Методичка Линейная алгебра

Данные методические указания предназначены для студентов I курса всех специальностей и всех форм обучения и для
преподавателей кафедры высшей математики. Студентам они
помогут усвоить теоретический материал и овладеть необходимыми практическими навыками, преподавателям – организовать самостоятельную работу студентов. Указания содержат
список литературы, рекомендации по решению типовых задач,
теоретические сведения, задачи для самостоятельного решения.
Методические указания построены в форме ответов на основные вопросы раздела “Линейная алгебра”.
ТЕМА 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1. Ключевые вопросы теории. Краткие ответы
1.1. Что такое матрица ?
Числовой матрицей размерности (m x n) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
 а11 а12 ... а1n 


A =  a21 a22 ... a2 n  .


 am1 am2 ... am n 
1.2. Перечислить основные виды матриц.
а) прямоугольные (матрицы размерности m x n)
0 1
4  3


1  2 7 
5
 4 3 


1
 0
1
7 

размерность (2 х 4)
размерность (3 х 2)
б) матрица - строка размерности (1 х n)
(0 -4 6 8 9) размерности (1 х 5)
в) матрица – столбец размерности (m х 1)
5
 
6
7
 
8 
 
размерность (4 х 1).
1.3. Какая матрица называется квадратной ?
Матрица размерности (n x n) называется квадратной матрицей порядка n.
1.4. Привести примеры квадратных матриц.
а) квадратная матрица порядка n
0
1  1


9  квадратная матрица порядка 3
7 8
5 6  4 


б) верхняя и нижняя треугольная матрицы
3  4

1
0
0
0

6

5
2 
2

6
7

0
5
6
0

0
3 
в) диагональная матрица
2

0
0

0
1
0
0

0
7 
г) единичная матрица порядка 3
1

Е = 0
0

0
1
0
0

0 .
1 
1.5. Что такое элементы матрицы ?
Числа аij, из которых составлена матрица, называются
элементами матрицы. Число i обозначает номер строки, а j –
номер столбца, на пересечении которых в матрице А расположен элемент аij.
Матрица А размерности (m x n) обозначается через
А = (аij)mn.
1.6. Дать определение главной диагонали квадратной
матрицы.
Главная диагональ квадратной матрицы А порядка n образована элементами, стоящими на линии, соединяющей элемент
а11 с элементом аnn.
1.7. Какие операции можно выполнять над
матрицами ?
К операциям над матрицами относятся: сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу.
1.8. Любые ли две матрицы можно сложить (вычесть) ? Cформулировать правило сложения (вычитания)
матриц.
Cкладывать (вычитать) можно лишь те матрицы, размерности которых совпадают.
Правило: для того, чтобы сложить (вычесть) две матрицы, надо сложить (вычесть) их соответствующие элементы, то
есть элементы, стоящие на одних и тех же местах.
Если А (аij)mn, B = (bij)mn, матрица С = А + В, то
сij = аij + bij.
1.9. Любую ли матрицу можно умножить на число ?
Сформулировать правило умножения матрицы на число.
Любую матрицу можно умножить на отличное от нуля
число.
Правило: для того, чтобы умножить матрицу на отличное
от нуля число, надо все элементы матрицы умножить на это
число
  (аij)mn = ( аij)mn
1.10. Любые ли две матрицы можно перемножить ?
Сформулировать правило умножения матрицы на матрицу.
Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число
элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце матрицы В.
Если (m x n) – размерность матрицы А, (n x p) – размерность матрицы В, то матрицу А можно умножить на матрицу В;
при этом получится матрица С = А  В размерности (m x р).
Формально:
(m x n)  (n x p) = (m x p).
Правило: элемент сij матрицы С = А  В равен сумме
произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В.
1.11. Какие матрицы называются перестановочными ?
Матрицы А и В называются перестановочными, если
АВ = ВА.
2. Решение задач
Пример 1. Даны две матрицы:
3 4


А = 5 6 ,
 7 8


 0 1 


В=  3
2 .
 5
4 

Найти матрицы: А + В, 2А – 4В.
Решение. Матрицы А и В можно складывать и вычитать,
так как их размерности совпадают. По правилу сложения матриц:
3  0 4 1  3 3 

 

А + В = 5  3 6  2 = 8 8  .
 7  5 8  4   2 12 

 

По правилу вычитания матриц:
3  0 4  1   3 5 

 

А - В = 5  3 6  2  =  2 4 .
 7  5 8  4  12 4 

 

Прежде, чем найти матрицу 2А – 4В, найдем матрицы 2А
и –4В, воспользовавшись правилом умножения матрицы на
скаляр:
6

2А = 10
14

8

12 
16 
 0

- 4В =   12
 20

4 

8  .
 16 
  35 3
 5 24
Согласно правилу сложения матриц имеем
 60 84 
 6



2А – 4В = 10  12 12  8  =   2
14  20 16  16 
 34



12 

4
0 
Контроль: (2 х 3) ( 3 х 3) = (2 х 3).
Пример 2. Даны матрицы
4

6 , В =
8 
 0 3  5

 ,
1 2 4 
 1

C =  5
4

0
6
3
2

1 .
0 
Указать все возможные произведения матриц и найти любые два. Запишем размерности матриц: А = (3 х 2), B = (2 x 3),
C = (3 x 3). Можно найти А  B, B  C, C  A. Найдем АВ и ВС.
3

А  B = 5
7

4

6
8 
 3  0  4  (1)

 5  0  6  (1)
 7  0  8  (1)

 0 3  5

 =
1 2 4 
33  4 2
53 62
73 82
3  (5)  4  4    4
 
5  (5)  6  4  =   6
7  (5)  8  4    8
0  2  3 1  5  0 
 =
 1  2  2  1  4  0 
3
.
0 
= 
Матрицу 2А – 4В можно было искать как разность матриц
2А и 4В.
3

А = 5
7

0
2
 1

 0 3  5 
   5 6
В  С = 
1 =
1 2 4  
3
0 
4
00  36  53
 0 1  3  5  5  4
= 
 1 0  2  6  4  3
  11  2  5  4  4
Пример 3. Найти все матрицы, перестановочные с матри 1 2
 .
  1  1
цей А = 
а b 
 . Найдем ее элементы
c d
 1 2   а b   а  2 с b  2d 
 
 = 

АВ = 
  1  1  c d    a  c  b  d 
Решение. Пусть В = 
а b   1 2 
 а - b 2a - b 
 
 = 

 c d    1  1
 c - d 2c  d 
ВА = 
Так как АВ = ВА, то выполняются равенства
17
27
37
1

 1 .
 3 
Размерность матрицы произведения проверим по размерностям матриц А и В: (3 x 2)  (2 x 3) = (3 x 3)
 а  2с  a  b
 2с   b
если а  а,
b  2d  2a  b
d  a  b

с  с,




=
.



 a  c  c  d
d  a  2c то b  2c
 b  d  2c  d
b  2c

d  a  2c
 а - 2c 
 , где а и с – любые числа.
Итак: В = 
 c a  2c 
3. Банк задач для самостоятельной работы
1. Даны матрицы
2
А = 
0
1

 4 
1
1
 2
В = 
 3
0
.
2 
1
2
0

1
2

3

2
3
Найти матрицы: 3А, 2B, 3A + 2B, A – B, 3A – 2B.
2. Даны матрицы
1 2 


С = 3 1  ,
 2 3


 6
 
3

  2
3  , E = (4 0 -2 3 1), F =   .
7
 
2 
 4
 
3  2
 ,
А = 
5  4 
5

D = 4
3

0
2
1
5
3
В = 
2
1 1
4
,
5 
Указать все произведения матриц, которые имеют смысл и
найти эти произведения.
5
7
Ответ. АВ = 
13

СА = 14
 21

 24

 8
FE = 
28

16

 10 

 10 
 16 
0
0
0
0
 12
2
 29
 ВА = 
0
 31
 7 14 


CB = 11 17 
12 23 


 22 

 24 
6

4  6  2
.
 14 21 7 

 8 12
4 
18
3. Вычислить произведение матриц
 56 
 
DF =  69 
17 
 
1

2
3

4 
0
1
1

 2
 1

1

2
1 
 5
 
15 
Ответ.   .
25
 
 35 
 
4 
  .
 1
В задачах 4 – 6 вычислить:
1
4. 
3
 2

 4 
3
13
Ответ. 4. 
 21
n
1
5. 
а
а

1 
λ
6. 
0
 14 

 22 
5. 
1
0
n а

1 
 n
0

λ
6. 
1

λ 
n
n n -1 
.
λ n 
В задачах 7 – 9 найти все матрицы, перестановочные с
данной.
1
3
2
.
4 
7
5
 3

 2 
7. 
8. 
3

9.  0
0

1
3
0
 а 2b

 , где а и b – любые числа.
 3b a  3b 
Ответ. 

а
  5b
Ответ. 
0

1
3 
3b 
 , где а и b – любые числа.
a  9b 
а b с 


Ответ.  0 a b  , где а, b, c – любые числа.
0 0 a


4. Варианты проверочных работ
Даны матрицы А, B, C, D. Указать все произведения матриц, которые имеют смысл и найти два из них.
1

4
 , C =  4
6
7

3
1. А = (1 0 1), B = 
5
 2
2. А = 
 4
8
3. А = 
7
3
0
9
1
5
 
1
 , B =  6  , C =
 1
7
 
0
, B=
1 
5
7
4. А = (2 8 7), B = 
8

5. А =  0
5

9

1, B =
6 
3

8
3
5
6
8
9
0

2
5

5
, С=
1 
 6
, C=
1 
2
1

0 , D =
2 
8 
  .
9
1

4  , D = (3 -4).
7 
1 
 
 2  , D = (2 0 5 1).
3
 
 7

1
1 
 
 2  , C = (5 0 7), D =
3
 
1 
 
0
0
 , D =   .
2
4
 
3
 
1
3
3

1
1
.
2  6 
4
0
7

4
2
7. A = 
3
 0

1
3 8 0 


4
 , C = 1 1 1  , D = (7 6 4).
5
2 1 2 


2
2
3
4
5
8
9
7
 
10. A =  8  , B =
9
 
6
, B=
0 
1

2
1
2
2
.
3 
7
 
 3 1

 , C = (-5 0 3), D =  0  .
  1 2
8 
 
1
 4


 0  1 , C =
 2
4 

3

0
4 5
1 1
6
 , D = (-4 5 6),
2 
ТЕМА 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА И
ВЫЧИСЛЕНИЕ. МЕТОД КРАМЕРА
0
1

0 , C =
1 
3
, B =
1 
3
9. A = 
7
1

3  , C = (1 2 3), D =
0 
1. Ключевые вопросы теории. Краткие ответы
2

6. А = (1 1), B =  3
4

1
0

 4
8. A =   , B =  2
5
4

6
, D =
3 
3

0
8
1
0
.
2 
1.1. Что называется определителем?
Определителем или детерминантом квадратной матрицы
А порядка n называется число, вычисляемое по определенному
правилу по элементам матрицы. Определитель матрицы А порядка n обозначается через n А или det A.
1.2. Как вычисляется определитель второго
порядка ?
Он вычисляется по правилу:
а11
а12
а 21
а 22
= а11 а22 – а21 а12.
1.3. Как вычисляется определитель третьего
порядка ?
Он вычисляется по правилу:
а11
а12
а13
а 21
а 22
а 23 = а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 –
а 31
а 32
а 33
- а31 а22 а13 - а21 а12 а33 – а11 а32 а23.
Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части
последней формулы есть произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Каждому произведению приписывается знак. Для
того, чтобы запомнить, какие произведения берут со знаком
плюс, какие со знаком минус, полезно правило треугольников,
схематически изображенное на рисунке:
+
-
1.4. Что называется минором элемента матрицы
порядка n ?
Минором Мij элемента аij квадратной матрицы А порядка
n называется определитель порядка (n – 1), полученный из
элементов матрицы А после вычеркивания из нее строки с номером i и столбца с номером j, на пересечении которых стоит
в матрице А элемент аij.
1.5. Что называется алгебраическим дополнением
элемента матрицы порядка n ?
Алгебраическим дополнением элемента аij порядка n
называется минор этого элемента Мij, взятый со знаком (-1) i + j:
Aij = (-1) i + j Мij.
1.6. Сформулировать теорему, которую используют
при вычислении определителей любого порядка.
Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме
произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их
алгебраические дополнения.
Следствие. Определитель треугольной матрицы равен
произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.
1.7. Каковы рациональные способы вычисления
определителей высших порядков ?
Таких способов два.
Первый способ: получить в какой-либо строке (или
столбце) все нули, кроме одного элемента и разложить определитель по этой строке или столбцу.
Второй способ: привести матрицу к треугольному виду и
использовать последнее следствие.
1.8. Как получить нули в какой-либо строке (или
cтолбце) матрицы ? Как привести ее к треугольному
виду ?
Это можно сделать, пользуясь свойствами определителя:
Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы. Под транспонированием матрицы понимают
такое преобразование этой матрицы, при котором каждая ее
строка делается столбцом с тем же самым номером.
Свойство 2. При перемене местами двух строк (или
столбцов) определитель меняет знак.
Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки (или
столбца) умножить на отличное от нуля число, определитель
умножится на это число.
Свойство 4. Если каждый элемент какого-либо столбца
(строки) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующего столбца (строки) являются первые
слагаемые, у другого – вторые. Остальные элементы у этих
двух определителей те же, что и у данного.
Свойство 5. Определитель, имеющий нулевую строку
(или столбец), равен нулю.
Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых
столбца (или строки), равен нулю.
Свойство 7. Определитель, у которого элементы двух
строк (или столбцов) соответственно пропорциональны, равен
нулю.
Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (или строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные
на одно и то же число.
1.9. Как решается система n линейных уравнений
с n неизвестными с помощью определителей ?
Изложить суть метода Крамера.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными х1, x2, …, xn:
а11 х1  а12 х 2  ...  a1n x n  b1

a21 x1  a22 x 2  ...  a2n x n  b 2

. . . . . . . . . . . .
an1 x1  an2 x 2  ...  an n x n  b n

определитель основной матрицы системы отличен от нуля.
Неизвестные системы находятся по формулам Крамера
xj =
а12 ... а1n
a 22 ... a 2n
. . . .
a n2 ... a n n
D
,
где D – определитель основной матрицы системы, а Dj – определитель, который получается из определителя основной матрицы системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
2. Решение задач
Пример 1. Вычислить определитель
Решение.
2 3
4
5
2 3
4
5
.
= 2  5 – 4  (-3) = 10 + 12 = 22.
()
Пример 2. Вычислить определитель разными способами
2 0 1
Числа аik называются коэффициентами при неизвестных
этой системы, а числа b1, b2, …, bn – cвободными членами.
Матрица
 а11

 a 21
А= 
. .

 a n1

Dj



,



составленная из коэффициентов при неизвестных, называется
основной матрицей системы.
Теорема. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
3 4 5 .
1 0 6
Решение. а) Вычислим по правилу треугольников:
2 0 1
3 4 5
= 2  4  6 + 0  5  (-1) + 3  0  1 – 1  4  (-1) –
1 0 6
-
0  3  6 – 0  5  2 = 48 + 4 = 52.
б) Вычислим, разложив по элементам первой строки:
2 0 1
3 4 5
=2
1 0 6
4
5
0
6
-0
3
5
1
6
+1
3
4
1
0
=
= 2  24 – 0 + 1  4 = 48 + 4 = 52.
в) Вычислим, разложив по элементам второго столбца:
2 0 1
3 4 5
= -0
1 0 6
3
5
1
6
+4
2
1
1
6
-0
2
1
3
5
=
= 0 + 4  13 – 0 = 52.
Вынесем за знак определителя общий множитель элементов второй строки равный 5 и вычислим определитель, расписав его по элементам первого столбца:
0 1
0
=45
1
0
 6  10
2
4
4
3
4
3
=
4
0
7
2
2 0
7 10
4
4 5
4 3 2
=
= 4
7
2
4
0
2 0
7 10
4
4 5
4 3 2
2
=4
7
 = 20 
.
2
 = 20 
3
4
4
3
2
1
6
 10
0
9
 16
0
 27
 38
1
6
 10
0
9
 16
0
0
10
3х  2у  7
.

4х  5у  40
0
 2 2 7 10
=
1 4
4 5
0 4 3 2
= 20  (-1)  (-9)  10 = 1800.
ра:
Решение. Вычисляем определители 2-го порядка:
D=
 6  10
15
20
D1 =
1
0
4
3
D2 =
5
2
2
Пример 4. Решить систему уравнений по правилу Краме-
0 1
0 10
4
4
= 20 
 6  10
Умножим вторую строку на -3 и прибавим к третьей:
Решение. Вынесем за знак определителя общий множитель элементов первого столбца равный 4. Постараемся получить в первом столбце нули, кроме одного, для чего умножим
третью строку на (-2) и прибавим к первой, умножим третью
строку на 2 и прибавим ко второй:
8
8
1
Приведем последний определитель к треугольному виду.
Умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, умножим
первую строку на 4 и прибавим к третьей:
Пример 3. Вычислить определитель 4-го порядка
8
8
4
5
2
3
2
4
5
= -15 – 8 = -23  0
7
2
40
5
3
7
4
40
= -35 –80 = -115
= 120 – 28 = 92
D1
 115
=
=5
D
 23
x=
y=
D2
92
=
= -4.
D
 23
4.
3
6
5
10
Ответ. х = 5, у = -4.
Пример 5. Решить систему уравнений по правилу Кра-
4
3
D= 1
2
4 = -25  0
3
1
5
2
1
3
D2 = 1
3
4 =0
3
2
5
1
4
3
D1 = 3
2
4
2
1
5
2
4
1
D3 = 1
2
3 = -25
3
1
2
= 25
1.
11
4
5
2
2.
3
4
1
2
3.
1
5
4
2
sin α
.
cos α
3
3
2
1
1
2
0
7. 4
5
6
8.  2
1
3
9. 0
1
3
7
8
9
2
0
2
5
0 1
2
1
0
2
1
3
0
а
а
10. 1
0
3
11.  2
3
2
12. а
0
а
5 1
0
2
5
а
а
0
0
Ответ. 7) 0; 8) –12; 9) 29; 10) –29; 11) 0; 12) 2а3.
В задачах 13 – 16 вычислить определители 4-го порядка:
3. Банк задач для самостоятельной работы
В задачах 1 – 6 вычислить определители 2-го порядка:
10
2
13.
Ответ. х = -1, y = 0, z = 1.
5
cos α  sin α
6.
1
Находим решение системы по правилу Крамера:
D
D
D
x = 1 = -1, y = 2 = 0, z = 3 = 1.
D
D
D
16
В задачах 7 –12 вычислить определители 3-го порядка:
Решение. Вычисляем определители третьего порядка:
2
3
Ответ: 1) 2; 2) 10; 3) 18; 4) 0; 5) –50; 6) 1.
мера:
2х - 4у  3z  1

 х  2у  4z  3 .
3x - y  5z  2

5.
15.
3
2
0
2
0
0
0
0
1
1
3 1
5
3
0
5
1
2
3
4
2
3
4
3
4
1
4
1
2
1
2
3
14.
16.
2
1
3
4
0
0
0
1
0
0
5
5
0
3
3
2
2
1
5
3
1
1
2
2
1
1
2
3 4
5
1
Ответ. 13) 30; 14) –20; 15) 160; 16) 54.
1
В задачах 17 – 18 вычислить определители, предварительно упростив их:
х2  а2
17. у 2  а 2
2
z а
2
7 8
10 11
18. 5 3
6 7
7 10
ах 1
ау
1
аz
1
5
6
6
5
7
3.
5 3
7 5
2 5
4 2
5 0
2
7
2
1
1
3
0
1
4
5
1
0
1
0
2
3
Ответ. 17) а (х – у) (у – z) (x – z); 18) 5.
5.
В задачах 19 – 20 решить системы по правилу Крамера:
5
2
4
1 2
0
1
20. 
Ответ. 19) х = 16, у = 7;
20) x = 2, y = 3.
4. Варианты проверочных работ
1.
0
5
1
2
0
3
6
5
4
1
2.
Ответ. –205.
2
1
2
2
0
1
4
1
3 1 2 4
3 4 3
1
2 2 1
0
Ответ. 244.
6.
2
3
1
4
2
1
0
2
2
1
1
2
0
3
1
2
Вычислить определитель 4-го порядка, получив предварительно нули в какой-либо строке (столбце):
2
2
4
3
2
0
5
4
1
0
3
0
1
5
2
3
0
3
4
Ответ. –61.
7.
1
6
3
3у - 4х  1
.
3х  4у  18
19. 
1
3
4.
0
Ответ. –1.
3
3х - 5у  13
2х  7у  81
1
2
0
1
3
6
0
4
3
2
2
9
1
0
0
3
6
Ответ. –216.
Ответ. –144.
2
0
2
1 1
4 5
1 2
2
1
3
3
0
3
3
8.
Ответ. 32.
9.
1
4
0
1
4
1
0
2
3
1
1
4
2
3
3
2
Ответ. 200.
10.
1
0
2
1
2
2
1
4
2
3
4
5
1
3
0
2
Ответ. –48.
Ответ. 61.
ТЕМА 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ
МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД
РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
 A 11 A 21 ... A n1 


~
 A 12 A 22 ... A n2 
.
А = 
. . . . . . 


A

 1n A 2n ... A nn 
1. Ключевые вопросы теории. Краткие ответы
1.1. Какая матрица называется невырожденной ?
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее
определитель отличен от нуля.
1.2. Дайте определение обратной матрицы.
Матрица А-1 называется обратной для невырожденной
матрицы А, если выполняются условия:
А-1  А = А  А-1 = Е,
где Е – единичная матрица.
1.3. Любая ли квадратная матрица имеет
обратную ?
Теорема (условие существования обратной матрицы).
Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда,
когда эта матрица А является невырожденной. Если обратная
матрица существует, то она является единственной.
1.4. Как найти обратную матрицу ?
Для этого нужно:
1. Вычислить det A. Если det A  0, то матрица А-1 существует.
2. Составить союзную матрицу А, элементами которой
являются алгебраические дополнения элементов матрицы А:
 A11

A

А =  21
. .

A
 n1
A12 ...A1n 

A 22 ...A 2n 
. . . . 

A n2 ...A nn 
3. Транспонируя матрицу А, получить матрицу Ат, которую называют присоединенной матрицей и обозначают через
~
А:
~
4. Матрицу А умножить на число
1
1
 :
det A Δ
 А11 А 21 А n1 
...



 
 
 A12 A 22 A n2 
...
~
1

-1
A =
А =  

 

det A
. . . . . . 
A
A 2n A nn 
 1n

...

 
 
5. Сделать проверку: A-1  А = А  A-1 = Е.
1.5. Как решить матричное уравнение ?
Существуют два основных типа матричных уравнений:
А  Х = В и Х  А = В, где Х – неизвестная матрица, А и В –
известные матрицы.
Для того, чтобы решить уравнение А  Х = В, надо обе его
части умножить слева на А-1:
А-1  А  Х = А-1  В.
Так как А-1  А = Е, то получим
Е  Х = А-1  В.
Поскольку Е  Х = Х  Е = Х, то
Х = А-1  В.
Для того, чтобы решить уравнение Х  А = В, надо обе его
части умножить справа на А-1:
А-1 = В  А-1
Х Е = В  А-1
Х = В  А-1.
Ясно, что для решения уравнения А  Х  В = С нужно это
уравнение умножить слева на А-1 и справа на В-1:
А-1 А  Х  В  В-1 = А-1  С  В-1
Е  Х  Е = А-1  С  В-1
Х = А-1  С  В-1.
1.6. Изложить суть матричного метода решения
систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Такую систему () можно записать в виде матричного
уравнения А  Х = В, где А - основная матрица системы, Х –
матрица-столбец из неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. Решение уравнения Х = А-1  В. Таким образом, для
того чтобы решить систему n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом, надо:
1) найти матрицу, обратную основной матрице системы;
2) умножить полученную обратную матрицу на матрицустолбец свободных членов.
Поскольку обратная матрица существует только для невырожденных матриц, матричным методом можно решать
только те системы n уравнений с n неизвестными, которые
имеют невырожденную основную квадратную матрицу.
ХА
2
Решение. 1. det A =
 2 2 3


А =  1  1 0
  1 2 1


и сделать проверку.
1 1 0 = 2
1
+3
1 1
1
1
2 1
0
-2
2 1
1 0
1 1
= 2  (-1) – 2  1 + 3  1 = -1  0, следовательно, су-
2
ществует А-1.
2. Найдем союзную матрицу А:
1
А11 =
2 3
А21 = -
А31 =
0
2 1
2 1
2 3
1 0
= -1; А12 = -
1 0
1 1
2 3
= 4; А22 =
1 1
= 3; А32 = А
2 3
1 0
1

= 4
 3

1 1
= -1; А13 =
1
2 2
= 5; А23 = -
= 3; А33 =
2
1 2
= 1;
= -6;
2
2
= -4.
1 1
1
1

5  6 .
3  4 
3. Транспонируем матрицу А:
3
1 4


~

5
3 .
А = А т = 1
 1  6  4


2. Решение задач
Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице
2 3
4. Получаем матрицу А-1:
3  1
1 4
 
1 ~
1 
5
3 =  1
А =
А =
1
det A
1 
 
 1  6  4   1
-1
Сделаем проверку: А  А-1 = А-1  А = Е.
4
5
6
 3

 3 .
4 
+
2
2

А  А =  1 1
 1 2

 2  2  3  8  10  18

=  11 0  4  5  0
 1  2  1
4  10  6

-1
 1 4

 1 5
 1
6

 6  6  12 

330  =
3  6  4 
 3

 3 =
4 
3

0
1 
1

0
0

 1

Х=  1
 1

4
 3

 3
4 
5
6
 15  4 - 18  1 
15 
 

  
 - 1  =  15  5 - 18  =  2  .
 - 15 - 6  24   3 
 6

  
 
Итак, решение данной системы: х1 = 1, х2 = 2, x3 = 3.
0

1 0  = Е.
0 1
0
Пример 3. Решить уравнение
2  2  3


3
0 Х=
1
0
4
1

Итак, обратная матрица найдена верно.
Пример 2. Решить систему уравнений матричным спосо-
1 
 
 2 .
1 
 
бом:
Решение. Это уравнение вида А  Х = В, решение которого Х = А-1  В.
Найдем матрицу А-1:
2х 1  2х 2  3х 3  15

 1
 х1  х 2
 х  2х  х  6
2
3
 1
2 2 3
Решение. Рассмотрим три матрицы: А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных х1, x2, x3, В –
матрица-столбец свободных членов:
2
2

А =  1 1
 1 2

3

0 ,
1 
 х1 
 
X = х2 ,
х 
 3
15 
 
B = -1  .
 6
 
Пользуясь правилом умножения матриц, система может
быть записана в матричной форме:
2
 2

 1 1
 1 2

3

0
1 
 х1 
15 
 
 
 х 2  = -1 
х 
 6
 3
 
или А  Х = В. Отсюда Х = А-1 В. Матрица А-1 найдена в
предыдущем примере. Решение в матричной форме запишется
так:
2 8 3
1. det A = 1
3
0 = 1
0
0 =-
0
4
1
4
1
0
8 3
4
=
1
= - (-8 + 12) = -4  0, следовательно, матрица А-1 существует.
2. Составим матрицу А:
А11 =
А21 = А31 =
3 0
4 1
2 3
4
1
2 3
3
А12 = -
=3
0
= -10 А22 =
=9
А32 = -
1 0
0 1
= -1
2 3
0
1
2 3
1
0
А13 =
1 3
0 4
= 2 А23 = = -3
А33 =
=4
2 2
0
4
2 2
1
3
= -8
=8
А
 3  10

~
3. А =   1
2
 4 8

 3

=   10
 9

1
4

2  8 .
3
8 
 3  10
1 
4. А = -   1
2
4 
 4 8
9

 3 .
8 
-1
2
1

4.  2 1
2  2

9

 3 .
8 
3

5. 1
3

2

 2 .
1
1  5

2 4 .
2  1 
2
1
1 
Ответ.
1
2
9 
2  2
2

 2 .
1
  10  9
1 
Ответ.
 13 12
3 
 4  3
14 

 17  .
5 
Найдем теперь матрицу Х:
 3  10
1 
X = - 1
2
4 
 4 8
9

 3
8 
1 1
1 1


1 1  1  1 
6. 
1  1 1  1


1  1  1
1

 3  20  9 
1 
- 8  2
 

1 
1    
 2 = - 1 4  3  = -  0  = 0 .
4 
4   

1 
 4  16  8 
 
 - 4  1 
 2
 
Ответ. Х =  0  .
1 
 
1 1
1 1


1 1 1  1  1 
Ответ.
.
4 1  1 1  1
1  1  1
1

В задачах 7 – 10 найти неизвестную матрицу Х из уравнения:
1 2 
  Х =
3 4
7. 
3 5

 .
5 9
 - 1 - 1
 .
 2 3
Ответ. 
3. Банк задач для самостоятельной работы
В задачах 1 – 6 найти обратную матрицу и сделать проверку:
1 2 

3 4
3 4

5 7
1. 
2

3.  3
1

7
9
5
2. 
3

4 .
3 
  7 / 3 2  1/ 3


Ответ.  5 / 3  1  1 / 3  .
 2
1
1 

3  2 
-1 2 
 = 
 .
- 4
- 5 6
3  2
 .
5 - 4
8. Х  
5
3 1 
  Х
5 - 2
9. 
5

7
6  14
 = 
8   9
1 1
1
1  1



10. Х   2 1 0  =  4 3
1  1
1  2
1 


Ответ. 
16 
.
10 
3

2.
5 
1 2 
 .
3 4
Ответ. 
 3

Ответ.   4
 5

0

5  2 .
3 0 
2
В задачах 11 – 14 решить системы уравнений матричным
способом:
 -1
2х 1 - х 2

11.  х 1  2 х 2  х 3  2

х 2  х 3  -2

4х 1  2х 2  х 3  0

12.  х 1  2 х 2  х 3  1

х 2  х 3  -3

 х 1  х 2  2х 3  -1

13. 2х 1 - х 2  2х 3  4
4х  х  4х  -2
2
3
 1
3х 1  2 х 2  х 3  5

14. 2х 1  3х 2  х 3  1
2х  х  3х  11
2
3
 1
Ответ. х1 = х2 = х3 = -1.
Ответ. (1, -1, 2).
Ответ. (1, 2, -2).
Ответ. (2, -2, 3).
4. Варианты проверочных работ
Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная,
найти обратную ей матрицу А-1 и сделать проверку.
 2 1  1


1. А =  2  1 1 
1 0 1 


 3 1 2


2. А =   1 0 2 
 1 2 1


2

3. А = 1
4

2

3  1
1 3 
3
 1

5. А =   4
 0

1

7. А =  3
2

7
9
3
0
1
1
1  2

9. А =  3 0
4 3

3

4
2 
3

7
8 
5

6
4 
6

4. А =  3
2

7 3

1 0
2 1
2

6. А = 1
0

6 1

3 2
1 1 
2

8. А =  3
4

2
5

10. А = 1
3

3
3
4
2
0
5

6
4 
2

4
5 
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и матричным способом (с помощью обратной матрицы).
3х 1  х 2  2х 3  2

2х 3  1
1. - х 1 
 х  2х  х  -1
2
3
 1
Ответ. (1, -1, 0).
6х 1  7 х 2  3х 3  -16

 7
3. 3х 1  х 2
2х  2х  х  -5
2
3
 1
Ответ. (-2, -1, 1).
2х 1  х 2  х 3  7

2. 2х 1  х 2  х 3  5
 х 
х3  4
 1
Ответ. (3, 2, 1).
2х 1  3х 2  2х 3  7

4.  х 1  3х 2  х 3  1
4х  х  3х  7
2
3
 1
Ответ. (0, 1, 2).
2х 1  6 х 2  х 3  16

5. х 1  3х 2  2 х 3  8

х2  х3  3

 х 1  7 х 2  3х 3  10

6. - 4х 1  9 х 2  4 х 3  8

3х 2  2 х 3  4

Ответ. (-1, 3, 0).
2х 1  2х 2  5х 3  4

7. 3х 1  3х 2  6 х 3  3
4х  3х  4х  -1
2
3
 1
Ответ. (4, 0, 2).
3х 3  10
 х1 

8. 3х 1  х 2  7 х 3  26
2х  х  8х  28
2
3
 1
Ответ. (0, -3, 2).
5х 1  4х 2  2х 3  -19

9.  х 1  2х 2  4х 3  -9
3х 
5х 3  -19
 1
Ответ. (1, 2, 3).
 х 1 - 2х 2  5х 3  -4

6х 3  -3
10. 3х 1 
4х  3 х  4х  0
2
3
 1
Ответ. (-3, 1, -2).
Ответ. (1, 0, -1).
ТЕМА 4. РАНГ МАТРИЦЫ
1. Ключевые вопросы теории. Краткие ответы
1.1. Что называется минором порядка S
матрицы А ?
Пусть дана матрица А размерности (m x n) и пусть число
s > 1, s  m, s  n. Выберем в матрице А произвольно s разных
строк и s разных столбцов. Элементы, cтоящие на пересечении
этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка
s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s
матрицы А.
1.2. Дать определение ранга матрицы
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается через r = ranq A.
1.3. Что называется базисным минором матрицы А?
Базисным минором матрицы А называют любой отличный от нуля минор этой матрицы, порядок которого равен рангу матрицы А.
1.4. Сформулировать теорему о ранге матрицы
Теорема (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.
Следствие. Максимальное число линейно независимых
строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице
1.5. Перечислить методы вычисления ранга матрицы.
Таких методов два.
Первый метод – метод окаймляющих миноров – основан
на определении ранга матрицы.
Суть второго метода – метода элементарных преобразований – состоит в том, что с помощью элементарных преобразований матрицу приводят к треугольному виду. Число ненулевых строк треугольной матрицы равно ее рангу. Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга
матрицы.
1.6. Какие преобразования называются
элементарными преобразованиями матрицы ?
Под элементарными преобразованиями матрицы понимают:
Пример 2. Найти ранг матрицы А методом элементарных
преобразований
1) транспонирование матрицы,
2) перестановку двух строк (столбцов),
3) вычеркивание нулевой строки (столбца),
4) умножение какой-либо строки (столбца) на ненулевое
число;
5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.
2. Решение задач
Пример 1. Найти ранг матрицы А методом окаймляющих
миноров
 1 2

1 3
А = 1  4

 1 3

1
 0
Решение. Постараемся привести матрицу к треугольному
виду, получив под главной диагональю нули. Сначала получим
нули в первом столбце. Для этого к четвертой строке прибавим
первую, умноженную на (-1), а к третьей и второй прибавим
первую строку. Получим:
1  3 5 4 


А =  2  6 4 3 .
3  9 3 2 


Решение. Найдем минор второго порядка, отличный от нуля, и зафиксируем его.
М2  =
1 3
2 6
= 0,
М2  =
3 5
6 4
 0.
Для минора М2  0 окаймляющими будут только два минора:
1 3
3 5
5
М3 = 2  6 4 = 0,
3 9 3
4

М3 =  6 4 3 = 0,
9
3 2
каждый из которых равен нулю. Поэтому ranq А = 2, а указанный минор М2 может быть принят за базисный.
1
1

4
4
3 3

2
2

1
2
1
 1 2 1


0 5  5 5 
А   0  2 2  2 .


1
0 1 1


2
0 1 1
Вторая, третья и четвертая строки оказались пропорциональными. Это значит, в любых двух из этих строк можно получить нули, а именно:
1

0
А  0

0

0
2 1
0
0
0
0
1 1
1 1
1

0
0 . 

1

2
1

0
0

0

0
2 1
1 1
1 1
0
0
0
0
1

1
2

0

0
Вычтем из третьей строки вторую, получим:
1

0
А.   0

0

0
2 1
1 1
0
0
0
0
0
0
1 2
1  1
 
1 0
1  0
 
0 0
 
0 0
2
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1 

1 
0

0

0
2

0
7. 
2

0

0
1
2
0
0
1
1
1
0
0
2
1
2

0
1

0 
2

1
1
8. 
1

1
1

1 1 1

3 1 1
1 4 1

1 1 5

2 3 4
1 1 1 
1 0

1 1
9.  0 1

0 0

0 1
1
0
1
1
0
0 0

0 0
0 0

1 0

1 1
1
М3 = 0 1 1  0, следовательно, ranq A = 3.
Ответ. 4) 2; 5) 2; 6) 2; 7) 3; 8) 4; 9) 5.
0 0 1
3. Банк задач для самостоятельной работы
ТЕМА 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В задачах 1 – 3 найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.
 2  1 3  2


1.  4  2 5 1
 2  1 1 8


5
1 3


 2  1  3
2. 
5 1 1 


7 7
9 

0
 4 1 2


1
1 1 1
3. 
1 3 2 1


 0 4 3 0


Ответ. 1) 2; 2) 3; 3) 3.
В задачах 4 – 9 найти ранг матрицы методом элементарных преобразований.
 1 2 3


4.   1 6 1 
 2 0 4


 0 2 4


5
1  4
7 
5.  3 1


 0 5  10 


0
 2 3
2 1

3 1
6. 
1 3

4  3

 1

2
0
4  2

1
1 
3
1. Ключевые вопросы теории. Краткие ответы
1.1. Что называется системой m линейных уравнений
с n неизвестными ?
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
a11 x 1  a12 x 2  ...  a1n x n  b 1

a 21 x 1  a 22 x 2  ...  a 2n x n  b 2

. . . . . . . . . . . .
a m x 1  a m x 2  ...  a m n x n  b m
2
 1
1.2. Перечислить матрицы, связанные с системой m
линейных уравнений с n неизвестными.
К таким матрицам относятся: матрица А, составленная из
коэффициентов при неизвестных, которая называется основной
матрицей системы, матрица-столбец свободных членов В, матрица-столбец неизвестных Х:
 а11 а12 ... а1n 


 а21 а22 ...a2 n 
А= 
,
.
.
.
.
.
.


 am am ...am n 
2
 1

 b1 
 
b 
В =  2 ,
...
 
b 
 m
 x1 
 
x 
Х=  2
...
 
x 
 n
Если к основной матрице А добавить столбец свободных
членов В, получится расширенная матрица системы Ар:
 а11 а12 ... а1 n b1 


 а 21 а 22 ...a 2 n b 2 
Ар = 
.
. . . . . . . . 
 a m a m ...a m n b m 
2
 1

1.3. Что называется решением системы
линейных уравнений?
Решением системы линейных уравнений называется совокупность чисел с1, c2, …, cn, подстановка которых вместо
x1, x2, …, xn соответственно (х1 = с1, x2 = c2, … xn = cn) обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
1.4. Какая система называется совместной ?
Совместной называется система, имеющая хотя бы одно
решение.
Несовместной называется система, не имеющая ни одного
решения.
1.5. Какая система называется определенной ?
Совместная система называется определенной, если она
имеет единственное решение.
Совместная система называется неопределенной, если она
имеет бесконечное множество решений.
1.6. Какова схема решения системы m линейных
уравнений с n неизвестными ?
Основными этапами решения такой системы являются:
1) решение вопроса о совместности системы;
2) если система совместна, решить вопрос об определенности системы;
3) найти единственное решение, если система является
определенной;
4) найти все решения системы, если она является неопределенной.
1.7. На чем основано решение вопроса о совместности
системы ?
Понятие ранга матрицы позволяет решать произвольные
системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Решение вопроса о совместности системы основано на
теореме Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных
уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
ranq A = ranq Ap.
1.8. Пусть система m линейных уравнений с n
неизвестными совместна. Как ответить на вопрос
об ее определенности ?
Для того, чтобы ответить на вопрос об определенности
системы, надо сравнить ранг основной матрицы этой системы с
числом неизвестных системы n.
Если ранг основной матрицы системы А равен числу неизвестных n (ranq A = n), то система имеет единственное решение и является определенной.
Если ranq A < n, то система имеет бесконечное множество решений и является неопределенной.
1.9. Сформулировать правило решения совместной системы линейных уравнений.
1. Находим в матрице А ранг r отличный от нуля минор
(базисный минор) порядка r.
2. Выбираем r уравнений системы, из коэффициентов которых составлен базисный минор. Остальные уравнения отбрасываем.
Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, оставляем слева, а остальные n – r неизвестных переносим в правые части уравнений и называем свободными.
Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются базисными.
3. Каким-либо из известных методов (Крамера, Гаусса)
находим выражение базисных неизвестных через свободные
неизвестные. Получаем общее решение системы.
4. Придавая свободным неизвестным любые числовые
значения, находим соответствующие значения базисных неизвестных, то есть находим частные решения исходной системы.
1.10. Изложить суть метода Гаусса решения систем m
линейных уравнений с n неизвестными.
Метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных.
Суть метода состоит в том, что путем элементарных преобразований из всех уравнений системы, кроме первого, исключают неизвестное х1; далее из всех уравнений, кроме первого и второго, исключают неизвестное х2 и т.д. На практике
все эти действия принято проводить не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы системы.
Следует подчеркнуть, что в последнем абзаце речь идет
не о всех элементарных преобразованиях, а только о следующих:
1) перестановка двух строк;
2) умножение всех элементов строки на любое отличное
от нуля число;
3) прибавление ко всем элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же
число. Это связано с тем, что эти элементарные преобразования
не меняют эквивалентности системы (то есть не меняют множество решений системы).
В результате элементарных преобразований расширенная
матрица приведется к виду трапеции, так как в последнем
уравнении останется одно неизвестное, в предпоследнем – два
и т.д. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса.
Заметим, что при этом параллельно решаются вопросы о
совместности и определенности системы.
Обратный ход метода Гаусса состоит в следующем: из последнего уравнения находим единственное входящее в него неизвестное, подставляем полученное значение в предпоследнее
уравнение и находим второе неизвестное и так далее, пока не
дойдем до первого уравнения, в котором уже найдены все неизвестные, кроме одного. Таким образом, получим совокупность
значений неизвестных, образующих решение системы.
1.11. Какие системы называются однородными ?
Система линейных уравнений называется однородной, если ее столбец свободных членов состоит только из нулей. Если
хотя бы один элемент столбца свободных членов системы отличен от нуля, система называется неоднородной.
1.12. Однородная система является частным случаем
неоднородной системы линейных уравнений. Каковы
особенности ее решения ?
Однородная система всегда совместна; она всегда имеет
решение х1 = х2 = … = xn = 0, которое называется нулевым или
тривиальным.
Поэтому при решении однородных систем сразу ставится
вопрос об определенности системы. Если однородная система
является определенной, то ее единственным решением является
нулевое решение.
Неопределенные однородные системы решают так же, как
неопределенные неоднородные системы.
2. Решение задач
Пример 1. Решить систему
2х 1  3х 2  х 3  2

3х 1  х 2 - 3х 3  1
5х  2х - 2х  4
2
3
 1
Решение. Запишем расширенную матрицу системы
1 | 2
2  3


Ар =  3
1 3 | 1 
5  2  2 | 4 


Приведем ее к треугольному виду. Для этого поменяем третий
и первый столбцы местами; затем умножим первую строку на 3
и прибавим ко второй; после чего умножим первую строку на 2
и прибавим к третьей и, наконец, из третьей строки вычтем
вторую:
 1  3 2 | 2  1  3 2 | 2 
1  3 2 | 2 

 



Ар    3 1 3 | 1   0  8 9 | 7    0  8 9 | 7 
  2  2 5 | 4  0  8 9 | 8 
0
0 0 | 1 

 


Теперь ясно, что ranq A = 2, а ranq Aр = 3. Согласно теореме
Кронекера - Капелли из того, что ranq A  ranq Aр, cледует
несовместность данной системы.
Подчеркнем, что, вычисляя ранг матрицы Ар, мы поменяли столбцы местами. Эта операция изменила, вообще говоря,
эквивалентность системы.
Пример 2. Решить систему методом Гаусса:
 3х 1  2х 2  5х 3  4х 4

 6х 1  4х 2  4х 3  3х 4

 9х 1  6х 2  3х 3  2х 4
15х 1  10х 2  7х 3  5х 4
2
3
4
7
Решение. Запишем расширенную матрицу системы
 3 2 5

 6 4 4
Ар = 
9 6 3

15  10 7

4 | 2

3 | 3
2 | 4

5 | 7 
Приведем ее к виду трапеции. Подчеркнем, что при этом
следует проводить только линейные преобразования над строками, перечисленными в 1.10 темы 5, дабы сохранить эквивалентность системы (т.е. чтобы не изменить множество ее решений). Первую строку умножим на –2 и прибавим ко второй;
первую строку умножим на –3 и прибавим к третьей; первую
строку умножим на –5 и прибавим к четвертой. Получим:
5
4
3  2

0 0  6  5
Ар  
0 0  12  10

 0 0  18  15

2

| 1
|  2

|  3 
|
Вторая, третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому две из них можно отбросить. Это получилось потому, что
соответствующие уравнения системы являются линейно зависимыми и два последних уравнения не несут новой информации о связи между неизвестными, а получаются из второго
уравнения путем элементарных преобразований. Заметим, что и
два первых столбца линейно зависимы, но отбрасывать один из
них нельзя, чтобы не потерять одно из неизвестных системы.
Итак,
3  2
0 0
Ар  
5
6
4
|
5 |
2
.
 1
Поэтому ranq A = 2 = ranq Ap. Вывод:
1) система совместна;
2) ranq A = 2 < 4 = n, поэтому система неопределенна;
3) система
3х 1  2х 2  5х 3  4х 4  2

 6х 3  5х 4  -1

эквивалентна заданной.
В качестве базисного минора выберем минор
М2 =
2
5
0 6
= 12  0. Переменные х2 и х3 – базисные; пере-
менные х3 и х4 – свободные.
Базисные переменные оставляем в левой части уравнений,
свободные переносим в правую часть. Эквивалентная система
принимает вид:
 2х 2  5х 3  2 - 3х 1  4 х 4

 6х 3  1  5х 4

Проводим обратный ход метода Гаусса: из последнего
уравнения находим х3:
х3 =
1 5
 х 4.
6 6
Подставляем х3 в первое уравнение и находим х2:
5 25
х4 = 2 – 3х1 –4х4
6
6
7
1
3
х2 = + х1 х4.
2
12
12
-2х2 +
Решение системы запишется в виде:
х1




 7  3 х  1 х 
1
4

12 
Х =  12 2

1 5


 х4


6 6


х4


Получили решение, в котором базисные неизвестные выражаются через свободные.
Можно в качестве свободных неизвестных взять произвольные числовые значения t1, t2 и записать общее решение
системы
t1




 7  3 t  1 t 
1
2

12 
Х общ. =  12 2

1 5


 t2


6 6


t2


Придавая свободным неизвестным t1, t2 произвольные
значения и вычисляя соответствующие значения базисных неизвестных, получаем каждый раз новое частное решение системы. Например, пусть t1 = 6, t2 = -7, тогда частное решение
 6
 
 9
Хчастн. =  
6
 
 7
 
1
1
0  2
А  
Следовательно, ranq A = 2. Значит, ranq A = 2 < 5 = n и система неопределенна. В качестве базисного выберем минор
Таких частных решений бесконечное множество.
Пример 3. Найти общее решение однородной системы
уравнений.
- х4  х5  0
 х1  х 2

 х 3  3х 4  х 5  0
2х 1

  2х 2  х 3  5х 4  3х 5  0
х 1  3х 2  2х 3  9х 4  5х 5  0
М2 =
0  1 1

1 3  1
1 5  3

2 9  5 
Приведем ее к треугольному виду. Для этого: первую
строку умножим на –2 и прибавим ко второй; из четвертой
строки вычтем первую. Имеем:
1
1

0  2
А 
0 2

0  4

0 1
1

1 5  3
.
1 5  3

2 10  6 
Три последние строки линейно зависимые, вычеркиваем
третью и четвертую. Получаем:
1 0
0 1
= 1  0.
Переменные х1 и х3 – базисные, х2, x4 и x5 – свободные. Эквивалентная система:
х 1   х 2  х 4  х 5

х 3  2х 2  5х 4  3х 5
Взяв в качестве свободных неизвестных произвольные
числовые значения t2, t4, t5, получим общее решение системы:
 t2  t4  t5 


t2


Х =  2 t 2  5t 4  3t 5 


t4


t5


Решение. Запишем основную матрицу системы
1
1

0
2
А= 
0 2

1  3

0 1 1 
.
1 5  3 
Пример 4. Решить однородную систему двух линейных
уравнений с тремя неизвестными x, y, z:
a1 x  b1 y  c1 z  0

a 2 x  b 2 y  c 2 z  0
Решение. Предположим, что хотя бы один из определителей, составленный из коэффициентов при неизвестных:
а1
b1
a2
b2
,
b1
c1
b2
c2
,
c1
a1
c2
a2
,
например, определитель
а1
b1
a2
b2
отличен от нуля. Тогда его

b 1 c1
t,
х 
b2 c2

можно принять за базисный минор; переменные х и у будут при
этом базисными, а переменная z – свободной.
Оставляем базисные переменные в левой части, а свободную переносим в правую часть:
a1 x  b1 y  c1 z
.

a 2 x  b 2 y  c 2 z
с1
 c2z b2
х=
a1
b1
a2
b2
y=
=-
b1
a1
 с1 z
a2
 c2 z
a1
b1
a2
b2
b1 c1
c2 b2
b c
z = 2 2 z,
a1 b1
a1 b1
a2
b2
= -
a2
a1
c1
a2
c2
a1
b1
a2
b2
b2
z.
Поэтому общее решение заданной системы можно записать в виде



х 



b1
c1
b2
c2
a1
b1
a2
b2
a1
z,
Обозначим отношение
y
a2
a1
a2
z
a1
b1
a2
b2
шение заданной системы примет вид:
a1
c1
a2
c2
t, z 
c1


c2

z, z  z  .
b1


b2
через t. Тогда общее ре-
a1
b1
a2
b2

t 

Получая это решение, мы предполагали, что
Если этот определитель равен нулю, а
Методом Крамера найдем выражение базисных неизвестных через свободную:
 с1 z b1
y
с1
а1
с2
а2
b1
с1
b2
с2
()
а1
b1
a2
b2
 0.
 0 или
 0, рассуждения отличаются лишь переменой ролей
неизвестных. Совокупность всех решений снова запишется в
виде (). Если все три последние определителя равны нулю, то
коэффициенты уравнений заданной системы пропорциональны,
т.е. одно уравнение есть следствие другого и решение системы
сводится к решению одного уравнения с тремя неизвестными.
Такое уравнение имеет бесчисленное множество решений. Для
их нахождения надо двум неизвестным придавать произвольные значения, а третье выбирать так, чтобы при этом удовлетворялось уравнение.
Пример 5. Решить систему
3х  2у  5z  0
.

 x  2y  3z  0
Решение. Это однородная система двух уравнений с тремя неизвестными, причем
3 2
1
2
= 6 + 2 = 8  0. Поэтому ее
решение имеет вид () из предыдущего примера. Заметим, что
определители второго порядка, которые участвуют в записи
 а1 b1 c1 
 вычер a2 b 2 c 2 
общего решения, получаются из матрицы 
киванием первого (соответственно второго (третьего)) столбца.
 3 - 2 5
 ,
1 2 - 3 
Вычеркивая поочередно столбцы матрицы 
получим множество решений:
х=
z=
-2
5
2 3
3 2
1
2
 t = -4 t,
y=-
3
5
1 3
= 14 t,
3х 1 - 5х 2  2х 3  4х 4  2

5. 7x 1 - 4х 2  х 3  3х 4  5
5х  7х  4х - 6х  3
2
3
4
 1
9х 1 - 3х 2  5х 3  6 х 4  4

6. 6x 1 - 2х 2  3х 3  х 4  5
3х - х  3х  14х  -8
2
3
4
 1
 х 1  х 2  3х 3  2х 4  3х 5  1

2x  2х 2  4х 3  х 4  3х 5  2
7.  1
3х 1  3х 2  5х 3 - 2х 4  3х 5  1
2х 1  2х 2  8х 3  3х 4  9х 5  2
Ответ. 1) система несовместна; 2) r = 2, x = -1 – 2 t,
y = 1 + t, z = t; 3) r = 3, x1 = 1, x2 =2, x3 = -2; 4) r = 2,
 t = 8 t.
Ответ. х  у : z = -2 : 7 : 4.
x1 =
5) cистема несовместна; 6) r =2, x1 = t1, x2 = t2,
x3 =
3. Банк задач для самостоятельной работы
В задачах 1 – 7 исследовать систему на совместность и,
если она совместна, найти ее общее решение.
2х  у  z  -2

1.  x  2y  3z  -1
 х - 3у - 2z  3

 х  2 у  4z  1

2. 2x  y - 5z  -1
 х - у - z  -2

2х 1  х 2  х 3  2

 х  3х 2  х 3  5
3.  1
 х 1  х 2  5х 3  7
2х 1  3х 2  3х 3  14
2х 1  7х 2  3х 3  х 4  6

4. 3x 1  5х 2  2х 3  2х 4  4
9х  4х  х  7х  2
2
3
4
 1
t1  9 t 2  2
- 5 t 1  t 2  10
, x2 =
, x3 = t1, x4 = t2;
11
11
26 - 27 t 1  9 t 2
- 13  3 t 1  t 2
, x4 =
, 7) система несовместна.
13
13
В задачах 8 – 13 найти общее решение следующих однородных систем:
 х 1  2х 2  х 3  0
2х 1  9х 2  3 х 3  0
 х 1  2х 2  3х 3  0
 2х 1  4х 2  6 х 3  0
8. 
9. 
3х 1  2 х 2  х 3  0

10. 2 х 1  5х 2  3х 3  0
3х  4 х  2х  0
2
3
 1
2х 1 - 4х 2  5х 3  4х 4  0

11. 3x 1 - 6х 2  4х 3  2х 4  0
4х - 8х  17 х  11х  0
2
3
4
 1
 х 1  х 2  4х 3  3х 4  0

3x  5х 2  6х 3 - 4х 4  0
12.  1
4х 1  5х 2  2х 3  3х 4  0
3х 1  8х 2  24х 3  19х 4  0
3х 1  5х 2  2х 3  0

4x  7х 2  5х 3  0
13.  1
 х 1  х 2  4х 3  0
2х 1  9х 2  6х 3  0
Ответ. 8) t (3, 1, 5); 9) (2 t1 + 3 t2, t1, t2); 10) (0, 0, 0);
11) (t1, t2, -
5
7
t1 + 5 t2,
t1 - 7 t2); 12) (8 t1 - 7 t2, - 6 t1 + 5 t2,
2
2
t1, t2); 13) (0, 0, 0).
В задачах 14 – 19 решить системы:
х - у 3  1
2х - 3у  6
4x - 6y  5
14. 
15. 
 х  2у  z  4

16. 3x - 5y  3z  1
2х  7у - z  8

2х  у  5

17. x  3z  16
5у - z  10

 х  2у  4z  1

18. 2x  y - 5z  1
 х - у - z  -2

2х - у  z  -2

19.  x  2 y  3z  1
 х  3у  2z  3

x 3 - 3y  3
Ответ. 14) не имеет решения; 15) имеет бесконечно много
решений: x = t, y =
t 1
3
; 16) x = y = z = 1; 17) x = 1, y = 3,
z = 5; 18) имеет бесконечно много решений: x = 2 t – 1,
y = t + 1, z = t; 19) не имеет решений.
В задачах 20 - 25 найти все решения однородной системы
двух линейных уравнений с тремя неизвестными:
3х  2у  5z  0
 x  2y  3z  0
21. 
3х  2у  z  0
6 x - 4y  3z  0
 х  3у  z  0
3x - 9y  3z  0
23. 
 х  2у  z  0
3x - 5y  2z  0
25. 
20. 
3х  2у  z  0
 x  2y - z  0
22. 
3х  2у  z  0
 x  2y - z  0
24. 
Ответ. 20)
21)
22)
23)
24)
25)
х = -2 t, y = 7 t, z = 4 t;
х = 2 t, y = 3 t, z = 0;
х = 0, y = t, z = 3 t;
х = 0, y = t, z = 2 t;
х = t, y = 5 t, z = 11 t;
х = 3 t, y = 4 t, z = 11 t.
4. Варианты проверочных работ
Исследовать систему на совместность и, если она совместна, найти ее общее решение.
3х 1  2х 2  4х 3  8

1. 2х 1  4х 2  5х 3  11
 х  2х  х  3
2
3
 1
 5  3t 17  7t
,
,
Ответ. 
8
 4

t .

х1  х 2  х 3  1

2. х1 - х 2  2х 3  -5

2х 2  3х 3  4

3
1


Ответ.   2  t, 3  t, t  .
2
2


2х 1 - х 2  4х 3  15

3. 3х 1 - х 2  х 3  8
5х  2х  5х  23
2
3
 1
Ответ. (-7 + 3 t, 10 t – 29, t).
3х 1  2 х 2  4х 3  8

5. 2х 1  4 х 2  5х 3  1
5х  6х  9 х  9
2
3
 1
 15  3t 7t - 13
,
,
8
 4
Ответ. 
3х 1 - 3х 2  2х 3  2

4. 4х 1 - 5х 2  2х 3  1
 х  2х
 -1
2
 1
5-3t

Ответ.  2 t - 1, t,
2

ТЕМА 6. ЛИНЕЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

.

3х 1  х 2  2х 3  -3

6. 2х 1  2 х 2  5х 3  5
5х  3х  7 х  2
2
3
 1

t .

 t - 1 21 - 11t
,
,
4
 4
Ответ. 

t .

4х 1  7 х 2  2х 3  0

7. 2х 1  3х 2  4х 3  6
2х - 4х  2 х  -6
2
3
 1
4х 1  3х 2  х 3  3

8.  х 1  х 2  х 3  4
3х - 4х  2 х  -1
2
3
 1
Ответ. (21 + 11 t, 12 + 6 t, t).
Ответ. 
 х 1  5х 2  х 3  3

9. 3х 1  2 х 2  х 3  7
4 х - 3х
 10
2
 1
2  17t 
 10  3t
, t,
.
4 
 4
Ответ. 
7t - 13 
 7  2t
, t,
, .
5 
 5
5х 1  5х 2  4х 3  3

10.  х 1  х 2  5х 3  1
4х - 4х  9x  -4
2
3
 1
8 
 11
 t,
.
29 
 29
Ответ.  t,
1. Ключевые вопросы теории. Краткие ответы.
1.1. Дать определение линейного векторного
пространства.
Линейным векторным пространством называется множество V элементов произвольной природы, в котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на
действительное число, удовлетворяющие аксиомам: для любых
х V, y  V,   R,   R, где R – множество вещественных
чисел справедливы равенства:
1. х + у = у + х.
2. (х + у) + z = x + (y + z).
3. Существует нулевой элемент 0  V, обладающий
свойством: 0 + x = x + 0 = x для любого х V.
4. Для любого элемента х V существует противоположный элемент –х, такой, что х + (-х) = -х + х = 0.
5. 1  х = х.
6.  ( х) = ( ) х.
7.  (х + у) =  х +  у.
8. ( + ) х =  х +  х.
1.2. Что называется линейной комбинацией векторов ?
Пусть х 1 , х 2 ,…, х n - векторы (элементы) векторного
линейного пространства, 1, 2, … , n – числа. Вектор
у = 1 х 1 + 2 х 2 + … + n х n называется линейной комбинацией векторов х 1 , х 2 ,…, х n .
1.3. Какая система векторов называется линейно
независимой (соответственно линейно зависимой) ?
Система векторов х 1 , х 2 ,…, х n называется линейно зависимой, если существуют числа 1, 2, … , n, не все равные
нулю, такие, что
1 х 1 + 2 х 2 + … + n х n = 0.
Если последнее равенство выполняется только в том случае, когда 1 = 2 = … = n = 0, то система векторов
х 1 , х 2 ,…, х n называется линейно независимой.
1.4. Сформулировать определение n-мерного
векторного пространства.
Линейное пространство V называется n-мерным, если в
нем существуют n линейно независимых векторов, а любые
n + 1 векторы являются линейно зависимыми. Число n называется в этом случае размерностью линейного пространства V.
1.5. Что называется базисом n-мерного линейного
пространства ?
Базисом n-мерного линейного пространства Vn называется
любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.
1.6. Дать определение координат вектора х в базисе
е1 , е 2 , …, е n .
Теорема. Если е1 , е 2 , …, е n - базис линейного n-мерного
пространства Vn, то любой вектор х этого пространства можно
представить как линейную комбинацию векторов
е1 , е 2 , …, е n , то есть
х = 1 е1 + 2 е 2 + … + n е n .
Последнее равенство называется разложением вектора х
по базису е1 , е 2 , …, е n .
Коэффициенты α 1 , α 2 , …, α т этого разложения определяются однозначно и называются координатами вектора х в
базисе е1 , е 2 , …, е n .
1.7. Что называется рангом системы векторов ?
Рассмотрим систему m векторов
а1 = (а11, а21, …, аn1)
а 2 = (а12, а22, …, аn2)
. . . . . . . . . .
а m = (а1m, а2m, …, аn m)
линейного n-мерного пространства, координаты которых заданы в одном и том же базисе. Этой системе векторов поставим в
соответствие матрицу
 a11

a
А =  21
. .
 an1

a12 ...a1m 

a22 ...a2 m 
,
. . . .
an2 ...an m 
в i-ом столбце которой записаны координаты вектора а i . Матрица А называется матрицей данной системы векторов в данном базисе, а ранг этой матрицы – рангом системы векторов
а1 , а 2 , …, а m .
1.8. Сформулировать теорему, позволяющую судить о
линейной независимости векторов, заданных своими
координатами.
Теорема. Для того, чтобы m векторов n-мерного линейного пространства были линейно независимыми, необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен m.
Следствие 1. Система n векторов n-мерного линейного
пространства линейно независима тогда и только тогда, когда
матрица этой системы векторов является невырожденной.
Следствие 2. Если ранг матрицы системы m векторов линейного пространства равен r, максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно r.
Замечание. Максимальное число линейно независимых
строк любой матрицы равно максимальному числу ее линейно
независимых столбцов, то есть равно рангу этой матрицы.
1.9. Какая матрица называется матрицей перехода
от одного базиса к другому базису n - мерного
пространства Vn ?
В линейном n-мерном пространстве Vn зафиксируем два
базиса
(1)
е1 , е 2 , …, е n



е1 , е 2 , …, е n
(2)
Каждый вектор системы (2) можно разложить по базису (1):

е1 = t11 е1 + t21 е 2 + … + tn1 е n

е 2 = t12 е1 + t22 е 2 + … + tn1 е n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

е n = t1n е1 + t2n е 2 + … + tnn е n .
Матрица
 t 11

t
Т =  21
. .
 t n1

t 12 ... t 1n 

t 22 ... t 2n 

. . . .
t n2 ... t n n 
называется матрицей перехода от базиса (1) к базису (2).
Легко видеть, что матрица Т-1 , обратная матрице Т, является матрицей перехода от базиса (2) к базису (1).
1.10. Сформулировать теорему, устанавливающую
связь между координатами вектора в различных
базисах
Теорема. Если х1, x2, …, xn – координаты вектора х в базисе е1 , е 2 , …, е n ; х1, x2, …, xn - координаты того же вектора в



базисе е1 , е 2 , …, е n , то
Х = Т Х,
(3)
где
 х1 
 
х 
Х =  2 ,
.. . .
 
х 
 n
 х 1 
 
 х 
Х =  2  ,
.. . .
 
 х 
 n
Т – матрица перехода от базиса е1 , е 2 , …, е n к базису



е1 , е 2 , …, е n .
Замечание. Формулы (3) выражают старые координаты
х1, x2, …, xn вектора х через его новые координаты. Для того,
чтобы получить формулы, выражающие новые координаты через старые, достаточно умножить равенство (3) на матрицу Т-1;
после простых преобразований получим: Х = Т-1 Х.
1.11.Что называется линейным преобразованием?
Если указано правило, по которому каждому вектору х
линейного пространства V ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства, то говорят, что в нем задано
преобразование (отображение, оператор) f и пишут f : V  V.
Говорят также, что преобразование f переводит вектор х в
вектор у и пишут у = f ( х ).
Преобразование f линейного пространства V называется линейным преобразованием (линейным оператором), если
для любых векторов этого пространства х 1 , х 2 , х и любого
действительного числа  выполняются условия:
1. f ( х 1 + х 2 ) = f ( х 1 ) + f ( х 2 ).
2. f ( х ) =  f ( х ).
1.12. Сформулировать определение матрицы линейного
преобразования.
Пусть f – линейное преобразование n-мерного линейного
пространства, переводящее базисные векторы е1 , е 2 , …, е n в



векторы е1 , е 2 , …, еn . Каждый из последних векторов разложим по базису:

е1 = а11 е1 + а21 е 2 + … + аn1 е n

е 2 = а12 е1 + а22 е 2 + … + аn1 е n
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
е n = а1n е1 + а2n е 2 + … + аnn е n .
Матрица
 а11

а
А =  21
. .
 а n1

а12 ...а1n 

а 22 ...а 2 n 
,
. . . .
а n2 ...а n n 
в которой i-ый столбец состоит из координат вектора е i
(i = 1, 2, …, n), называется матрицей линейного преобразования
f в базисе е1 , е 2 , …, е n .
2. Решение задач
Пример 1. Выяснить, является ли линейным векторным
пространством множество R2 всех геометрических векторов,
концы которых лежат в первой четверти системы координат.
Решение. Проверим выполнение операций сложения и
умножения на число.
В результате сложения двух векторов мы получим вектор,
конец которого тоже лежит в первой четверти. При умножении
вектора на число  < 0 мы получим вектор, конец которого
будет лежать в третьей четверти. Операция умножения на число не выполнена. Значит, данное векторное пространство не
является линейным.
Пример 2. В базисе В = ( i , j , k ) заданы векторы
е1 = i + j , е 2 = j + k , е 3 = i + k , х = - i + 2 j + k . Доказать,
что система В = ( е1 , е 2 , е 3 ) – базис и найти координаты вектора х в базисе В.
Решение. Выпишем координаты векторов е1 , е 2 , е 3 , х в
исходном базисе В = ( i , j , k ) в виде матриц - столбцов:
1 
 
Е1 = 1  ;
0
 
 0
 
Е2 = 1  ;
1 
 
1 
 
Е3 =  0  ;
1 
 
  1
 
X =  2.
 1
 
Убедимся, что векторы е1 , е 2 , е 3 образуют базис. Составим матрицу А из координат этих векторов и найдем ее ранг.
1 0 1 1 0 1  1 0 1 
 

 

А = 1 1 0    0 1  1   0 1  1   ranq А = 3.
 0 1 1  0 1 1   0 0 2 
 

 

Ранг матрицы равен числу векторов, значит, эти векторы
линейно независимы и образуют базис. Матрица А является
матрицей перехода ТВ  В от базиса В к базису В или матрицей
линейного преобразования:
1 0 1


ТВ  В = 1 1 0  .
 0 1 1


Запишем разложение вектора х по базису В в векторной
и матричной формах:
х =  е1 +  е 2 +  е 3 ,
X = ТВ  В X,
α
 
 
где X =  β  -матрица-столбец координат вектора х в базисе В.
γ
 
Находим искомую матрицу Х с помощью обратного преобразования:
Х = (ТВ  В)-1  X – формула преобразования координат
при преобразовании базиса
 1 1  1   1 
 0
  
 
1 
Х =
  1 1 1   2  =  2  ,
2 
  
  1
 
 1  1 1   1


е
е
то есть х = 2 2 - 3 .
Пример 3. Даны два линейных преобразования:
х   2х  х  5х
1
2
3
 1
 
х 2  х 1  4х 2  х 3 ,
 
х 3  3х 1  5х 2  2х 3

х   х   4 х   3х 
1
2
3
 1
 



 х 2  5х 1 - х 2  х 3
 



х 3  3х 1  6х 2  7х 3

Найти линейное преобразование, выражающее вектор х 
через вектор х .
Решение. Запишем матрицы линейных преобразований:
х  
 1 


Х =  х 2   ,
 
х3 


х  
 1 


X =  х 2   ,
 
х3 


2 -1 5 


A =  1 4 - 1 ,
3 5 2 


 х1 
 
X = х2 ,
х 
 3
1 4 3 


B =  5 - 1 - 1 .
3 6 7 


В матричной форме линейные преобразования запишутся
так:
Х = А Х,
X = B  X.
Подставим во второе равенство выражение Х из первого, получим
X = В  А  Х.
Матрица С = В  А будет являться матрицей искомого линейного преобразования
0 7
1 4 3   2 - 1 5  15

 
 

С = В  А =  5 - 1 - 1 1 4 - 1 =  6 - 4 24  .
 3 6 7   3  5 2   33 - 14 23 

 
 

Следовательно, искомое преобразование таково:
х   15 х 
7х 3
1
 1
 
х 2  6 х 1 - 4х 2  24 х 3 .
 
х 3  33 х 1 - 14 х 2  23 х 3

Пример 4. Найти матрицу перехода (матрицу линейного
преобразования) ТВВ, если базис В = ( i  , j ) получен зеркальным отображением от вектора i базиса В = ( i , j ).
Решение. Найдем координаты векторов i  и j в базисе
В = ( i , j ), (см. рисунок):
или
i  = i , j = - j
j
i i
1 
J =
I =   ,
 0
1 0 
 .
ТВВ = 
 0  1
 0
  .
  1
j
3. Банк задач для самостоятельной работы
В задачах 1 – 4 проверить, что следующие множества являются линейными векторными пространствами.
1. Множество R3 всех геометрических векторов.
2. Множество Rn всех арифметических n-компонентных
векторов х = (х1, x2, …, xn).
3. Множество Pn всех многочленов
P (t) = an-1 tn-1 + … + a1 t + a0
степени  n – 1 с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на число.
4. Множество Мm, n всех матриц размерности m x n.
В задачах 5 – 9 выяснить, являются ли следующие множества линейными векторными пространствами:
5. Множество R1 всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.
6. Множество R2 всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой у = kx + b.
7. Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию  х  > a, где а > 0 – фиксированное число.
8. Множество всех сходящихся последовательностей.
9. Множество всех функций, интегрируемых на отрезке
[a, b].
Ответ. 5) да; 6) да, если b= 0; нет, если b  0; 7) нет;
8) да; 9) да.
В задачах 10 – 12 в произвольном пространстве Ln векторы е1 , е2  , …, еn и х заданы своими координатами в некотором базисе В. Доказать, что система В = ( е1 , е2  , …, еn ) –
базис, и найти координаты вектора х в базисе В.
10. е1 = i + 2 j , е2  = j , х = 5 i + 6 j .
11. е1 = i + j + k , е2  = i + j + 2 k , е3 = i + 2 j + 3 k ,
х = 6 i + 3 j + 14 k .
12. е1 = 2 i + j - 3 k , е2  = 3 i + 2 j - 5 k , е3 = i - j + k ,
х = 6i + 2 j - 7k .
 5
Ответ. 10) Х =   ; 11) Х =
  4
1 
 
 2  ; 12) Х =
3
 
1
 
1 .
1
 
В задачах 13 – 14 даны два линейных преобразования.
Найти матрицу линейного преобразования, выражающего вектор Х  через вектор Х :
х   2х  5х  6х
1
2
3
 1
 
13. х 2  х 1  2х 2  5х 3 ,
 
х 3  х 1  3х 2  2х 3

х   х   3х   2х 
1
2
3
 1
 



х 2  3х 1 - 4х 2  х 3
 



х 3  2х 1 - 5х 2  3х 3

х  
2х 2
 1

14. х 2    2 х 1  3х 2  2х 3 ,
 
х 3  4 х 1 - х 2  5х 3

х    3х   3х 
1
3
 1
 


х 2  2 х 2  х 3
 


х 3  -х 2  3х 3

1 5  5 


Ответ. 13)  3 10 0  ,
2 9 - 7


4 - 7 5 


14)  0 5 9  .
14 - 6 13 


Пусть В = ( i , j ) и В = ( i , j ) – прямоугольные базисы
в R2. В задачах 15 – 20 найти матрицу перехода ТВВ (матрицу
линейного преобразования).
15. Базис В получен изменением на противоположное
направление всех базисных ортов В.
16. Базис В получен перестановкой базисных ортов В.
17. Базис В получен растяжением вектора i в k раз.
18. Базис В получен растяжением базисных ортов В в k
раз.
19. Базис В получен зеркальным отображением от вектора j .
20. Базис В получен поворотом базиса В на угол 
(  0,   ).
1
0
 0 1
 k 0
 ,
 , 17) 
0 1 
1 0 
  1 0
 сos α  sin α 
 , 20) 
.
19) 
cos α 
 0 1
 sin α
 ,
Ответ. 15) 
 0  1
k
0
18) 
0
,
k 
16) 
ТЕМА 7. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
1. Ключевые вопросы теории. Краткие ответы
1.1. Что называется характеристическим уравнением
линейного преобразования ?
Характеристическим уравнением линейного преобразования называется уравнение
det (A - E) = 0,
где А – матрица этого преобразования в некотором базисе.
1.2. Зависит ли характеристическое уравнение от
выбора базиса ?
Теорема. Если линейное преобразование f в базисе
е1 , е2 , …, еn имеет матрицу А и в базисе е1 , е2  , …, еn - матрицу В, то
det (A - E) = det (В - E),
где  - любое действительное число, Е – единичная матрица
порядка n.
Из этой теоремы вытекает, что характеристический многочлен det (A - E) линейного преобразования f
остается неизменным при переходе к новому базису, несмотря на то, что матрица линейного преобразования меняется. Следовательно, характеристическое уравнение не
зависит от выбора базиса.
1.3. Что называется характеристическими числами
линейного преобразования ?
Характеристическими числами линейного преобразования
f называются корни характеристического уравнения этого линейного преобразования.
1.4. Дать определение собственного вектора линейного
преобразования.
Ненулевой вектор х линейного пространства
называется собственным вектором линейного преобразования f этого пространства, если существует число k, такое, что
f (х) = k х,
причем k – действительное число для действительного пространства и k - комплексное число в случае комплексного пространства.
1.5. Что называется собственным значением
вектора ?
Число k из последнего равенства называется собственным значением вектора х относительно преобразования f.
1.6. Перечислить свойства собственных векторов и
собственных значений
1. Собственный вектор линейного преобразования имеет
единственное значение k.
2. Если х - собственный вектор линейного преобразования f с собственным числом k и  - любое отличное от нуля
число, то  х – также собственный вектор преобразования f с
собственным значением k.
3. Если х и у - линейно независимые собственные векторы линейного преобразования f с одним и тем же собственным
значением k, то х + у - также собственный вектор этого преобразования с собственным значением k.
4. Если х и у - собственные векторы линейного преобразования f с собственными числами k и m, причем k  m, то х
и у линейно независимы.
1.7. Как найти собственные значения линейного
преобразования ?
Теорема. В комплексном линейном пространстве все
корни характеристического уравнения и только они являются
собственными значениями линейного преобразования.
Замечание. Собственными значениями линейного преобразования действительного пространства будут только действительные корни характеристического уравнения.
1.8. Что называется квадратичной формой двух
переменных ?
Квадратичной формой двух переменных х и у называется однородный многочлен 2-й степени относительно этих переменных:
F (x, y) = a11 x2 + 2 a12 xy + a22 y2.
Если a12 = a21, квадратичную форму двух переменных можно записать в виде:
F (x, y) = a11 x2 + a12 xy + a21 xy + a22 y2.
Числа a11, a12, a21, a22 называются коэффициентами квадратичной формы.
1.9. Дать определение матрицы квадратичной формы
двух переменных
Матрица
 а11 а12 

 а 21 а 22 
А = 
называется матрицей квадратичной формы (а21 = а12).
1.10. Какая квадратичная форма называется
канонической ?
Говорят, что квадратичная форма имеет канонический
вид, если она содержит только члены с квадратами переменных, то есть, если а12 = а21 = 0.
1) если 1 и 2 одного знака, то кривая – эллипс;
2) если 1 и 2 противоположных знаков, то кривая – гипербола;
3) если 1 = 0, 2  0 или если 1  0, 2 = 0, то кривая –
парабола.
1.11. Как привести квадратичную форму к
каноническому виду ?
Любая квадратичная форма некоторым невырожденным
линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
Если существует линейное преобразование С, приводящее
действительную квадратичную форму F (x, y) к каноническому
виду
 (x1, y1) = 1 x12 + 2 у12,
то 1, 2 – характеристические числа матрицы А квадратичной
формы F (x, y), причем столбцами матрицы С являются нормированные собственные векторы-столбцы матрицы А с собственными числами 1, 2.
Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду применяются при решении задач на приведение к каноническому виду уравнений кривых 2-го порядка. Дело в том,
что квадратичная форма входит в формулу общего уравнения
кривой 2-го порядка:
a11 x2 + a22 y2 + 2 a12 xy + a13 х + a23 y + a33 = 0.
В аналитической геометрии эту задачу нужно было бы
решать с использованием формул поворота системы координат
на угол  подбором угла таким образом, чтобы а12 = 0. Эта
часть работы трудоемка и значительно упрощается при использовании матриц.
При определении типа кривой полезно помнить, что:
1.12. Дайте определение характеристического
уравнения матрицы, собственного значения матрицы,
собственного вектора матрицы
Каждому линейному преобразованию n-мерного пространства соответствует матрица порядка n в данном базисе;
обратно, каждой матрице порядка n соответствует линейное
преобразование n-мерного пространства.
Характеристическим уравнением матрицы называется характеристическое уравнение соответствующего ей линейного
преобразования.
Собственным вектором матрицы называется собственный
вектор соответствующего ей линейного преобразования.
Собственным значением матрицы называется собственное
значение соответствующего ей линейного преобразования.
2. Решение задач
Пример 1. Найти собственные значения и собственные
векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
 5 6 3


A =  - 1 0 1 .
 1 2 - 1


Решение. Напишем характеристическое уравнение данной матрицы А:
5 6
3
= 0.
1  
1
1
2 1 
Разложим определитель по элементам первой строки:
(5 - )

2
1
1
1  λ
-6
+3
= 0.
1 1 
1 
1
2
1
3 - 42 - 4 + 16 = 0
 ( - 4) – 4 ( - 4) = 0.
2
( - 4) ( – 4) = 0. Корни этого уравнения 1 = 4, 2 = 2, 3 = -2
являются собственными значениями линейного преобразования.
Для нахождения собственных векторов используем систему уравнений:
2
3х 3  0
(5  λ) х 1  6х 2 

 х 1  λх 2 
х3  0


х 1  2х 2  (1  λ) х 3  0

Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ранг
ее меньше 3. Полагая  = 1 = 4, получаем систему уравнений
для нахождения первого собственного вектора r1 (х1, x2, x3):
 х 1  6х 2  3х 3  0

 х 1  4х 2  х 3  0 .
 х  2х  5х  0
2
3
 1
Ясно, что определитель основной матрицы этой системы равен
нулю. Однако определитель
1  4
1
2
уравнение системы можно отбросить:
= 2  0, поэтому первое
 х 1 - 4х 2  х 3  0
.

 х 1  2х 2  5х 3  0
Последняя система решается так, как показано в примере 5 из
темы 5:
-1 - 4

 1 2
1
4 1
1 1
1  4
  х1 : x2 : x3 =
t:t:
t=
- 5
2 5
1 5
1
2
= 18 t : 4 t : 2 t = 9 t : -2 t : t.
Собственный вектор r1 = t (9, -2, 1), t  0.
Полагая  = 2 = 2, получаем систему уравнений:
 3х 1  6х 2  3х 3  0
 3х 1  6х 2  3х 3  0
 3 6 3

 
 
 х 1  2х 2  х 3  0  
1
2
1

х

2х

х

0


1
2
3

 х  2х  3х  0
2
3
 1
 х1 : x2 : x3 =
6
3
2
1
t:-
3
3
1
1
3
t:
6
1  2
t =12 t : -6t :0 =
r2 = t (2, -1, 0), t  0.
= 2 t : -t : 0.
Полагая  = 3 = -2, получаем систему уравнений:
7х 1  6х 2  3х 3  0
- х 1  2х 2  х 3

 х 1  2х 2  х 3  0  
 х 1  2х 2  х 3
 х  2х  х  0
2
3
 1
2 1
1 1
1
 х1: x2: x3 =
t:t:
2 1
1 1
1
0
0
2
2
  1 2 1
 
 1 2 1
 
t = 0 : 2 t : -4t = 0: t:-2t
r3 = t (0, 1, -2), t  0.
Собственные векторы линейно независимы, то есть их
можно принять за базис.
Пример 2. Найти характеристические числа и собственные векторы матрицы
 0 2 1


А =   2 0 3 .
1  3 0 


Решение. Запишем характеристическое уравнение матрицы А:

2
1
2 
3 = 0.
1  3  
Разложим определитель по первой строке:

3
2 3
2 
-
-2
+
=0
3 
1  
1  3
- (2 + 9) – 2 (2 + 3) + 6 -  = 0
-3 – 14  = 0
 (2 + 14) = 0
1 = 0 2 = -14
2,3 =   14 .
Корни этого уравнения 1 = 0, 2,3 =   14 являются
собственными значениями линейного преобразования.
Для нахождения собственных векторов используем систему уравнений:
 -  х 1  2х 2  х 3  0

  2 х 1 -  х 2  3х 3  0
  х - 3х   х  0
1
2
3

Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ее
ранг меньше 3.
Полагая  = 1 = 0, получаем систему уравнений для
нахождения первого собственного вектора τ1 (х1, х2, x3):
2х 2  х 3  0

2х 2  х 3  0

 0 2 1

 
 3х 3  0  
 
 2 х 1
 2х 1
 3х 3  0
  2 0 3

 х  3х
0
2
 1
 х1 : x2 : x3 =
2 1
0 3
t:-
0 1
2 3
t:
0 2
2 0
t = -6 t : - 2 t : 4 t =
τ 1 = t (3, -1, 2), t  0.
= 3 t : -t : 2 t.
Полагая  = 2,3 =   14 , получаем систему
уравнений:
  14 х 1  2х 2  х 3  0

  14 х 1  2х 2  х 3  0

 2х 1   14 х 2  3х 3  0  

 х 1  3х 2   14 х 3  0
 х 1  3х 2   14 х 3  0
   14 2

2
1
1
  х1 : x2 : x3 =
 
t:

3


14
1
3


14


-
  14
1
1
  14
t:
  14
1
2
t = (-3   2  14 ) t :
3
- (14 – 1) t : (-2  3  14 ) t = (3  2  14 ) t : 13 t :(2  3  14 ) t
τ 2,3 = t (3  2  14 , 13, 2  3  14 ), t  0.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные
векторы матрицы
1
 2 1


А =   1 2  1 .
 0
0
1

Решение. Запишем характеристическое уравнение заданной матрицы А :
2
1
1
 1 2    1 = 0.
0
0 1 
Разложим определитель по третьей строке:
2
1
(1 - )
=0
1 2  
(1 - ) ((2 - )2 – 1) = 0
(1 - ) (2 -  – 1) (2 -  + 1) = 0
(1 - )2 (3 - ) = 0
1,2 = 1
3 = 3
Корни этого уравнения 1,2 = 1, 3 = 3 являются собственными
значениями матрицы А.
Для нахождения ее собственных векторов используем систему:
- х2  х3  0
(2 -  ) х 1

 х 1  (2 -  ) х 2  х 3  0


(1   ) х 3  0

Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ранг
ее меньше 3.
Полагая  = 1,2 = 1, получим систему уравнений
 х 1 - х 2  х 3  0
х 1  х 2  х 3  0
1 1 1 

 
 
 х 1  х 2  х 3  0  
2х 3  0
 0 0 2


 2х 3  0

1 1
1 1
1 1
 х1 : x2 : x3 =
t:t:
t = 2 t : - 2 t :0.
0 2
0 2
0 0
 х1 - х 2  х 3  0
 х1 - х 2  х 3  0
1  1 1 

 
 
 х 1  х 2  х 3  0  
х3  0
 0 0 1


х3  0

1 1
1 1
1 1
 х1 : x2 : x3 =
t:t:
t = -t : - t :0.
0 1
0 0
0 1
( х ) 2
( у ) 2
+
= 1. Данная кривая – эллипс.
4
1
Собственный вектор τ 1,2 = t (1, 1, 0), t  0.
Полагая  = 3 = 3, получим систему уравнений:
Собственный вектор τ 3 = t (1, -1, 0), t  0.
Пример 4. Методом собственных векторов привести к
каноническому виду уравнение кривой второго порядка
17 х2 + 12 ху + 8 у2 = 20.
Решение. Квадратичная форма 17 х2 + 12 ху + 8 у2
17 6 
 . Найдем
 6 8
полностью определяется матрицей А = 
собственные значения матрицы А. Запишем и решим характеристическое уравнение:
17  
6
= 0.
6
8
(17 - ) (8 - ) – 36 = 0  2 – 25  + 100 = 0  1 = 5, 2 = 20.
Квадратичная форма 17 х2 + 12 ху + 8 у2 преобразуется к каноническому виду 1 (х)2 + 2 (у)2, то есть 5 (х)2 + 20 (у)2, а
данное уравнение кривой к виду: 5 (х)2 + 20 (у)2 = 20 или
Пример 5. Определить тип кривой второго порядка
3х2 + 10 ху + 3у2 – 2х – 14 у – 13 = 0, написать ее каноническое
уравнение и найти каноническую систему координат.
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы
3 5 
 . Найдем собственные значения матрицы А:
А = 
5 3 
3 5
2
2
5
3
8 (х)2 – 2 (у)2 -
5х 1  5х 2  0

5х 1  5х 2  0
 х1 = -х2  τ1  i  j .
 τ1  = 1  1 =
 1
1 
1
 =
2 , е 2 = τ10 = 
( i  j ).
;
2
2
 2
8 (х) 2
 τ1  = 1  1 =
х=
1
2
1
2
(х + у),
матрицей которого является матрица


С = 
 

получим
1
2
1
2
1 

2 
,
1 

2
3 
 + 9.
2
у = -2  у 

2
Уравнение кривой примет вид:
2
1 
 - 2
2
2

3 
 у 
 = 8.
2

Сделаем замену переменных, соответствующую сдвигу по
каждой из координатных осей:
х = х -
(х - у), у =
2

12

Выполняя преобразование
у - 13 = 0.
2

 1 1 
1
 =
2 , е1 = τ10 = 
( i  j ).
;
2
 2 2
2

1 
 - 4
х = 8  х  
2
2

8  х  
 х1 = х2  τ 2  i  j .
2
16
– 2 (у)2 -
Пусть  = 2 = 8.
 5х 1  5х 2  0

 5х 1  5х 2  0
12
х -
Выделим полные квадраты по каждой из новых переменных:
= 0, (3 - ) – 25 = 0,  - 6  – 16 = 0,
1 = -2, 2 = 8 – cобственные числа. Так как 1 и 2 отличны от
нуля и разных знаков, то кривая – гипербола.
Найдем собственные векторы матрицы А.
Пусть  = 1 = -2.
16
1
2
,
у = у +
3
.
2
Получим уравнение кривой:
8 (х)2 – 2 (у)2 =8
( х ) 2
( у ) 2
= 1.
1
4
или
Это и есть результирующее уравнение гиперболы.
Результирующее преобразование координат имеет вид:
х=
1
2
(х - у), где х = х +
1
2
3
, у = у -
2
, т.е.

1
3 
1
 х  
 =
(х - у) + 2
 у 
2
2
2 
2
1
3 
1
1 
1
 х  
 =
у=
(х + у) =
(х + у) – 1,
 у 
2
2
2
2 
2
х=
1
а каноническая система координат:
0 (2, -1), е1 =
1
2
i -
1
2
j , е2 =
1
2
i +
1
2
j.
3. Банк задач для самостоятельной работы
В задачах 1 – 6 найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных своими матрицами.
2 1

1. 
1 2 
3 4 

2. 
5 2
1 1 

3. 
 8 3
4 0

4.  7  2
3
0

5

9
6 
2
 2 1


6.  5  3
3.
1
0  2 

Ответ. 1. 1 = 1, τ 1 = t (1, -1); 2 = 3, τ 2 = t (1, 1), t  0.
7
5 9


5.  0 3  2 
 0 2  1


2. 1 = 7, τ 1 = t (1, 1); 2 = -2, τ 2 = t (4, -5), t  0.
3. 1 = -1, τ 1 = t (1, -2); 2 = 5, τ 2 = t (1, 4), t  0.
4. 1 = -2, τ 1 = t (0, 19, 0); 2 = 1, τ 2 = t (15, 8, -9),
3 = 9, τ 3 = t (11, 16, 11), t  0.
5. 1,2 = 1, τ1,2 = t (-4, 1, 1), 3 =5, τ 3 = t (1, 0, 0), t 0.
6. 1 = 2 = 3 = -1,
τ = t (1, 1, -1), t 0.
В задачах 7 – 10 методом собственных векторов привести
к каноническому виду следующие уравнения кривой второго
порядка.
7. 5 х2 + 8 ху + 5 у2 = 9
8. х2 - 2 21 ху + 5 у2 = 24
9. 5 х2 + 4 ху + 2 у2 = 18
10. 4 ху + 3 у2 = 36
Ответы. 7) 1 =1, 2 = 9; эллипс
( х ) 2
( у ) 2
= 1.
3
12
( х ) 2
( у ) 2
9) 1 =1, 2 = 6; эллипс
+
= 1.
18
3
( х ) 2
( у ) 2
10) 1 =4, 2 = -1; гипербола
= 1.
9
36
8) 1 =8, 2 = -2; гипербола
( х ) 2
( у ) 2
+
= 1.
9
1
В задачах 11 – 13 определить тип кривой второго порядка,
написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.
11. х2 + 6 ху + у2 + 6х + 2у – 1 = 0.
12. х2 + 2 ху + у2 + 3х + у = 0.
13. 9х2 + 4 ху + 6 2 + 16х + 8у – 2 = 0.
Ответ. 11) 1 =4, 2 = -2; гипербола 4 (х)2 – 2 (у)2 =1,
 1
1 
 1
1 
 , е 2 = 
 ; 12) 1 = 2, 2 = 0;
0 (0, -1), е1 = 
;
;
2
 2 2
 2
парабола (х)2 = -
1
 1
1
 1
1 
 ,
у, 0   ;   , е1 = 
;
2
 2
2
 2 2
 1
( х ) 2
1 
 ; 13) 1 =5, 2 = 10; ‘эллипс
е 2 = 
+ (у)2 = 1,
;
2
2
 2
 1
 2
2 
1 
 4 2
 , е 2 =  
 .
0   ;  , е1 =  ;
;
5
5
5
 5 5
 5

4. Варианты проверочных работ
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А.
0

1. А =  0
1

0
1
0
1

0 .
0 
Ответ. 1 = -1
2,3 = 1
1

6. А =  2
3

0 3

1 2 .
0 1 
Ответ. 1 = 1
2 = -2
τ 1 = t (-1, 0, 1)
τ2,3 = t (1, k, 1), t  0.
3 = 4
2
 0

2. А =   2 0
1  3

1

3.
0 
Ответ. 1 = 0
2,3 = 
τ 1 = t (3, -1, 2), t  0
Ответ. 1 = -2
2,3 = 1
 0

4. А =   4
 2

1
4
1
τ 1 = t (0, 0, 1)
τ2,3 = t (3, -6, 20), t  0.
0

0.
2 
Ответ. 1,2,3 = 2
Ответ. 1 = 1
2 = 2
3 = -2
Ответ. 1 = 7
2 = 1
3 = -7
 1 3

8. А =   2  6
1  4

τ 2 = t (2, 0, 1)
τ 3 = t (2, 0, -1), t  0.
τ 2 = t (0, 1, 2)
τ 3 = t (0, -5, 6), t  0.
Ответ. 1,2,3 = 1 τ = t (3, 1, 1), t  0.
4  5

9. А =  5  7
6  9

τ = t (1, 2, k), t  0.
τ 1 = t (-59, 3, -20)
τ 1 = t (7, 5, 6)
3

13  .
8 
2

3 .
4 
Ответ. 1,2 = 0
0 7 4 


5. А =  0 1 0  .
1 13 0 


τ 2 = t (-1, 0, 1)
τ 3 = t (3, 4, 3), t  0.
0
0
 7


7. А = 10  19 10  .
12  24 13 


 14 .
0
 3 1


3. А =   4  1 0  .
 4  8  2


τ 1 = t (0, 1, 0)
3 = 1
 1

10. А =   1
 1

τ 1,2 = t (1, 2, 3)
τ 3 = t (1, 1, 1), t  0.
2 1

1
1.
0  1
Ответ. 1 = 0
2 = 0
3 = -1
τ 1 = t (1, 0, 1)
τ 2 = t (1, 2, 3)
τ 3 = t (4, -1, 6), t  0.
2. Определить тип кривой второго порядка.
1. 3х2 + 3у2 – 4ху + 4х + 4у + 1 = 0.
Ответ. 1 = 1, 2 = 5, эллипс.
2. х2 + у2 – 4ху + 2х + 4у + 1 = 0.
Ответ. 1 = 3, 2 = -1, гипербола.
2
2
3. 5х – 6ух + 5у – 2х + 3у - 32 = 0.
Ответ. 1 = 8, 2 = 2, эллипс.
2
2
4. 9 х – 24 ху + 16 у – 3х + 4 = 0.
Ответ. 1 = 0, 2 = 25, парабола.
2
2
5. 3х + 3у + 10 ху - 2х - 14у - 13 = 0.
Ответ. 1 = 8, 2 = -2, гипербола.
2
2
6. 7х + 4 3 ху + 3у + х – у = 0.
Ответ. 1 = 1, 2 = 9, эллипс.
2
2
7. х – 4 ух + 4у – 4х – 3у – 7 = 0.
Ответ. 1 = 0, 2 = 5, парабола.
8. 2х2 + 4ху + 5у2 – 6х – 8у = 1.
Ответ. 1 = 1, 2 = 6, эллипс.
9. 5х2 + 12 ху – 22 х – 12 у – 19 = 0.
Ответ. Ответ. 1 = 9, 2 = -4, гипербола
10. х2 – 2ху + у2 – 10 х – 6у + 25 = 0.
Ответ. 1 = 0, 2 = 2, парабола.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.
2. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Бугров Я.С., Никольский С.Н. – М.: Наука,
1980.
3. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1971.
4. Сборник задач по математике. Для втузов / Под ред.
Л.В. Ефимова. – М.: Наука, 1981. Т. I.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.
– М.: Наука, 1970.