Задачи обучающего тура - Центр информационных технологий

Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
Задачи обучающего тура
Уровень 1
(Для команд, основной состав которых учащиеся 5-7 классов)
Задача №1
После того, как Карлсон съел половину персиков из банки, уровень компота
понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится
уровень компота, если он съест половину оставшихся персиков?
Решение
Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего компота, то половина
от оставшихся персиков составляет одну шестую часть от всего компота.
Учитывая, что 2/3 = 4/6, получаем ответ – 1/4.
Ответ. На одну четверть
Задача №2
Перед началом Олимпиады хоккейные шайбы подорожали на 10%, а после
окончания Олимпиады подешевели на 10%. Когда шайбы стоили дороже –
до подорожания или после удешевления?
Подсказка
Обратите внимание: числа, от которых мы вычисляем 10%, разные.
Решение
Если перед началом Олимпиады хоккейные шайбы стоили A руб., то после
подорожания они стали стоить 1,1A. 10% от этого числа будет 0,11A, значит, после
удешевления шайбы будут стоить 0,99A. Значит, до подорожания шайбы стоили
дороже.
Ответ. До подорожания шайбы стоили дороже.
Задача №3
Магазин продал в первый день 160кг яблок, что составило 1/3 всех яблок, во
второй день - 4/5 оставшихся яблок. Сколько килограмм яблок осталось продать в
третий день?
Решение
1
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
1-?
1день
1
3
осталось
?-?
-160кг
1-?
2день
4
-?
3день
?- ?
5
1
1) 160 :  480(кг )
3
2) 480  160  320(кг )
4
3) 320   256(кг )
5
4) 320  256  64(кг )
Ответ. В третий день осталось продать 64кг яблок
Задача №4
На Нью-Васюковской валютной бирже за 11 тугриков дают 14 динаров, за 22 рупии
– 21 динар, за 10 рупий – 3 талера, а за 5 крон – 2 талера. Сколько тугриков можно
выменять за 13 крон?
Подсказка
За 5 крон дают два талера, значит, за одну крону дают 2/5 талера или (2/5) . (10/3)
рупии.
Решение
За 5 крон дают два талера, значит, за одну крону дают 2/5 талера. Аналогично, за
один талер дают 10/3 рупии, за одну рупию – 21/22 динара, за один динар – 11/14
тугрика. Получается, что за одну крону дают 2/5 талера, или (2/5) . (10/3) рупии, или
(2/5) . (10/3) . (21/22) динара, или (2/5) . (10/3) . (21/22) . (11/14) тугрика. Вычислив,
получаем, что
2 10 21 11
    1.
5 3 22 14
Значит, за одну крону дают один тугрик, а за 13 крон, соответственно, 13 тугриков.
Ответ. 13.
Задача №5
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%.
От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько
теперь весят ягоды?
Подсказка
Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".
Решение
2
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения
этот же 1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2% –
1 кг, то 100% – 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг
ягод.
Ответ. 50 кг.
Задача №6
Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного выстрела
количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого промаха –
уменьшается на 10%. Могло ли после нескольких выстрелов у него оказаться 80
рублей 19 копеек?
Подсказка
8019 = 9 . 9 . 9 . 11.
Решение
Увеличение на 10% означает умножение на 1,1. Уменьшение на 10% означает
умножение на 0,9. Разложив 8019 на множители 8019 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 11, заметим,
что 8019 = 9 . 9 . 9 . 11. Поэтому после трёх промахов и одного попадания у игрока
будет 100 руб. . 0, 9 . 0, 9 . 0, 9 . 1, 1 = 80, 19 руб. = 80 руб. 19 коп.
Ответ. Да, могло, если он попал только один раз, а три раза промахнулся.
Задача №7
Какое наименьшее число участников может быть в математическом кружке, если
известно, что девочек в нем меньше 50%, но больше 40%?
Подсказка
Помните, что число девочек - целое число.
Решение
Введем обозначения: пусть x - число всех участников кружка, а y - число девочек.
Тогда условие задачи можно записать в виде неравенства 0,4x<y<0,5x и нужно
найти наименьшее целое x, при котором y то же целое. Простым перебором
находим, что x=7. (При меньших x, например, при x=5 наше неравенство
превратиться в 2<y<2,5, которое не содержит целых чисел).
Ответ. 7
Задача №8
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть
всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
Решение
Пусть n – количество чашек (число человек в семье), а x – количество выпитого
молока (в чашках). Тогда количество выпитого кофе равно n - x. Катя выпила одну
чашку кофе с молоком, которая состояла из одной четверти всего молока (x/4) и
одной шестой всего кофе ((n - x)/6).
3
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
Получаем
x n  x 

1.
4
6
3x + 2(n - x) = 12,
x + 2n = 12.
Так как n – целое число, то из последнего равенства следует, что x – целое число,
причём чётное (x = 12 - 2n). Кроме того, x  n , так как количество выпитого
молока, конечно, не больше, чем общее количество напитка. Теперь небольшим
перебором находим, что последнее уравнение имеет три решения:
n = 6, x = 0;
n = 5, x = 2;
n = 4, x = 4.
При этом первое и последнее решения отвечают случаю, когда все пили просто
молоко или просто кофе, а второе – когда пили действительно кофе с молоком.
Ответ. 5 человек.
Задача №9
Банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна 100 000 рублей. Какая сумма
будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых
процентов; б) при начислении банком сложных процентов?
Решение
при простом процентном росте через 5 лет сумма составит
(1 + 0,01×12×5)×100 000 = 160 000 рублей,
а при сложном процентом росте сумма составит
(1 + 0,01×12)5×100 000 = 196 941 рублей.
Ответ: а) 160 000 рублей; б) 196 941 рублей.
Задача №10
Эта старинная задача была известна ещё в Древнем Риме. Богатый сенатор,
умирая, оставил жену в ожидании ребёнка. После смерти сенатора выяснилось, что
на своё имущество, равное 210 талантам, он составил следующее завещание:
"В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния (т.е. 140 талантов),
а остальную треть (т.е. 70 талантов) – матери; в случае же рождения дочери отдать
девочке одну треть состояния (т.е. 70 талантов), а остальные две трети (т.е.
140 талантов) – матери". У вдовы сенатора родились близнецы – мальчик
и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить
имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию
завещания?
Подсказка
Поскольку все требования завещателя выполнить невозможно, придётся выполнять
только часть из них. В зависимости от того, какую именно часть вы выполните,
будет принят тот или иной способ дележа.
Решение
Поскольку все требования завещателя выполнить невозможно, придётся выполнять
только часть из них. В зависимости от того, какую именно часть мы выполним,
получим тот или иной ответ. Вариантов много. Например: 1) из первого условия
4
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
2
состояния, а из второго – что дочь
3
должна получить в два раза меньше матери; 2) из первого условия завещания
следует, что доля матери в 2 раза меньше доли сына, а из второго – что эта доля
1
в 2 раза больше доли дочери; 3) в каждом из условий доля матери не меньше ,
3
при этом доля сына в 4 раза больше доли дочери. Можно предложить и другие
варианты. Эта задача возникла из практики. Такой случай действительно
произошёл в Древнем Риме. Там суд разделил наследство так, как предложено
4
2
1
во втором варианте: отдал сыну
состояния, матери – , дочери – , т.е.
7
7
7
120 талантов сыну, 60 – матери, 30 – дочери.
Ответ. 120 талантов нужно дать сыну, 60 – матери, 30 – дочери. (Могут быть и другие
варианты.)
завещания следует, что сын должен получить
Задача №11
Купец случайно перемешал конфеты 1-го сорта (по 3 руб. за фунт) и конфеты 2-го
сорта (по 2 руб. за фунт). По какой цене надо продавать эту смесь, чтобы выручить
ту же сумму, если известно, что первоначально общая стоимость всех конфет 1-го
сорта была равна общей стоимости всех конфет 2-го сорта?
Подсказка
Попробуйте представить условия задачи системой уравнений.
Решение
Сразу напрашивающийся ответ "за 2 руб. 50 коп." – неверен. Обозначим через a
первоначальную стоимость всех конфет 1го сорта. Тогда общая выручка
за несмешанные конфеты 1го и 2го сорта составляла бы 2a рублей. При этом
a
a
конфет 1го сорта у купца было бы
фунта, а конфет 2го сорта
фунта. Таким
3
2
a a
образом, за смесь, состоящую из 
фунта, он должен выручить 2a рублей.
3 2
2a
Значит, цена смеси конфет должна быть равна
рублей. Проведя
a/3 a/2
несложные арифметические действия, определим, что смесь конфет надо продавать
по 2 руб. 40 коп. (а не по 2 руб. 50 коп.) за фунт.
Ответ. 2 р. 40 к.
Задача №12
Имеются два сосуда емкостью 1 л и 2 л. Из содержимого приготовили 0,5 л смеси,
содержащей 40% яблочного сока, и 2,5 л смеси, содержащей 88% яблочного сока.
Каково процентное содержание яблочного сока в сосудах?
Решение
Понятно, что хотя бы в одном из сосудов содержание сока не превышает 40%. При
этом условии наибольшее количество сока в 2,5 л будет, если мы смешаем 0,5л
5
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
(40%) сока с 2 л чистого сока. В этом случае в 2,5 л будет 0,5 × 0,4 + 2 = 2,2 л
яблочного сока, что составляет 88%. Таким образом, в сосуде емкостью 1л
содержится 40% сока, а в двухлитровом – чистый яблочный сок.
Ответ. В сосуде емкостью 1л содержится 40% сока, а в двухлитровом – чистый яблочный
сок.
Задача №13
Сплав из золота и серебра массой 13 кг 850 г при полном погружении в воду
вытеснил 900 г воды. Определить количество золота и серебра в этом сплаве, если
известно, что плотность золота равна 19,3 кг/л, а серебра – 10,5 кг/л.
Решение
Задачу можно решить алгебраически и арифметически.
1-й способ. Пусть золота в сплаве x кг, серебра – y кг. Объём сплава 0,9 дм 3 . Тогда
x+y=13,85 и x/19,3+y/10,5=0,9. Решая получившуюся систему, находим x=9,65 кг,
y=4,2 кг.
2-й способ. Предположим, что все 0,9 дм3 – это золото, его масса будет 0,9·
19,3=17,37 кг. Лишние 17,37-13,85=3,52 кг получились из-за замены некоторого
количества кубических дециметров серебра золотом. Каждый 1 дм 3 золота на 19,310,5=8,8 кг тяжелее 1 дм 3 серебра. Следовательно, серебра было 3,52:8,8=0,4 дм 3 .
Масса серебра – 0,4· 10,5=4,2 кг, золота – 13,85-4,2=9,65 кг.
Ответ: золота – 9,65 кг, серебра – 4,2 кг.
Задача №14
Владелец загородного дома нанял двух землекопов для рытья подземного гаража.
Один из них может за час прокопать вдвое больше, чем другой, а платят по
договору каждому одинаково за каждый час работы. Что обойдётся дешевле –
совместная работа землекопов с двух сторон до встречи или поочерёдное рытьё
половины подземного гаража каждым из землекопов?
Подсказка
Метр подземного гаража, выкопанный ''быстрым'' землекопом, обходится дешевле.
Решение
За один час работы быстрый землекоп выкапывает больше, а платят им одинаково.
Значит, метр подземного гаража, выкопанный быстрым землекопом, обходится
дешевле. В варианте до встречи на долю быстрого придётся половина подземного
гаража и ещё часть, а в другом варианте – только половина. Значит, дешевле копать
до встречи. Отметим, что ответ не зависит от того, во сколько именно раз
отличаются скорости землекопов.
Ответ. Совместная работа – ''до встречи'' – обойдётся дешевле.
Задача №15
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей – за 8 минут.
Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут
20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при
условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?
6
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
Подсказка
Можно, конечно, представить условие задачи в виде уравнения, но лучше обойтись
без этого.
Решение
Сначала заменим время в секундах временем в минутах: 6 минут 40 секунд
заменим на 6 + 2/3, или 20/3, а 13 минут 20 секунд заменим на 13 + 1/3, или 40/3.
Тогда за одну минуту холодной водой заполнится 3/20 ванны, горячей – 1/8 ванны,
а вытечет 3/40 ванны. Следовательно, за одну минуту наполнится (3/20) + (1/8) (3/40), т.е. (1/5) ванны. Значит, вся ванна наполнится за 5 минут.
Ответ. 5 минут.
Задача №16
Дружина храбрых витязей спешит на выручку Илье Муромцу, но по дороге им
необходимо подковать лошадей. Спешившись на постоялом дворе, витязи
спрашивают у хозяина кузницы, как быстро он со своими работниками сможет
подковать 15 лошадей. На что хозяин отвечает: 15 лошадей это 60 подков, нас 12
работников, каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут, т.е. - за 20 минут
управимся. Не обманул ли хозяин кузницы витязей? Какое наименьшее время
кузнецы должны потратить на работу?
Подсказка
Нужно учесть, что лошадь не может стоять на двух ногах! Обратите внимание,
меньше чем за 25 мин. подковать всех лошадей нельзя. Почему?
Решение
Покажем, как надо действовать. Сначала 12 кузнецов берут 12 лошадей и
подковывают каждой одну ногу, на это уходит 5 минут, у 12-ти лошадей одна
подкова, у 3-х – ни одной. Затем 3 кузнеца подковывают тех лошадей, у которых
еще нет подков, а остальные 9 кузнецов ставят 9-и лошадям вторые подковы. На
это опять уходит 5 минут, 9 лошадей с двумя подковами и 6 – с одной.
Теперь 6 кузнеца ставят вторые подковы, и 6 – третьи. Теперь 6 лошадей с тремя
подковами и 9 – с двумя. Теперь 9 кузнецов ставят 9 третьих подков и 3 – 3
четвертых. Теперь 12 лошадей с тремя подковами и 3 – с четырьмя. Последний
этап – 12 кузнецов ставят последние подковы 12-ми лошадям. Итак, за 5 этапов (за
25
минут)
все
лошади
подкованы.
Покажем, что меньше, чем за 25 минут это сделать нельзя. Нужно поставить
15 × 4 = 60 подков. На каждую подкову нужно 5 минут, значит всего не меньше,
чем 60 × 5 = 300 минут. Но у нас есть 12 кузнецов, значит можно сделать это за
300/12 = 25 минут, но никак не меньше. Мы и сделали за 25 минут.
Ответ: Обманул, нужно не меньше 25 минут
Задача №17
В летнем спортивном лагере треть участников осталась в лагере тренироваться, а
остальные спортсмены уехали на соревнование. Оставшиеся в лагере съели за
обедом четверть приготовленной для всех похлебки, а вернувшиеся вечером с
соревнований получили порции в полтора раза большие, чем давали за обедом.
Сколько похлебки осталось для сторожевой собаки Найды?
7
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
Решение
На соревнования уехало 2/3 спортсменов, что в два раза больше, чем осталось в
лагере. Если бы они получили такие же порции, какие давали за обедом, то они
съели бы в два раза больше, чем было съедено за обедом, то есть, половину
приготовленной похлебки. Так как на самом деле их порции были в полтора раза
1
больше, то они съели 3/4 всей похлебки. А поскольку
похлебки уже была
4
съедена за обедом, то для собаки Найды ничего не осталось.
Ответ. Для собаки Найды похлебки не осталось.
Задача №18
Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый
пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же
компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно 7 суток, и идут они
по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на своём
пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?
Подсказка
В то время, как пароход из Гавра отходит, в Гавр прибывает пароход, который
вышел из Нью-Йорка 7 суток назад.
Решение
Примем время отправления некоторого парохода П из Гавра за начальное и
отметим все пароходы, которые он встречает. В то время, как пароход П отходит из
Гавра, в Гавр прибывает пароход, который вышел из Нью-Йорка 7 суток назад. В
момент прибытия парохода П в Нью-Йорк с начального момента прошло 7 суток, и
в этот момент из Нью-Йорка выходит пароход - последний, который пароход П
встречает на своем пути. Таким образом, пароход П встретит все пароходы,
которые выходили из Нью-Йорка, начиная с 7 суток до начального времени и
заканчивая 7 сутками после начального времени - всего 15 пароходов (если
считать, что пароходы встречаются, когда в один и тот же момент один из них
отходит, а другой - прибывает). (Заметим, что в решении не используется
равномерный или неравномерный характер движения пароходов.)
Ответ. 15.
Задача №19
Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына.
После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное,
они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?
Решение
Встреча происходит всякий раз, когда отец проезжает на длину окружности
больше, чем сын. Сначала скорость изменения расстояния между ними была равна
разности их скоростей. После того как сын стал кататься в противоположном
направлении, скорость изменения расстояния между ними (равная уже сумме их
скоростей) увеличилась в 5 раз. Будем считать, что скорость отца в k раз больше
8
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
скорости сына. Получаем уравнение 5(k – 1) = k + 1, решая которое, находим k =
1,5.
Ответ. В полтора раза.
Задача №20
Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал
с Пети шапку и бросил её на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал
обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку.
Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть
раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора
постоянны и не зависят от направления движения?
Подсказка
Два встречных эскалатора можно представить себе, как движущееся с постоянной
скоростью кольцо, относительно которого шапка неподвижна. Посмотрите на
происходящее с точки зрения шапки.
Решение
Заметим, что два встречных эскалатора образуют движущееся с постоянной
скоростью кольцо (на котором можно кататься, как на карусели), относительно
которого шапка неподвижна. Встанем около шапки и понаблюдаем за бегом ребят.
При этом можно считать, что эскалаторы стоят! И мы увидим, как ребята
одновременно побегут к нам из диаметрально противоположной точки кольца с
равными скоростями, но каждый со своей стороны. Теперь очевидно, что ребята
прибегут к шапке одновременно. Вопрос: найти пробел в доказательстве.
Подсказка: внимательно понаблюдайте за происходящим в случае, когда скорости
ребят очень-очень маленькие (почти нулевые).
Ответ. Если скорости ребят как минимум вдвое больше скорости эскалатора, то они
добегут до шапки одновременно. Иначе первым придёт Витя.
Задача №21
За 2 секунды мама-кенгуру делает три прыжка, а кенгуренок – пять прыжков.
Длина прыжка мамы-кенгуру 6 метров, а длина прыжка кенгуренка в 3 раза
меньше. Мама с кенгуренком играют в догонялки: кенгуренок отпрыгивает на 12
прыжков, после чего мама начинает его догонять, а он прыгает дальше. За какое
время мама его догонит?
Решение
Первый способ. За две секунды мама-кенгуру делает 3 прыжка, длина которых в
три раза больше прыжка кенгуренка, то есть отпрыгивает на 9 прыжков кенгуренка.
Значит, за две секунды расстояние между мамой и кенгуренком сокращается на 4
прыжка кенгуренка. Между ними было 12 прыжков кенгуренка, следовательно,
маме понадобится 6 секунд, чтобы его догнать.
Второй способ. Из условия задачи следует, что мама-кенгуру за 2 секунды
преодолевает 18 метров, а кенгуренок – 10 метров. Следовательно, за одну секунду
мама преодолеет 9 метров, а кенгуренок – 5 метров. Между ними изначально было
12 прыжков кенгуренка, то есть, 24 метра. За 1 секунду расстояние между ними
9
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
сокращается на 4 метра, следовательно, маме понадобится 24:4=6 секунд для того,
чтобы догнать кенгуренка.
Отметим, что в задаче есть избыточные данные: при решении задачи первым
способом не используется длина прыжка мамы-кенгуру.
Ответ. за 6 секунд.
Задача №22
Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живет в 33 км от
города. У отца есть мотороллер, скорость которого 25км/ч, а с пассажиром – 20км/ч
(двух пассажиров на мотороллере перевозить нельзя). Каждый из братьев идет по
дороге со скоростью 5км/ч. Докажите, что все трое могут добраться до бабушки за
3 часа.
Решение
x
Пусть отец проехал с первым из сыновей x км. На это ушло
часа, и они
20
x
3
 15 
опередили второго на
км. Отец едет за вторым из сыновей и
20
4x
3
x
: 30 
встречается с ним через
ч. До встречи с отцом второй сын прошел
4x
40
x 
3x
3x 

 x
км, и до конца пути ему осталось  33   км. Ясно, что все
  5 
8 
8

 20 40 
трое одновременно прибудут к бабушке, если отец подвезет сыновей на равные
3x
расстояния, т.е. x  33 
км, откуда x=24 км. Значит, на дорогу будет затрачено
8
x 33  x 24 9


  3 часа.
20
5
20 5
Ответ. Могут
Задача №23
Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат – 40 мин. Через сколько минут я
догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?
Подсказка
Можно, конечно, составить уравнение, но попробуйте обойтись без этого.
Решение
За 5 мин брат пройдёт 1/8 пути. За каждую минуту я прохожу 1/30 пути, а брат –
1/40, т.е. за минуту я навёрстываю (1/30 - 1/40) = 1/120 часть пути. А 1/8 я
наверстаю, соответственно, за (1/8) : (1/120) = 15 мин, т.е ровно на полпути
до школы.
Ответ. Через 15 мин.
Задача №24
10
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая
мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет
длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?
Решение
Так как первоначальная скорость движения колонны равна 1000 м/мин, то "хвост"
колонны окажется у поста ДПС через 0, 3 минуты после того, как мимо ДПС
проедет
"голова"
колонны. За это время голова
успеет
проехать
40
км/мин . 0, 3 мин = 0, 2 км = 200 м.
60
Ответ. 200 метров.
Задача №25
Саша гостил у бабушки. В субботу он сел в поезд и приехал домой в понедельник.
Саша заметил, что в этот понедельник число совпало с номером вагона, в котором
он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона и что в ту
субботу, когда он садился в поезд, число было больше номера вагона. Какими были
номера вагона и места?
Подсказка
Заметьте, номер одного и того же вагона в субботу был меньше числа,
а в понедельник равен числу.
Решение
Поскольку номер одного и того же вагона в субботу был меньше числа,
а в понедельник равен ему, то очевидно, что суббота и понедельник принадлежат
разным месяцам, т.е. понедельник – первое или второе число, а номер вагона – 1
или 2. Но номер вагона не может быть равен 1, поскольку номер места меньше
номера вагона. Значит, Саша ехал в вагоне - 2 на месте - 1.
Ответ. Вагон -2 место-1
Задача №26
У весов сдвинута стрелка. Когда на весы положили одну связку бананов, весы
показали 1,5 кг. Когда на весы положили связку бананов побольше, весы показали
2,5 кг. Когда взвесили сразу обе связки бананов, весы показали 3,5 кг. Сколько на
самом деле весили связки бананов?
Подсказка
Обозначьте за x вес, компенсирующий сдвиг стрелки, и составьте соответствующее
уравнение.
Решение
Пусть показание сдвинутой стрелки равно x кг (вообще-то x может быть и
отрицательным, это зависит от того, в какую сторону сдвинута стрелка), т.е.
вначале стрелка весов показывает вес в x кг. Тогда в каждом взвешивании весы
показывают вес, на x кг больший, чем настоящий вес. Таким образом, первая связка
бананов весит 1,5-x кг, вторая связка бананов весит 2,5-x кг, а обе связки бананов
вместе весят 3,5-x кг. отсюда можно составить уравнение (1,5-x)+(2,5-x)=3,5-x,
откуда x=0,5 кг. Итак, веса связок бананов составляют 1 кг и 2 кг.
11
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
Ответ. 1 кг и 2 кг.
Задача №27
В одной американской фирме каждый служащий является либо демократом, либо
республиканцем. После того как один из республиканцев решил стать демократом,
тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать
демократами, и тогда демократов стало вдвое больше, чем республиканцев.
Сколько служащих в этой фирме?
Подсказка
Попробуйте представить условия задачи в виде системы уравнений.
Решение
x
Обозначим общее число служащих через x. Тогда на фирме стало
3
2x
республиканцев и
демократов. До этого же момента республиканцев было
3
x
2x 


 3   , а демократов   3   , при этом известно, что количество их было
3
3 


x
2x 


одинаковым. Составим уравнение  3   =   3   , решив которое, получим x
3
3 


= 18. Отсюда вытекает, что первое условие задачи (один республиканец решил
стать демократом) для определения общего числа служащих фирмы лишнее, хотя
оно могло бы понадобиться для определения первоначального количества
республиканцев и демократов в отдельности.
Ответ. 18 служащих.
Задача №28
Лёша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир (в доме один
подъезд). Номер этажа Лёши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их
квартир равна 329. Каков номер квартиры Лёши? Ответ обоснуйте.
Решение
Пусть Лёша живёт на этаже с номером Э в квартире 9Э – К. Тогда Ира живёт в
квартире Э и по условию Э + 9Э – К = 10Э – K = 329. Поскольку 0 ≤ K≤8, то
получаем единственное решение К = 1, Э = 24. Поэтому Лёша живёт в квартире с
номером 9Э – К = 296.
Ответ. 296.
Задача №29
В банановой республике прошли выборы в парламент, в котором участвовали все
жители. Все голосовавшие за партию ''Мандарин'' любят мандарины. Среди
голосовавших за другие партии 90% не любят мандарины. Сколько процентов
голосов набрала партия ''Мандарин'' на выборах, если ровно 46% жителей любят
мандарины?
12
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
Подсказка
Найдите двумя способами, сколько человек любят мандарины.
Решение
Пусть всё население республики – N человек, из них за '' Мандарин'' проголосовало
M человек. Тогда, с одной стороны, мандарины любят 0, 46 . N человек, а с другой
стороны, это число равно числу проголосовавших за ''Мандарин'' плюс десять
процентов от оставшихся (т. е. 0, 1 . (N - M)).
Получаем уравнение
M + 0, 1(N - M) = 0, 46 . N,
или
M + 0, 1 . N - 0, 1 . M = 0, 46 . N,
или
0, 9 . M = 0, 36 . N,
откуда
 0,36

 0,4 ,

0,9
т. е. за ''Мандарин'' проголосовало 40% населения республики.
Ответ. 40%.
Задача №30
Несколько одинаковых по численности бригад сторожей спали одинаковое число
ночей. Каждый сторож проспал больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше,
чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали
1001 человеко-ночь?
Подсказка
1001 = 7 . 11 . 13, причём это разложение единственно.
Решение
Обозначим через s число сторожей в бригаде, через b число бригад, а через n –
число ночей, которые проспал один сторож. Тогда s . b . n = 1001. Но 1001 = 7 . 11 .
13, причём числа 7, 11, 13 – простые. Учитывая, что по условию s < n < b, получаем
s = 7.
Ответ 7.
Задача №31
Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг
от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4
км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий
снег, где их скорость стала всего 3 км/ч. Каким стало расстояние между ними?
Решение
Посмотрим, что происходило с расстоянием между лыжниками, когда они начали
подниматься в горку. Сначала первый лыжник подошел к ее основанию; второй
при этом отставал от первого на 200 метров. Когда подниматься в горку начал
второй лыжник (это произошло через 0.2/6 часов), первый был от него на
13
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
расстоянии (0.2/6) ∙ 4 ∙ 1000=200 ∙ (4/6) метров, то есть начальное расстояние
умножилось на отношение скоростей.
Рассуждая аналогично, получим, что в конце расстояние между лыжниками будет
равно 200 ∙ (4/6) ∙ (7/4) ∙ (3/7)=200 ∙ (3/6)=100 метров.
Ответ. 100 метров.
Задача №32
В коробке синие, красные и зелёные карандаши. Всего 20 штук. Синих в 6 раз
больше, чем зелёных, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных
карандашей?
Подсказка
Подумайте, сколько может быть синих карандашей.
Решение
Значит, синих и зелёных вместе – 7 или 14. Синих, соответственно, 6 или 12,
а зелёных – 1 или 2. Поскольку всего карандашей 20, то для красных осталось две
возможности: либо их 20 - 7 = 13, либо 20 - 14 = 6. Но красных меньше, чем синих,
значит, единственный возможный ответ: 12 синих карандашей, 2 зелёных
и 6 красных.
Ответ. 6 красных карандашей.
Задача №33
Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У
всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?
Решение
Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по 2 кольца. Тогда всех колец
было бы 20 ∙ 5 = 100, а по условию задачи их 128. То есть мы сняли 128 - 100 = 28
(колец). Так как с каждой большой пирамиды мы сняли по 2 кольца, то больших
пирамид было 28 : 2 = 14.
Ответ. 14 больших пирамид.
Задача №34
Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2
кг 400 г. Сколько весят один гусенок?
Решение
Эту задачу обычно решают с помощью системы уравнений. Решим, составляя
верные равенства. Например, запишем коротко условия задачи:
3ут + 4гус =2500
4ут + 3гус =2400
Что теперь можно определить? Например, вес 7 утят и 7 гусят (4900 г), затем вес 1
утенка и 1 гусенка (700 г), а потом вес 3 утят и 3 гусят (2100 г). Сравнение
полученного результата с первым условием показывает, что 1 гусенок весит 400 г.
Ответ. гусенок весит 400 г
Задача №35
14
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2008-2009 учебный год
_____________________________________________________________________________________________
Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним
из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В,
повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько
часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно
30 км?
Решение
Приведем «длинное» решение задачи без пояснений.
1) 30 : 10 = 3 (ч);
4) 10 + 5 = 15 (км/ч);
2) 5 ∙ 3 = 15 (км);
5) 15 : 15 = 1 (ч);
3) 30 - 15 = 15 (км);
6) 3 + 1 = 4 (ч).
Его можно упростить, заметив, что в задаче речь идет по сути дела о движении
навстречу друг другу с удвоенного расстояния. Тот же ответ получится, если
переформулировать условие задачи следующим образом:
«Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Из пункта А в пункт В вышел
пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал
велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после начала движения
они встретятся?»
1) 130-2 = 60 (км);
А
В
2) 10 + 5 = 15 (км/ч);
3) 60 : 15 = 4 (ч).
Это редкий пример удачной переформулировки задачи, приводящей к
упрощению ее решения. В задачах 83(2, 3) «длинное» решение в натуральных
числах вообще невозможно.
Ответ. Через 4 часа.
15
_________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС «Центр медиаобразования», г.о. Тольятти
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.mec.tgl.ru
e-mail: doom@mec.tgl.ru
тел.: (8482)327340