Разработка урока алгебры в 11 класса - school

Глухова Наталья Ивановна
учитель математики МОУ СОШ №6
РАЗРАБОТКА УРОКА АЛГЕБРЫ В 11 КЛАССЕ
« Решение показательных уравнений»
Алгебра 11 . Авторы: А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, 2008 год.
( профильный класс)
Цели: 1)Повторить методы решения различных видов показательных уравнений, а также
рассмотреть случаи решения нестандартных показательных уравнений.
2)Формирование познавательного интереса, как источника обеспечения воспитательных
задач обучения, обогащающего и направляющего поступки ученика, способствующего
процессу освоения, а в дальнейшем и самостоятельного добывания знаний по предмету, а
также развитие творческой деятельности учащихся при решение нестандартных задач.
Развитие логического мышления.
3) Провести диагностику системы знаний и умений и ее применение для выполнения
практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. Научить
учащихся реализовать в процессе применения знаний такие требования, как готовность к
передаче и приему информации от «руководителя» и непосредственных «партнеров»; выявить
умение учащихся анализировать работу, проделанную товарищами и адекватно ее оценивать.
Ход урока.
I) Мотивационная беседа.
- Вы уже, наверное, нашли ответ на вопрос, который хорошо известен вам еще по
известным строчкам В. Маяковского: « У меня растут года, будет и семнадцать. Где работать
мне тогда, чем заниматься?».Конечно, поэт был прав, когда говорил: « Все работы хороши,
выбирай на вкус!». А каков ваш вкус? Что вас более всего привлекает? Литература? История?
Математика? Хороши советы, но выбирать придется вам самим. .И здесь математика имеет
преимущества перед другими предметами. Она учит правильно рассуждать, принимать
обоснованные решения, защищать и отстаивать свое мнение, развивает внимание, память,
воображение. Все это делает человека подлинно культурным и образованным. Люди
творческие наиболее образованные, а мне хочется, чтобы вы были именно такими.
Предлагаю вам сегодня представить себе, что вы сотрудники различных лабораторий НИИ по
проблемам решения показательных уравнений. Всех вас пригласили принять участие в
заседании ученого совета этого НИИ. Я передаю полномочия председателю ученого совета.
- Коллеги! Сегодня мы собрались с вами, чтобы обсудить важную проблему нашего
времени « Решение показательных уравнений». Как вы знаете, наши лаборатории проводят
исследования по различным направлениям темы, и сейчас хотелось бы услышать отчет о
проделанной работе. Слово руководителю лаборатории теоретиков.
I I) Актуализация опорных знаний.
- Наша лаборатория изучила данный материал в учебнике и дополнительную литературу и
собрала его в таблицу, с которой я вас сейчас ознакомлю. ( Дальнейший материал можно
оформить в виде таблицы).
Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
a x  b , где a >0, a  1 имеет единственный корень
x  log a b при b >0 и не имеет корней при b  0 .
1)
Простейшее показательное уравнение
2)
Уравнение
3)
Уравнение
a f ( x )  a g ( x ) , где a  0 , a  1 равносильно уравнению f(x)=g(x).
a f ( x )  b g ( x ) , где a >0, b  0, a  1 равносильно каждому из уравнений
a f ( x )  a g ( x ) loga b иf ( x)  g ( x) log a b .
4)
5)
Показательные уравнения вида a  b  (a  b) , a  0, b  0, a  1, b  1 имеет
один корень х=1.
Решение показательно-степенных уравнений, т.е уравнений, содержащих неизвестные, как в
показателе степени, так и в основании степени этого уравнения вида
x
x
x
( f ( x)) g ( x )  ( f ( x)) h ( x ) , его решение основано на рассмотрение четырех ситуаций:
1) f ( x)  1
2) f ( x )  1
3) f ( x )  0
4) g ( x )
 h( x) Проверка корней обязательна!
Методы решения показательных уравнений.
а) Решение уравнений с использованием свойств показательной функции.
б) Решение уравнений, сводящих к квадратным.
в) Решение уравнений вынесением общего множителя за скобку.
г) Решение показательных уравнений логарифмированием обеих частей.
д) Решение уравнений с использованием монотонности показательной функции
I I I Диагностика.
Председатель ученого совета: « Спасибо. Примем за основу исходные данные. Слово руководителю лаборатории
исследователей».
- Наша лаборатория также работала по этой проблеме. Вы услышали теоретическую часть этого вопроса. Нельзя не признать ту
истину, что «если человек хорошо обучен считать, то он имеет важнейшие основы мастерства и умелости». Хочется
посмотреть, как практически вы подготовлены по рассматриваемой нами проблеме. Перед вами карточки. Вы должны
выполнить задание и, получив ответ, на доске под номером вашей карточки записать букву из таблицы, соответствующую
вашему ответу.
1
2
3
0;1
Т
№1.
№2 .
№3 .
№4 .
№5 .
№6.
№7 .
2
Н
4
5
-2
И
6
1
О
7
1;2
Р
8
-1
А
9
10
9
П
11
-6
В
12
0,5
М
13
14
1,5
Ь
15
4
У
16
17
7
Я
18
-1,5
Ч
19
-2,5
-
20
21
3
Е
2 x 1  2 x  2  2 x 3  448 ,
31 x  31 x  8 ,
16
125 2
( ) x 3  (
) ,
25
64
7 2 x  8  7 x  7  0,
5 2 x 1  3  5 2 x 1  110,
x 2  3x  2
3
=1,
4  5  2  24,
5 2 x 1  5 x 1  250,
x
x
№8.
Найти сумму корней:
№9.
№10.
№11.
№12.
№13.
№14.
№15.
№16.
№17
№18.
№19.
№20.
№21.
49  7 2 x  50  7 x  1  0,
4 x 1  4 x  320,
2
27
( )1 2 x  ( )  2 ,
3
8
2 x2
2 x 1
3
3
 28,
2  4 x  3  2 x  2  0,
5  4 x  2  25 x  7  10 x ,
2 2 x 3  1,
2 x  3 x  36,
3
49
( ) 3 2 x  ( )  3 ,
7
9
16
125 4
( ) 3 3 x  (
) ,
25
64
1
( ) 3 x 18  812 x 1 ,
3
2x
x
Найти сумму корней: 49  7  50  7  1  0,
8 x3  3. 4 2 x .
Карточки даются детям не по порядку. Правильно решив задания, и, выбрав правильно букву, соответствующую верному
ответу, дети напишут высказывание « Повторение – мать учения».
- Слово руководителю лаборатории эксперимента.
« …Владение математикой – это умение решат задачи, причем не только стандартные, но и требующие оригинальности,
изобретательности». Так сказал математик Д. Пойа. Сотрудники нашей лаборатории подготовили для вас несколько
интересных заданий».
2  3 ) x  ( 2  3 ) x  4, (вводим подстановку ( 2  3 ) x  y, ( 2  3 ) x 
1. (
2.
2 x 1  2 x 4  2 x 2  6,5  3,25  1,625  ... ( уб. геом.прогрессия со зн. q <1)
4.
4 x  ( x  13)  2 x  2  x  22  0,
25 x  4 x  5 x  16 x , (разделить на 16 x ).
5.
2  3  35 , запишем это уравнение в виде:
3.
(8
1
.)
y
x
x
3
x
x
3
x
x
 27 3  35 3 ).
Все уравнения дети решают на доске с подсказкой учителя и с помощью формул, подготовленных лабораторией теоретиков.
x2  x  4
2
6. (х-1)
7.
=(х-1) . ( 4 случая, каждый ответ проверяем).
3 x 2  10 x  3
=1,
x 3
g ( x)
Учитель: у =f(x)
- сложно-показательная функция. Основание не является константой и допускается значение f(x)=1. Это
уравнение равносильно совокупности уравнения
x  3  1 и системы
состоящей из
x 3  0
1
x1  2, x 2  4, x3  , x 4  3,
3
Получим
3x 2  10 x  3  0.
и
но
x  3 , поэтому, ответ: 2;4;
1
3.
То есть, решать такие уравнения, мы должны с помощью совокупности двух систем: первая состоит из уравнений f(x)=1 и
g(x)- имеет смысл; вторая система из уравнения
g(x)=0 и неравенства f(x) >0.
8. При каких значениях а уравнение имеет решение:
5 2 x  (a  5)  5 x  5a  0 ?
9 x  2  (3b  2)  3 x  5b 2  4b  0
1
( a 1) x  2 ( a  3) x  a
 ?
значениях а уравнение имеет один корень 2
4
9. При каких значениях параметра b уравнение
10. При каких
имеет два различных корня?
Дети решают у доски с помощью учителя.
Спасибо сотрудникам всех лабораторий. Ваш отчет показал, что работа проводится на хорошем уровне. Все вы,
наверное, помните, что «Повторение- мать учения». Математика - не исключение, и, чтобы хорошо усваивать ее, надо
постоянно повторять изученное.
«
Образование
есть
то,
что
остается,
когда
все
выученное
забыто».
М. Лауэ.
Д. з : задания подобные решенным в классе на карточках.
Образец: 1)
2)
9 x  ( x  13)  3 x  9 x  36  0,
3 x 5  3 x 7  3 x 9  45,5  22,75  11,375 …
3) При каких значениях а уравнение: 4
x
 (5a  3)  2 x  4a 2  3a  0
имеет единственный корень?