Практическая работа №2x

Практическая работа №2
Тема: «Решение систем линейных уравнений различными способами.»
Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные
методы для решения систем линейных алгебраических уравнений
Методические указания и теоретические сведения к практической
работе
1. Системы линейных уравнений
(общие сведения)
Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a 21 x1  a12 x2  ...  a 2 n xn  b2
(1)



















 a n1 x1  a n 2 x2  ...  a nn xn  bn
Решением системы (1) называется совокупность чисел ( k1 , k 2 , …, k n ),
которая при подстановке в систему (1) вместо неизвестных обращает каждое
уравнение системы в тождество. Система может иметь решение, тогда она
называется совместной, причем, если решение единственное, система
определенная, если решений множество – система неопределенная. Если
система не имеет решений, она называется несовместной. Рассмотрим два
способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса.
2. Метод Крамера
При решении методом Крамера используем определители n -го
порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы
из коэффициентов при неизвестных:
a11 a12 ... a1n
a
a 22 ... a 2 n
.
  21
   
a n1 a n 2 ... a nn
ТЕОРЕМА. Если определитель системы   0 , то систему (3) можно
решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:
x1 
 х1

;
x2 
 х2

;
…;
xn 
 хn

,
где определитель xi может быть получен из главного определителя путем
замены i -го столбца на столбец из свободных членов.
 x1  2 x2  x3  4

3x1  5 x2  3x3  1
 2x  7 x  x  8
2
3
 1
1
Пример 1.
.
Составляем главный определитель, элементами которого являются
коэффициенты при неизвестных:
1 2
1
  3 5 3
2 7 1
и три вспомогательных определителя:
4 2
1
1 4 1
1 2 4
 x1  1  5 3 ;
 x2  3 1 3 ;
 x3  3  5 1 .
8 7 1
2 8 1
2 7 8
Определитель  x1 составлен из определителя  путем замены
элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В
определителях  x 2 и  x 3 соответственно второй и третий столбцы
заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.
1 2
1
  3  5 3  5  12  21  10  21  6  33 ;
2 7 1
4 2
1
 x1  1  5 3  20  48  7  40  84  2  33 ;
8 7 1
1 4 1
 x2  3 1 3  1  24  24  2  24  12  33 ;
2 8 1
1 2 4
 x3  3  5 1  40  4  84  40  7  48  33 .
2 7 8
Неизвестные x1 , x 2 , x 3 находим по формулам
 х2
x1 
33
 1;
33
x3  1 .
x2  1 ;
x2 
x1 
Ответ: x1  1;
 х1
;
x1 

;
x3 
33
 1;
33
x3 

 х3

;
33
 1.
33
2
 2 x1  x 2  x3  4

Пример2. Решить систему 3 x1  4 x 2  2 x3  11 методом Крамера.
3 x  2 x  4 x  11
2
3
 1
Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных
2  1 1
4


 
членов: A   3 4  2  , B  11 . Далее вычисляем определители:
3  2 4 
11


 
2
A3
1
1
4
 2  2(16  4)  (1)(12  16)  1(6  12)  60  0 ;
3 2
4
A 1  11
4
1
1
4
 2  4(16  4)  (1)(44  22)  1(22  44)  180 ;
11  2
2
4
1
4
A 2  3 11  2  2(44  22)  4(12  6)  1(33  33)  60 ;
3 11
2
4
1
4
4
11  2(44  22)  (1)(33  33)  4(6  12)  60 .
A3  3
3  2 11
По
x3 
Крамера
x1 
60
 1 . Ответ: x1  3 ;
60
x2  1 ;
теореме
A3
A

A1
A

180
 3;
60
x2 
A2
A

60
1;
60
x3  3 .
Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в
2  3 1 1  4,
3  3  4  1  2  1  11,
каждое
уравнение
системы:
3  3  2  1  4  1  11. Все уравнения обратились в тождества, значит, решение
найдено верно.
3
Условия неопределенности и несовместности системы двух
линейных уравнений с двумя переменными.
Если определитель системы   0 , то система является либо несовместной
(когда  х  0 и  х  0 ), либо неопределенной (когда  х  0 и  х  0 ). В
последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое является
следствием этого уравнения.
Условия несовместности системы двух линейных уравнений с двумя
переменными можно записать в виде:
1
2
1
2
а1
в
с
 1  1
а 2 в 2 с2
Условия неопределенности системы двух линейных уравнений с двумя
переменными можно записать в виде:
а1
в
с
 1  1
а2 в 2 с2
Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то
система уравнений (1) не имеет решения (если   0 ).
Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то
система (1) имеет бесконечно много решений.
Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений (1)
имеет единственное решение.
3. Метод Гаусса
Эффективным методом решения и исследования систем линейных
уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или
метод Гаусса.
Идея метода Гаусса состоит в том, что данная система линейных
уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида,
которая легко исследуется и решается.
Пример 3.
 5x  3 y  z  7

2 x  3 y  2 z  9 .
 x  2 y  3z  1

В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в
последнем уравнении системы осталось одно неизвестное ( z ), во втором – 2
неизвестных ( y и z ) а в первом – 3 неизвестных ( x , y , z ). За ведущее
уравнение берется то, в котором коэффициент при x равен 1. Если такого
уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы
на коэффициент при x .
Ведущим уравнением данной системы будет последнее. Перепишем
систему так:
4
 x  2 y  3z  1

2 x  3 y  2 z  9 (2)
 5x  3 y  z  7

Умножаем первое уравнение на (-2) и складываем со вторым, чтобы
избавиться от x во втором уравнении. Результат сложения записываем на
месте второго уравнения. Далее первое уравнение умножаем на (-5) и
складываем с третьим, чтобы избавиться от x в третьем уравнении.
Результат записываем на месте третьего уравнения. Первое уравнение при
этом переписываем без изменений. Получим:
 x  2 y  3z  1

  7 y  16 z  2 (3)
  7 y  4z  7

Системы уравнений (2) и (3) эквиваленты, т. е.
они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.
Умножаем второе уравнение системы (5) на (-1) и складываем с
третьим, чтобы избавиться от y в третьем уравнении. Первое уравнение при
этом не трогаем. Результат записываем на месте третьего уравнения. Тогда
 x  2 y  3z  1

  7 y  16 z  2 .

12 z  5

5
Из последнего уравнения z  . Подставляем это значение z во втрое
12
уравнение системы и находим y :
5
 7 y  16   2
12
26
y .
11
В первое уравнение подставляем значения z и y , получаем
5
 26 
x  2    3  1
12
 11 
187
x
.
84
26
5
187
y ; z .
x
Ответ:
;
84
11
12
Рекомендуется сделать проверку.
5
3. Матричный способ
Систему можно решить и матричным способом.
Рассмотрим систему вида
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

a 21 x1  a 22 x2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
(4)
Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных:
 a11 a12 a13 


A   a 21 a 22 a 23  .
a

 31 a32 a33 
Из неизвестных x1 , x2 , x 3 и свободных членов составим матрицы – столбцы
 x1 
 b1 
 
 
X   x2  ;
B   b2  .
x 
b 
 3
 3
Тогда система (4) в матричной форме примет вид
(5)
A X  B.
1
Чтобы найти матрицу X , умножим (7) на A слева.
A 1  A  X  A 1  B  X  A 1  B
Пример 4.
1 2 3


A   0 1 2.
1 2 1


1
Найти обратную матрицу A .
РЕШЕНИЕ.
1) Составляем и вычисляем определитель
1 2 3
  0  1 2  1  0  4  3  4  0  2 .
1 2 1
Определитель вычислен по правилу треугольника.
2) Транспонируем матрицу. Получаем
1 0 1


AT   2  1 2  .
 3 2 1


6
3) Вычисляем алгебраические дополнения
A11 ; A12 ; A13 ; A21 ; A22 ; A23 ; A31 ; A32 ; A33 .
1 0 1
1 2
M 11 
 1  4  5;
2 1 2 ;
2 1
11
A11   1   5  5.
3 2 1
Вычисляем A12 . Вычеркиваем первую строку и второй столбец.
Составляем определитель второго порядка из оставшихся элементов.
1 0 1
2 2
2 1 2 ;
M 12 
 2  6  4 .
3 1
3 2 1
Вычисляем A12   1   4  4 .
Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения:
A13  7 ; A21  2 ; A22  2 ; A23  2 ; A31  1 ; A32  0 ; A33  1.
Составим обратную матрицу
7 
 A11 A12 A13 
5 4




1
1
A 1   A21 A22 A23    2  2  2 

 2 1
A
A
A
0  1 
32
33 
 31

1 2
7 
5
 2 2
2
1

1 1 
A  1
 1

0 1 
2
 2
Сделаем проверку
7  1 2 3
 5 4
 2 0 0 1 0 0
 
 1
 

1
  A  A   2  2  2   0 1 2   0 2 0   0 1 0
2
2
 

0  1   1 2 1 
 1
 0 0 2  0 0 1
1
Пример 5.
Решить систему матричным способом
 5x  3 y  z  7

2 x  3 y  2 z  9 .
 x  2 y  3z  1

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу A :
 5 3  1


A  2  3 2 .
1 2
3 

Из неизвестных составим матрицу – столбец:
7
 x
 
X   y.
z
 
Из свободных членов составим матрицу – столбец:
7
 
B  9 .
1
 
Тогда система запишется в виде
A X  B.
Получили матричное уравнение. Умножаем обе части этого уравнения на A1
слева. Получаем:
X  A1  B .
Находим обратную матрицу:
5 3 1
2 1
5


  2  3 2  84 ;
AT   3  3 2  ;
 1 2 3
1 2
3


 13 11  3 

~ 
A   4  16 12  (матрица, составленная из алгебраических
 7 7
21 

 13 11  3 

1 
1
A    4  16 12  (обратная матрица).
дополнений элементов;
84 
21 
 7 7
Умножая обратную матрицу на B , получаем матрицу X .
 187 
 13 11  3   7 
   1  2684 
1 
.
X    4  16 12    9     
21

84 
84
21   1 
 5

 7
 12 
Отсюда получаем ответ:
26
5
187
x
y ;
z .
;
84
21
12
Сравните решение этой системы с решением метода Гаусса.
8
Вариант 1.
Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
3x  4 у  18
а) 
2 x  5 у  19
б)
 5x  2 у  7

3x  4 у  25
Задание 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
х  2у х  2у 7  2у



 1 х
 4
2
3

3x  2 у  8

Задание 3. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
3x  2 у  1
а) 
6 x  4 у  2
б)
2 x  3 у  2

4 x  6 у  3
Задание 4.
а) При каком значении а система
б) При каком значении а система
решений?
14 x  32 у  25
не имеет решений?

 28 x  ау  7
 7 x  12 у  81

имеет бесконечно много
49 x  ау  567
Задание 5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, методом
Гаусса матричным методом:.
5 x1  3x 2  4 x3  6

б)  2 x1  x2  x3  0
 x  2x  x  0
2
3
 1
7 x1  3x 2  5 x3  32

а)  5 x1  2 x2  x3  11
 2 x  x  3x  14
2
3
 1
Задание 6. Решить систему уравнений методом Крамера:
 x1  2 x2  3x3  5

а)  2 x1  x2  x3  1
 x  3x  4 x  1
2
3
 1
Итог занятия:
б)
x1  x2  3x3  9


 2 x1  3x2  4 x3  16

x1  6 x3  13

9