Использование линейных моделей для расчета эффета пула

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ
РАСЧЕТА ЭФФЕКТА ПУЛА ИПОТЕК
Ерешко Арт.Ф.
(Вычислительный центр РАН, Москва)
ereshko@ccas.ru
Ключевые слова: ипотека, линейная модель, жилищное
кредитование.
Постановка задачи
Объемы жилищных инвестиций составляют существенную
часть внутреннего валового продукта в развитых и
развивающихся странах. Особую роль в жилищном
кредитовании играет ипотечное кредитование, - особая форма
кредита под залог приобретаемого актива. Очевидно, что
многообразные факторы, сопутствующие процессу получения
кредитов и его возврату требуют соответствующего
вычислительного арсенала. С точки зрения банков – это
обычный кредит с достаточной гарантией, для потребителя –
возможность досрочного обладания активом.
Данная работа посвящена разработке одного из возможных
методов расчета преимуществ объединения в коалицию
участников, желающих увеличить выгоды от приобретения
актива и уменьшения рисков от их обладания
Обозначим номера агентов k  1,...K , время принимает
дискретные значения t  1,..., T .
1. Независимое поведение экономических агентов.
Мы рассмотрим ситуацию, когда экономический агент
функционирует в свободной экономической среде и имеет
возможность свободного финансового выбора при желании
приобрести жилье. Положим, что рынок предлагает агенту
набор договоров со следующими условиями: на первом этапе
происходит накопление средств на счету агента с заданным
1
ставками процентов на депозит, затем через фиксированное
число шагов агент получает возможность получить в
пользование жилье и заключает договор на получение кредита
для приобретение данного жилья, и принимает на себя условия
по возврату полученного кредита.
Введем соответствующие обозначения.
t k1 – момент начала депозитного договора агента номера k с
банком; z tk – процентные ставки на депозитный вклад агента k
в момент t ; d tk – вклады агента k в моменты времени t ; Dtk2 –
k
накопленная сумма на депозите агентом k в момент t  tk2 ;
Dtk1  Dtk (1  0.01z tk )  d tk ,
t  1,..., tk2  1 ;
t k2
– момент
передачи жилья в пользование агента, начало кредитного
договора; Ctk2 – величина получаемого кредита = H t 2
k
k
(стоимость приобретаемого жилья) – Dt 2 (накопленная сумма
k
на депозитном счете); g
k
t
– процентные ставки на полученный
агентом кредит; ctk – выплаты кредита по заданной схеме. Если
Ctl – объем средств, взятых Кооперативом в кредит по l -му
договору, l  1,..., L , то это кредит порождает в последующие
моменты времени t  tl , tl  1,..., l выплаты в суммах равных
Ctl g l ; t k3 – момент времени завершения участником выплат по
кредиту и получения жилья в собственность.
Таким образом, возможности и обязательства агента
определяются
набором
следующих
параметров:
1 2 3
k
k
{tk , tk , tk , d t , ct } .
2. Модель Кооператива
Теперь рассмотрим ситуацию, когда агенты объединяют
свои возможности и обязательства в целях улучшения своего
положения. Будем предполагать, что рынок предлагает
2
некоторый фиксированный набор кредитных договоров L ,
отличающихся продолжительностью и ставками процентов.
Источником привлекательности коалиции для участников
может служить уменьшение процентов по кредитам и
увеличение процентов для депозитов коалиции на внешнем
рынке. В силу линейности связей оптимизационные задачи на
этой модели в детерминированном и стохастическом случае
сводятся к задачам линейного программирования.
Выпишем соответствующие соотношения.
Полагаем, что T  L , K  L
Динамику финансовых средств компании запишем в виде:
L
L
 St 1  St  f t  t   Ctl  
l 1
t 1
 g C  cf

l
l 1  t  l
l
t
 Ht ,
при L  t  T  L .
Lt
L
t 1
 St 1  St  ft  t   Ctl    g l Cl  cft  H t ,
l 1   t  l
l 1
при 1  t  L , S0  0 , Lt  t .
L
LT t t 1
 St 1  St  ft  t   Ctl    g l Cl  cft  H t ,
l 1
l 1   t  l
при T  L  t  T , Lt  T  t .
здесь St – финансовые средства Кооператива в кассе и на
расчетном счете,
f t – объем изъятия с депозитного счета
Кооператива, t – объем доразмещения средств на депозитном
счете Кооператива, Ctl – объем средств, взятых Кооперативом в
кредит по l -му договору, l  1,..., L . Кредит Ctl порождает в
последующие моменты времени t  tl , tl  1,..., l выплаты в
суммах равных Ctl g l .
Поток платежей k -го участника выглядит следующим
образом:
3
 0,1  t  t k1
 k 1
2
d t , t k  t  t k
,
cf t   k 2
3
 ct , t k  t  t k
 0, t k3  t  T
где t k1 – момент времени заключения договора участника с
Кооперативом, t k2
– момент времени завершения периода
накопления средств участника, t k3 – момент времени завершения
участником выплат после получения жилья в пользование и
получения жилья в собственность.
Динамика средств на депозитном счете компании во
внешнем банке запишется в виде:
 (1  zt 1 ) Dt 1  Dt  ft  t  0 , где zt – процентная
ставка на депозитный вклад кооперативу.
Ограничения на выбор f t и t : ft  Dt  0 , t  St  0 .
Функционал задачи относится к конечному финансовому
состоянию компании: (c, x)  ST  DT  max
Литература
1 Аверченко В., Весели Р., Наумов Г., Файкс Э., Эртл
И. Принципы жилищного кредитования. М.: Альпина Бизнес
Букс, 2006. 261 с.
2 Полтерович В.М., Старков О.Ю. Проблема
трансплантации ипотечных институтов в переходных
экономиках: роль стройсберкасс./ Препринт WP/2006/210. М.:
ЦЭМИ РАН, 2006. 91 с.
3 Ерешко А.Ф. Принципиальная схема сеточного
метода
решения
детерминированного
эквивалента
стохастической задачи управления портфелем финансовых
инструментов. Труды ИСА РАН. //Динамика неоднородных
систем. Выпуск 10(1) М: ИСА РАН, 2006. С.151-162.
4