Городская (районная) олимпиада по математике 2009 год 6 класс

Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
6 класс
1. Петя и Вася ехали в поезде. Каждый из них сначала читал книгу, потом отдыхал, потом пил чай. На любое занятие у Пети ушло в два раза меньше
времени, чем на предыдущее, а у Васи в 4 раза меньше времени, чем на
предыдущее. Начали и кончили они одновременно. Что делал Вася, когда
Петя начал отдыхать?
2. Найдите наименьшее возможное число членов кружка, если известно, что
девочек в нем меньше 50%, но больше 40%?
3. С помощью разрезаний и перекладываний сделайте из фигуры «крест» фигуру конфетка.
4. В столовую надо доставить несколько бочек с апельсинами общей массой
10 т. Каждая бочка весит не более 1 тонны. Какого наименьшего количества
трехтонок для этого заведомо хватит?
5. Четыре девочки – Катя, Лена, Маша и Нина – участвовали в концерте. Они
пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен –
больше, чем каждая из остальных, а Лена – 5 песен – меньше, чем каждая из
остальных девочек. Сколько песен было спето?
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
6 класс (Решение)
1. Ответ: читал книгу.
2. 3 девочки из 7. Надо перейти к дробям. Оценка достигается перебором по
меньшим знаменателям.
3. См. рисунок
4. Каждая
трехтонка
может увезти более 2
т, поэтому 5 трехтонок заведомо хватит.
С другой стороны,
если есть 13 бочек по
10/13 т, то на одну
трехтонку войдет не
более 3 бочек, поэтому нужно не менее 5 трехтонок.
5. Пусть за каждую песню каждая девочка получит по фантику. Суммируя общее число фантиков по песням, видим, что это число делится на 3 (каждая
песня исполнялась 3 раза). Кроме того, Маша и Нина получили не более 7 и
не менее 6 фантиков каждая. Значит, всего было роздано не более, чем
8+7+7+5=27 и не менее, чем 8+6+6+5=25 фантиков. Единственное число от
25 до 27, кратное 3 – это 27, поэтому спето 27:3=9 песен.
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
7 класс
1. Решите ребус: КОКА+КОЛА = ВОДА.
2. На бесконечной шахматной доске стоит Бешеная Черепаха. Она может прыгать «уголком» 4 на 5 клеток. Докажите, что на какой бы клетке ни пытался
укрыться от нее Вячеслав Валерьевич, она сможет укусить его за пятку.
3. Натуральные числа x, y, z таковы, что x2 + y2 = z2. Докажите, что одно из них
делится на 3.
4. Разрежьте квадрат по границам клеток на
четыре равные части одинаковой формы
так, чтобы в каждой было по выделенной
чёрным клетке.
5. В классе, где я учился, каждый мальчик
дружил с тремя девочками, а каждая девочка – с двумя мальчиками. При этом в
классе был 31 пионер (не все учащиеся
класса являются пионерами) и стояло 19
парт. Сколько учеников было в моем классе?
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
7 класс (Решение)
1. 3930+3980=7910. Решение: сразу А=0, О=9, К≤4, перебираем К=1, 2, 3, 4.
2. Понятно, что, если мы научим Черепаху сдвигаться на одну клетку вправо
(влево, вверх, вниз), то задача решена. Для этого нужно показать, что уравнение 4 x + 5 y = 1 разрешимо в целых числах: x=4, y =3. При решении данной задачи достаточно предложить конкретный алгоритм сдвига черепахи на
1 шаг вправо (влево, вверх, вниз).
3. Пусть x и y не кратны 3, тогда их квадраты делятся на 3 с остатком 1. Но
тогда z2 должен давать остаток 2 при делении на 3, а это невозможно.
4. Решение
5. Всего дружб было в 3 раза больше, чем мальчиков – с одной стороны, и в 2
раза больше, чем девочек – с другой стороны. Значит, девочек было в полтора раза больше, чем мальчиков, то есть девочек – 3 части и мальчиков – 2 части. Часть – число целое, поскольку равна разности между числом девочек и
числом мальчиков. Тогда всего в классе 5 частей, то есть общее число учеников делится на 5. С другой стороны, учеников не меньше 31 и не более
19×2=38 (за партой – не более двух человек), и единственно возможный ответ – 35.
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
8 класс
1. Сельский гипнотизер Иван Карпович разводит индюков и кур. Вследствие
его экспериментов десятая часть индюков считает, что они – куры, а десятая
часть кур, что они – индюки. Если брать вообще, то пятая часть птиц считает
себя индюками. А все-таки, какая есть, в самом деле, часть индюков на его
птицеферме?
2. На доске 8×8 отмечены центры всех клеток. Можно ли провести 13 прямых
так, чтобы любые две отмеченные точки разделялись прямой?
3. Дан равнобедренный треугольник ABC , AB  BC . Известно, что ABC  20  .
На стороне AB от точки B отложен отрезок BK  AC . Найдите KCB .
4. Положительные числа x и y меньше единицы. Докажите, что
x
y

 1.
1 y 1 x
5. Иван с сыном и Степан с сыном были на рыбалке. Иван и его сын поймали
рыб поровну, а Степан – втрое больше своего сына. Всего поймали 25 рыб.
Сколько рыб поймал Иван?
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
8 класс (Решение)
1. Ответ:1/8. Пусть x кур и y индюков, тогда справедливо
x 9y

10 10  1 . Откуда имеем x  7 y , т.е. семь частей кур и одx y
5
на часть (восьмая) индюков.
2. Допустим, что это возможно. Если две точки разделены
прямой, то отрезок, их соединяющий, должен пересекаться
этой прямой. Рассмотрим 28 крайних точек (в углах и сторонах). Между соседними точками должна проходить прямая. Таких соседних пар точек всего 28, каждая прямая
разделяет не более двух таких пар. Следовательно, необходимо не менее 14 прямых.
3. Возьмем внутри треугольника точку O, такую, что треугольник AOC – равносторонний. Тогда OCB  20  . И треугольники OBC и KBC равны (по двум сторонам и углу
между ними). Значит KCB  10  .
4. Если выражения 1+y и 1+x заменить на x+y, то они уменьшатся, поэтому сами дроби увеличатся, и все выражение в левой части тоже увеличится.
x
y
x
y
x y




1.
1 y 1 x x  y y  x x  y
5. Если это 4 разных человека, то сумма количества рыб у Степана и сына делится на 2, и сумма рыб у Ивана с сыном – тоже. Значит, общее число рыб
должно делиться на 2, а это не так. Если Иван – отец Степана, то Иван поймал столько же рыб, сколько Степан, то есть в 3 раза больше, чем сын Степана. Тогда все вместе поймали в 7 раз больше рыб, чем сын Степана. Но 25
не делится на 7. Остается случай, когда Степан – отец Ивана. Тогда Степан
поймал в 3 раза больше рыб, чем Иван и чем его сын, значит, все вместе
поймали в 5 раз больше рыб, чем Иван, то есть у Ивана 5 рыб.
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
9 класс
1. Ребята играют в прятки на треугольной площадке. Водит Петя. Он знает, что
Вася всегда прячется в наиболее удаленной от водящего точке площадке. Где
нужно искать Васю, если Петя стоит в углу площадки?
2. Пешеход, идя вдоль шоссе без остановки с постоянной скоростью, заметил,
что каждые 6 мин его догоняет троллейбус, а каждые 3 мин проходит
встречный троллейбус. Каков интервал между отправлениями троллейбусов
с конечных пунктов, если в обе стороны троллейбусы отправляются через
одинаковые промежутки времени, идут без остановки с постоянной и одинаковой скоростью?
3. На сторонах AD и DC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки N
и M так, что AN:AD=1:3, DM:DC=1:4. Отрезки BM и CN пересекаются в точке O. Найдите отношение OM:OB.
4. Возьмем число 16 – это квадрат. Поместим в середину между его цифр число
15, получим 1156 – точный квадрат, еще раз поместим 15, получим 111556 –
точный квадрат и т.д. Докажите, что всегда будем получать точный квадрат.
5. Сколькими способами можно расставить восемь ладей на черных полях
шахматной доски так, чтобы они не били друг друга?
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
9 класс (Решение)
1. Пусть Петя стоит в вершине А треугольника АВС, и АВАС. Тогда Васю надо искать в
точке В. Пусть в треугольнике АВС найдётся точка К, такая что АК>АВ. Тогда
ВКА<АВКВКА<90. Аналогично СКА<90. Тогда ВКА+СКА<180, это
означает, что К не может принадлежать треугольнику.
2. Обозначим через х промежуток времени (в минутах) между отправлениями троллейбусов
с конечных пунктов, через vт и vп соответственно скорости движения троллейбусов и пешехода. По условию задачи через 6 мин после того, как какой-то троллейбус догнал пешехода, его догонит следующий троллейбус, который, таким образом, за 6 мин пройдет
путь, равный xvт+6vп. Отсюда xvт+6vп =6vт. По условию задачи через 3 мин после того,
как пешеход встретился с каким-то троллейбусом, он должен встретиться с другим троллейбусом, идущим вслед за первым. Расстояние, отделяющее пешехода от второго троллейбуса в момент встречи с первым троллейбусом,
равно хvт За 3 мин пешеход пройдет путь, равный 3
vп, а троллейбус – 3vт. Из условия встречи получаем:
3vn + 3vт = xvт. Решая полученную систему, находим х = 4.
3. Из условия следует, что AN:DN=1:2 и MC:DC = 3:4.
Продолжим отрезок CN за точку N до пересечения с
прямой ВА в точке К (см. рис.) KNA  CND ,
AKN  DCN . Отсюда следует, что KNA подобен CND , т.е.
1
AK AN 1

 ,. откуда AK  DC . Следовательно, BK = AK +
DC DN 2
2
AB=AK + DC =1,5DC. Аналогично из подобия треугольников МОС и ВОК получаем:
OM MC 2 MC 2 3 1

 
   откуда OM:OB=1:2.
OB BK 3 DC 3 4 2
4. Достаточно заметить, что числа вида 11
...15...56 с n «вложениями» являются квадратами
n
n
2
 10  2 
10 2 n  4  10 n  4
10 n  1 10 2 n  10 n
 
 1 5

чисел вида 3
.
...34 . Действительно 
9
9
9
n
 3 
5. Ответ: 242. Если не выдвигать ограничений на цвет полей,
то 8 ладей допустимым образом можно расставить 8! различными способами; вообще для доски размером n n
число способов расстановки n ладей равно числу перестановок из n элементов, т.е. n!. Но нам нужно учесть ограничение на цвет полей: ладьи расставляются только на черных
полях доски. Перекрасим черные поля доски в красный (1)
и синий (2) цвета. При этом всякое черное поле, расположенное на нечетной вертикали (но на четной горизонтали),
сделаем красным, а всякое черное поле, расположенное на
четной вертикали (но на нечетной горизонтали), сделаем
синим (см. рисунок). Из 8 ладей, стоящих допустимым образом на черных полях, 4 ладьи окажутся на красных полях, а остальные 4 ладьи – на синих. Красные поля образуют как бы отдельную шахматную доску размером 4x4, поэтому
число способов расстановки 4 ладей на красных полях равно 4! = 24. То же можно сказать
о синих полях. В результате число способов для допустимых расстановок 8 ладей равно
242.
n
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
1.
2.
3.
4.
10 класс
Васю попросили составить квадратный трехчлен с целыми коэффициентами,
который имеет два различных корня, и написать на доске его дискриминант.
Вася написал на доске число 27. Какую оценку следует поставить Васе и почему?
Найдите все натуральные n для которых выражение 1!2!3!...  n! является
полным квадратом.
Точки M , H и O – середина стороны AB , основание высоты AH и центр
описанной окружности остроугольного треугольника ABC соответственно.
Прямые CO и HM пересекаются в точке K . Докажите, что AKC  90  .
На доске записаны все целые числа от 1 до 2000. Наугад стирают 998 чисел.
Докажите, что среди оставшихся чисел можно указать несколько (не менее
двух) так, что их сумма тоже имеется на доске. Останется ли справедливым
утверждение, если стереть еще одно число?
5. Натуральные числа a1 , a 2 ,…, a2010 таковы, что числа
a
a1 a 2
, ,…, 2009 попарно
a 2 a3
a 2010
различны. Найдите наименьшее количество различных чисел во множестве
{ a1 , a 2 ,…, a2010 }.
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
10 класс (Решение)
1. Пусть
a , b , c – целые коэффициенты. Если дискриминант равен 27:
2
b  4ac  27 => (b  5)(b  5)  2(2ac  1) . Правая часть равенства – чётное число, но
не делится на 4. Левая часть – или нечётное число, или чётное и делится на 4. Так
что Васе надо поставить двойку.
2. Ответ: n  1, n  3 . Четвертая сумма 33 при делении на 5 дает остаток 3, следовательно, все остальные суммы будут также давать остаток 3 при делении на 5. Докажем, что квадрат натурального числа при делении на 5 дает лишь остатки 0, 1, 4.
Действительно все натуральные числа представимы в виде 5n , 5n  1 , 5n  2 ,
5n  3 , 5n  4 . Возводим каждое в квадрат и проверяем остатки при делении на 5:
получим остатки 0, 1, 4, 4, 1.
3. Т.к. AOC равнобедренный получаем
ACK  ACO 
180   AOC 180   2B

 90   B
2
2
.
С другой стороны, поскольку треугольник AHM
равнобедренный (НМ–медиана, проведенная к гипотенузе), AHK  HAM  90   B . Значит,
ACK  HAM , и поэтому точки A , C , H и K
лежат на одной окружности. Отсюда следует, что
AKC  AHC  90  .
4. Обозначим
оставшиеся
на
доске
числа:
a1  a 2  ...  a1001  a1002 .
Рассмотрим
две строго возрастающие последовательности чисел в промежутке от 1 до 2000:
(1) a1  a2  ...  a1001  a1002
(2) a2  a1  a3  a1  ...  a1001  a1  a1002  a1 .
В обеих последовательностях содержится 1001 + 1001 = 2002 числа. Эти числа не
могут быть все различными, так как в промежутке от 1 до 2000 всего имеется 2000
различных чисел. Следовательно, существует пара равных чисел, по одному из
каждой последовательности: a k  a p  a1 . Таким образом, среди чисел на доске
имеются три числа a1 , a k и a p такие, что a1  a k  a p . С другой стороны, если первоначально стереть 999 наименьших чисел, то среди оставшихся 1001 чисел сумма
двух наименьших 1000 + 1001 = 2001 уже превышает наибольшее число на доске.
5. Если имеется n различных чисел, то различных отношений не больше n(n  1)  1 .
Причём равенство достигается, например, для n различных простых чисел. Соответственно n(n  1)  1  2009 . Минимальное натуральное значение, удовлетворяющее неравенству n  46 . Тогда можно расставить номера этих чисел по формуле на
i  46  j -ом месте pk , где k  i  j mod 46 –остаток от деления произведения i  j на 46,
pk – k -ое простое число.
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
11 класс
1. Решите неравенство sin x  tgx  ctgx  cos x .
2. Пусть f ( x)  x 2  12 x  30 . Решите уравнение f ( f ( f ( f ( f ( x)))))  0 .
3. Числа a и b удовлетворяют уравнению: a1005  a  1 , b 2010  b  3a . Доказать, что
a b.
4. N одинаковых деревянных кубиков склеены между собой так, что каждые
два из них склеены по грани или по участку грани. Найти максимальное значение N.
5. Натуральные числа a1 , a 2 ,…, a2010 таковы, что числа
a
a1 a 2
, ,…, 2009 попарно
a 2 a3
a 2010
различны. Найдите наименьшее количество различных чисел во множестве
{ a1 , a 2 ,…, a2010 }.
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
11 класс (Решение)
1. Решений нет. Из условия следует, что  1  tgx  ctgx  1. ctgx 
1
, поэтому лиtgx
бо tgx , либо ctgx не меньше 1. Поэтому если неравенство выполнится, то либо
tgx  ctgx  1, либо tgx  ctgx  1. Но в обоих этих случаях sin x  cos x 
и неравенство из условия не выполняется.
2. Перепишем
в
виде
f (x)
f ( x)  ( x  6) 2  6 .
2
,
2
Тогда
f ( f ( f ( f ( f ( x)))))  ( x  6) 32  6 . Откуда x  6  32 6 .
3. Очевидно, что оба числа больше 1, т.к. в противном случае a1005  a  0 и
b 2010  b  0 . a 2010  a 2  2a  1 , a 2010  a  a 2  a  1 и т.к. a  1, то a 2  a  1  3a . Следовательно a 2010  a  b 2010  b , а т.к. функция x 2010  x возрастающая при x  1, то получаем, что a  b .
4. Приведем расположение шести деревянных кубиков, в
котором каждые два склеены, как сказано в условии
задачи: три «черных» кубика стоят на плоскости стола,
а три «красных» кубика стоят над ними (вид сверху).
Докажем, что maxN = 6.
Определимся сначала с плоским случаем: если на столе лежат n одинаковых картонных квадратов, каждые
два из которых склеены по стороне или по участку
стороны, то maxn = 3 (см. рис.). Будем говорить, что n
деревянных кубиков (из имеющихся N) принадлежат
одному слою, если найдется плоскость (стол), на которой все
они стоят. Из вышесказанного следует, что n  3 . Нетрудно
убедиться, что если все N кубиков параллельно расположены,
т.е. каждый из них является результатом параллельного переноса другого, то N<4. Пусть среди N кубиков нашлись два –
кубики Q1 и Q2 которые не являются параллельно расположенными, а плоскость  – общая плоскость двух соприкасающихся граней этих
кубиков. Плоскость  определяет два слоя, одному из которых принадлежит кубик Q1 а другому – кубик Q2 . Заметим, что всякий третий деревянный кубик обязан принадлежать одному из этих слоев. Но в каждом слое кубиков не больше
трех, значит, N  6 .
5. Если имеется n различных чисел, то различных отношений не больше n(n  1)  1 .
Причём равенство достигается, например, для n различных простых чисел. Соответственно n(n  1)  1  2009 . Минимальное натуральное значение, удовлетворяющее неравенству n  46 . Тогда можно расставить номера этих чисел по формуле на
i  46  j -ом месте pk , где k  i  j mod 46 –остаток от деления произведения i  j на 46,
pk – k -ое простое число.