Лекция 18 Спин 1/2. Спиновые функции, операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложение по спиновым функциям Целый ряд элементарных частиц – электроны, нейтроны, протоны и другие – обладают спином s 1/ 2 . По этой причине рассмотрим подробно свойства спиновых функций и операторов именно в этом случае. В этом случае проекция спина на ось z может принимать два значения sz 1/ 2 и sz 1/ 2 , а потому спиновые волновые функции представляют собой двухкомпонентные спиноры C1 C2 sz (1) причем вероятности различных значений проекции спина на ось z равны w sz 1/ 2 | C1 |2 w sz 1/ 2 | C2 |2 (2) Построим матрицы спиновых операторов в sz -представлении. В этом представлении базисными функциями являются собственные функции оператора sˆ z . Очевидно такими функциями являются следующие спиноры 1 e1 sz 0 0 e2 sz 1 и (3) Действительно, в состоянии e1 sz проекция спина на ось z принимает единственное значение sz 1/ 2 , и, следовательно, эта функция – собственная для оператора sˆ z , отвечающая собственному значению +1/2. Аналогично, функция e2 sz - собственная функция оператора sˆ z , отвечающая собственному значению -1/2. Очевидно, искомые матрицы спиновых операторов представляют собой матрицы размерности 2 2 . Начнем с построения матрицы оператора sˆ z . Так как функции (3) – собственные функции оператора sˆz , то для искомой матрицы оператора sˆz выполнены следующие условия a11 a12 1 1 1 2 0 a21 a22 0 a11 a12 0 1 0 2 1 a21 a22 1 Из формул (4) находим 1 (4) 1 1 0 sˆz 2 0 1 (5) Для построения матриц операторов sˆx и sˆy найдем сначала матрицы операторов sˆ sˆx isˆy . Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций спина та- кие же, как для операторов орбитального момента, то при действии операторов ŝ на собственные функции оператора sˆz получаются также собственные функции этого оператора, отвечающие на единицу большему или меньшему собственному значению. При действии операторов ŝ ( ŝ ) на собственную функцию, отвечающую максимальному (минимальному) собственному значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец. Поэтому 1 0 sˆ 0 0 0 1 sˆ 1 0 (6) 0 0 sˆ 1 0 (7) 1 0 i sˆy 2i 0 (8) Из соотношений (6) найдем, что 0 1 sˆ 0 0 Из (7) и определения операторов ŝ находим 1 0 1 sˆx 2 1 0 Матрицы операторов sˆx , sˆy и sˆz (5), (8) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и обозначаются x , y и z . Матрицу оператора ŝ 2 легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов проекций момента (5), (8) 3 1 0 sˆ2 4 0 1 (9) Матрицу (9) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец) является собственной функцией оператора ŝ 2 , отвечающей собственному значению 1/ 2 (1/ 2) 1 3/ 4 (так как квадрат вектора спина такой частицы имеет в любом состоянии определенное значение), то матрица оператора ŝ 2 является диагональной, причем диагональные матричные элементы равны 3/ 4 , то есть матрица оператора ŝ 2 и есть матрица (9). 2 Свойства матриц Паули А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовыми. Б. Для всех матриц Паули выполнено условие x2 = y2 = z2 = 1 , где 1 – единичная матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼). В. i k = ik i ikl l Г. Любая матрица (2 2) может быть представлена в виде: U (2 2) = a0 a . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули ( {1, i } ) образуют полный набор матриц (2 2 ), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц). Д. i k k i = 2 ik . В частности, x y = y x , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения. Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси [ i k ] = 2i ikl l (двойка в этом соотношении связана с тем, что sˆi (1/ 2) i ). Рассмотрим теперь такой вопрос. Пусть частица находится в состоянии C1 C2 sz (10) Какие значения может принимать в этом состоянии проекция спина на ось x и с какими вероятностями? Для ответа на этот вопрос необходимо найти собственные функции оператора sˆx и разложить по ним функцию (10). Решаем уравнение a1 1 0 1 a1 a a 2 1 0 2 2 или 3 (11) 1 a2 a1 2 1 a1 a2 2 (12) Система однородных алгебраических уравнений (12) имеет ненулевые решения в том случае, когда определитель этой системы равен нулю 1 2 1 2 0 (13) Отсюда находим возможные значения проекций спина на ось x (которые, как это и должно быть, равны возможным значениям проекции спина на ось z ): 1 1 2 2 1 2 (14) Подставляя теперь собственные значения (14) в систему уравнений (12), находим собственные функции 1 sz 1 1 2 1 2 sz 1 1 2 1 (15) (множители возникли из условия нормировки). Разложим теперь функцию (10) по собственным функциям (15). Это разложение имеет следующий вид C1 C1 C2 C C 1 1 2 2 2 2 C2 (16) Отсюда согласно постулатам квантовой механики находим вероятности различных значений проекции спина на ось x в состоянии (10): w sx 1/ 2 C1 C2 2 w sx 1/ 2 2 C1 C2 2 2 (17) Из формул (17), в частности, следует, что если частица находится в состоянии с определенной проекцией спина на ось z ( C1 1, C2 0 или C1 0, C2 1 ), то вероятности различных значений проекции спина на ось x одинаковы, что находится в соответствии с общим результатом, полученным ранее для собственных состояний операторов момента импульса в квантовой механике. В заключение отметим, что из формул (17) для вероятностей следует, что среднее значений проекции спина на ось x равно 4 1 C1 C2 1 C C2 sx 1 2 2 2 2 2 2 (18) Этот же результат можно получить, с использованеим квантовомеханической формулы для средних sx , sˆx где - спиновая функция (10), а матрица оператора sˆx определяется формулой (8). 5 (19)