Документ 391767

Типовые задания для специальности:
«Математика»
«Уравнения с частными производными»
1.Определить тип уравнения:
U xx  2U xy  2U yy  2U yz  2U zz  0 .
2. Привести к каноническому виду и выполнить упрощение группы
младших производных
8U xx  6U xy  U yy  U x  3U y  U  0 .
3. Найти общее решение уравнения:
U xx  2U xy  8U yy  0 .
4. Решить задачу Коши:
U xx  2(1  2 x)U xy  4 x(1  x)U yy  2U y  0
U
x 0
 y, U x
x 0
 2,
y 
5. Решить смешанную задачу:
U t  U xx  4U x  x  4t  1  e 2 x cos 2 x
U
x 0
 t, U
x 1
 2t , U
t 0
0
Интегральные уравнения и функциональный анализ
1. Докажите, что метрическое пространство числовых последовательностей
x  xk  таких, что

x
 ( x, y) 
k 1
k

k  x
k 1
 yk
2
k
  , с метрикой
2
не является полным и найти его
пополнение.
2. Докажите, что интегральное уравнение

1
x(t ) 
arctg (t  x( s)) ds  f (t )
2 0
суммируемой на
0,  .
при любой функции
f (t ) ,
0,  , имеет единственное решение, суммируемое на
3. Найдите квадратный трехчлен, наилучшим образом приближающий в
пространстве
L2  1,1 функцию f ( x)  x .
A : C1,1  C1,1 ,
4. Докажите, что линейный оператор
1
1
Ax  x(t )   x( s )ds , является ограниченным и найдите его норму.
2 1
5. Найдите спектр и спектральный радиус линейного оператора
1
A : C0,1  C0,1 , Ax  x(t )   min( t , s)  x( s)ds .
0
6. Найдите значения параметров a, b, при которых интегральное уравнение
1
u( x)    ( x  y)  u ( y)dy  ax  b  1
разрешимо в пространстве
0
L2  1,1 при любых  .
7. Докажите, что линейный функционал
определенный на линеале
f : l1  C , f ( x)  x3 ,
L  x  xk  l1 x1  2  x2  3  x3  0,
можно непрерывно продолжить на все пространство
нормы и найдите такое продолжение.
l1
с сохранением
8. Найдите непрерывные решения интегральных уравнений:
t
a)
x(t )   sin( t  s)  x(s)ds  cos t ,
0
1
b)
x(t )    (1  s  2ts)  x( s )ds  t 2 .
1
Дифференциальные уравнения
1. y  2 y  2 y  xe x ; y (0)  y (0)  0
Решение:
2  2  2  0 1,2  1  i
yО.О.  e x ( c1 cos x  c2 sin x )
2 y ч = e x ( Ax  B)
2 y  ч = e x (  Ax  B  A)
1 y  ч = e x ( Ax  B  2 A)
x
x
o
2А-2А+А=1
2В+2В+2А-В-2А=0
y  e x ( c1 cos x  c2 sin x  x )
y  e x ( c1 cos x  c2 sin x  x  c1 sin x  c2 cos x  1)
0  c1
c1  0

 y  e x ( x  sin x )

0


c

c

1
c


1
1
2

 2
2
2. x y  2 y
Решение:
x 3 y   2 xy  0
x  et , yx  e t yt , yxx  e 2 t ( ytt  yt )
yttt  e 3t ( yttt  3ytt  2 yt )
e3t e 3t ( y  3y  2 y )  2 et e t y   0
y   3y   2 y   2 y   0
y   3y   0
3  32  0 1,2  0 3  3
y (1)  c1  c2 t  c3e3t
y ( x )  c1  c2 ln x  c3x 3
x  2 y  3x
3. 
 y  y  2 x
Решение:
y 
y

x




 x  2 y  3x

2 2
 2 x  y  y  


 y  y  2 x
 x  y  y

2 2
y 
y
3 y 3 y
   2y 

 y  
y  4 y  3 y  3 y
2 2
2
2
y  2 y  y  0 2  2  1  0 1,2  1

А=1
В=0
 y  e t ( c1  c2 t )


c2

t 
x  e   2  c2 t 

 1  1 1


4. x  Ax
A  1
1  1


 2  1 0
y  e t ( c2  c1  c2 t )
Решение:
det A  E   0, 1  1, 2  2, 3  1.
1 0
0


I  0 2
0


 0 0  1
AS  SI 
1  1
1  s1 s2 s3   s1 s2 s3   1


 

 1
1  1   s4 s5 s6    s4 s5 s6   0


 

0  s7 s8 s9   s7 s8 s9   0
2  1
s1  s4  s7  s1

s1  s4  s7  s4
2 s  s
 s7
 1 4
s2  s5  s8  2 s2

s2  s5  s8  2 s5
2 s  s
 2 s8
 2 5
s3  s6  s9   s3

s3  s6  s9   s6
2 s  s
  s9
 3 6
 1 1  1


S  1 0 3  ,


1 1 5 
 x   et
   t
 y   e
   t
 z  e
s4  s7

s1  s7
0
0

2
0

0  1
 s1  s4  s7  1
 s2  s5  s8  0
s2  1


  s2  s5  s8  0  s5  0
2 s  s  2 s  0
s  1
8
 2 5
8
2 s3  s6  s9  0
s3  1


  s3  2 s6  s9  0  s6  3
3s  s
s  5
0
 3 6
9
 1 1  1  et 0 0   et
 


(t )  Se It   1 0 3  0 e2 t 0   et


 
1 1 5   0 0 e  t   et
 e  t   c1 
 
0 3e  t   c2 
 
e2 t 5e  t   c3 
e2 t
Математический анализ
I.
Вычисление неопределённых интегралов
 e t 

0 3e  t 

e2 t 5e  t 
e2 t
1. Вычислить интеграл


0
2. Вычислить интеграл
 4x
2
3
x  x2  6 x
x(1  3 x )
dx
3. Вычислить интеграл
1
( x  1)dx
 4 x
1  x3  3 x
4
x x

x
x
3
x (1 

12
x
dx
5. Вычислить интеграл
dx
3
4. Вычислить интеграл
x)
(3x  2)dx
 2x  5  x
2
II. Вычисление неопределённых интегралов
1
1. Вычислить интеграл

1 3 x
3
0
2. Вычислить интеграл
dx
x2

3
sin 2 x
 cos
6
0
dx
x
3. Вычислить интеграл
(3x  4)dx
 3 x
2
4. Вычислить интеграл
 2x

3
cos 2 x
 sin

6
1
5. Вычислить интеграл
dx
x

0
3
x  x  x2
3
x  x4
dx
6. Вычислить
6
1
интеграл
x3 x
 1
0
3
dx
x2
III. Нахождение локальных и глобальных экстремумов
функции двух переменных
1. Исследовать на локальный эктремум функцию u = x2 + xy + y2 - 12x – 3y
2. Исследовать на локальный эктремум функцию u = x2 - xy + 4y2 - 2x + 8y
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на множестве A: x2 + y2  8 .
u = xy + x + y
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции u = x2 + y2 - 4x
на множестве A: - 2  x  1 , - 1  y  3 .
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции u = xy - 3x + 4y -2
на множестве A: - 1  x  3 , 0  y  2 .
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции u = x2 - y2 - y
на множестве A: x2 + 4y2  8 .
7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
u = (x + y)2 - x + y
на множестве A: x2 + y2  25 , x -3 .
8. Исследовать на локальный эктремум функцию u = x2y + y2 - 4x
IV. Разложение функций в ряд Маклорена
1. Разложить в ряд по степеням х функцию y = 32 - x
2. Разложить в ряд по степеням х функцию y = 1 / (3x + 4)
3. Разложить в ряд по степеням х функцию y = 25 - 3x
4. Разложить в ряд по степеням х функцию y = 1 / (5x - 2)
V. Нахождение производной по данному направлению
1. Найти производную функции u = x2 + (y2 + z2)1/2
в направлении вектора l = (1 , 3 , 4) .
2. Найти производную функции u = x(xyz + z2)1/2
в направлении вектора l = (-1 , 2 , -3) .
3. Найти производную функции u = x2 + xyz + yz2
в направлении вектора l = (-1 , 2 , 0)
4. Разложить в ряд по степеням х функцию y = (x – 3) / (2x + 7)
5. Разложить в ряд по степеням х функцию y = 51-4x
6. Найти производную функции u = yz + (x2 + y2)1/2
в направлении вектора l = (5 , 0 , -12) .
VII. Нахождение первых и вторых дифференциалов неявно заданных
функций
1. Найти dz(3 , -2) и d2z(3 , -2) , если
z3 – xz + y = 0 , z(3, -2) = 2 .
2. Найти dz(/4 , /4) и d2z(/4 , /4) , если
/2 .
z – x = yctg(z – x) , z(/4 , /4) =
3. Найти dz(1 , -1) и d2z(1 , -1) , если
z + ln(x + y + z) = 1 , z(1, -1) = 1 .
4. Найти dz(1 , -1) и d2z(1 , -1) , если
z3 – xyz + 3x = 1 , z(1, -1) = -1 .
5. Найти dz(/4 , -/4) и d2z(/4 , /4) , если z + x - y = 4xtg(z + y) , z(/4 , /4) = /2 .
6. Найти dz(-1 , -1) и d2z(-1 , -1) , если
8. Найти dz(2 , -1) и d2z(2, -1) , если
z + 2ln(x - 2yz) = 1 , z(-1, -1) = 1 .
xz2 – yz + xy = 1 , z(2, -1) = 1 .
VIII. Нахождение области сходимости степенного ряда
1. Найти область сходимости ряда

 (n  1)
n2
n 1
2. Найти область сходимости ряда

2

2n  1
  3n  2 
x 2n
2n
n
 ( x  2) n
n 1
3. Найти область сходимости ряда


n 1
4. Найти область сходимости ряда

(2n  1) 3 ( x  3) n
 3n  2
n3
3
n 1


 n3 


 2n  1 
n 1
5. Найти область сходимости ряда

6. Найти область сходимости ряда


n 1
7. Найти область сходимости ряда
 (2 x  1) 2 n
n 2 3 n
n

n2
( x  4) n

n 1
8. Найти область сходимости ряда
xn
n 10 n
n
2
 2n  3
n2
  2n  3 

(3 x  1) 2 n 1
2 n 1
3n
 (3 x  4) n 2
n 1
IX. Раскрытие неопределённостей
1. Найти
2

lim   arctgx 
x   

3. Найти
x

lim  2  
x  a
a
5. Найти
7. Найти
9. Найти
tg
x
sin x
1
2a
ln(e x 1)
4. Найти
x  
ctg
6. Найти
lim x
x  0
 1 
lim 

x  0 sin x 
x
b
lim (2 x  7) ctgx
x  3
1
lim  
x  0 x 
x
lim 1  arcctgx 2 x
2x 

lim  3 

x  b
b 
2. Найти
tgx
1
8. Найти
10. Найти
lim
x  0
2
(sin x ) ln x
lim tgx ln(1 x )
x  0
Всего 55 тренировочных примеров по 9 темам
Дискретная математика
1. Даны формулы:
F1  A  B, F2  ( A  B), F3  ( A  B), F4  A  B
а) доказуемы ли секвенции
F1 | F3 , F1 | F4 , F4 | F1 ?
б) постройте вывод секвенции
F4 | F2
в) являются ли допустимыми правила вывода
   |     | 
,
?
   |     | 
г) докажите, что является допустимым правило вывода
 | 
.
 | 
2. Даны булевы функции
f1  (0001101 ), f 2  x  ( y  z ), f 3  (00000001 ).
а) для всех функций найти сднф, скнф, полином Жегалкина;
б) можно ли из множества { f1 , f 2 , f 3 } выделить подмножество, которое
является полной системой булевых функций. Для тех подмножеств, которые
не являются полными системами, указать функции, добавление которых
достаточно для того, чтобы система стала полной.
3. При передаче данных получено двоичное слово (1111000).
а) Известно, что используется код Хэмминга. Определить место ошибки.
б) Добавить к полученному слову один двоичный символ таким образом,
чтобы оно стало принадлежать коду Рида-Маллера первого порядка.
в)
Добавить к полученному слову один двоичный символ таким образом,
чтобы при использовании кода Рида-Маллера первого порядка можно было
бы исправить одиночную ошибку.
Алгебра и теория чисел
1. Показать, что ядро любого гомоморфизма группы b есть ее
нормальная подгруппа.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 разложить в
 5 8 9 2 1 4 3 6 7
2. Подстановку A  
произведение независимых циклов, определить ее четность,
порядок в группе S9 и вычислить A25 .
3. При каких значениях  вектор b  ( ,2,5) линейно выражается
через векторы a1  (3,2,6), a2  (7,3,9), a3  (5,1,3).
4. Найти размерность и базис подпространства, порожденного
, ,0), a3  (1111
, , , ), a4  (1,2,3,4),
векторами a1  (1,0,0,1), a2  (2,11
a5  ( 0,1,2 ,3).
5. Найти общее решение и фундаментальные решения однородной
системы:
3x1  5x2  4 x3  2 x4  0

2 x1  4 x2  6x3  3x4  0
11x  17 x  8x  4 x  0
2
3
4
 1
 0 2 1


6. Линейный оператор  задан в матрице e матрицей A   2 8 2


1 2 0 
найти его матрицу относительно базиса
g1  2e1  2e2  e3
g2  2e1  e2  2e3
g3   e1  2e2  2e3
7. Найти собственные значения, собственные векторы и жорданову
0  4 0


форму матрицы оператора заданного матрицей A   1  4 0  .


 1  2  2
8. В мультипликативной группе Z11 найти порядок всех элементов,
указать первообразные корни по модулю 11 и вычислить индекс
числа 5 по одному из этих корней.
9. Найти целочисленные решения уравнения 70x+30y=1.
10. Разложить в периодическую цепную дробь число 7 и оценить
погрешность его приближения четвертой подходящей дробью.
Аналитическая геометрия.
Задача 1. Даны вершины треугольника. Составить уравнение
перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану,
проведенную из вершины В.
Решение. Пусть D - середина стороны АС треугольника АВС.
Тогда ее координаты (x,y) вычисляем по формуле деления отрезка
пополам: x 
1 3
1 5
 2; y 
 2 . Следовательно, D(2;2).
2
2
В

А
С
D
Составим уравнение медианы ВD как уравнение прямой,
проходящей через две данные точки В и D:
x  2 y 1
1
3

или x  2  4 y  4; y  x  .
2  2 2 1
4
2
1
Угловой коэффициент прямой ВD k1  . Поэтому угловой
4
коэффициент k 2 прямой, проходящий перпендикулярно ВD равен
1
k 2   . Отсюда k 2 =-4.
k1
Составим уравнение такой прямой, проходящей через точку А:
y  1  4(x  1) или y  4x  3 .
Ответ: уравнение искомой прямой y  4x  3 .
Дифференциальная геометрия.
Задача 1. Написать уравнение касательной кривой
x
1 2 1 3
1
t  t , y  t 2  t в точке t0  2 .
2
3
2
Решение. Векторное уравнение кривой имеет вид
1 1
1

r (t )   t 2  t 3 , t 2  t  .
2

3 2
 2 
В точке t0  1 r (1)    ,4 .
3
Уравнение касательной в точке t 0 будем искать в виде
R ( )  r (t0 )  r l (t0 ) , где  - параметр вдоль касательной.
Имеем r  (t )  (t  t 2 , t  1), r  (1)  (2;3).
 2
3

Тогда R (  )     2 , 4  3  или в координатах
x
2
 2 , y  4  3 .
3
Задача 2. Найти нормали к кривой x  cos3 t , y  sin3 t ,
пересекающие ось абсцисс.
Теория вероятностей и математическая статистика.
1. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей
1
xi 0
x
pi
p1
p2 0,4
Известно, что МХ=1, DX=0,8.
Найти значения p1 , p2 , x и вычислить P X  x  5p1 .
2. Случайная величина Х имеет плотность вероятности вида
f (x )  ax (0  x  b)
Известно, что МХ=2.
Найти значения постоянных a и b , записать выражения для функции
распределения F(x) и вычислить P X  MX  DX  .
3. Функция распределения случайной величины Х имеет вид
bx 4
F ( x )  ax 
(0  x  1)
4
Известно, что МХ=0,5.
Найти значения постоянных a и b , записать выражения для плотности
вероятности f(x) и вычислить P X  MX  DX  .
4. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без
возвращения извлекаются 3 шара. Случайная величина Х - число белых
шаров в выборке. Составить закон распределения случайной величины Х и
вычислить МХ и DX.
5. Шесть раз бросается правильная монета. Случайная величина Х - модуль
разности числа появлений герба и числа появлений цифры в данном
эксперименте. Составить закон распределения величины Х и вычислить МХ.
6. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром
 . Найти плотность распределения случайной величины Y  X 2 , вычислить
P{Y  MX }.
7. Найти оценку максимального правдоподобия параметра  по выборке
x1 , x2 , , xn объема n из нормально распределенной генеральной
совокупности с известным математическим ожиданием a  0 .
Дискретная математика
3. Даны формулы:
F1  A  B, F2  ( A  B), F3  ( A  B), F4  A  B
а) доказуемы ли секвенции
F1 | F3 , F1 | F4 , F4 | F1 ?
б) постройте вывод секвенции
F4 | F2
в) являются ли допустимыми правила вывода
   |     | 
,
?
   |     | 
г) докажите, что является допустимым правило вывода
 | 
.
 | 
4. Даны булевы функции
f1  (0001101 ), f 2  x  ( y  z ), f 3  (00000001 ).
а) для всех функций найти сднф, скнф, полином Жегалкина;
б) можно ли из множества { f1 , f 2 , f 3 } выделить подмножество, которое
является полной системой булевых функций. Для тех подмножеств, которые
не являются полными системами, указать функции, добавление которых
достаточно для того, чтобы система стала полной.
3. При передаче данных получено двоичное слово (1111000).
а) Известно, что используется код Хэмминга. Определить место ошибки.
б) Добавить к полученному слову один двоичный символ таким образом,
чтобы оно стало принадлежать коду Рида-Маллера первого порядка.
в)
Добавить к полученному слову один двоичный символ таким образом,
чтобы при использовании кода Рида-Маллера первого порядка можно было
бы исправить одиночную ошибку.
Линейная алгебра
1. Найти общее решение и фундаментальную систему решений систем
уравнений:
2x1+x2-2x3+2x4=0
3x1+4x2+6x3-4x4=0
4x1+5x2-2x3+3x4=0
3x1+8x2+24x3-19x4=0
2. Найти базис ядра и базис образа линейного оператора f пространства V,
заданного в некотором базисе матрицей А:
1 0 1
1 1 1


1 4 5
3) Найти Жорданову форму матрицы:
 2 0 8
 3 1 6

;
 2 0 5
4. Разложить подстановки в циклы и определить их чётность:
1 2 3 4 5 6 7 


1 3 7 6 5 2 4 
5. Найти базис и размерность подпространства пространства строк, натянутого
на данную систему векторов:
f1=(1,1,1,1,0), f2=(1,1,1,-1, -1), f3=(2,2,0,0,-1)
f4=(1,1,5,5,2), f5=(1,-1,-1,0,0);
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов,
заданных в некотором базисе матрицами:
 3 1 2 
 5 3 3 ;


 1 0  2
7. Решить матричное уравнение:
1 4 
1 2

  X  

1 2 
3 4
8. Докажите, что множество упорядоченных пар (a,b) рациональных
(действительных, комплексных) чисел, где a0, образует группу относительно
алгебраической операции, определяемой равенством
(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2, a1b2+b1)
9. Докажите, что пересечение подгрупп группы является её подгруппой.
10. Докажите, что любая бесконечная группа имеет бесконечное множество
подгрупп.
20
1  i 3 
11. Вычислить: 
 1  i  .


Ответ: 2 (1  i 3 ).
12. Выписать первообразные корни из единицы степени 12.
9
3 i
 .
2
2
Ответ: 
13. Найти наибольший общий делитель полиномов: x  x  x  2 x  1 и
5
4
3
3x 4  2 x 3  x 2  2 x  2 .
2
Ответ: x  1.
14. Построить полином по заданной таблице значений:
x 1 2 3 4
y 2 1 4 3
Ответ: 
4 3
65
x  10 x 2  x  15.
3
3
15. Определить А и В так, чтобы трехчлен Ax  Bx  1 делился на
4
3
x  12 .
Ответ: А =3, В =-4.
16. Найти декремент и определить четность подстановки
1 2 3 ... 3n  2 3n  1 3n 

.
 4 5 6 ... 1
2 3 


Ответ: d  3(n  1), четность подстановки противоположна четности
числа
n.
17. Найти А
150


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
, где A  
.
 3 5 4 6 9 7 1 10 8 2 


Ответ: А150=Е.
1 2
.
3
4


18. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей 
2b 
a
, где a, b – любые числа.
3
b
a

3
b


7 
2 5


3
4 .
19. Найти обратную матрицу для матрицы A   6
 5  2  3


1
1 
 1


41  34 .
Ответ:   38
 27  29 24 


 1 2  3
 1  3 0




2 7 .
20. Решить матричное уравнение:  3 2  4   X  10
2 1 0 
10 7 8 




Ответ: 
 6 4 5


Ответ:  2 1 2 .
 3 3 3


2
21. Доказать, что если a  e для любого элемента а группы G , то эта
группа абелева.
22. Доказать, что во всякой группе элементы ху и ух имеют один и тот же
порядок.
23. В циклической группе < a > порядка 24 найти все элементы g ,
удовлетворяющие условию g  e и все элементы порядка 6.
6
4
8
12
16
Ответ: g , g , g , g , g
20
, e;
g 4 , g 20 .
24. Найти все подгруппы циклической группы порядка 6.
Ответ: G =< a >, < a2 >, < a3 >, < е >.
25. Доказать изоморфизм G / U  D, где G – мультипликативная группа
комплексных чисел отличных от нуля, мультипликативная группа
комплексных чисел, равных по модулю единице,
D –
мультипликативная группа положительных чисел.
Ответ: использовать гомоморфизм  (r (cos  i sin  ))  r.
26. Выразить
через
основные
симметрические
полиномы
x1  x2  x3  3x1 x2 x3 .
3
3
3
Ответ: f1  3 f1 f 2 .
3
27. Вычислить сумму квадратов корней уравнения x  2 x  3  0.
Ответ: 4.
3
28. Вычислить результант полиномов x  3 x  2 x  1 и 2 x  x  1.
Ответ: -7.
3
2
2
29. При каком значении  полиномы x  x  2 , x  x  2 имеют
общий корень.
Ответ: При =3 и =-1.
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 в группе
4 5 6 7 8 1 9 2 
30. Найти порядок элемента 
3
S9 .
Ответ: 20.
Теория функций комплексного переменного
1. Вычислить интеграл с помощью вычетов



x cos x
dx
x  2 x  10
2
2. Разложит в ряд Лорана по степеням z
f ( z) 
2
.
z 3  4 z 2  3z
3. Найти вычеты функции в ее изолированных особых точках
sin z .
f ( z)  3
z  z 2 / 4
4. Исследовать аналитические свойства функции и найти ее производную
f ( z )  (Re z ) 2 .
5. Найти особые точки и определить их тип
z sin z .
f ( z)  2
( z  z )2
6. Вычислить Ln(1  i ) .
7. Найти все значения корня из комплексного числа  2  2
df
8. Вычислить
, если f ( z )  ( x 2  y 2  x)  i (2 xy  y ) .
dz
3i
.