Документ 389370

www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Содержание
Оглавление
1. Введение. 3
2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q. 7
3. Модельный пример: однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в
стабильный пучок с особенностью. 14
4. Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы Mq(2; 0,2,0). 20
5. Компонента Мо- 34
6. Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент. 52
6.1. Эллиптическая квартика ЧИ4... 52
6.2. Нормкубика и прямая °С3 и?. ... 57
6.3. Коника и прямые... 60
6.4. Кривые с двойной структурой... 63
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Введение.
Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним
из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства
пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то
есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В
случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных
расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых
специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению
стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга ^ 2 без
кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков
изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Рп, п ^ 3, (см., в частности,
работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]).
Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к
концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]). Описанию некоторых
общих свойств многообразий модулей расслоений ранга ^ 2 на трехмерных многообразиях
посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между
многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на /^З-поверхностях —
гиперплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.
Более детальное изучение геометрии пространств
многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце
модулей
расслоений
на
90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова
[19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса
2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3.
Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано
следует отметить работы [1, 8]
Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной
квадрике, Q, являющейся многообразием Фано индекса 3,— это работа Дж. Оттавиани и М.
Шурека, в которой дается точное описание многообразия Mq(2; 0,2) модулей стабильных
векторных расслоений с с\ = 0 и с^ = 2 на гладкой трехмерной квадрике Q. В этой работе
доказывается, что многообразие Mq(2; 0,2) изоморфно открытому подмножеству Р9,
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
дополнение к которому есть нормальная гиперквартика V4 С Р9, однозначно определяемая
квадрикой Q и конструкцией плюккерова вложения грассманиана G(1,P4) в Р9. В этой
работе рассматриваются также многообразия Mq(2; —1,2), Mq(2;—1,3) и Mq(2;0,4),
относительно которых выяснено следующее:
Mq(2;—1,2) — локально тривиальное расслоение над Q^ \ Q$ со слоем Р2 \ Qi,
Mq(2;— 1,3) — неприводимое унирациональное приведенное двенадцатимерное
многообразие,
Mq(2; 0,4) — неприводимое унирациональное приведенное двадцатиодномерное
многообразие.
Стабильные расслоения на квадрике Q представляют собой от-крытое подмножество
неприводимой компоненты Mq(2; 0,2) схемы модулей Гизекера - Маруямы Mq(2; 0,2,0)
полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с\ = сз = 0, сч = 2.
Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению других компонент
в Mq(2;0, 2,0), общие точки которых, в силу неприводимости Mq(2; 0,2) являются
стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями.
Введем несколько обозначений, которыми, для краткости, будем пользоваться ниже.
• Mq(2;0,2) — многообразие модулей стабильных векторных расслоений Е на Q, с rkE
= 2 и классами Черна ci(E) = 0 и С2(Е) = 2.
• Mq(2;0, 2) — замыкание многообразия модулей расслоений Mq(2; 0,2) в схеме Mq(2;
0,2,0).
• Через 3YIq(2;O, 2,0) обозначим множество классов изоморфизма пучков ранга два
без кручения на трехмерной квадрике Q с классами Черна с\ = 0, c
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
• Пусть х € V произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем к.
Обозначим (х) подпространство кх G P(V).
Известно, что Mq(2; 0,2, 0) не пусто и содержит неприводимую компоненту Mq(2;
0,2) , содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие Mq(2; 0,2)
модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым
первым классом Черна и, минимально возможным, согласно условию Шварценбергера (см.
[24, с. 194]), вторым классом Черна, равным 2.
В работе дается геометрический метод описания компонент схемы Mq(2; 0,2,0). Для
этого выясняется, что схема Mq(2; 0,2,0) не содержит чисто полустабильных пучков, и
любой пучок из
Mq(2;0,2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения
является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками.
В работе также доказывается, что Mq(2;0,2,0) содержит еще, по крайней мере, одну
неприводимую 13-мерные компоненту, пе-ресекающую компоненту Mq(2;0, 2) по
дивизориальной компо-ненте границы <9Mq(2; 0,2) := MQ(2; 0,2) \ Mq(2; 0,2).
В работе рассмотрены все квартики без кратных компонент, а также кривые
содержащие в качестве компоненты «сдвоенную», прямую.
Основной результат работы заключается в следующих двух теоремах:
Теорема 1. Пусть Е — полу стабильный пучок ранга два без кручения на трехмерной
квадрике Q С Р4, с классами Черна сх(Е) = О, С2(Е) = 2, и сз(Е) = 0. Тогда пучок Е стабилен,
и у пучка Е(1) есть сечения, причем нулями сечения является кривая С С Q степени четыре.
Теорема 2. В Mq(2; 0,2,0) существует неприводимая компонен-та Mq(2;0, 2)0, которая
есть замыкание неприводимого тринадцатимерного многообразия Мо- Все точки Мо —
стабильные пучки, схема Mq(2; 0,2,0) неособа вдоль Мо, и Мо пересекает Mq(2;0, 2) по
неприводимому восьмимерному многообразию, ле-жащему в Mq(2;0, 2) , точное описание
котрого дается формулой (5.23).
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q.
Когомологическое кольцо H*{Q, Z) порождено классами гиперплоского сечения [h] G
#2(Q,Z), прямой [?] € -fiT4(Q, Z) и точки [р] € #6(Q,Z). Причем умножение в #*(Q, Z)
устроено следующим образом:
И2 = 2М, и • И = м-
Следующая лемма дает нам многочлены Черна структурного пучка точки и пары
точек на Q
Лемма 2.1. Пусть х и у — две произвольные не совпадающие точки на квадрике Q,
тогда:
Доказательство. Заметим, что из точной тройки
0-»ка.->кя:фк1,->-ку-»-0
следует, что Ct(k.x ф ky) = (ct(kx)} . Рассмотрим локально свободную резольвенту
пучка кх ф ку:
О -> OQ(-3) -> 3Oq(-2) -> 3Oq(-1) -> OQ -> кж ф Ц -+ 0.
Получаем:
с,(OQ). с,(3OQ(-2)) - ^(зо^.!)) . Ct(OQ(-3))
12[h}42 - 8И3?3 _ 1 - 6[h]t
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
12[h]42 - 10[h]4z ~ 1 - 6[h]t
= 1 + 4[p]t3.
Отсюда получаем и ct(kx) = 1 + 2[p]t3. D
На самом деле, имеется более сильный факт:
Лемма 2.2. Пусть S — артинов пучок длинып, тогдаq(S) = 1+ 2n\p}t\
Доказывается лемма индукцией по длине п. Еще одна лемма, дающая нам многочлен
Черна структурного пучка и пучка идеалов некоторых кривых на квадрике.
Лемма 2.3. Пусть Cd С Q — кривая степени d — deg Cd и рода О на квадрике Q и п Е
Z — целое число, тогда: l)ct{OC4{n)) = 1 - d[i]t2 + (d(2n - 3) + 2)\p]t3, 2)ct(lc
Доказательство. 1) Индукция по степени кривой:
база индукции: d = 1, кривая степени 1 — прямая, вычислим
многочлен Черна структурного пучка прямой. Имеем две точных
тройки
0-> C>pi -*O(p(l) -»0pi(l) ->0, где С2 - коника, и (2.1)
О -> Opi -> C?pi(n) -> ф kXi -> 0, где ж^ - точки. (2.2)
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
г=0
Вычислим сперва многочлен Черна структурного пучка коники. Для этого запишем
его локально свободную резольвенту:
О -> OQ(-2) -+ 2OQ(-l) -> Oq -> Ос72 -> 0. Подкрутив ее на (9q(7T.), получаем:
0 -> 6>Q(n - 2) -> 2OQ(n - 1) -> OQ(n) -> OC2(n) ->> 0,
откуда
(ct(OQ(n - 1)))
(2n - 2)\h]t + (2n2 - 4n)\?]t2 rin 9 , „чг . ч
1 + (2n - 2)[fc]t + (2n2 - 4n
(2.3)
Вспоминая (2.1) и (2.2), получим:
ct(O^{n)) = 1 - [?]t2 + (2n - l)[p]^3-индуктивный переход: Имеем точную тройку:
О -> ОР1 -^ С?с««(1) ~> Oc«f-i(l) -> О, из которой непосредственно получаем
- 1)) ¦
= 1 - d[?]t2 + (rf(2n - 3) + 2) \p]t\
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Таким образом утверждение 1) доказано.
Докажем теперь утверждение 2). Имеем точную тройку
О -> XCj,q -+Oq^ Осл -> О, из которой непосредственно получаем:
+ n[h]t)
1 + п[/ф + d[i]t2 - (3d(n - 1) + 2)
П
Нам понадобится также формула для Эйлеровой характеристики пучка ?, доказывать
которую мы не будем, так как доказательство есть простое, но длинное вычисление формулы
Римана - Роха, которое требует только аккуратности.
Лемма 2.4. Пусть 3 — некоторый пучок на квадрике Q, ранга ткЭ^ = г с классами
Черна с^З) = с\, сг(Эг) = с2 w сз(Эг) = сз, тогда
2j+2r +ГС1
n2
+ 3ci - c2 + c? + — r n+
| 2cj - 3cic2 + Зс3 [ 3(
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
В частности, при гкЭ7 = 2, гшее.м:
(ел + 3)п2 + f 3ci - с2 + cf
2с? - 3cic2 + Зс3 3(tj - с2) 13С1
+++
Следствие 2.4.1. Пусть 3 — пучок ранга 2 с классами Черна = 0, с2(Эг) = 1 и сз(Эг) =
сз, тогда
Следствие 2.4.2. Пусть У — пучок ранга 2 с классами Черна d(5F) = 0, c2(iF) = 2 и
сз(Эг) = сз, тогда
Х(У(1)) = 5 + |.
Также нам понадобится Лемма о неотрицательности третьего класса Черна
рефлексивного пучка на квадрике Q ранга 2. Эта лемма является аналогом Леммы 2.6 из [14],
там доказывается тот же факт для Р3.
Лемма 2.5. Пусть ? — рефлексивный пучок ранга 2 на Q. Тогда с3(?) = ^(S^^S.Oq)). Го
есть с3(?) ^ 0, и с3(?) = 0 тогда и только тогда, когда ? локально свободен.
Доказательство. Здесь, несмотря на то, что факт верен для любого рефлексивного
пучка, мы будем рассматривать только пучки с ci(?) = 0, так как именно они нас будут
интересовать в дальнейшем.
Замети сразу, что в этом случае (см. [14, proposition 1.10])
?v~?®(det?)-1 = ?. (2.4)
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Рассмотрим локально свободную резольвенту пучка ?. В силу его рефлексивности,
она будет иметь длину два:
0 -> ?i ->- ?0 -)• ? -> 0. (2.5) Очевидно следующее соотношение:
„ /е\ с*(?о) /о лч
С((?) = ^)- (2-6)
С другой стороны, имеем двойственную к последовательности (2-5)
0 -> ?v-^> ,CVO -> ?vj -^ ?ж^(?,Оо) -> 0,
из которой, в силу (2.4), следует
где с^(-С^) = c_t(,Ci), в силу локальной свободы пучков ?*, и, по Лемме 2.2,
ь(Ы}(е.,Оо)) = 1 + 2n[p]t3, где п = /г0(?я; Таким образом предыдущая формула принимает
вид:
Другими словами
+ (2п - с3(?))[р]*3-То есть с3(?) = п = ^(8x^(8,, OQ)). П
В работе мы будем пользоваться приведенным ниже определением спектра
рефлексивного пучка ранга два с нулевым первым классом Черна. Подробно спектры
рефлексивных пучков описаны в работе Айна и Солса [11]. Приведенная ниже Лемма 2.6
есть несколько упрощенная Теорема 2.2. из вышеуказанной работы.
Лемма 2.6. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) =
0. Тогда существует единственный набор т = с2(?) целых чисел {fci,... km},называемый
спектром пучка ?, удовлетворяющий следующим свойствам:
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Пусть ? = ф <9pi(fci)
1) a) /i1(?(n)) = Н°(Цп + 1)) для всех п < -1. б) h2(E(n)) = Ь}(Цп-\-1)) для всехп ^ -2.
2) а) Если некоторое число к > 0 лежит в спектре, то и все
числа 0,1,..., к — 1 тоже лежат в спектре.
б) Если некоторое число к < 0 лежит в спектре, то и все числа — 1, —2,..., к + 1 тоже
лежат в спектре.
4) Если ? — векторное расслоение, то {—ki — 1} =
Доказательство см. [11, стр. 19]
Следующая лемма дает нам все возможные спектры интересующих нас пучков
Лемма 2.7. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) = 0
и сг(?) = 2. Тогда есть ровно три возможных различных спектра ?:
1) {0,1}, ес/ш с3(?) = 4,
2) {0,0}, ес/шс3(?) = 2, 5; {0,-1}, ес/ш с3(?) = 0.
Доказывается Лемма простым перебором.
Лемма 2.8. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) = 0
и С2(?) = 1. Тогда его спектр равен {0}, а сз(?) = 1.
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Доказывается Лемма также простым перебором.
3. Модельный пример: однопараметрическое семейство
расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью.
Оттавиани и Шурек в [24] показали, что любое расслоение Е на квадрике Q с ci(E) = 0
и сг(Е) = 2 является когомологией следующей монады:
где / : Oq(-I) -> 4Oq и д : 4(9q ->• Oq(1) — линейные отображения с матрицами А и Вт
соответственно, где А, 1? ? Ма^Х4(к), и АВТ кососимметрическая 5 х 5-матрица. Если АВТ ?
V4 \ G, то точка (х), где х — решение систем Атх = О и Втх = 0 попадет на квадрику, и мы
будем иметь последовательность точную, везде, кроме второго члена:
Пусть С Э 0 — гладкая кривая, для которой заданы отображения f: С -> Ма?бх4(к) : t
ь-> At и 0 : С ->¦ Ма*5х4(к) :ty-+Bt такие, что .A*i?7 — кососимметрические матрицы. То
есть f) : С —)¦ Р9 \ G : t ь* (Л^В4Т) — корректно определенное отображение. Пусть также f и
g таковы, что f) — вложение, причем Ро = f)(0) G V4 \ G и кривая J)(C) пересекает V4 в точке
Pq ? G трансверсально. Нетрудно видеть, что такая тройка (С, f, q) всегда найдется.
Отображения f и 0 могут быть заданы морфизмами f : Oq(—1) Kl
Ос и- 4Oqxc и g : 4<9qX(7 »->• ^q(I) И Ос- Рассмотрим Q х С, из (3.1) получим
следующую последовательность, также как и (3.2) точную во всех членах, кроме второго:
где Аох = Вох = О, х G Qo, %о = (я, О) е Q х С, и Е := kerg/imf — пучок на Q х С.
Пусть Е* = Е® 6>q4, где Qt = Q x {t} С Q х С.
Предложение 3.1. 1) Пучки Ео г* ?о связаны следующей точной
последовательностью: 0 —> Ео —>¦ во -> кх —>• О #,) Семейство {Е^} — плоское над С.
Доказательство. Рассмотрим дисплей последовательности (3.3):
О 0 (3.4)
О—*Oq(-1)HOc---kerg-----Е----О
О—*Oq{-1)MOc—-4<9qxc7—-cokerf
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
II
img
00
и точную последовательность:
0—-imfl—^Oq(I) HC?c—"k*o—"°' (3-5)
где (3.5) —просто вторая часть последовательности (3.3). Умножим (3.5) тензорно на
Oq0 (Qo := Q x {0} и ®Oq0 := <8)Oq № k{0}),
и, заметив, что Qo — Q, получим точную последовательность:
... -> Тог2(кЖо, Oq0) -» Ton(im0, Oq0) -»-
-+ Ton(OQ(l) В Ос, Oq0) -> Tontk^, OQJ ->
>i!Lx-i'Q. (3.6)
Заметим далее, что Тог>2(кх0. ^Qo) = ° и Tori(OQ(l) В Ос, <9q0) = О, тогда первая
часть последовательности (3.6) примет вид:
О -> Ton(imfl, GQo) -)> 0, откуда Tori(im0, Oq0) = 0. (3.7) Рассмотрим стандартную
точную последовательность:
0 -> Ос(-{0}) -А Ос ^ ко -+ 0. (3.8)
www.diplomrus.ru ®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Если С — аффинная кривая, то все дивизоры на С линейно эквивалентны нулю, и
Ос(—{0}) = Ос- Тогда умножая последовательность (3.8) на Oq0, получим
последовательность:
0 -> Oqxc -» Oqxc -> Oq0 -> 0.
Умножая ее тензорно на к^ и заметив, что Tori(OQXc,kXo) = 0, получим:
0 -> Ton(OQ0, кхо) -^ кхо ^^ кхо ^-> кхо -> 0.
Зная, что c*i сюръективно, получим что а\ = id, поэтому ач = 0, откуда аз = id,
следовательно Tori(OQ0,ka;0) = kXo. Далее, вспоминая (3.6), получим точную
последовательность
Умножив вторую вертикальную точную последовательность из дисплея (3.4) на Oq0
и вспомнив что Tori(img, Oq0) = 0 (3.7), получим:
0 -> Ео -» coker f0 -> im g <8> <9Qo ->¦ 0. (3.12)
Пользуясь леммой о змее, получим, что х = к^, и, следовательно, левая вертикальная
последовательность принимает вид:
0 -+ Ео -> ?0 -> кж -> 0.
Таким образом утверждение 1) доказано.