)   C ( x, t )  ( x, t )dt
г. f a (t )   C ( x) ( x, t )dx
45. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектр собственных значений a и
собственных функций f a ( x) ( f a ( x) нормированы на  -функцию от a ). Разложение волновой
функции частицы  ( x, t ) по собственным функциям имеет вид  ( x, t )   C (a, t ) f a ( x) da , где C ( a )
- коэффициенты разложения. Вероятность того, что при измерении физической величины A будет
получено некоторое значение a0 равна
а. | C ( a ) |
б. | C (a) |2
в. нулю
г.  | f a ( x) |2 dx
46. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектр собственных значений a и
собственных функций f a ( x) ( f a ( x) нормированы на  -функцию от a ). Разложение волновой
функции частицы  ( x, t ) по собственным функциям имеет вид  ( x, t )   C (a, t ) f a ( x) da , где C ( a )
- коэффициенты разложения. Вероятность того, что при измерении физической величины A будет
получено некоторое значение из малого интервала da вблизи значения a0 равна
а. | C (a0 ) | da б. | C (a0 ) |2 da в. нулю, так как интервал мал
г.  | f a0 ( x) |2 dx
47. Разложение волновой функции квантовой системы  ( x) по ортонормированным собственным
функциям оператора некоторой физической величины  n ( x) имеет вид
1
1
6
1
1 ( x)   2 ( x)  i
 3 ( x) 
 4 ( x)
15
15
3
5
Эта функция
а. ненормирована
б) нормирована на 1
нормирована на 2
 ( x) 
в) нормирована на –1
г)
48. Физическая величина A в некоторой квантовой системе может принимать два значения 1 и 4.
В результате проведения многократных измерений оказалось, что A  2 ( A - среднее значение
результатов этих экспериментов). Найти вероятности обнаружения возможных значений
величины A в эксперименте
а. w(1)  1/ 4, w(4)  3 / 4
г. w(1)  2 / 3, w(4)  1/ 3
б. w(1)  1/ 3, w(4)  2 / 3
в.
w(1)  3 / 4, w(4)  1/ 4
49. Физическая величина A в некоторой квантовой системе может принимать три значения 1, 4 и
5 с вероятностями w(1)  1/ 6, w(4)  1/ 3, w(5)  1/ 2 . Среднее значение результатов многих
измерений величина A равно
9
а. A  2
б. A  3
в. A  4
г. A  5
50. Волновая функция некоторой квантовой системы  ( x) является четной функцией координаты
x . Собственные значения оператора некоторой физической величины A равны an  n , а
отвечающие им собственные функции - f n ( x)  Cn x n (где индекс n может пробегать значения
n  0, 1, 2, 3, ... , Cn - некоторые постоянные). Вероятность того, что при измерениях можно
обнаружить значение a3  3 , равна
а. w(a3 )  1/ 4
б. w(a3 )  1/ 3
в. w(a3 )  1/ 2
г. w(a3 )  0
51. Волновая функция некоторой квантовой системы в некоторый момент времени совпадает с n ой собственной функцией оператора физической величина Â . При измерении физической
величины A в этот момент времени будут получены
а. n  1-ое и n 1 -ое собственные значения с одинаковыми вероятностями б. n -ое собственное
значение с единичной вероятностью
в. все собственные значения с равными вероятностями
г. информации для ответа не достаточно
10
Ответы. Общие свойства собственных функций и собственных значений
операторов физических величин
Номер задачи
Ответ
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
В.
А.
А.
Г.
В.
А.
Б.
38.
39.
40.
41.
Б.
А.
Б.
В.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
Г.
А.
А.
В.
Б.
Б.
48.
49.
50.
51.
Г.
В.
Г.
Б.
11
Координата и импульс
52. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией  ( x, t ) , которая может
быть представлена в виде интеграла
 ( x, t )   dp C ( p, t ) p ( x) ,
где  p ( x) - нормированная на  -функцию от импульса собственная функция оператора импульса.
Вероятность того, что в момент времени t импульс частицы лежит в интервале p0  p0  dp , где
dp - некоторое малое число, равна
а.  p0 ( x) dp
2
в.  p0 ( x) dp
б. C ( p0 , t ) dp
2
г. C ( p0 , t ) dp
53. Действие квантовомеханического оператора координаты x̂ на волновую функцию  в
координатном представлении определяется соотношением

d
а. x̂  x
б. xˆ   / x
в. xˆ  
г. x̂   dx
dx

54. Действие оператора проекции импульса pˆ x на волновую функцию  в координатном
представлении определяется соотношением


2
а. pˆ x   px 
б. pˆ x    2 2
в. pˆ x   i
г. pˆ x   i
x
 px
x
55. Коммутатор операторов координаты и проекции импульса  xˆ , pˆ x  равен
а. pˆ x
б. x̂
в. i
г. нулю
55. Собственная функция  p0 ( x) оператора импульса p x , отвечающая собственному значению p0 ,
в координатном представлении имеет вид
 p x
 p x
 p x
i

а. sin  0 
б. cos  0 
в. exp  p0 x 
г. exp  0 








56. Нормированная на  -функцию от импульса собственная функция  p0 ( x) оператора импульса
p x , отвечающая собственному значению p0 , имеет вид
i

exp  p0 x 
(2 )


i

г. (2 )3/ 2 exp  p0 x 


а.
1
3/ 2
б.
1
(2 )
1/ 2
i

exp  p0 x 


i

в. (2 )1/ 2 exp  p0 x 


57. Нормированная на  -функцию собственная функция оператора координаты, отвечающая
собственному значению a , в координатном представлении равна
а. exp(ix / a )
б.  ( x - a) ,
в. sin( x / a ) г.  (a / x)
58. Какова размерность нормированных на  -функцию собственных функций оператора
координаты
1
1
а. м
б.
в. м 2
г. 2
м
м
12
59. Какова размерность нормированных на  -функцию от импульса собственных функций
оператора импульса
с
кг
м
с
а.
б.
в.
г.
м  кг
м с
с  кг
кг  м
60. Чему равны собственные значения оператора проекции импульса на ось x ?
а. любому действительному числу,
б. любому положительному действительному числу,
в. любому целому числу, г. любому положительному целому числу
61. Чему равны собственные значения оператора координаты x̂ ?
а. любому целому числу, б. любому положительному целому числу
в.
действительному числу,
г. любому положительному действительному числу
любому
62. Какая из нижеперечисленных функций является общей собственной функцией операторов p̂ x ,
p̂ y и p̂ z (или, другими словами, собственной функцией оператора p̂ ):
а. sin ax sin by sin cz
б. такой функции не существует в. exp(iax)exp(iby)exp(icz )
г. exp(ax)exp(by)exp(cz ) (здесь a, b, c - произвольные действительные числа)
63. Какая из нижеперечисленных функций является общей собственной функцией операторов x̂ и
p̂ x :
а.  ( x  a)sin bx
б.  ( x  a)exp(ibx)
в.  ( x  a)exp(ibx)
г. такой
функции не существует (здесь a, b - произвольные действительные числа)
64. Состояние частицы описывается функцией exp(2ibx) (где b - некоторое число). Проводят
измерение проекции импульса частицы на ось x . Какое значение будет при этом получено?
а. любые числа с одинаковыми вероятностями
б.  b с единичной вероятностью
в. 2 b
г.  b и 2 b с одинаковыми вероятностями.
65. Собственная функция оператора координаты x , отвечающая собственному значению a , это:
а. exp(ix / a) ,
б.  ( x - a) ,
в. sin( x / a ) г.  (a / x)
66. В каком из нижеперечисленных состояний частица имеет определенный вектор импульса:
а. sin ax sin by sin cz
б. cos ax cos by cos cz
в. exp(iax)exp(iby)exp(icz )
г. exp(ax)exp(by)exp(cz ) ( a, b, c - некоторые числа)
67. Оператор координаты x̂ в импульсном представлении - это:
а. i

x
б. деление на импульс p x . в. умножение на импульс p x ,
г. i

p x
68. Оператор импульса pˆ x в импульсном представлении - это:
а. i

x
б. i

p x
в. умножение на импульс p x ,
13
г. деление на импульс p x .
69. Состояние частицы описывается волновой функцией exp(ipx)  2exp(2ipx) , где p некоторое действительное число. При измерении импульса частицы:
a. с единичной вероятностью будет обнаружено значение p б. с единичной вероятностью будет
обнаружено значение p ?
в. с вероятностью 1/5 будет обнаружено значение p , с
вероятностью 4/5 - значение 2 p
г. с вероятностью 1/5 будет обнаружено значение p , с
вероятностью 4/5 - значение 2 p
70. Состояние частицы описывается волновой функцией c ( x  a)  d ( x  b) , где a , b , c и d
- некоторые действительные числа. При измерении координаты частицы:
a. с вероятностью c
значение b
2
будет обнаружено значение a , с вероятностью d
2
2
вероятностью d /(c  d ) будет обнаружено значение b ?
2
будет обнаружено
c /(c  d ) будет обнаружено значение a , с
2
б. с вероятностью
2
2
2
в. с вероятностью a
2
будет
2
обнаружено значение c , с вероятностью b будет обнаружено значение d
г. с вероятностью a /( a  b ) будет обнаружено значение c , с вероятностью b /( a  b )
2
2
2
2
2
2
будет обнаружено значение d
 ( x, y, z )  a ( x  b)exp(icy)sin(dz ) ,
где a , b , c , d - некоторые действительные числа. Какие из величин x , y , z , p x , p y , p z
71. Состояние частицы описывается волновой функцией
имеют в этом состоянии определенные значения?
a. y и p x
б. x и p y
в. z и p z
г. никакие
72. Состояние частицы описывается волновой функцией  ( x, t ) . По какой из нижеперечисленных
формул можно найти волновую функцию этого состояния в импульсном представлении C ( p, t ) :
1
 px 
 ( x, t ) exp  i
а. C ( p, t )   ( p, t ) б. C ( p, t ) 
 dx

2


1
1
 px 
 px 
 ( x, t ) sin   dx
 ( x, t ) cos   dx
в. C ( p, t ) 
г. C ( p, t ) 


2
2
 
 
73. Волновая функция в импульсном представлении некоторого состояния частицы определяет
вероятности:
а. различных значений координат частицы
б. различных значений координат и
импульсов частицы
в. различных значений энергии частицы
г.
различных
значений импульса частицы
74. Дана волновая функция в импульсном представлении C ( p, t ) некоторого состояния частицы.
По какой из нижеперечисленных формул можно найти волновую функцию этого состояния в
координатном представлении  ( x, t ) :
1
 px 
C ( p, t ) cos   dp
а.  ( x, t )  C ( x, t )
б.  ( x, t ) 

2
 
1
1
 px 
 px 
C ( p, t ) exp  i
C ( p, t ) sin   dp
в.  ( x, t ) 
г.  ( x, t ) 
 dp


2
2


 
14
75. Собственные функции f a ( p) оператора координаты, отвечающие собственному значению a , в
импульсном представлении равны:
 pa 
 pa 
а. f a ( p )  exp  i
б. f a ( p)    p  a 
в. f a ( p)  cos 

 г. f a ( p)    pa 




76. Собственные функции f p1 ( p) оператора импульса в импульсном представлении, отвечающие
собственному значению p1 , равны:
 ( p  p1 ) 
а. f p1 ( p )  exp  i
 б. f p1 ( p)    p  p1 


f p1 ( p)    p / p1 
 ( p  p1 ) 
в. f p1 ( p)  cos 



г.
77. В каком из нижеперечисленных состояний импульс частицы имеет определенное значение
 px 
 px 
 ipx 
 px 
а. sin  
б. cos  
в. exp  
г. exp   (здесь p - некоторое
 
 
 


действительное число)
78. В каком из нижеперечисленных состояний координата частицы имеет определенное значение
 ( x  a) 
 x
а.  ( x  a)
б. cos 
в. exp i 
г.  ( x 2  a 2 ) (здесь a 
 a 
 a
некоторое действительное число)
79. Частица находится в состоянии, в котором ее координата x имеет определенное значение a .
Проводят измерение проекции импульса частицы на ось x . Какие значения будут получены
а. любые числа с одинаковыми вероятностями
б.
положительные
значения
с
одинаковыми вероятностями
в.
отрицательные
значения
с
одинаковыми
вероятностями
г. / a с единичной вероятностью.
80. В каком из нижеперечисленных состояний радиус-вектор частицы будет определенным:
а. sin ax sin by sin cz
б. такого состояния не существует
в.  ( x  a) ( y  b) ( z  c)
г.
 ( x 2  a 2 ) ( y 2  b 2 ) ( z 2  c 2 ) (здесь a, b, c - произвольные действительные числа)
81. Частица находится в состоянии, в котором ее импульс имеет определенное значение p0 .
Проводят измерение координаты частицы. Какие значения при этом получат и с какими
вероятностями?
а. любые действительные значения с одинаковыми вероятностями
б. значение / p0 с единич/ p0 и
ной вероятностью
в. значение  / p0 с единичной вероятностью г. значения
 / p0 с одинаковыми вероятностями
15
Ответы. Координата и импульс
Номер задачи
Ответ
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Г.
А.
В.
В.
Б.
Б.
Б.
А.
А.
61.
62.
63.
В.
В.
Г.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
В.
Б.
В.
Г.
В.
Г.
Б.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
Б.
Б.
Г.
В.
А.
Б.
В.
А.
А.
В.
81.
А.
16
Зависимость физических величин от времени. Уравнение Шредингера
82. Частица находится во внешнем поле U (r ) . Каким из приведенных уравнений определяется
оператор Гамильтона частицы H :
2
i
а. Hˆ   
б. Hˆ  

m
2m
г. Hˆ  
в. Hˆ  U (r )
2
2m
  U (r )
83. Частица находится во внешнем поле U(r , t ) . Какое из нижеследующих уравнений является
временным уравнением Шредингера для волновой функции этой частицы:
2
2



 
 U ( r , t )
а. i
б. i
в. i


 
  U ( r , t ) 
t
t
2m
t  2m

г. Hˆ   U (r , t ) 
84. Физическая величина является интегралом движения, если оператор этой величины
а. не зависит от времени
б. не зависит от времени и коммутирует с оператором
импульса,
в. не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона,
г. не зависит от времени и коммутирует с оператором координаты
85. Если оператор некоторой физической величины не зависит от времени и коммутирует с
оператором Гамильтона, то
а. среднее значение этой величины в любом состоянии не зависит от времени,
б.
эта
величина имеет определенное значение, в. эта величина есть энергия системы
г. не зависит
от времени ее среднее значение только в стационарных состояниях
86. Собственные функции  n и собственные значения En независящего от времени гамильтониана
некоторой квантовой системы известны. Какой из нижеследующих формул описывается общее
решение временного уравнения Шредингера.
Ent 


n
 E t
в.  ( x, t )   Cn  n ( x)exp   n 


n
а.  ( x, t ) 

 Ent 


n
E t
г.  ( x, t )   Cn  n ( x)exp  n 


n
 Cn  n ( x)exp  i
б.  ( x, t ) 
 Cn  n ( x)exp  i
87. Собственные функции  n и собственные значения En не зависящего от времени гамильтониана
некоторой квантовой системы известны. Какие из нижеперечисленных функций являются
волновыми функциями стационарных состояний системы.


Ent 
б.    n ( x )


 E t
г.    Cn  n ( x)exp  i n 


n
а.    n ( x)exp  i


в.   exp  i
Ent 


88. Физическая величина A является интегралом движения. Что остается неизменным:
а результат каждого измерения величины A ,
б. оператор этой физической величины, в.
среднее значение результатов многих измерений,
г волновая функция квантовой системы
17
89. Частица находится во внешнем поле U(r , t ) . Какое из нижеследующих уравнений является
стационарным уравнением Шредингера для энергий и волновых функций стационарных
состояний этой частицы:
2
2



 ˆ
 
 H
а. i
б.  
в. i
 
  U ( r , t ) 
  U ( r , t )   E 
t
t  2m

 2m

г. Hˆ   U (r , t ) 
90. Какое из нижеперечисленных уравнений является уравнением на собственные значения и
собственные функции некоторого оператора
а. временное уравнение Шредингера
б. стационарное уравнение Шредингера в.
закон
сохранения вероятности
г. принцип суперпозиции
91. Закон сохранения вероятности есть следствие того, что
а. волновая функция не зависит от времени
б. оператор координаты не зависит от времени
в. нормировка волновой функции не зависит от времени
г. оператор Гамильтона не зависит
от времени
92. Закон сохранения вероятности говорит о том, что
а. волновая функция не зависит от времени
б. увеличение вероятности обнаружить частицу в
одной области пространства сопровождается уменьшением вероятности обнаружить ее в другом
в. оператор вероятности коммутирует с оператором Гамильтона
г. вероятность обнаружить
частицу в разных точках пространства не зависит от времени
93. Какая формула есть математическое выражение закона сохранения вероятности
2
2



 
2
(r , t )  di vJ(r , t )  0
а. i
б.
в. i


 
  U ( r , t ) 
t
t
2m
t  2m

г. Ĥ   E 
94. Частица движется в потенциале U ( x) , который является четной функцией координаты.
Волновая функция частицы в начальный момент времени  ( x, t  0) является нечетной функцией
координат. Волновая функция частицы в последующем будет:
а. нечетной функцией
в. четной функцией
в. обладать неопределенной четностью
г. четность зависит от конкретного вида потенциала
95. Потенциальная энергия частицы не зависит от времени. Волновая функция частицы в
начальный момент времени  ( x, t  0) совпадает с одной из собственных функций оператора
Гамильтона частицы. Как зависит от времени среднее значение координаты частицы:
а. растет
в. убывает
в. не зависит от времени
г. зависит от конкретного вида
потенциала
96. Потенциальная энергия частицы не зависит от времени. Известно, что частица находится в
состоянии с определенной энергией. Как зависит от времени среднее значение координаты
частицы:
а. растет
в. убывает
в. не зависит от времени
г. зависит от конкретного вида
потенциала
97. Энергия квантовой системы является интегралом движения, если
а. если оператор Гамильтона коммутирует с оператором импульса
б. если оператор Гамильтона
коммутирует с оператором координаты в. если оператор Гамильтона коммутирует сам с собой
а. если оператор Гамильтона не зависит от времени
18
98. Для однозначного нахождения решения временного уравнения Шредингера нужно:
а. задать волновую функцию во всех точках в начальный момент времени б. задать волновую
функцию и ее первую производную во всех точках в начальный момент времени в.
задать
волновую функцию, ее первую и вторую производные во всех точках в начальный момент
времени
г. задать волновую функцию, ее первую, вторую и третью производные во всех точках в
начальный момент времени
99. Состояние частицы описывается волновой функцией  (r , t ) . Какой формулой определяется
плотность потока вероятности (с точностью до множителя)
а. J (r , t )  (r , t ) * (r , t )   * (r , t ) (r , t )
б. J (r , t )  (r , t ) * (r , t )   * (r , t )  (r , t )
в. J (r , t )
 (r , t )* (r , t )   * (r , t ) (r , t )
г. J (r , t )
 (r , t ) * (r , t )   * (r , t ) (r , t )
100. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Как зависят от времени вероятности
различных значений энергии системы?
а. растут
б. убывают
в. не зависят от времени
г. зависит от состояния
101. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Как зависит от времени среднее
значение координаты в некотором состоянии?
а. растет
б. убывает
в. не зависит от времени
г. зависит от состояния
102. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Частица находится в таком
состоянии, в котором среднее значение любой физической величины не зависит от времени.
Измеряют энергию частицы. Что будет обнаружено в результате измерений
а. любое число из некоторого интервала значений
б.
все
собственные
значение
гамильтониана с равными вероятностями в. некоторое собственное значение с единичной
вероятностью
г. информации для ответа не достаточно.
103. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Частица находится в стационарном
состоянии. Как зависят от времени вероятности возможных значений некоторой физической
величины, оператор которой не коммутирует с оператором Гамильтона
а. не зависят от времени
б. растут
в. убывают
г. зависит от оператора этой
физической величины
19
Ответы. Зависимость физических величин от времени
Номер задачи
Ответ
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
Г.
А.
В.
А.
А.
А.
В.
Г.
Б.
91.
92.
93.
В.
Б.
Б.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
А.
В.
В.
Г.
А.
А.
В.
101.
102.
103.
Г.
В.
А.
20
Глава 2. Одномерное движение
Общие свойства одномерного движения
U ( x)
104. Потенциальная энергия стремится к  при
x   (то есть представляет собой некоторую
бесконечно глубокую потенциальную яму). Все
уровни энергии частицы в такой яме:
а не вырождены,
б двукратно вырождены
в часть уровней не вырождена, часть
двукратно вырождена
г. зависит от
конкретного вида потенциала
x
105. Частица движется в некотором потенциале U ( x) . Какое из нижеперечисленных уравнений
является стационарным уравнением Шредингера для этой частицы
2
2



( x, t ) 
d2
d2
а. i
б.
 

U
(
x
)

(
x
,
t
)

 U ( x)  f n ( x)  En f n ( x)


2
2
t
 2m dx

 2m dx

в.
 |  ( x, t ) |2
 divJ ( x, t )  0
t
г. i
d
f p ( x)  pf p ( x)
dx
106. Потенциальная энергия обращается в нуль при
x   . Какова кратность вырождения собственных
значений гамильтониана, относящихся к непрерывному
спектру?
а не вырождены,
б двукратно вырождены
в часть собственных значений не вырождена,
часть двукратно вырождена
г. зависит от
конкретного вида потенциала
U ( x)
x
107. Потенциальная энергия частицы – четная функция координаты. Волновая функция третьего
возбужденного стационарного состояния дискретного спектра (четвертого по счету состояния в
порядке возрастания энергии) является
а. четной
б. нечетной
в. обладает неопределенной четностью г.
четность
зависит от конкретного вида потенциала
108. Частица движется в некотором потенциале U ( x) , который обращается в нуль при x   .
Волновая функция третьего возбужденного состояния дискретного спектра (четвертого по счету
состояния в порядке возрастания энергии) имеет:
а. один узел
б. два узла
в. три узла
г. четыре узла
109. Потенциальная энергия частицы U ( x)  U 0ch( x / a) , где ch(...) - гиперболический косинус,
U 0 и a - некоторые числа. Волновая функция четвертого возбужденного состояния дискретного
спектра :
а. четная
б. нечетная
в. неопределенной четности
г. затрудняюсь ответить
21
110. Дан график зависимости потенциальной энергии от
координаты x . Указать области, в которых могут
существовать стационарные состояния дискретного
спектра
а. E  U 0
б. U 0  E  U1 в. a1  x  a2
г. x  a1
и x  a2
U ( x)
U2
U1
a1
a2
x
a2
x
U0
U ( x)
111. Дан график зависимости потенциальной энергии от
координаты x . Указать области, в которых могут
существовать стационарные состояния непрерывного
спектра
а. E  U1
б. U 0  E  U1
в. a1  x  a2
г. x  a1 и x  a2
U2
U1
a1
U0
112. Частица движется в некотором одномерном потенциале U ( x) . Оператор Гамильтона частицы
– это
а. 
2
d
 U ( x)
2m dx
б. 
2
d2
 U ( x)
2m dx 2
в. умножение на функцию U ( x)
г. 
2
d2
2m dx 2
113. Частица движется в некотором потенциале U ( x) . Какие состояния являются связанными?
а. невырожденные стационарные состояния дискретного спектра
б.
невырожденные
стационарные состояния непрерывного спектра в.
двукратно
вырожденные
состояния
непрерывного спектра
г. двукратно вырожденные состояния дискретного спектра
114. Потенциальная энергия частицы U ( x) – четная функция координаты. Что можно сказать о
коммутаторе операторов Гамильтона и четности  Hˆ , Pˆ  для такой частицы?
а. равен нулю
б. не равен нулю
в. зависит от конкретного вида потенциала
г. четность потенциала и коммутатор операторов Ĥ и P̂ никак не связаны друг с другом
115. Потенциальная энергия частицы U ( x) – четная функция координаты. Что можно сказать о
волновых функциях стационарных состояний дискретного спектра.
а. все четные
б. все нечетные
в. не обладают определенной четностью
г. четность чередуется (четная-нечетная-четная и т.д.)
116. Потенциальная энергия частицы U ( x) – нечетная функция координаты. Что можно сказать о
волновых функциях стационарных состояний дискретного спектра.
а. все четные
б. все нечетные
в. не обладают определенной четностью
г. четность чередуется (четная-нечетная-четная и т.д.)
117. Потенциальная энергия частицы U ( x) – четная функция координаты. Что можно сказать о
волновых функциях стационарных состояний непрерывного спектра.
а. все четные
б. все нечетные
в. можно выбрать так, чтобы одна была четная, вторая
нечетная
г. четность чередуется (четная-нечетная-четная и т.д.)
22
U ( x)
118. Дан график зависимости потенциальной энергии от
координаты x (см. рисунок). При каких энергиях заведомо
не существует стационарных состояний?
а. E  U 0
б. U 0  E  U1
в. E  U 2
г. U1  E  U 2
U2
U1
a1
a2
x
U0
U ( x)
119. Частица движется в некотором потенциале U ( x) .
Известно, что U ( x)   при x   . Существуют ли
среди стационарных состояний частицы состояния,
относящиеся к непрерывному спектру?
а. да
б. нет
в. в некоторых случаях да, в
некоторых случаях нет
г. зависит от потенциала
x
U ( x)
120. Частица движется в некотором потенциале U ( x) .
Известно, что U ( x)   при x   , и U ( x)   при
x   . Существуют ли среди стационарных состояний
частицы состояния, относящиеся к дискретному спектру?
а. да
б. нет
в. в некоторых случаях да, в
некоторых случаях нет
г. зависит от потенциала
x
U ( x)
121. Частица движется в некотором потенциале U ( x) .
Известно, что U ( x)   при x   , и U ( x)   при
x   . Существуют ли среди стационарных состояний
частицы двукратно вырожденные состояния?
а. да
б. нет
в. в некоторых случаях да, в
некоторых случаях нет
г. зависит от потенциала
x
U ( x)
122. Частица движется в потенциале U ( x) , который
стремится к некоторым постоянным при x   . Как
ведут себя волновые функции двукратно вырожденных
стационарных состояний при x   ?
а. растут
б. затухают
в. осциллируют
г. на одной бесконечности затухают, на другой
осциллируют
U2
U1
a1
a2
x
a2
x
U0
U ( x)
123. Частица движется в потенциале U ( x) , который
стремится к некоторым постоянным при x   . Как
ведут себя волновые функции однократно вырожденных
состояний непрерывного спектра при x   ?
а. растут
б. затухают
в. осциллируют
г. на одной бесконечности затухают, на другой
осциллируют
23
U2
U1
a1
U0
124. Как ведет себя при x   волновые функции связанных состояний частицы в некотором
потенциале?
а. растут
б. затухают
в. осциллируют
г.
на
одной
бесконечности
затухают, на другой осциллируют
24
Ответы. Общие свойства одномерного движения
Номер задачи
Ответ
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
113.
114.
115.
.
.
.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
.
.
.
.
.
.
.
123.
124.
.
.
25
Гармонический осциллятор
1. Какой формулой определяются энергии собственных состояний одномерного гармонического
осциллятора с массой m и частотой  .
а.  (n 2  1/ 2)
б.  (n  1/ 2)
в. n
г.  n2
( n  0,1, 2,3, )
2. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана гармонического
осциллятора массой m и частотой  ( x - безразмерная координата осциллятора)?
а. APn ( x) exp  x 2 / 2 ( Pn - полиномы Лежандра)
б.
( Ln
ALn ( x) exp  x 2 / 2





в. APn ( x) exp  x 2 / 2 ( Pn
m
полиномы Лагерра)


m

- присоединенные полиномы Лежандра)
г. AH n ( x) exp  x 2 / 2 ( H n - полиномы Эрмита), ( n  0,1, 2,3,
, A - постоянная).
3. Чему равен коэффициент перед x 99 в сотом полиноме Эрмита H100 ( x)
а. 1
б. ½
в. 0
г. –1
4. Все уровни энергии одномерного гармонического осциллятора:
а. не вырождены,
б. двукратно вырождены
в. часть уровней не вырождена,
часть двукратно вырождена
г. зависит от ситуации
5. Какая величина, составленная из параметров гармонического осциллятора с массой m и
частотой  имеет размерность длины?
m
m
m
а
б
в
г.
m


6. Какая величина, составленная из параметров гармонического осциллятора с массой m и
частотой  , имеет размерность энергии?
а. 
б /
вm 
г. m / 
7. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид
(1  2 x) exp(- x 2 / 2) ( x - безразмерная координата осциллятора). Какие значения энергии
осциллятора могут быть обнаружены при измерениях?

5 

3 
3 
3 
а.
и
б.
и
в. только
г. только
2
2
2
2
2
2
8. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени является четной
3 
функцией. Можно ли при измерениях энергии осциллятора обнаружить значение
?
2
а да
б нет
в зависит от способа измерения
г. зависит от функции
9. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет
неопределенную четность. Можно ли при измерениях энергии осциллятора обнаружить значение
3 
?
4
а да
б нет
в зависит от способа измерения
г. зависит от функции
10. Осциллятор находится в n -ом стационарном состоянии. Чему равна средняя координата
осциллятора?
26
а.
m
б. n
n
m
в.
m
г. 0
11. При измерении энергии осциллятора в момент времени t  0 были обнаружены два значения
 / 2 с вероятностью ¼ и 3  / 2 с вероятностью ¾. Найти среднюю энергию осциллятора в
момент времени t  t0 .
5
5
5
10



а. E 
б. E 
в. E  
г. E 
2
4
3
7
12. При измерении энергии осциллятора в момент времени t  0 были обнаружены два значения
 / 2 с вероятностью ¼ и 3  / 2 с вероятностью ¾. Найти среднюю четность осциллятора в
момент времени t  t0 .
1
1
1
1
а. P  
б. P   t0
в. P  
г. P  t0
2
2
2
2
13. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид
(1  10 x 2 ) exp(- x 2 / 2) ( x - безразмерная координата осциллятора). Какие значения энергии
осциллятора могут быть обнаружены при измерениях?
 3  5 
5 

5 
3 
3 
а
,
и
б
и
в только
г.
и
2
2
2
2
2
2
2
2
14. Какой формулой определяется условие ортогональности полиномов Эрмита

а.
 H n ( x)H m ( x)dx


г.
 nm
 H n ( x) H m ( x)sin x dx

б.
 H n ( x) H m ( x) x dx
2

 nm

в.
 H n ( x ) H m ( x )e
 x2
dx  nm

 nm

15. Осциллятор находится в 2007 стационарном состоянии (основное состояние – 0-ое). Чему
равна вероятность обнаружить осциллятор в малом интервале dx вблизи точки x  0
1
1
dx
dx
а. dw 
б. dw 
в. dw  2007 dx
г. 0
2007
2007 2
16. При многократных измерениях энергии осциллятора обнаружены нулевое и второе
1
3
собственные значения с вероятностями w0  и w2  . Найти среднюю энергию осциллятора в
4
4
момент времени t  1 с.
а. E  2 
б. E  3  в. E  4  г. E  5 
17. Волновая функция осциллятора в момент времени t  0 имеет вид  ( x, t  0)  A exp(- x 2 / 2) ,
где A - нормировочная постоянная. Будет ли зависеть от времени средний импульс осциллятора в
этом состоянии?
а. будет
б. не будет в. зависит от ситуации
г. затрудняюсь ответить
18.
Волновая
функция
осциллятора
в
момент
времени
имеет
вид
t 0
2
 ( x, t  0)  A(1  x) exp(- x / 2) , где A - нормировочная постоянная. Будет ли зависеть от времени
средний импульс осциллятора в этом состоянии?
а. будет
б. не будет в. зависит от ситуации
г. затрудняюсь ответить
27
19.
Волновая
функция
осциллятора
в
момент
времени
имеет
вид
t 0
2
 ( x, t  0)  A(1  x) exp(- x / 2) , где A - нормировочная постоянная. Будет ли зависеть от времени
средняя энергия осциллятора в этом состоянии?
а. будет
б. не будет в. зависит от ситуации
г. затрудняюсь ответить
20. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия имеет определенное значение. Будет
ли координата осциллятора иметь в этом состоянии определенное значение?
а. будет
б. не будет в. зависит от ситуации
г. затрудняюсь ответить
21. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия имеет определенное значение. Будет
ли импульс осциллятора иметь в этом состоянии определенное значение?
а. будет
б. не будет в. зависит от ситуации
г. затрудняюсь ответить
22. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия имеет определенное значение. Будет
ли четность осциллятора иметь в этом состоянии определенное значение?
а. будет
б. не будет в. зависит от ситуации
г. затрудняюсь ответить

23. Интеграл

f n ( x) xˆ f m ( x)dx , где f n ( x) и f m ( x) собственные функции осциллятора, x̂ -

оператор координаты, с точностью до безразмерного множителя равен
m
m
а.  nm
б.  n,m1   n,m1 
в.  nm
г.  n,m1   n,m1 
m
m

24. Интеграл

f n ( x) pˆ x f m ( x)dx , где f n ( x) и f m ( x) собственные функции осциллятора, pˆ x -

оператор импульса, с точностью до безразмерного множителя равен
а.  nm
m
б.  n,m1   n,m1 
m
в.
 nm
m
г.
 n,m1   n,m1 
m
25. Какой формулой – а, б, в, или г - может описываться волновая функция осциллятора с частотой
 ( A - постоянная)?
а.  ( x, t )  A exp(- x 2 / 2) exp(2i t )
б.  ( x, t )  A exp(- x 2 / 2) exp(i t )
в.  ( x, t )  Ax exp(- x 2 / 2) exp(2i t )
г.  ( x, t )  Ax 2 exp(- x 2 / 2) exp(2i t )
26. Какой формулой – а, б, в, или г – может описываться волновая функция осциллятора с
частотой  ( A и B - постоянные)?
а. ( x, t )   A exp(2it )  Bx exp(it )  exp(- x 2 / 2)
б. ( x, t )   A exp(it )  Bx exp(2it )  exp(- x 2 / 2)
в. ( x, t )   A exp(2it )  Bx exp(it )  exp(- x 2 / 2)
г. ( x, t )   A exp(it )  Bx exp(2it )  exp(- x 2 / 2)
27. Осциллятор находится в стационарном состоянии. При измерении энергии осциллятора будут
получены:
а. единственное значение с единичной вероятностью б.
два
значения
с
одинаковыми
вероятностями
в. три значения с одинаковыми вероятностями г. значения  (n  1/ 2) , где
n  0, 1, 2,... с одинаковыми вероятностями.
28
Ответы. Гармонический осциллятор
Номер задачи
Ответ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Б.
Г.
В.
А.
Б.
А.
А.
Б.
Б.
10.
11.
12.
Г.
Б.
А.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Г.
В.
Г.
А.
Б.
А.
Б.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Б.
Б.
А.
Г.
Б.
В.
Б.
А.
29
Бесконечно глубокая одномерная потенциальная яма
1. Какой формулой определяются энергии стационарных состояний частицы массой m в
бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a ?
 2 2n
 2 2 (n  1/ 2)
 2 2n2
 2 2 (n 2  1/ 2)
а.
б.
в.
г.
( n  1, 2,3, )
2ma 2
2ma 2
2ma 2
2ma 2
2. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана частицы массой m в
бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a ?
 nx
 nx
  nx 
  nx 
а. A sin
б. A cos
в. A exp  i
г. A exp  i

 ( n  1, 2,3, , A - постоянная).
a
a
a 
 a 

3. Волновая функция частицы массой m в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый
момент времени имеет вид sin( x / a) cos( 2x / a) , где a - ширина ямы. Какие значения энергии
частицы могут быть обнаружены при измерениях и с какими вероятностями?
4 2 2
2 2
9 2 2
а. определенное значение
б.
и
с вероятностями 1/2
2ma 2
2ma 2
2ma 2
9 2 2 16 2 2
9 2 2
в.
и
с
вероятностями
1/2
г.
определенное
значение
2ma 2
2ma 2
2ma 2
4. Волновая функция частицы массой m в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый
момент времени имеет вид Ax( x  a ) , где a - ширина ямы. Измеряют энергию частицы. Можно ли
7 2 2
?
2ma 2
в. зависит от способа измерения
обнаружить при этом значение
а. да
б. нет
г. затрудняюсь ответить
5. Волновая функция частицы массой m в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый
момент времени имеет вид Ax( x  a ) , где a - ширина ямы. Измеряют энергию частицы. Можно ли
4 2 2
?
2ma 2
в. зависит от способа измерения
обнаружить при этом значение
а. да
б. нет
г. затрудняюсь ответить
6. Волновая функция частицы массой m в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый
момент времени имеет вид Ax( x  a ) , где a - ширина ямы, A - постоянная. Измеряют энергию
9 2 2
?
2ma 2
в. зависит от способа измерения
частицы. Можно ли обнаружить при этом значение
а. да
б. нет
г. затрудняюсь ответить
7. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый момент
2 x 
 x 1
 sin
времени имеет вид A  sin
 , где a - ширина ямы, A - постоянная. Чему равна
a 2
a 

средняя энергия частицы в этом состоянии?
2 2
2 2 2
3 2 2
4 2 2
E

E

E

а. E 
б.
в.
г.
5ma 2
5ma 2
5ma 2
5ma 2
8. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый момент
2 x 
 x 1
 sin
времени имеет вид A  sin
 , где a - ширина ямы, A - постоянная. Вероятности
a 3
a 

различных значений энергии в этом состоянии равны (остальные равны нулю):
30
3
1
а. w  E1   , w  E2  
4
4
9
1
г. w  E1   , w  E2  
10
10
5
1
б. w  E1   , w  E2  
6
6
7
1
в. w  E1   , w  E2  
8
8
9. Все уровни энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме:
а. не вырождены,
б. двукратно вырождены
в. часть уровней не вырождена,
часть двукратно вырождена
г. трехкратно вырождены
10. Волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной
3 x
7 x
cos
. Средняя энергия частицы равна?
a имеет вид A sin
a
a
27 2 2
28 2 2
29 2 2
30 2 2
а.
б.
в.
г.
ma 2
ma 2
ma 2
ma 2
11. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме в таком состоянии, в котором ее
энергия имеет определенное значение. Как средняя координата частицы зависит от времени в этом
состоянии?
а. убывает
б. возрастает
в. не меняется
г. зависит от состояния
12. Частица находится в бесконечно глубокой яме в таком состоянии, в котором ее энергия может
принимать два значения. Будет ли средний импульс в этом состоянии зависеть от времени
а. да
б. нет
в.
зависит от значений энергии
г. средний импульс нельзя
определить.
13. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме в таком состоянии, в котором ее
4 2 2
энергия имеет определенное значение
( m - масса частицы, a - ширина ямы). Какой из
2ma 2
нижеприведенных формул определяется волновая функция частицы (с точностью до множителя):
2
 2 t 
 4 2 t 
 2 x 
  x   4 t 
 2 x 
а. sin 
б.
в.
exp

i
exp
i
sin
sin
exp

 i


 


2 
2 
2 
 a 
 a   2ma 
 a 
 2ma 
 2ma 
2
 2 x   4 t 
г. exp  i
sin

 
a   2ma 2 

14. Какой формулой – а, б, в или г – может описываться волновая функция частицы в бесконечно
глубокой потенциальной яме ( A - постоянная)?
 2 t 
 2 t 
 2 x 
 x 
а. ( x, t )  A sin 
б.
exp

i

(
x
,
t
)

A
sin
exp

 i

 
2 
2 
 a 
 a 
 2ma 
 2ma 
 4 2 t 
 x 
в. ( x, t )  A sin 
exp
 i

2 
 a 
 2ma 
 2 t 
 x 
г. ( x, t )  A sin 
exp
i

2 
 a 
 2ma 
15. Частица находится в некотором стационарном состоянии в бесконечно глубокой
потенциальной яме. Будет ли энергия частицы иметь определенное значение
а. да
б. нет
в. зависит от состояния
г. возможны варианты
16. Какой формулой – а, б, в или г – не может описываться волновая функция частицы в
бесконечно глубокой потенциальной яме ( A и B - постоянные)?
 4 2 t 
 9 2 t 
 2 x 
 3 x 
а. ( x, t )  A sin 
exp

i

B
sin
exp

 i



2 
2 
2
ma
a
 a 




 2ma 
31
 4 2 t 
 25 2 t 
 2 x 
 5 x 
б. ( x, t )  A sin 
 iB sin 

 exp  i
 exp  i
2 
2ma 2 
 a 
 a 
 2ma 

 4 2 t  2i
 2 t 
 2 x 
 3 x 
в. ( x, t )  A sin 
exp

i

e
B
sin
exp

 i



2 
2 
 a 
 a 
 2ma 
 2ma 
 16 2 t  3i
 2 t 
 4 x 
 x 
г. ( x, t )  A sin 
 e B sin   exp  i
 exp  i
2 
2 
 a 
 a 
 2ma 
 2ma 
17. Частица находится в n -ом стационарном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной
яме. Как среднее значение координаты частицы зависит от n ?
а. возрастает с ростом n
б. убывает с ростом n
в. не зависит от n г. сначала возрастает, потом убывает с ростом n .
18. Частица находится в 2007 стационарном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме
(основное состояние - первое). Сколько нулей во внутренней области ямы (исключая нули на
границах) имеет волновая функция частицы
а. 2005
б. 2006
в. 2007
г. 2008
19. Частица находится в 2007 стационарном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме
(основное состояние - первое). Будет ли волновая функция частицы относительно центра ямы
а. четной
б. нечетной
в. обладать неопределенной четностью
г. зависит от ширины ямы
20. Волновые функции частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме
а. непрерывны, первая производная разрывна
б. непрерывны и имеют непрерывную
первую производную
в. непрерывны и имеют непрерывную вторую производную
г. непрерывны и имеют непрерывную третью производную
21. Будут ли волновые функции стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой
обладать определенной четностью по отношению к центру ямы?
а. да
б. нет
в. зависит от состояния
г. возможны варианты
22. Частица находится в нестационарном состоянии в бесконечно глубокой яме. Будет ли энергия
частицы иметь определенное значение.
а. да
б. нет
в. зависит от состояния
г. определенность энергии и
стационарность состояние не связаны между собой
32
Ответы. Бесконечно глубокая потенциальная яма
Номер задачи
Ответ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
В.
А.
Б.
Б.
Б.
А.
Г.
Г.
А.
10.
11.
12.
В.
В.
А.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
В.
Б.
А.
В.
В.
Б.
А.
33
Непрерывный спектр. Прохождение через барьеры
1. Потенциальная энергия частицы отлична от нуля в конечной области. Волновая функция при
x   имеет вид eikx  2eikx , где k - некоторое число. Измеряют энергию частицы. Какие
значения можно получить и с какими вероятностями?
2 2
2 2
2 2
k
k
k
а. E 
с единичной вероятностью
б. E 
и E
с одинаковыми
2m
2m
2m
2 2
2 2
k
k
вероятностями
в. E 
с вероятностью 1/5 и E  
с вероятностью 4/5
2m
2m
г. информации недостаточно, чтобы ответить на этот вопрос
2. В каком из нижеперечисленных состояний свободной частицы ( U ( x)  0 ) и энергия, и импульс
частицы имеют определенные значения?
а. eikx  eikx
б. eikx  eikx
в. таких состояний не существует
г. eikx
3. В каком из нижеперечисленных состояний свободной частицы ( U ( x)  0 ) энергия частицы
имеет определенное значение, а импульс нет?
а. eikx
б. eikx  eikx
в. таких состояний не существует
г. eikx
4. В каком из нижеперечисленных состояний свободной частицы ( U ( x)  0 ) импульс частицы
имеет определенное значение, а энергия нет?
а. eikx
б. eikx  ei 2kx
в. таких состояний не существует
г. eikx
5. Потенциальная энергия частицы отлична от нуля в конечной области. Волновая функция при
x   имеет вид 2eikx , где k - некоторое число. Может ли волновая функция при x   быть
равной 5eikx  3eikx ?
а. да
б. нет
в. зависит от энергии
г. в некоторых случаях может, в
некоторых нет.
6. Потенциальная энергия частицы отлична от нуля в конечной области. Волновая функция при
x   имеет вид 4ieikx , где k - некоторое число. Может ли волновая функция при x   быть
равной 5eikx  3eikx ?
а. да
б. нет
в. зависит от энергии
г. в некоторых случаях может, в
некоторых нет.
7. Потенциальная энергия частицы равна нулю при x  0 и
 при x  0 . Какие значения энергии являются
собственными значениями гамильтониана
а. любые
б. любые положительные в.
любые
отрицательные
г. любые целые положительные
U ( x)
8. Потенциальная энергия частицы равна нулю при x  0 и 
при x  0 . Какой из нижеследующих формул определяются
собственные
функции
гамильтониана,
отвечающие
U ( x)
собственному значению E ( A - постоянная, k  2mE / 2 ):
а. f ( x)  A exp(ikx) б. f ( x)  A cos kx в. f ( x)  A exp(ikx)
г. f ( x)  A sin kx
34
x
x
9. Потенциальная энергия частицы равна нулю при x  0 и
 при x  0 . Какова кратность вырождения собственных
значений гамильтониана частицы?
а. 1
б. 2
в. 3
г. 4
U ( x)
x
10. Потенциальная энергия частицы U ( x) – четная функция координат и отлична от нуля в
конечной области. Какова кратность вырождения собственных состояний гамильтониана,
относящихся к непрерывному спектру?
а. 1
б. 2
в. 3
г. 4
11. Потенциальная энергия частицы U ( x) равна нулю. Какой из нижеприведенных формул может
описываться волновая функция стационарного состояния частицы при энергии E ( k  2mE /
 k 2t 
 k 2t 

k 2t 
а. sin(kx) exp  i
б.
в.
exp(
ikx
)
cos
cos(
kx
)
exp

i





 2m 
 2m 
 2m 
2
):
 k 2t 
г. exp(ikx)sin 

 2m 
12. Потенциальная энергия частицы U ( x) равна нулю. Какой из нижеприведенных формул не
может описываться волновая функция стационарного состояние частицы при энергии E
( k  2mE /
2
):

k 2t 
а. sin(kx) exp  i

 2m 
 k 2t 
г. exp(ikx) exp  i

 2m 

k 2t 
б. cos(kx) exp  i

 2m 

k 2t 
в. exp(ikx) exp  i

 2m 
13. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Может ли
волновая функция стационарного состояния частицы одновременно иметь следующие
асимптотики: при x   - eikx , и при x   - eikx ?
А. да
б. нет
в. зависит от энергии
г. в некоторых случаях может, в
некоторых нет.
14. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. В стационарном
состоянии непрерывного спектра проводят многократные измерения энергии частицы. Какими
будут результаты измерений
а. во всех измерениях одно и то же отрицательное значение б. во всех измерениях одно и то же
положительное значение в. во всех измерениях разные отрицательные значения
г.
во
всех измерениях разные положительные значения
15. В некоторый момент времени свободная частица находится в состоянии с определенным
значением координаты x  a . Является ли это состояние стационарным?
А. да
б. нет
в. зависит от a
г. зависит от энергии
16. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие асимптотики
1
i 3 ikx
e . Чему равны коэффициенты
( k  2mE / 2 ): при x   - eikx , при x   - e  ikx 
2
2
отражения R и прохождения T ?
35
1
3
А. R  , T 
4
4
может
3
1
б. R  , T 
4
4
1
2
в. R  , T 
3
3
г. такой волновая функция быть не
17. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие асимптотики
1
i 3 ikx
1 ikx
e . Чему равны коэффициенты
( k  2mE / 2 ): при x   e , при x   - eikx 
2
2
2
отражения R и прохождения T ?
1
3
3
1
1
2
А. R  , T 
б. R  , T 
в. R  , T 
г. такой волновая функция быть не
4
4
4
4
3
3
может
18. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие асимптотики
1
i 10 ikx
e , при x   - eikx . Чему равны коэффициенты
( k  2mE / 2 ): при x   - e ikx 
3
3
отражения R и прохождения T ?
1
8
1
9
9
1
А. R  , T 
б. R  , T 
в. R  , T 
г. такой волновая функция быть не
9
9
10
10
10
10
может
19. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
1  ikx i 3 ikx
e 
e .
2
2
Измеряют средний поток частиц в этом состоянии при каком-то значении координаты в области
действия потенциала. Какое значение будет получено
k
k
k
k
а. 
б.
в. 
г.
3m
3m
4m
4m
стационарного состояния частицы имеет следующую асимптотику при x   -
20. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие асимптотики
1
i 10 ikx
e , при x   - eikx . Где расположены источники
( k  2mE / 2 ): при x   - eikx 
3
3
частиц?
А. только на 
б. только на 
в. и на  и на 
г. такой волновая функция
быть не может
21. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие асимптотики
1
i 10 ikx
e , при x   - eikx . Где расположены источники
( k  2mE / 2 ): при x   - eikx 
3
3
частиц?
А. только на 
б. только на 
в. и на  и на 
г. такой волновая функция
быть не может
22. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие асимптотики
36
( k  2mE /
2
): при x   -
частиц?
А. только на 
быть не может
1 ikx i 10 ikx
e 
e , при x   - eikx . Где расположены источники
3
3
б. только на 
в. и на  и на 
г. такой волновая функция
15. Будет ли импульс свободной частицы ( U ( x)  0 ) иметь определенное значение в состояниях с
определенной энергией?
а. да
б. нет
в. в некоторых случаях да, в некоторых случаях нет
г. затрудняюсь
ответить
16. Будет ли энергия свободной частицы ( U ( x)  0 ) иметь определенное значение в состояниях с
определенным импульсом?
а. да
б. нет
в. в некоторых случаях да, в некоторых случаях нет
г. затрудняюсь
ответить
37
Ответы. Непрерывный спектр
Номер задачи
Ответ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10.
11.
12.
.
.
.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
.
.
.
.
.
.
.
20.
21.
22.
.
.
.
38
Глава 3. Общие свойства момента импульса
1. Какой из перечисленных коммутаторов равен нулю?
а.  Lˆ x , Lˆ z 

2
б.  Lˆ , Lˆ 


в.  Lˆ , Lˆ 


г.  Lˆ , Lˆ z 



2. Какое из перечисленных равенств правильное
а.  Lˆx , Lˆz   i Lˆ y


б.  Lˆz , Lˆ y   i Lˆz

в.  Lˆ y , Lˆ z   i Lˆ y


г.  Lˆx , Lˆz   i Ly



3. Размерность момента импульса
а. Совпадает с размерностью постоянной Планка?
б. Совпадает с размерностью квадрата постоянной Планка?
в. Совпадает с размерностью квадратного корня из постоянной Планка?
г. Совпадает с размерностью обратной постоянной Планка?
4. Какие пары операторов момента имеют полную систему общих собственных функций:
2
а. только L̂ и Lˆ x
2
в. только L̂ и Lˆ z
б. только L̂2 и Lˆ y
г.
все
перечисленные пары
5. Какой формулой определяется выражение для оператора проекции момента на ось x
декартовых координатах - а, б, в, или г?

а. Lˆ x  i z
y
 
 
y 
в. Lˆ x  i  z

б. Lˆ x  i y
 y
z
z 
в
 
 
z 
г. Lˆ x  i  y
 z
y 
6. Какой формулой определяется выражение для оператор проекции момента на ось z в
сферических координатах - а, б, в, или г?


а. Lˆz  i
(где
 
 

в. Lˆ z  i 



б. Lˆ z  i
 
 
 

г. Lˆ z  i 

 
 - азимутальный угол сферической системы координат,  - полярный).
 
 
7. Частица находится в состоянии с определенной проекцией импульса на ось z ( pz  0 ). Какие из
нижеперечисленных величин могут в этом состоянии также иметь определенное значение
а. Lx
б. L y
в. Lz
г. L2
8. Какой из перечисленных коммутаторов равен нулю?
а.  Lˆx , pˆ z 


б.  Lˆx , yˆ 

в.  Lˆ x , zˆ 


2
9. Что означают слова «операторы L̂
функций»?

г.  Lˆx , pˆ x 


и Lˆ z имеют полную систему общих собственных
2
а. Любая собственная функция оператора L̂ будет собственной для оператора Lˆ z
б.
2
Любая собственная функция оператора Lˆ z будет собственной для оператора L̂
в.
Не
любая собственная функция оператора L̂ будет собственной для оператора Lˆ z , но можно
построить такие комбинации этих собственных функций, которые будут собственными для
2
оператора Lˆ z
г. Затрудняюсь ответить
39
10. Частица находится в состоянии, в котором измерение проекции момента на ось z с единичной
вероятностью приводит к одному значению, а измерение величины момента приводит к двум
значениям с равными вероятностями. Будет ли эта функция собственной
а. оператора Lˆ z
2
в. операторов L̂ и Lˆ z
2
б. оператора L̂
г. оператора Lˆ y
11. Частица находится в состоянии с определенным значением проекции момента на ось z . Будет
ли проекция момента на ось x в этом состоянии иметь определенное значение?
а. да
б. нет
в. в некоторых случаях - да, в некоторых – нет г. неизвестно
12. Частица находится в состоянии, в котором проекция момента на ось z имеет определенное
значение. Будет ли это состояние стационарным?
а. да
б. нет
в. это не связанные друг с другом вещи
г.
затрудняюсь
ответить
13. Частица находится в состоянии, в котором квадрат момента имеет определенное значение.
Будет ли это состояние стационарным?
а. да
б. нет
в. это не связанные друг с другом вещи
г.
затрудняюсь
ответить
14. Частица находится в состоянии, в котором проекция момента на ось z имеет определенное
значение Lz . Чему равно среднее значение величины L y в этом состоянии?
а. Ly  Lx
б. Ly  Lx / 2
в. Ly  0
г. Ly   Lx / 2
15. Частица находится в состоянии, в котором квадрат момента имеет определенное значение.
Какие из нижеперечисленных величин также имеют в этом состоянии определенное значение?
а. Lx
б. L y
в. Lz
г. зависит от состояния
2
16. Пусть f l 2l - собственная функция операторов L̂ и Lˆ z , отвечающая собственным значениям l 2
z
и lz . Какое из нижеперечисленных утверждений относительно функции Lˆ fl 2l справедливо:
z
а. эта функция - собственная для L̂ и Lˆ z , отвечает собственным значениям l 2 
2
2
и lz 
2
б. эта функция - собственная для L̂ и Lˆ z , отвечает собственным значениям l 2 и lz 
2
в. эта функция - собственная для L̂ и Lˆ z , отвечает собственным значениям l 2 
2
и lz
2
г. эта функция - собственная для L̂ и Lˆ z , отвечает собственным значениям l 2 и lz 
тождественно равна нулю
или
2
17. Пусть f l 2l - собственная функция операторов L̂ и Lˆ z , отвечающая собственным значениям l 2
z
и lz . Какое из нижеперечисленных утверждений относительно этой функции справедливо:
а. эта функция является также собственной для Lˆ x
2
и отвечает собственному значению
2
б. эта функция является также собственной для Lˆ y и отвечает собственному
(l 2  lz ) / 2 ,
2
значению (l 2  lz ) / 2
2
2
2
в. эта функция является также собственной для Lˆ x  Lˆ y и
отвечает собственному значению l 2  lz
2
г. эта функция является также собственной для
2
2
Lˆ x  Lˆ y и отвечает собственному значению l 2  lz 2 .
40
18. Какое из перечисленных равенств правильное
3
2
а.  Lˆ , Lˆx   Lˆ y


2
2
б.  Lˆ , Lˆ x   i Lˆ y


2
в.  Lˆ , Lˆ x   


2
Lˆ y
2
г.  Lˆ , Lˆ x   0


19. Частица находится в состоянии, в котором квадрат момента импульса имеет определенное
значение, а проекция момента на ось z может принимать два значения. Волновая функция этого
состояния
2
а. будет собственной для операторов L̂ и Lˆ z
2
б. будет собственной для оператора L̂ и не будет
2
собственной для Lˆ z
в. будет собственной для оператора Lˆ z и не будет собственной для L̂
г. информации для ответа на вопрос не достаточно.
20. Частица находится в состоянии, в котором проекция момента импульса на ось z имеет
определенное значение, а квадрат момента может принимать два значения. Волновая функция
этого состояния
2
а. будет собственной для операторов L̂ и Lˆ z
2
б. будет собственной для оператора L̂ и не будет
2
собственной для Lˆ z
в. будет собственной для оператора Lˆ z и не будет собственной для L̂
г. информации для ответа на вопрос не достаточно.
21. Результаты многократных измерений проекции момента импульса частицы на ось z приводят
с вероятностью 1/4 к некоторому значению l z ,1 и с вероятностью 3/4 – к некоторому значению lz ,2 .
Что можно сказать о числах l z ,1 и lz ,2
а. они будут собственными значениями оператора Lˆ z
значениями оператора Lˆ x
б.
они
будут
собственными
в. они будут собственными значениями оператора Lˆ y
г. они не будут собственными значениями оператора Lˆ z .
41
Ответы. Общие свойства момента импульса
Номер задачи
Ответ
1.
Б.
2.
А.
3.
Г.
4.
В.
5.
А.
6.
В.
7.
Г.
8.
В.
9.
В. и Г.
10.
В. и Г.
11.
В. и Г.
12.
В.
13.
Г.
14.
Г.
15.
В.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
А, Б, В.
42
Свойства собственных значений и собственных функций операторов момента
импульса
1. Собственными значениями оператора квадрата момента импульса являются числа вида а, б, в,
или г?
а. l
б. l (l  1)
в. l (l  2)
(где l - произвольное целое неотрицательное число)
2 2
2
2
г.
l (l  1)
2
2. Собственными значениями оператора квадрата момента импульса являются числа вида
l (l  1) , где l
2
а. произвольное полуцелое неотрицательное число (то есть число вида 1/2, 3/2, …) б.
произвольное целое неотрицательное число
в. произвольное целое неположительное
число
г. произвольное полуцелое неположительное число
3. Все собственные значения оператора проекции момента импульса на ось z перечислены в
пункте а, б, в, или г?
а. l ( l - любое целое или полуцелое число)
б. l ( l - любое целое положительное число)
в. l ( l - любое целое отрицательное число)
г. l ( l - любое целое число)
4. Все собственные значения оператора проекции момента импульса на ось x перечислены в
пункте а, б, в, или г?
а. l ( l - любое целое или полуцелое число)
б. l ( l - любое целое положительное число)
в. не существуют
г. l ( l - любое целое число)
5. Частица находится в состоянии с определенной проекцией момента импульса на ось y :
Ly  4 . Измеряют квадрат момента импульса. Какое из перечисленных значений не могло быть
при этом получено?
а. 24
2
б. 30
2
в. 42
2
а. 20
2
6. Частица находится в состоянии с определенной проекцией момента импульса на ось y :
Ly  4 . Измеряют квадрат момента импульса. Какое из перечисленных значений могло быть
при этом получено?
а. 49
2
б. 36
2
в. 25
2
а. 20
2
7. Частица находится в состоянии с определенным квадратом момента импульса: L  30 .
Измеряют проекцию момента на ось x . Какое из перечисленных значений не могло быть при этом
получено?
а. 5
б. 4
в. 6
а. 3
2
2
8. Какие из нижеперечисленных функций - а, б, в или г – являются собственными для оператора
Lˆ z ?
а. sin m
б. cos m
азимутальный угол).
в. exp  im 
г. tg  m  (где m - любое целое число,  -
9. Какие из нижеперечисленных функций - а, б, в или никакие из перечисленных (г) – являются
собственными для оператора Lˆ z ?
43
а. sin m
в. exp  im 
б. cos m
г. никакие из перечисленных (где m - любое
целое число,  - полярный угол).
10. Частица находится в состоянии с волновой функцией:
а. sin 
б. exp(i )
в. exp(i )
г. sin 
В каком из этих случаев результат измерения проекции момента на ось z имеет определенное
значение?
11. Сферические функции - это
а. Общие собственные функции операторов квадрата момента и его проекции на ось z ? б. Общие
собственные функции операторов квадрата момента и его проекции на ось x ? в. Общие
собственные функции операторов квадрата момента и его проекции на ось y ? г. Никакие из
перечисленных.
12. Частица находится в состоянии с волновой функцией cos  . Измеряют проекцию момента на
ось z . Какие значения могут быть получены и с какими вероятностями?
а. и 2 с вероятностями ½.
б. и  с вероятностями ½.
в.
и
с
0,
2
вероятностями 1/3 в.  , 0 , с вероятностями 1/3
13. Частица находится в состоянии с волновой функцией sin  cos  . Будут ли момент и его
проекция на ось z иметь определенные значения?
а. проекция – да, момент – нет
б. проекция – нет, момент – да
в. и проекция, и момент
г. ни момент, ни проекция.
14. Частица находится в состоянии с волновой функцией Y54 ( , ) . Измеряют квадрат момента
импульса. Какие значения будут получены при измерениях?
а. любое из чисел L  0,
2
в. L  25
2
2 2 , 6 2 , 12 2 , 20 2 , 30
г. L  30
2
2
б. L  16
2
2
2
2
15. Частица находится в состоянии с волновой функцией Y54 ( , ) . Измеряют проекцию момента
импульса частицы на ось z . Какие значения будут получены при измерениях?
а. Lz  5
б. любое число из интервала 4  Lz  4
в., Lz  4
г.
любое
число из интервала 5  Lz  5
16. Частица находится в состоянии с волновой функцией Y54 ( , ) . Измеряют квадрат момента
импульса и его проекцию на ось z . Какие значения будут получены при измерениях?
а. L  20
2
, Lz  5
г. L  30
2
, Lz  4
2
2
б. L  25
2
, Lz  4
в. L  16
2
2
, Lz  5
17. Частица находится в состоянии с волновой функцией cos 2   3cos   1 . Измеряют проекцию
момента на ось z . Какие значения можно при этом получить?
а. определенное значение Lz  0
б. определенное значение Lz  2
в.
любое
значение из Lz  0,
, 2 ,
г. любое значение из интервала 2  Lz  2
18. Частица находится в состоянии с волновой функцией cos 4  exp(i ) . Измеряют момент
импульса частицы и его проекцию на ось z . Какие значения момента и его проекции можно
получить при измерениях
44
а. Lz   , квадрат момента – одно из чисел 0,
драт момента – одно из чисел 0,
– одно из чисел 0,
2 2 , 6 2 , 12 2 , 20
2 2 , 6 2 , 12 2 , 20
2 2 , 6 2 , 12 2 , 20
2
2
2
б. Lz 
, ква-
в. Lz   , квадрат момента
г. Lz   , L  20
2
2
19. Частица находится в состоянии, в котором ее момент импульса и его проекция на ось z имеют
определенные значения: Lz   , L  2
2
вероятность того, что Ly 
а. w( Ly  )  w( Ly   )
в. w( Ly  )  w( Ly   )
2
. Измеряют проекцию момента на ось y . Сравнить
( w( Ly  ) ), и вероятность того, что Ly  
( w( Ly   ) )
б. w( Ly  )  w( Ly   )
г. такие значения L y при измерениях в данном состоянии не
могут быть обнаружены.
20. Частица находится в состоянии, в котором проекция ее момента импульса на ось z имеет
определенное значение Lz  m . Измеряют проекцию момента на ось y . Какие значения можно
обнаружить
а. Ly  m
б. Ly  n , где n - любое целое число из интервала m  n  m
в. Ly  m
г. любое собственное значение оператора Lˆ y .
21. Частица находится в состоянии с волновой функцией Y21 ( , ) . Проводят многократные
измерения проекции момента импульса на ось y . Какие значения будут получены при
измерениях?
а. Ly  2 во всех опытах б. Ly   , 0,
в. Ly  2 ,  , 0, , 2
г. Ly 
во всех
опытах
22. Частица находится в состоянии с определенными значениями квадрата момента L  3 и его
проекции на ось x Lx  . Проводят многократные измерения проекции момента на ось z . Чему
равно среднее значение результатов этих измерений?
а. Lz 
б. Lz  3
в. Ly   , 0,
г. Ly  3 ,  2 ,  , 0, , 2 , 3
23. Частица находится в состоянии с волновой функцией  Y54  2Y53 . Какие из
нижеперечисленных величин имеют в этом состоянии определенные значения?
а. проекция момента импульса на ось z
б. проекция момента импульса на ось y в.
проекция момента импульса на ось x
г. модуль момента импульса
24. Частица находится в состоянии с волновой функцией  Y54  2Y64 . Какие из
нижеперечисленных величин имеют в этом состоянии определенные значения?
а. проекция момента импульса на ось z
б. проекция момента импульса на ось y в.
проекция момента импульса на ось x
г. модуль момента импульса
25. Какая функция получится в результате действия оператора L̂ на функцию Y55 ( , ) :
а. LˆY55 ( , )  Y56 ( , )
б. LˆY55 ( , )  0
в. LˆY55 ( , )  Y65 ( , )
г. LˆY55 ( , )  Y66 ( , )
26. Какова «структура» сферических функций:
а. многочлен от cos  , умноженный (в некоторых случаях) на sin  и exp(im ) ( m - целое)
45
б. многочлен от sin  , умноженный (в некоторых случаях) на cos  и exp(im ) ( m - целое)
в. многочлен от cos , умноженный (в некоторых случаях) на sin  и exp(im ) ( m - целое)
г. многочлен от sin  , умноженный (в некоторых случаях) на cos и exp(im ) ( m - целое)
46
Ответы. Свойства собственных значений и собственных функций операторов
момента импульса
Номер задачи
Ответ
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
47
Глава 4. Трехмерное движение
1. Какова кратность вырождения второго возбужденного состояния сферического осциллятора?
а. 3
б. 4
в. 5
г. 6
2. Какова кратность вырождения третьего возбужденного состояния электрона в атоме водорода?
а. 9
б. 16
в. 25
г. 36
3. Частица находится на третьем возбужденном уровне в некотором центрально-симметричном
поле. С какой вероятностью проекция момента импульса частицы на ось y принимает значение
4 ?
а. 1
б. 0.5
в. 0
г. 1/3
4. Что такое вырождение по моменту в центрально-симметричном поле?
а. Совпадение моментов у состояний с разными энергиями
б. Совпадение энергий у состояний с разными моментами
в. Совпадение моментов у состояний с разными проекциями
г. Совпадение проекций у состояний с разными моментами
5. Частица находится в некотором стационарном состоянии в центрально-симметричном поле.
Будет ли проекция момента импульса частицы на ось z иметь определенное значение?
а. да
б. нет
в. мало информации, чтобы ответить
г. если l  1 , то да
6. Частица находится в некотором стационарном состоянии в центрально-симметричном поле.
Будет ли квадрат момента импульса частицы иметь определенное значение?
а. да
б. нет
в. мало информации, чтобы ответить
г. если lz  1 , то да
7. Частица находится на первом возбужденном уровне в центрально-симметричном поле.
Возможна ли кратность вырождения, равная 4?
а. да
б. нет
в. мало информации, чтобы ответить
г. в некоторых случаях да, в
некоторых нет
8. Частица движется в центрально-симметричном поле. Какой из четырех нижеприведенных
коммутаторов равен нулю?
а.  Hˆ , pˆ x 
б.  Hˆ , Lˆ x 
ˆ x , Lˆz 
в.  p
2
ˆx 
г.  Lˆ , p








2
ˆ
ˆ
ˆ
( H , pˆ x , Lx , L - операторы Гамильтона, проекции импульса на ось x , проекции момента на ось
x , квадрата момента).
9. Что такое вырождение уровней частицы в центрально-симметричном поле по проекции
момента?
а. Совпадение проекций момента у состояний с разными энергиями
б. Совпадение энергий у состояний с разными проекциями момента
в. Совпадение моментов у состояний с разными проекциями
г. Совпадение проекций у состояний с разными моментами
10. Сферический осциллятор находится в состоянии с «декартовыми» квантовыми числами
nx  1, ny  0, nz  0 . Какие значения момента импульса можно получит при измерениях?
а. l  1
б. l  0
в. l  1 и l  2 .
48
г. l  2 и l  3
11. Сферический осциллятор находится в состоянии с «декартовыми» квантовыми числами
nx  0, ny  1, nz  0 . Какие значения проекции момента импульса на ось z можно получит при
измерениях?
а. m  0
б. m  1
в. m  1 и m  1.
г. m  2 и m  2
12. Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода, это
а. C exp(r / a)
б. Cr exp(r / a)
в. C exp(r / 2a) г. Cr exp(r / 2a)
( C - нормировочная постоянная, a - боровский радиус).
13. Боровский радиус – это
2
а.
б.
c2
e2

2
2
2
в.
г.
ec 2
 e2
14. Сферический осциллятор находится на первом возбужденном уровне энергии. Какой
формулой не может описываться зависимость его волновой функции от полярного  и
азимутального углов:
а. sin sin 
б. cos
в. sin  exp(i )
г. cos cos 
15. Сферический осциллятор имеет «декартовые» квантовые числа nx  2, ny  3, nz  4 . Чему
равна энергия осциллятора?
б.
19

2
б.
21

2
в.
23

2
г.
25

2
16. Волновая функция основного состояния сферического осциллятора, это
а. C exp(r / 2a )
2
2
б. C exp(r / a)
( C - нормировочная постоянная, a 
в. C exp(r / 2a)
г. C exp(  r / a )
2
2
/  ).
17. d -состояние частицы в центральном поле, это
а. Третий возбужденный уровень энергии.
б. Состояние с определенной проекцией момента на ось z l z  2
в. Состояние с определенным моментом l  3 .
г. Состояние с определенным моментом l  2
18. Может ли кратность вырождения уровней энергии частицы в центральном поле равняться 2?
а. Да
б. Нет
в. зависит от поля
г. в некоторых случаях может, в
некоторых нет.
19. Сферический осциллятор находится на втором возбужденном уровне.
Перечислить все значения момента импульса, которые можно обнаружить при
измерениях.
а. l  1 и l  2 .
б. l  0 и l  1 .
в. l  0 и l  2 .
г. l  2
20. Электрон находится на втором возбужденном уровне энергии атома водорода. Перечислить
все значения момента импульса, которые можно обнаружить при измерениях.
49
а. l  0 , l  1 и l  2 .
б. l  0 , l  2 и l  4 .
в. l  1 и l  3 .
г. l  0 и l  2 .
21. Радиальная волновая функция электрона, находящегося в стационарном состоянии в атоме
водорода имеет пять узлов. Чему равен момент импульса электрона?
а. l  4
б. l  5
в. l  6
г. это не связанные вещи.
22. Радиальное квантовое число нумерует
а. Состояния с определенным моментом в порядке возрастания энергии
б. Все уровни в порядке возрастания энергии
в. Состояния с определенной проекцией момента на ось z в порядке возрастания их момента
г. Состояния с определенной энергией в порядке возрастания их момента.
23. Для частицы в центрально-симметричном поле сравнить Enr 2l 3 и Enr 1l 4 .
а. 
б. 
в. 
г. зависит от потенциала.
24. Для сферического гармонического осциллятора сравнить Enr 4l 3 и Enr 5l 1 .
а. 
б. 
в. 
г. зависит от потенциала.
25. Какая величина имеет размерность длины в задаче о гармоническом осцилляторе массой
частотой  ?
а.
/ 
б.
 /
/
в.
г.
 и
 /
26. Электрон в водородоподобном ионе с зарядом ядра Z ближе к ядру в
а. Z раз
б.
Z раз
2
3
в. Z раз
г. Z раз
27. Будет ли гамильтониан частицы, движущейся в центральном поле коммутировать с
операторами, повышающими и понижающими проекцию момента на ось z L̂ ?
а. Да
б. Нет
в. зависит от поля
г. в некоторых случаях да, в
некоторых нет.
28. Будет ли гамильтониан частицы, движущейся в центральном поле коммутировать с
оператором квадрата момента?
а. Да
б. Нет
в. зависит от поля
г. в некоторых случаях да, в
некоторых нет.
29. Как зависит от r радиальная волновая функция стационарного состояния сферического
осциллятора с l  3 при r  0
а. как r
1
б. как r
2
в. как r
3
г. как r
4
30. Частица находится в стационарном состоянии с моментом l  0 в сферической яме конечной
глубины. Как зависит зависит от r радиальная волновая функция при r   ?
а. как sin kr
б. как exp(kr )
в. как r
3
г. тождественно равна нулю
( k - некоторое число).
31. Радиальное квантовое число и момент состояния частицы в центральном поле фиксированы.
Как изменяется энергия при изменении проекции момента на ось z ?
50
а. растет
б. убывает
в. Не меняется
г. зависит от поля
32. Момент и проекция момента на ось z состояния частицы в центральном поле фиксированы.
Как изменяется энергия при изменении радиального квантового числа?
А. растет
б. убывает
в. Не меняется
г. зависит от поля
33. Радиальное квантовое число и проекция момента на ось z состояния частицы в центральном
поле фиксированы. Как изменяется энергия при изменении момента?
А. растет
б. убывает
в. Не меняется
г. зависит от поля
51
Ответы. Трехмерное движение
Номер задачи
Ответ
1.
Г.
2.
Б.
3.
В.
4.
Б.
5.
В.
6.
В.
7.
А.
8.
Б.
9.
Б.
10.
А.
11.
В.
12.
А.
13.
Г.
14.
Г.
15.
Б.
16.
А.
17.
Г.
18.
Б.
19.
В.
20.
А.
21.
Г.
22.
А.
23.
Г.
24.
В.
25.
А.
26.
А.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
52
Глава 5. Спин
1. Спиновая функция частицы имеет вид
 1/ 2 
 0 

 ( sz )  
i 3 / 2


0


Чему равен спин такой частицы?
а. 1
б. 1,5
в. 2
г. 2,5
2. В каком из четырех состояний, спиновые волновые функции которых приведены ниже, частица
имеет определенную проекцию спина на ось z ?
 1/ 2 


а.   s z    i 3 / 2 
 0 


 i / 3 


б.   s z    i / 3 


 1/ 3 


0
 
в.   s z   i
 
0
 
1/ 3 


г.   s z    1/ 3 


1/ 3 


3. Чему равно среднее значение проекции спина на ось z в состоянии
 i / 2 

3
/
2


а. sz  1/ 4
 ( sz )  
б. sz  1/ 4
в. sz  1/ 2
г. sz  1/ 8
4. Чему равно среднее значение проекции спина на ось x в состоянии
0
 ( sz )   
1
 
а. sx  1/ 4
б. sx  1/ 4
в. s x  1/ 3
г. sx  0
5. Чему равно среднее значение проекции спина на ось y в состоянии
1 1
 
2 1
а. s y  1/ 4
 ( sz ) 
б. s y  1/ 4
в. s y  1/ 3
г. s y  0
6. Спин частицы равен 1. Матрица оператора sˆ z в s z -представлении – это
 1 1 1


а. 0 1 1


 0 0 1


1 0 0


б. 0 0 0


0 0 1


1

в. 0

0

2
7. Спин частицы равен 1. Матрица оператора ŝ
2 0 0
1 0 0
1





а. 0 2 0
б. 0 0 0
в. 0





0 0 2
0 0 1
0





0
0 0 
0 1
0
1 0 0


г. 0 1 0


0 0 1


– это
0
0 0 
0 1
0
8. Спин частицы равен ½. Будет ли в состоянии
53
1 0 0


г. 0 1 0


0 0 1


 i / 2 

3
/
2


2
величина sz иметь определенное значение?
 ( sz )  
А. Да
б. Нет.
В. Мало информации
Г. В некоторых случаях да, в некоторых нет
9. Спин частицы равен ½. Какая из нижеприведенных матриц является матрицей оператора sˆ y в
s z -представлении?
а.
1  0 1


2  1 0 
б.
1 1 0 


2  0 1
в.
1  0 i 


2 i 0 
г.
1  i 0 


2 0 i 
10. Из четырех нижеприведенных спиновых функций только одна является собственной функцией
оператора sˆ y . Какая?
 i 

2
 i 

3
б.  ( s z )  
а.  ( s z )  
 1
i
в.  ( s z )   
 4
i
г.  ( s z )   
11. Из четырех нижеприведенных состояний только в одном величина s x имеет определенное
значение. В каком?
1
 2
1
 3
а.  ( s z )   
б.  ( s z )   
1
 4
в.  ( s z )   
 1
 1
г.  ( s z )   
12. В результате действия на спиновую волновую функцию
1
 ( sz )   
2
 
оператора sˆ x получится следующая спиновая волновая функция
 1 
 1 
1
1
а.  ( s z )  
б.  ( s z )  
в.  ( s z )   
г.  ( s z )   


1/ 2 
1/ 4 
 2
 4
13. Дана спиновая функция
1
 ( sz )   
2
 
Какая из четырех нижеприведенных спиновых функций ортогональна функции  ( s z ) ?
 1 
 1 
 1
б.  ( s z )  
в.  ( s z )   


 1/ 2 
 1/ 4 
2
а.  ( s z )  
 1

 4 
г.  ( s z )  
14. Какая из четырех нижеприведенных матриц отвечает оператору ŝ ?
1 0

0 0
а. 
0 1

0 0
б. 
15. Выбрать верное равенство
а.  sˆ , sˆ   2sˆx
0 0

0 1
в. 
б.  sˆ , sˆ   2 sˆ y
0 0

1 0
г. 
в.  sˆ , sˆ   2sˆz
54


г. sˆ , sˆ  2sˆ
2
где ŝ и ŝ - операторы, понижающие проекцию спина на ось z .
16. Частица имеет спин s  99/ 2 . Чему равна размерность линейного пространства спиновых
функций такой частицы?
а. 98
б. 99
в. 100
г. 101
17. Какая матрица отвечает эрмитовому оператору?
1 0

0 0
а. 
0 1

0 0
б. 
0 0

0 i 
в. 
18. Выбрать верное равенство
а.  x y   y x  0 б.  x y   y x  I
где
0 0

1 0
г. 
в.
 x y   y x  i z
в.
 x y   y x  0
 x ,  y ,  z - матрицы Паули, I - единичная матрица размерности 2  2 .
55
Ответы. Спин
Номер задачи
Ответ
1.
Б.
2.
В.
3.
А.
4.
Г.
5.
Г.
6.
В.
7.
А.
8.
А.
9.
В.
10.
В.
11.
Г.
12.
А.
13.
А.
14.
Б.
15.
В.
16.
В.
17.
А.
18.
А.
56
Глава 6. Квазиклассическое приближение
1. Какая из функций – а., б., в. или г. – является общим квазиклассическим решением
стационарного уравнения Шредингера в потенциале U (x) при энергии E (в первом порядке по
параметру квазиклассичности) при таких значениях координаты, когда E > U ( x) :
 x

а. C exp  ik ( x) x  б. C exp  i  k (t )dt 


 a

в.
 x

C
exp  i  k (t )dt 


k ( x)
 a

 x

г. C exp    | k (t ) | dt 


 a

где k ( x) 
2m  E  U ( x )  /
2
, m - масса частицы, C и a - числа.
2. Какая из функций – а., б., в. или г. – является общим квазиклассическим решением
стационарного уравнения Шредингера в потенциале U (x) при энергии E (в первом порядке по
параметру квазиклассичности) при таких значениях координаты, когда E  U ( x) :
а.
 x

C
exp    | k (t ) | dt 


k ( x)
 a

 x

б. C exp  i  k (t )dt 


 a

в.
 x

C
exp  i  k (t )dt 


k ( x)
 a

 x

г. C exp    | k (t ) | dt 


 a

где k ( x) 
2m  E  U ( x )  /
2
, m - масса частицы, C и a - числа.
3. Какая из функций – а., б., в. или г. – является общим квазиклассическим решением
стационарного уравнения Шредингера в потенциале U (x) при энергии E (во втором порядке по
параметру квазиклассичности) при таких значениях координаты, когда E > U ( x) :
 x

а. C exp  ik ( x) x  б. C exp  i  k (t )dt 


 a

в.
 x

C
exp  i  k (t )dt 


k ( x)
 a

 x

г. C exp    | k (t ) | dt 


 a

где k ( x) 
2m  E  U ( x )  /
2
, m - масса частицы, C и a - числа.
57
4. Какая из функций – а., б., в. или г. – является общим квазиклассическим решением
стационарного уравнения Шредингера в потенциале U (x) при энергии E (во втором порядке по
параметру квазиклассичности) при таких значениях координаты, когда E  U ( x) :
а.
 x

C
exp    | k (t ) | dt 


| k ( x) |
 a

 x

б. C exp  i  k (t )dt 


 a

в.
 x

C
exp  i  k (t )dt 


k ( x)
 a

 x

г. C exp    | k (t ) | dt 


 a

2m  E  U ( x )  /
где k ( x) 
2
, m - масса частицы, C и a - числа.
5. Какой из нижеследующих формул – а., б., в. или г. – определяется параметр квазиклассичности?
2m  E  U ( x )  /
( k ( x) 
k ( x )
а. 2
k ( x)
2
, m - масса частицы,)
k ( x)
в. 3
k ( x)
k 2 ( x)
б.
k ( x )
k 3 ( x)
г.
k ( x)
6. Частица движется в потенциале
U ( x) 

x2
(   0 ). Каким является параметр квазиклассичности при нулевой энергии частицы?
2
а.
б.
2m
2m
2
в.
2
2m
г.
2m
2
7. Рассматриваем решение стационарного уравнения Шредингера для частицы массой m в
потенциале U ( x) при энергии E . Квазиклассическое приближение несправедливо при таких
значениях координат, которые находятся из нижеследующего уравнения
а. E  U ( x)
б.
2m
2
E 3/ 2  U ( x)
в. E  U ( x)
2
г.
2m
E 3/ 2  U ( x)
8. Квазиклассическое приближение работает, если действие S , которое имела бы частица, если бы
она двигалась по законам классической механики, было
а. S
б. S
в. S
m
г. S
e
где m - масса частицы, e - ее заряд.
58
9. Когда можно пользоваться квазиклассическим приближением для вычисления коэффициентов
отражения и прохождения частиц через потенциальный барьер
а. когда коэффициент отражения мал
б. когда коэффициент прохождения мал
коэффициент отражения сравним с коэффициентом прохождения
в.
когда
г. никогда
10. Какое из нижеперечисленных равенств является правилом квантования Бора-Зоммерфельда
b
а.
 k ( x)dx   n
b
б.
 k ( x)dx   (n  1/ 4)
b
в.
a
a
 k ( x)dx   (n  1/ 2)
a
b
г.
 k ( x)dx   (n  3/ 4)
a
где k ( x) 
2m  E  U ( x )  /
2
, a и b - классические точки поворота.
b
11. Квазиклассическое правило квантования
 k ( x)dx
 n дает уравнение на собственные
a
энергии. Здесь k ( x) 
2m  E  U ( x )  /
2
, a и b - классические точки поворота. В какие
величины входит искомая энергия?
а. в k ( x)
б. в k ( x) и a
в. в k ( x) , a и b
г. никуда
12. Для каких уровней энергии выше точность квазиклассического правила квантования
а. с маленькими квантовыми числами
б. с большими квантовыми числами
энергия которых много больше постоянной Планка
меньше постоянной Планка
59
в. для уровней,
г. для уровней, энергия которых много
Ответы. Квазиклассическое приближение
Номер задачи
Ответ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Б.
Г.
В.
А.
А.
А.
В.
Б.
Б.
10.
11.
12.
В.
В.
Б.
60
Глава 7. Теория возмущений
1. Уровни энергии
 i некоторой квантовой системы невырождены. На систему накладывается
возмущение Vˆ , матричные элементы оператора которого с невозмущенными собственными
функциями Vik известны. Какой формулой определяется поправка первого порядка к энергии i -го
стационарного состояния?
а. Ei
(1)

1
Vi,i1  Vi1,i 
2
б. Ei
(1)
 Vi ,k
в. Ei
(1)
 Vi ,i
г. Ei
(1)
k
 Vk ,i
k
2. Пятый невозмущенный уровень некоторой трехмерной квантовой системы является
четырехкратно вырожденным. На систему накладывается некоторое малое возмущение Vˆ . Какой
размерности систему уравнений надо решать, чтобы определить расщепление этого уровня под
действием возмущения Vˆ ?
а. 2
б. 3
в. 4
г. 5
3. На одномерный гармонический осциллятор массой m и частотой
 накладывают малое
возмущение Vˆ ( x) = a sin( x / b) . Каким будет сдвиг энергий стационарных состояний осциллятора в
первом порядке теории возмущений?
а. E  0
б. E  a
в. E 
a
b m
г. E  b
4. На одномерный гармонический осциллятор накладывают малое возмущение Vˆ ( x) = a sin( x / b) .
Увеличатся или уменьшатся при этом энергии стационарных состояний осциллятора?
а. увеличатся
б. уменьшатся
в. не изменяться
г. в некоторых случаях увеличатся,
в некоторых уменьшатся.
5.
На
некоторую

одномерную
квантовую
систему
накладывают
малое
возмущение

Vˆ ( x)  a exp  x 2 / b 2 , где a и b - числа, причем a  0 . Увеличится или уменьшится при этом
энергия основного состояния системы?
а. увеличатся
б. уменьшатся
в. не изменяться
г. в некоторых случаях увеличатся,
в некоторых уменьшатся.
6. На атом водорода накладывают малое возмущение Vˆ = a cos . Какие значения момента
импульса электрона и его проекции на ось z можно обнаружить в основном состоянии атома?
Ответ дать во втором порядке по возмущению.
а. L  0 , Lz  0
б. L  0,
, Lz  0, 
в. L  0 , Lz  0, 
61
г. L  0,
, Lz  0
7. На частицу, находящуюся в центральном поле (без случайного вырождения) накладывают
магнитное поле. На сколько подуровней расщепится уровень энергии с моментом l ?
а. на 2
б. на l
в. на 2l  1
г. на 2l  2
8. На частицу находящуюся в центральном поле (без случайного вырождения) накладывают
электрическое поле. На сколько подуровней расщепится уровень энергии с моментом l ?
а. не расщепится
в. на 2l  1
б. на l
г. на 2l  2
9. На одномерный гармонический осциллятор массой m и частотой
 накладывают малое
возмущение Vˆ ( x )  ax . Каким будет сдвиг энергий n -го стационарного состояния осциллятора в
первом порядке теории возмущений?
а. E  0
б. E  a
в. E  a
m
г. E 
m
10. На атом водорода накладывают малое электрическое поле с напряженностью E . Каким будет
в первом порядке теории возмущений сдвиг энергии основного состояния электрона?
1
2
а. E  eEa
б. E   eEa
в. E 
1
eEa
4
г. E  0
( e - заряд электрона, a - боровский радиус).
11. На одномерный гармонический осциллятор наложено малое возмущение Vˆ ( x)  a cos  x / b  .
Во втором порядке по возмущению найти среднюю четность 5-го возбужденного состояния
осциллятора.
а. P  0
б. P  1
в. P  1
г. P  1  a
2
12. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной a ,
x  0 и x  a накладывают малое возмущение
расположенной между точками
Vˆ ( x)   ( x  a / 2) . Каким будет сдвиг энергии n -го стационарного состояния в первом
неисчезающем порядке теории возмущений?
а. E  0
б. E  0
в. E  0
г. зависит от четности числа n .
13. На одномерный гармонический осциллятор массой m и частотой
 накладывают малое
возмущение Vˆ ( x )  ax . Каким будет сдвиг энергий n -го стационарного состояния осциллятора в
четвертом порядке теории возмущений?
62
а. E  0


б. E   a

 m 
2


в. E   a

 m 
3


г. E   a

 m 
4
4
14. На атом водорода накладывают малое возмущение Vˆ  a cos  . Какие значения момента
импульса электрона можно обнаружить в основном состоянии атома? Ответ дать во втором
порядке по возмущению.
а. L  0
б. L  0, 2 , 4
в. L  0, , 2 , 3 , 4
г. L 
4
15. На атом водорода накладывают малое возмущение Vˆ  a cos  . Какие значения проекции
момента импульса электрона на ось z можно обнаружить в основном состоянии атома? Ответ
дать во втором порядке по возмущению.
а. Lz  0
б. Lz  0, 
в. Lz  0,  2 ,  4
г. Lz  0,  ,  2 ,  3 ,  4
16. На трехмерный гармонический осциллятор массой m и частотой
 накладывают малое
возмущение Vˆ ( r )  ay . Какие значения проекции момента импульса осциллятора на ось z
можно обнаружить в основном состоянии? Ответ дать во втором порядке по возмущению.
а. Lz  0
б. Lz  0,
в. Lz  0, 
г. Lz  0, 
17. На положительную заряженную частицу, движущуюся в центральном поле без случайного
вырождения накладывают слабое магнитное поле. Частица находится на уровне энергии с
моментом l . Какой будет проекция момента подуровня с самой маленькой энергией?
а. Lz не имеет определенного значения, а может принимать все допустимые значения от l до l
б. Lz  l
в. Lz  0
г. Lz  l
18. Уровень энергии  некоторой квантовой системы двукратно вырожден. На систему
накладывается малое возмущение, матричные элементы которого с невозмущенными состояниями
известны: V11  V22  0 , V12  V21  V . Какими будут энергии подуровней E1 и E 2 , на которые
расщепится невозмущенный уровень?
а. E1  E2  
б. E1    V , E2  
в. E1   , E2    V
г. E1    V ,
E2    V
63
Ответы. Теория возмущений
Номер задачи
Ответ
1.
2.
В.
В.
3.
4.
5.
6.
7.
А.
Б.
А.
Г.
В.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
А.
А.
Г.
В.
В.
А.
Б.
А.
Г.
Г.
18.
Г.
64
Глава 8. Квантовые переходы
1. На одномерный гармонический осциллятор, находящийся в n -ном стационарном состоянии,
действует зависящее от времени малое возмущение Vˆ ( x, t ) = xV (t ) . В какие состояния возможны
переходы осциллятора?
б. в (n  1) -ое
а. во все с определенными вероятностями,
в. в (n  1) -ое
г. в (n  1) -ое и (n  1) -ое.
2. На этом водорода, находящийся в основном состоянии, действует зависящее от времени

возмущение Vˆ (r , t ) =  cos  V (t ) . Какие значения может принимать проекция момента импульса
электрона на ось z в конечном состоянии?
а. Lz  0
б. Lz  0, 
в. Lz  0, 
3. На частицу, находящуюся при t   в основном
г. Lz  0, 
состоянии бесконечно глубокой
потенциальной ямы, расположенной между точками a / 2 и a / 2 , где a - ширина ямы,
2
действует малое возмущение Vˆ ( x, t )  x V (t ) , где V (t ) - затухающая при t   функция
времени. В первом порядке нестационарной теории возмущений найти вероятность обнаружить
частицу в первом возбужденном состоянии в произвольный момент времени t .

а. w  0
б. w  1/ 2
в. w 
 V (t )dt
г. w 

2 
a
 V (t )dt

4. Осциллятор находится в основном состоянии. В момент времени t  0 осцилляторная частота
 мгновенно меняется до некоторого значения   1 . Найти вероятность перехода в первое
возбужденное состояние.
а. w  1/ 2
б. w  0
5. Осциллятор с частотой
в. w 
  1

г. w 
  1
  1
 находится в n -ом квантовом состоянии. На осциллятор начинает
действовать малое периодическое возмущение Vˆ ( x, t )  Vˆ ( x)cos  t , частота которого совпадает
с частотой осциллятора, а оператор Vˆ ( x ) имеет ненулевые матричные элементы для всех
состояний осциллятора. В каких состояниях можно обнаружить осциллятор после выключения
возмущения?
а. в n -ом
б. в n -ом и n  1 -ом
в. в n -ом, n  1 -ом и n  1 -ом
65
г. в n -ом и n  1 -ом
6. Незаряженная частица со спином s  1/ 2 находится в стационарном состоянии некоторого
гамильтониана с определенной проекцией спина на ось z : s z  1/ 2 . Внезапно включается
магнитное поле, направленное вдоль оси z . С какой вероятностью при измерении проекции спина
на ось z будет обнаружено значение s z  1/ 2 ?
а. w  1/ 2
б. w  1
б. w  1/ 4
г. w  0
7. На одномерный гармонический осциллятор, находящийся в первом возбужденном состоянии,
действует зависящее от времени малое возмущение Vˆ ( x, t ) = xV (t ) . Чему равно отношение
вероятностей перехода осциллятора в основное и второе возбужденное состояния?
а.
w10
 2,
w12
б.
w10 1

w12 2
в.
w10
1
w12
г.
w10 2

w12 3
Указание: Матричные элементы оператора координаты с осцилляторными функциями равны:
xn,k 
n
(n  1)
 k ,n1 
 k ,n1
2m
2m
8. На этом водорода, находящийся в основном состоянии, действует зависящее от времени
возмущение Vˆ (r , t )   cos
2
 V (t ) . Какие значения может принимать проекция момента
импульса электрона на ось z в конечном состоянии?
а. L  0
б. L  0 и L 
в. L  0 и L  2
66
г. L  0 и L  3
Ответы. Квантовые переходы
Номер задачи
Ответ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Г.
А.
А.
Б.
В.
Г.
Б.
В.
67