20110513102354!Shubin_Dima
реклама
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №6» Тема: «А не то дорого знать, что Земля круглая, а то дорого знать, как дошли до этого». Лев Николаевич Толстой Работу выполнил: Учащийся 8г класса Шубин Дмитрий. Руководитель: Малова Татьяна Алексеевна Муром 2011 ВВЕДЕНИЕ Потребности земледелия породили начала геометрии у всех народов. Уже в старинных памятниках истории мы встречаем начальные сведения по геометрии. По-гречески земля называлась «геос», измеряю — «метрио», а поэтому и наука об измерении полей получила название «геометрия». Только не вздумайте назвать современного землемера геометром или геометра землемером: они вас не поймут и обидятся. За многие тысячи лет, протекшие со времени возникновения геометрии, она стала лишь в весьма малой степени заниматься землемерием. При Иване Грозном было составлено первое русское руководство по землемерию — книга «... глубокомудрая, дающая легкий способ измерять места самые недоступные, плоскости, дебри». А как измеряли земельные участки в древнем Риме и Египте? Кто такие гарпедонапты? Как Эратосфен измерил радиус Земли? И в нашем родном городе сохранились записи из сотной книги XVII века, где рассказывается о том, как измеряли пустоши. Эта тема интересна и в наше время электронных технологий. Ведь не было в те далекие времена ни электронных рулеток, ни других современных средств измерений. Да и единицы измерения совсем не были похожи на современные. Поэтому очень интересно узнать о тех знаниях, средствах и способах измерений, которыми пользовались люди в далеком прошлом. Может быть, поэтому Лев Николаевич Толстой сказал: «А не то дорого знать, что Земля круглая, а то дорого знать, как дошли до этого». 1 Содержание: I Введение............................................................................................................1 II Основная часть 1. Эратосфен первый измерил радиус Земли.........................................3 2. Геометрия Римских землемеров...........................................................6 3. Натягивание веревок..............................................................................8 4. Геометрия в старых русских книгах..................................................10 5. Измерение площадей.............................................................................12 6. Меры площадей......................................................................................13 7. Сотная с писцовых книг города Мурома 1623-1624 годов.............14 8. Задачи по планиметрии на тему «Землемерие»...............................25 III Заключение..................................................................................................35 IV Литература...................................................................................................36 2 ЭРАТОСФЕН ПЕРВЫЙ ИЗМЕРИЛ РАДИУС ЗЕМЛИ Математика всегда решала задачи, которые ставила перед ней жизнь, практика. Очень интересные задачи решил Эратосфен ― известный греческий математик, астроном и философ. Эратосфен жил в III веке до н.э. в Египте, в городе Александрии. Южнее Александрии на берегу Нила лежит город Сиена, который теперь называют Асуан. Эратосфен впервые в истории науки определил размеры земного шара. Никаких кругосветных путешествий он для этого не совершал. Великий математик воспользовался определенными фактами. 3 1 способ. Эратосфен знал, что в день летнего солнцестояния — самый длинный день года — в Сиене солнце заглядывает на дно самых глубоких колодцев. А в Александрии в этот день дно колодцев остается в тени. Там солнечные лучи падают на землю не отвесно, как в Сиене, а под углом и освещают только стенку колодца. Эратосфен измерил угол между направлением солнечного луча и 1 стенкой колодца. Оказалось, что этот угол равен развернутого угла. 25 Наверное, Эратосфен рассуждал так: Солнечные лучи всюду параллельны, а колодцы всегда копают по отвесу. Солнце может по-разному освещать колодцы в Сиене и Александрии только потому, что Земля не плоская. Скорее всего она круглая, как шар. Но 1 раз угол между солнечным лучом и отвесом в Александрии равен 25 развернутого угла, то расстояние между Александрией и Сиеной в 25 раз меньше длины меридиана, соединяющего полюса земного шара. Расстояние от Александрии до Сиены было приблизительно известно. Умножив его на 25, Эратосфен определил длину меридиана. Если эту длину разделить на 3,14 , то и получится радиус земного шара. Ошибка, сделанная Эратосфеном, была совсем невелика, особенно если учитывать, как неточны были в то время измерения расстояний и углов. 4 2 способ 22 июня, в день летнего солнцестояния (когда Солнце поднимается выше всего над горизонтом) в городе Александрия Египетская, где жил Эратосфен, тень от вертикального столба была в 8 раз меньше высоты этого столба. В этот же день в городе Сиене, находившемся на 4400 стадиев (800 км) южнее, Солнце стояло в зените, и вертикальный столб не отбрасывал тени. Вертикаль в Александрии и вертикаль в Сиене не параллельны, но образуют друг с другом угол . А солнечные лучи в обоих этих пунктах можно считать по причине очень большой удаленности Солнца от Земли практически параллельными. Это означает, что заштрихованные прямоугольные треугольники на схеме подобны и их катеты составляют R Н пропорцию . L Но Н 8, поэтому и R 8L. Осталось заметить, что длина катета L очень незначительно отличается от длины дуги земного меридиана между Александрией и Сиеной. Поэтому: L 800 км и R 6400 км . 5 ГЕОМЕТРИЯ РИМСКИХ ЗЕМЛЕМЕРОВ Согласно древним мифам, окружающий человека мир возник в незапамятные времена посреди бесконечного и жуткого хаоса. В отличие от хаоса, в котором нет законов, мир упорядочен. В нём, во-первых, есть центральная точка — «пуп земли». Во-вторых, в мире есть выделенные направления. В горизонтальной плоскости это линии север — юг и запад — восток, образующие крест и разбивающие плоскость на 4 части. Эти древнейшие и простейшие геометрические представления наиболее полно использовали в Древнем Риме. Например, для гадания по полёту птиц римские жрецы мысленно разбивали небо на 4 части линиями север — юг и запад — восток. Затем параллельно главным линиям «проводили» второстепенные, так что всё небо оказывалось поделённым на равные квадраты. Наблюдая за перемещением птиц из одного квадрата в другой, они по определённым правилам истолковывали волю Юпитера. По тому же принципу римляне разбивали на части свои поля. На поле отмечали центральную точку, через которую перпендикулярно друг другу прокладывали две главные дороги — kardo maximus (с севера на юг) и decumanus maximus (с востока на запад), сокращённо КМ и DM. Затем параллельно главным дорогам через равные расстояния проводили границы, разделявшие поле на систему квадратов. Эти квадраты назывались центуриями. Такую же сетку римляне использовали при разбивке военных лагерей и проектировании новых городов. В I—II вв. границы Римской империи колоссально расширились. С захваченных земель изгоняли прежних владельцев, и государственные землемеры приступали к своей работе. Упорно и методично разбивая поле на центурии, они не просто обозначали границы владений, но одновременно устанавливали на земле порядок, сходный с тем, что был на небе — в обители самого Юпитера. На колониальных землях практичные и хозяйственные римляне вводили систему координат, очень похожую на современные прямоугольные (декартовы) координаты на плоскости. Каждая центурия на поле кодировалась двумя числами. По ним владелец мог легко отыскать на плане свой участок. Отличие этой системы от декартовой состояло лишь в том, что римляне не знали отрицательных чисел. Они использовали выражения «слева от DM» — «справа от DM», «вниз от КМ» — «вверх от КМ». Схема городского поселения из рукописи римских землемеров. Видны главные дороги: север — юг и запад — восток. 6 Центральная часть римского поля с центуриями, для которых указаны их координаты с использованием римских цифр I и II. Сокращения означают: DD (dextra decumani) — справа от DM; SD (sinistra decumani) — слева от DM; UK (ultra kardinem) — вверх от KM; CK (citra kardinem) — вниз от KM. 7 НАТЯГИВАТЕЛИ ВЕРЕВОК В жарком, засушливом Египте успешно вести земледелие можно было только на землях, расположенных вблизи Нила. Весной, во время паводка, Нил широко разливался и покрывал поля своим плодородным илом. И лишь на удобренных этим илом полях могли получать египтяне урожаи ячменя, полбы (вид пшеницы) и других возделываемых ими культур. Поэтому расположенные вблизи Нила земли очень высоко ценились. Так как население Египта было уже достаточно большим, то вся эта земля была поделена между крестьянами. Но вот в чем была незадача: поля отделялись друг от друга межами, а разлив Нила смывал каждую весну эти межи, и приходилось проводить их снова. Поэтому были особые чиновники, которые занимались межеванием земель, то есть по-русски сказать — землемеры. Посещавшие Египет греки называли их г а р п е д о н а п т а м и , то есть натягивателями веревок: понятно, что для проведения прямой межи надо было туго натянуть веревку. Но надо еще было знать, в каком направлении и между какими точками следовало натягивать веревки. А для этого был нужен план полей. Так из практической задачи о межевании полей возникла наука о землемерии. Погречески земля называлась «геос», измеряю — «метрио», а поэтому и наука об измерении полей получила название «геометрия». Только не вздумайте назвать современного землемера геометром или геометра землемером: они вас не поймут и обидятся. За многие тысячи лет, протекшие со времени возникновения геометрии, она стала лишь в весьма малой степени заниматься землемерием. Как же мерили землю древние египтяне? Если участок земли квадратный или прямоугольный, то найти его площадь — дело несложное. Надо измерить длину и ширину поля, а потом их перемножить. Но участки могут иметь разную форму. Не всякий участок можно разделить на прямоугольники. А вот на треугольники можно разбить любой участок, если только он ограничен прямыми линиями. Египтяне рассуждали примерно так. Если в прямоугольнике соединить отрезком два противоположных угла (такой отрезок называют диагональю), то получатся два одинаковых треугольника с прямыми углами — прямоугольные. Площадь каждого из них вдвое меньше площади 8 прямоугольника, из которого они получились. Значит, для того, чтобы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить те его стороны, которые образуют прямой угол, перемножить их длины и от того, что получится, взять половину. Эти стороны получили потом у греков название катеты. А самую длинную сторону прямоугольного треугольника греки называли гипотенузой. Катетом они называли вертикальный шест, а слово «гипотенузо» означало «натянутая». Вероятно, первое представление о прямоугольном треугольнике греки получили, рассматривая веревку, косо идущую от вершины шеста. Ну, а если получается такой треугольник, у которого нет прямого угла? Как рассчитать? Надо провести линию под прямым углом к одной из сторон треугольника, то есть так, чтобы она проходила через вершину противоположного этой стороне угла и образовала со стороной прямой угол. В геометрии такую линию называют высотой, а ту сторону, с которой она пересекается,— основанием треугольника. Видно, что высота делит треугольник опять же на два, но уже прямоугольных треугольника. Вычислить их площадь просто. Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. Египетским математикам удалось решить и другую, гораздо более трудную задачу. Они нашли способ, хоть и приблизительно, вычислить площадь круга по его поперечнику (диаметру): по их правилам площадь 8 круга считалась равной площади такого квадрата, сторона которого есть 9 поперечника круга. 9 ГЕОМЕТРИЯ В СТАРЫХ РУССКИХ КНИГАХ Потребности земледелия, строительного и военного дела породили начала геометрии у всех народов, в том числе и у славян. Уже в старинных памятниках русской истории мы встречаем начальные сведения по геометрии. Исконно русским руководством, излагавшим приемы измерения площадей, является «Книга сошного письма», самый древний экземпляр которой относится к 1629 году. Имеются сведения, что оригинал был составлен еще раньше, при Иване Грозном в 1556 году. При вычислении площадей фигур рекомендуется в этой книге разбивать их на квадраты, прямоугольники, треугольники, трапеции. Площади квадрата и прямоугольника вычислялись по применяемым сейчас правилам. Площадь же треугольника находилась как половина произведения основания на боковую сторону. Последнее правило, буквально понятое, неверно, так как оно справедливо лишь для прямоугольного треугольника. Но этими же правилами когда-то пользовались древние египтяне. Возможно, что русская землемерная практика имела дело только с прямоугольными или почти прямоугольными треугольниками, и в таком случае мы не имеем основания делать упрек нашим предкам в незнании правил начальной геометрии. В те отдаленные времена земля не являлась предметом купли-продажи, и точность результата измерения играла незначительную роль. Оказывается, что в южнорусских губерниях, где свободной земли было много и она поэтому не ценилась, такие приемы оценки площадей применялись еще в XIX веке. При Иване Грозном было составлено и первое русское руководство по землемерию — книга «... глубокомудрая, дающая легкий способ измерять места самые недоступные, плоскости, дебри». А в середине XVI века была составлена первая общая карта Европейской России, которая вместе с «чертежами Сибирских земель» 1667 года считается самым замечательным памятником русской картографии. В одной из рукописей XVI века впервые упоминается «премудрый Клидас», то есть основоположник нашей современной геометрии — Евклид. Ранние русские рукописи содержат и теорему Пифагора. Но в них нет явного указания о том, что теорема имеет место только для прямоугольного треугольника. Возможно, что ею пользовались для приближенного 10 нахождения расстояния и в том случае, когда треугольник «почти» прямоугольный. В рукописях начала XVII века мы встречаем такие задачи: Хошь узнати, промежь какими местами, не ходя и не меревь, что будет промежь верст, или сажен, или аршин. И ты познавай: как ходил будто к Троице в Сергиев монастырь, и тут 32 версты. Ходил же в Воскресенский монастырь, и тут будто 24 версты. Что будет промежь теми монастырями, скажи, не меревь? И те числы с таких же чисел умножь. И те оба перечни сложи вместе си раздели на радикс. И что из делу выдет, столько будет промежь теми местами верст. Ответ. 40 верст. По-видимому, автор считает, что находится в вершине В прямоугольного треугольника ABC, имеющего катеты, равные 32 верстам и 24 верстам. Тогда расстояние между монастырями равно длине гипотенузы этого треугольника. По теореме Пифагора квадрат этой длины равен: 32 2 24 2 1024 576 1600 . Но 1600 40 2 , а потому искомое расстояние равно 40 верстам. В 1625 году была переведена с английского языка книга по геометрии, где дается учение о круге. Эта рукопись представляет, по-видимому, обработку «Начал» Евклида, то есть первую часть нашего обычного школьного учебника геометрии. Книга Евклида впервые в печати на русском языке появилась в 1739 году под заглавием: «Евклидовы элементы в осьмь книг через профессора математики Андрея Фархварсона сокращенные. С латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенные. В Санкт-Петербурге, 1739». Продолжением этой книги являлись вышедшие в 1745 году «Архимедовы теоремы» в переводе того же Ивана Сатарова. Через эти книги русскому читателю стало доступным все существенное из классического наследия по элементарной геометрии. 11 ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ Исчисление расстояния по промежутку времени, необходимому для его прохождения, было использовано и для измерения площадей земельных участков. В рассказе Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно?» башкиры продают кулаку Пахому землю по цене «тысяча рублей за день». Под этим подразумевался участок земли, который можно обойти за день. Толстой рассказывает, как жадный Пахом побежал так быстро, что к концу дня упал мертвым. Способ измерения площадей по длине обхода предполагает, что фигуры одинаковой площади имеют и равные периметры и что равные периметры охватывают равные площади. Это предположение неверно, однако это неверное правило применяли не только башкиры, но и другие народы. Римские писатели упрекают своих современников в том, что они придерживаются этого ложного взгляда. На основании сведений школьного курса математики можно доказать, что из всех прямоугольников, имеющих равные периметры, квадрат имеет наибольшую площадь. Если бы Пахом в рассказе Толстого вздумал вырезать себе участок земли в виде прямоугольного поля, он захватил бы наибольшее количество земли, обходя квадратный участок. Из всех фигур, имеющих равные периметры, наибольшую площадь имеет круг. Он же из всех фигур, имеющих равные площади, имеет наименьший периметр. В Риме мерой полей служила еще единица ю г е р . Слово это происходит от латинского слова «югум» — ярмо, то есть деревянная рама, которую надевали на шеи двум волам. Югер означал участок земли, вспахиваемый за день плугом, в который впряжена пара волов. Аналогичная мера земли существовала и у славян. 12 МЕРЫ ПЛОЩАДЕЙ В «Русской правде» — законодательном памятнике, который относится к XI—XIII векам, употребляется земельная мера п л у г . Это была мера земли, с которой платили дань. Есть некоторое основание считать плуг равным 8—9 гектарам. Как и во многих других странах, за меру площади часто принимали количество ржи, необходимое для засева этой площади. В XIII—XV веках основной единицей площади была к а д ь — площадь, для засева которой нужно было примерно 24 пуда (то есть 400 кг) ржи. Половина этой площади, получившая название д е с я т и н ы , стала основной мерой площади в дореволюционной России. Она равнялась примерно 1,1 гектара. Десятина иногда называлась к о р о б ь е й . Другая единица для измерения площадей, равная половине десятины, называлась ч е т в е р т ь (четь). В дальнейшем размер десятины был приведен в соответствие не с мерами объема и массы, а с мерами длины. В «Книге сошного письма» в качестве руководства для учета налогов с земли устанавливается десятина, равная 80 30 2400 квадратным саженям. Налоговой единицей земли была с о х а (это количество пахотной земли, которое был в состоянии обработать один пахарь). В Новгороде — о б ж а , которая имела различные размеры в зависимости от качества земли и социального положения владельца (служилые, духовенство, крестьяне и т. д.). Десятина, которая в быту местами имела и другие размеры, делилась на 2 ч е т в е р т и (чети), четверть в свою очередь — на 2 о с ь м и н ы , осьмина — на 2 п о л у о с ь м и н ы , полуосьмина — на 2 ч е т в е р и к а и так далее по двоичной системе: четверик содержал 2 п о л ч е т в е р и к а , 4 пол-пол-четверика, 8 пол-пол-полчетвериков. «Книга сошного письма» дает ряд примеров вычислений с дробями: «Полполтрети и пол-пол-полтрети — итого: полчетверти сохи». Это значит: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 3 2 4 13 СОТНАЯ С ПИСЦОВЫХ КНИГ ГОРОДА МУРОМА 1623―1624 годов СОСТАВИТЕЛЬ ЧЕРНЫШОВ В.Я. (Л.242) Да около посаду посацкие выгонные земли 305 десятин. Да около тое выгонные земли посацково ж лесу бору в длину на две версты, поперег на полверсты, а инде бол[ь]ши, инде и мен[ь]ши. Да посацкою ж землею за бором владели муромские соборные попы Сергеи Еремеева да Василей Иванов да диякон Федор Иванов к вотчинным своим к соборных пустошам к пустоши Маландайке да к пустоши Васильевской да к пустоши Суворовской. И посацкие люди о тои земле били челом государю царю и великому князю и Михаилу Федоровичу всеа Русии, а к писцом к Григор[и]ю Федоровичю Киреевскому да под[ь]ячему Петру Горемыкину от тои земле на муромсково соборново протопо// (Л.242 об.) па Ивана з братею о суде в той земле подали челобитную. И муромской соборной протопоп Иван и попы на суд не пошли а привезли с Москвы к писцом государеву сыскную грамоту апреля в 2 день ис приказу бол[ь]шого дворца за припис[ь]ю дияка Ивана Федорова. А по той государеве грамоте велено про тое спорную землю, что за бором, обыскати бес суда в Муроме на посаде всякими люд[ь]ми, оприч[ь] посацких людей и протопопа Ивана з братею, у которых в той земле спор. И в Муромском уезде около тех пустошей ве[р]ст по пяти и по шти и по десети и по дватцати и бол[ь]ши, архима[нд]риты и игумены и попы и диаконы и дворяны и детми боярскими и их приказщики и старосты и с крестьяны // (Л.243) старинная л[и] та земля, что за бором, богородицково протопопа Ивана з братею вотчинных пустошей, пу2耀оши Маландайки да пустоши Васильевской, и почему ныне в ту землю муромцы посацкие люди вступаютца. И на перед сево посацких людей в той земле, что за бором, челобит[ь]е и лавки в насил[ь]стве на протопопа з братею бывало ли. Да будет в сыску обыскные люди скажут, что та спорная земля, что за бором, изстари в вотчине за богородицким протопопом з братею, а челобит[ь]я и явок в той земле посацких людей на протопопа з братею наперед сево не бывало. И писцом на ту спорную землю велено поставити старожил[ь]цов сторонних людей, про ково скажут с обе стороны протопоп з братею // (Л.243 об.) и муромцы посацкие люди. Да по тем обыском и по старожил[ь]цове скаске ту спорную землю, что за бором, отвесть и отмежеват[ь] по прежнему в вотчину богородицкому протопопу Ивану з бра[т]ею. И велено на межах ямы покопать и грани потесат[ь] и всякие признаки учинит[ь] внов[ь], чтоб впредь в тое земле у протопопа з братею спору не было. 14 И по той грамоте писцы Григорей Федорович Киреевской да под[ь]ячей Петр Горемыкин сыскивали на посаде и в Муромском уезде около тех пустошей верст по пяти и по шти и по десяти и по дватцати и бол[ь]ши, архима[нд]риты и игумены и попы и диаконы и дворяны и дет[ь]ми боярскими и их приказщики89 и старосты и старосты и в сыску // (Л.244) сказали про ту спорную землю, что за бором игумены 2 попа черных, 9 человек старцов по иноческому обещанью, 19 попов белых по священству да б человек приказчиков, 7 человек старост, 46 человек крестьян все сказали по государеву, цареву и великого князя Михаила Федоровича всеа Русии крестному целован[ь]ю и дали писцом речи за своими руками, то де им ведомо, что у протопопа Ивана з братею за бором вотчинные пустоши есть, и пашут по бор. И тех де пустошей земля за бором с посацкою землею сошлась смежна. А меж[у] де тем пустошам с посацкою землею они не знают. Да в обыску ж сказали попы, 2 приказщика, 4 человека старост, 7 человек крестьян, что де они про тое спорную землю // (Л.244 об.) ничево не знают. И писцы Григорей Федорович Киреевской да под[ь]ячей Петр Горемыкин после обысков, поставя протопопа Ивана з братьею с посацкими люд[ь]ми с очей на очи, и просили у них на ту спорную землю старожил[ь]цов с обе стороны, хто у них меж посацкой и меж их вотчиной земли межи знает. И соборной протопоп Иван и попы слалис[ь] из виноватых на старожил[ь]цов в[с]е ведомо краичево князя Васил[и] я Яншеевича Сулешова вотчины села Карачарова на крестьянина на Ивашка Маланина да на муромца сына боярсково на Ивана Юр[ь]ева сына Осорина, в том, что де те люди стары и межу писцову помнят. А посацкие люди на тех их ссылочных людей в[с]е ведомо слалися. И майя // (Л.245) в 2 день писцы Григорей Федорович Киреевской да под[ь]ячей Петр Горемыкин на ту спорную землю, что за бором, ездили. И старожил[ь]цов муромца Ивана Осорина и села Карачарова крестьянина Ивашка Маланина на той спорной земле перед собою ставили. И старожил[ь]цы Иван Осорин и крестьянин Ивашко Маланин став на спорной земле писцом сказали по государеву цареву и великого князя Михаила Федоровича всеа Русии крес[т]ному целован[и]ю то де им ведомо, что соборные попы пахали землю по бор, тол[ь]ко де ныне бору высечено, а меж[и] де в тех местех не знают. А скол[ь]ко бору высечено, мало ли или много, того они не ведают, и старых меж и граней и ям не знают же. И писцы протопопа Ивана з братею допрашивали, есть ли у них // (Л.245 об.) иные старожил[ь]цы. И протопоп Иван да протодиякон Андрей и соборные попы Сергей да Василей да диякон Федор писцом сказали, что у них на ту спорную землю иных старожил[ь]цов бол[ь]ши тово нет. И писцы допрашивали о старожил[ь]цах посацких людей, и посацкие люди слалис[ь] Спас[с]кого монастыря, что в Муроме на посаде, на старца Онтон[и]я в том, тот де старец Онтоней помнит по ка[кие] места бор был и по ка[кие] места пашня. И протопоп Иван и соборные попы на тово старца 15 Онтон[и]я слались с послушество. А сказали, что тот де старец Онтоней бывал посацкой же человек, да и ныне у ново дети и племянники живут на посаде ж. И он де скажет, как им надобет. И положил протопоп Иван з братею список // (Л.246) з государевы грамоты блаженные памяти государя царя и великого князя Федора Ивановича всеа Русии. А в том списке пишет, как били челом государю посацкие люди на муромских соборных попов, а соборные попы на посацких людей о той же земле, что ныне в споре у протопопа с посацкими люд[ь]ми в 98-м году. А прислана была та государева грамота в Муром к губным старостам к Васил[и]ю Борисову да к Семену Черткову да к городовым прикащиком к Ивану Опраксину да Федору Нагирину. А по той государеве грамоте велено им взяти у посацких людей сотную Дмитрея Бутурлина с товарыщи 74-го году, да по той сотной посацкие земли от вотчины от церковные Рождества пречистые Богородицы от пашни и от сенных покосов от лесов отме // (Л.246 об.) жеват[ь] по старым межам, как в сотной написано. И писцы против того списка протопопа Ивана з братею и посацких людей допрашивали, что у них те приказные люди по той государеве грамоте указ учинили, межи положили или нет. И посацкие люди и протопоп Иван з братею сказали, вдали де на землю многижды, а указу де в тои земле никому ничево не учинили. А после тово с тех мест и по ся места от посацких людей на протопопа и на попов челобит[ь]я не бывало А от протопопа на посацких людей челобитья не бывало ж, потому что дожидалис[ь] писцов. Да писцы ж спрашивали посацких людей, где у них та выпис[ь] старых писцов Дмитрея Бутурлина // (Л.247) с товарыщи. И посацкие люди сказали, что де у них та выпис[ь] пропала в приход литовских людей как был в Муроме Лисовской по 124-м году. И протопоп Иван з братею пришед к писцом к Григор[и]ю Федоровичу Киреевскому да под[ь]ячему к Петру Горемыкину, сказали, что де они в той спорной земле меж себя с посацкими люд[ь]ми сыскали и договорилис[ь] полюбовно. А верят де они лутчему посацкому человеку Семену Черкасову да Поснику Лопатину. Те де люди у них исстари пашню наимуя пахали. И пока де мест Семен Черкасов да Посник Лопатин скажут, как они исстари пашню пахали, тут де ныне и межа положит[ь] и гран[ь] потесат[ь] и ямы покопат[ь]. А посацкие люди на своих на посац// (Л.247 об.) цих же людей в том слалися ж, покаместа те люди межи укажут. И писцы Григорей Федорович Киреевской да под[ь]ячей Петр Горемыкин по той их любовной ссылке посацких людей лутчево человека Семена Черкасова да Посника Лопатина, которых они излюбили с обе стороны, про ту спорную землю допрашивали по государеву цареву и великого князя Михаила Федоровича всеа Русии крестному целованию, покаместа они исстари у соборных попов наимуя землю пахали и покаместа 16 бор был. И та земля, что они наимуя у них пахали, у посацких людей с протопопом з братею в споре была ли, и челобит[ь]е государю о той земле преж сево протопопа Васил[ь]я з братею на посацких людей, бывала ли. // (Л.248) И посацкие люди на протопопа з братею о той же земле государю бивали челом. И посацкие ссылочные люди Семен Черкасов да Посничко Лопатин писцом сказали по государеву цареву и великого князя Михаила Федоровича всеа Русии крестному целованию, покаместа они наимуя у соборных попов исстари землю пахали и по межи повели, как они наимовали тою землю у соборных попов, пахали тол[ь]ко де и тоговы та земля у посацких людей с протопопом з братею была в споре, и челобит[ь]е о той земле посацких людей государю на протопопа з братею бывало. А после посацких людей челобит[ь]я было челобит[ь]е протопопа з братею на посацких людей о той же земле, тол[ь]ко де ни почему челобит[ь]ю // (Л.248 об.) ничево не учинилос[ь], а ждали писцов. А ныне де тол[ь]ко не помиритца о той земле полюбовно и ноне, потому ж межей старых не сыскат[ь], потому что писцы писали давно, а старых де людей тех нету, хто с писцы был. И протопоп Иван з братею и посацкие люди меж себя о той земле перед писцы и перед сторонними люд[ь]ми помирилис[ь] и договорилис[ь] полюбовно, и договоряся протопоп Ивана з братею и посацкие люди меж себя. И били челом протопоп з братею и посацкие люди, чтоб им в тех спорных местех по тому их любовному договору и межу учили. И писцы по тому их любовному договору меж с соборново протопопа Ивана з братею вотчиных их пустошей, // (Л.249) пустоши Суворовской да пустоши Васильевской да пустоши Маландайки с посацкою в тех местах межу положили, ямы покопали и грани потесали. А по мере той посацкой земли, что владел протопоп Иван, з братею, 76 десятин. И та земля по их любовному договору отдана к посаду по прежнему. И обоего по мере посацкой старой выгонной земли, и которая земля была с протопопом в споре, 381 десятина. А межа той посацкой выгонной земле, что около посаду, и которая за бором, что была в споре с протопопом з братею, и лесу бору от Оки реки межа, что сошлась с ямскою межею, которую межу положил ямщиком // (Л.249 об.) во 130-м году ямской отдел[ь]щик Ил[ь]я Милославской от Оки реки е верх по Екиманскому ручью. Да ручьем прямо до верха вверх тово Екимансково оврагу, на поле столб, на нем гран[ь]. От тово столба на столб же, на нем гран[ь]. От тово столба на столб же, на нем гран[ь]. От тово столба на столб же, на нем гран[ь]. А тот по смежней столб, стоит у старой московской дороги. А от тово столба и от грани, от огорода едучи по московской по старой дороге, да на по последнею ямскую ж гран[ь], что на сосне у дороги ж. А от тое сосны и от последние грани от ямские, что клал Ил[ь]я Милославской, положили межу внов[ь] писцы Григорей Федорович 17 Киреевской да под[ь]ячей Петр Горемыкин. и ямы покопали и грани потесали на дерев[ь] // (Л.250) ях. А где дерев[ь]я нет, и в тех местех столбы ставили. А в которых местех ямы копали и на котором дереве грань насечена или столб поставлен и то писано имянно. Межа посацкой земле и лесу с вотчиною землею соборново протопопа Ивана з братею с пустош[ь]ю Суворовскою да с пустош[ь]ю Васильевскою да с пустош[ь]ю Маландайкою, что положена по любовному их договору от московские старые дороги болотцо, а у того болотца стоит дуб, на нем насекли гран[ь], подле ево яма. От тово дуба з гран[ь]ю и от ямы и от московские дороги прямо к Макаровской дороге у дороги по конец лесу столб, на нем 2 грани, подле ево яма. От тово столба з гранью и от ямы и от Макаровской дороги пря // (Л.250 об.) мо к болоту. Да у того болотца на сосне гран[ь], подле ее яма. От той сосны з гран[ь]ю и от ямы и от болотца прямо к сосне ж, на ней гран[ь], подле ее яма. А у той сосны з гран[ь]ю и от ямы через лазоревскую дорогу прямо к сосне ж, что стоит в борку, недоходя речки Маландайки, на ней гран[ь], подле ее яма. А от тое сосны з гран[ь]ю и от ямы к речке к Маландайке у речки на берегу столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы речкою Маландайкою да к домырю, да домырем к дубу через коломенскую дорожку. А на том дубу гран[ь], подле ево яма. А от тое коломенской дорожки и от столба з гран[ь]ю и от ямы прямо межою да к дороге к болотенской, что // (Л.251) межа деревни Орловы Спас[с]кого монастыря вотчины у дороги у болотенской на орловской меже столб, на нем гран[ь], подле ево яма. А по той меже и по ямам и по гранем от Оки реки направе земля и лес ямских муромских охотников да соборные церкви Рождества пречистые Богородицы протопопа Ивана з братею вотчинных и пустошей, пустоши Суворовской да пустоши Василевской да пустоши Маландайки, да арзамасца Тимофея Симансково, вотчинной ево пустоши земля ж и лес, да муромского губново старосты Дружины Осорина земля и лес подле орловскую межу. А по левое сторону по той же межи и по ямам и по гранем по орловскую ж межу Спас[с]кого монастыря вотчинной деревни земля выгонная // (Л.251 об.) и лес муромцов посацких людей. Да посацкой же выгонной земли межа сошлас[ь] с вотчиною Спас[с]кого монастыря, что в Муроме на посаде, з деревнею Орловою. И муромцы посацкие люди били челом писцом на меже Спас[с]кого монастыря на архима[нд]рита Левкея з братею, а сказали, что завладели де их посацкою выгонною землею, деревни Орловой крестьяне и межу де старую перепахали. И тут же на меже перед писцы Спас[с]ково монастыря келар[ь] сказал, что де они посацкою землею к своей вотчинной земле и к деревне Орловой не владеют и межи не перепахивали. А владеют де они по старине, как исстари бывало. И писцы допрашивали муромцов посацких // 18 (Л.252) людей, ест[ь] ли у них на ту межу з деревнею с Орловою старожилец, кому у них тое межу отвесть. И посацкие люди сказали мы де верим архима[нд]риту Левкею. Он де в монастыре старо живет и межи знает, по которому де месту поведет архима[нд]рит, тут де и межу положите. И писцы архима[нд]рита Левкея допрашивали, межу он своей вотчинной деревни Орловой пашне с посацкою землею знает ли и тое межу он отведет ли. И архима[нд]рит Левкеи писцом сказал как де я исстари знаю, покаместа в вотчиной деревни Орловой крестьяне пашут, по та де места он и отведет. Да повел архима[нд]рит Левкеи по меже. И на той меже писцы велели ямы // (Л .252 об.) копат[ь] и грани тесат[ь] от дороги от болотенской. А у тои дороги у болотенской столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тое дороги и от столба з гран[ь]ю и от ямы прямо на дуб, на дубу гран[ь], подле ево яма. От тово дуба з гран[ь]ю и от ямы прямо лесом. Да из лесу выехав у лесу столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы возле леса да на сосну, на ней гран[ь], подле ее яма. От той сосны прямо межею на сосну ж, на ней гран[ь]. От сосны прямо на столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба за гран[ь]ю и от ямы к болоту к Торскому, у болота яма. От той ямы прямо на столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы // (Л.253) прямо к меже и к яме и к столбу вотчины краичево Васил[и]я Яншеевича Сулешова села Карачарова. А тот столб стоит на меже меж деревни Орловои Спас[с]кого монастыря вотчины и посацкой выгонной земли И по той меже от дороги от болотенскои и от столба з гран[ь]ю и от ямы до межи ж, что с селом Карачаровым. На праве земля и пашня Спас[с]кого монастыря вотчины деревни Орловой, а на леве по тои же меже и по гранем посацкая выгонная земля и лес, по межу ж села Карачарова. Да посацкой же выгонной земле и лесу сошлас[ь] межа с вотчинною землею краичево княз[я] Васил[и]я Яншеевича Сулешова с селом Карачаровым. И на той меже муромцы посацкие люди били // (Л.253 об.) челом писцом села Карачарова на крестьян. А сказали, владеют де те крестьяне села Карачарова их посацкою землею насил[ь]ством и межу де старую переорали и перепахали. И писцы Григорей Федорович Киреевской да под[ь]ячей Петр Горемыкин велели поставит[ь] перед собою на меже вотчины кравчево князь Васил[и]я Яншеевича Сулешова села Карачарова приказщика ис крестьян. И приказщик села Карачарова Степан Бахтеев и с крестьяне перед писцы стали и писцы их допрашивали, владеют ли они к селу Карачарову посацкою землею или не владеют, и старых они меж не перепахивали ли. И села Карачарова приказщик Степан Бахтеев // (Л.254) писцом сказали, сказывают де муромцы посацкие люди, что перепахали государя ево крестьяне села Карачарова их посацкою старою межу и их де будто посацкою землею владеют насил[ь]ством, чтоб де посацкие люди дали своего старожил[ь]ца, чтоб де было кому верит[ь], и велели бы де ему тою межу с образом отвесть. 19 И муромцы посацкие люди били челом, а сказали, что они верят 90 краичево князь Васил[и]я Яншеевича вотчины села Карачарова крестьянину Ивану Маланину. Тот де стар и межу старую помнит. Как де он отведет, так ныне и межа положити. И писцы Григорей Федорович Киреевской да под[ь]ячей Петр Горемыкин села Карачарова крестьянина Ивашка Ма // (Л.254 об.) ланина поставя перед собою про межу допрашивали, знает ли он села Карачарова пашню с посацкою землею межу старую писцову и грани и ямы или не знает. И крестьянин Ивашко Маланин сказал, что он знает межу старую посацкой земле с селом Карачаровым, тол[ь]ко де на той меже граней и ям писцовых нет. И писцы допрашивали посацких людей, верят ли они ему, Ивашку, как он межу укажет. И муромцы посацкие люди сказали те ж речи, что оне верят тому Ивану Маланину по ево старости. Как де он ни поведет, тут де ныне и межу новою положите. И села Карачарова крестьянин Ивашко // (Л.255) Маланин повел по меже, и писцы по той меже велели ямы копати и столбы ставити. От межи Спас[с]кого монастыря вотчины деревни Орловой у Торского болота яма, а возле тое ямы поставлен столб, а на нем насечена гран[ь]. А от тово столба з гран[ь]ю и от ямы, что тот столб поставлен ново, меж карачаровской и орловской земли возле Торского болота, да прямо к орловской дороге. У дороги по конец болота Торсково поставлен столб, на нем гран[ь], возле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы прямо дорогою на столб же, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы и от орловской дороги, что ездят из города в деревню в Орлову, прямо в бор. Да бором прямо ж к [с]толбу, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба // (Л.255 об.) з гранею и от ямы прямо межником старым. А на межнике в лесу столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы прямо межником старым же. А на межнике столб, а на нем гран[ь], подле ево яма. А от тово столба з гран[ь]ю и от ямы прямо к дороге у Касимовской да к бучегоцкому верховью, что тот верх вышел меж села Карачарова земли и меж Спас[с]кого монастыря вотчин[н]ой земли, что пашут детеныши, и меж посацкой выгонной земли. У дороги у касимовской и у верха столб, на нем гран[ь], подле ево яма. А по той меже от орловской межи по касимовскую дорогу и по бучеговской верх по праву пашня и земля краичево княз[я] Васил[и]я Яншевича Сулешо // (Л.256) ва вотчины села Корачарова, а по левую сторону выгон[н]ая земля и леса посацкие. А от тое Карачаровские межи межа посацкой ж земле с вотчинною землею Спас[с]кого монастыря, что пашут детеныши, от бучегоцково верху и от карачаровской межи от столба за гран[ь]ю и от ямы прямо к посаду касимовскою дорогою. Возле дороги у лесу столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы прямо 20 касимовскою ж дорогою. У дороги на поле столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы прямо касимовскою ж дорогою да х Колачной улице к двору и к огороду Спас[с]кого монастыря вотчины сел[ь]ца Кудринсково крестьянина по Бессонков двор Игнат[ь]ева сына холщевника. У двора ево столб, на нем // (Л.256 об.) гран[ь], подле ево яма. На праве касимовской дороги земля от бучегоцково верха, едучи х Кудри[н]скому сел[ь]цу Спас[с]кого монастыря, что пашут детеныши, а на леве той касимовской дороги земля выгонная посацкая. А на межах с писцы з Григор[и]ем Федоровичем Киреевским да с под[ь]ячим с Петром Горемыкиным были из Мурома с посаду Спас[с]кого монастыря архима[нд]рит Левкеи да келар[ь] старец Александр да казначей старец Иев да муромской соборной протопоп Иван да протодиякон Андрей да соборные ж попы Василей Иванов да Сергей Еремеев да д[ь]якон Федор Иванов да посацкие люди земской староста Иван Кадомцов, Семен Черкасов, Богдан Цветной, Федор Веневитинов, Меркулей Клепиков, Посник Лопатин, Богдан Балымутов, // (Л.257) Трет[ь]як Синев, Гаврилко Некипелов, Савка Поскребов, Милюта Железников, Ивашка Болахна, Степанко Кречков, Аркадка Микитин, Мишка Стулов, Ивашко Селиванов, Зотичко Мяздриков, Олешка Мокрищев, Олешка Жадин, Самойлик Дехтярев, Милютка Захаров, Вас[ь]ка Шевель, Захарко кузнец, Левка Смолин, Ефимка Лихонин и все посацкие люди. Да вотчины краичево князь Васил[и]я Яншеевича Сулешова села Карачарова приказщик Степан Бахтеев да крестьяне Ивашко Маланин, Микитка Горшков, Вас[ь]ка Батраков, Фомка Ондреев, Мит[ь]ка Коверин, Стен[ь]ка Торопов, Юрка Иванов, Осипка Окулов, Вас[ь]ка Мокеев, Дружинка Петров. Да села Панфилова крестьяне Селиверстко Титов91, Архипко Евсев[ь]ев, Микифорко Тимо // (Л.257 об.) феев. Да Спас[с]кого монастыря вотчины деревни Орловой все крестьяне, да сторонние люди муромские приходных церквей попы воскресенской поп Семен, предтеченской поп Михайло, никольской поп Иван да вознесенской поп Нефед да здвиженской поп Роман да кузмодем[ь]янской поп Максим да пятницкой поп Иван да рож[д]ественской поп Иван жа да егор[ь]евской поп Яков да дмитреевской поп Теренте[й] да муромец сын боярской Иван Осорин да арзамасец Тимофей Симанской. Да на той же на посацкой на выгонной земле в тех же межах и в гранях промеж посацкой земли возле озерка и возле дороги Макаровской // (Л.258) и возле лесу бору посацково и меж другово озерка, что у лесу пашут соборной протопоп Иван з братею церковные пашни, что им тое пашне дал в дом к благоверному князю Петру и к благоверной княгине Феврон[и]е блаженные памяти великий князь Василей Иванович. А по мере тое соборные церковные пашни пят[ь] десятин с полу десятиною, а четвертные пашни в одном поле 11 чет[ь]. А межа той церковной земле от 21 пасацких земел[ь] у дороги у прогольской на углу тое пашни столб, на нем гран[ь], подле ево я[ма]. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы прямо прогал[ь]скою ж дорогою по лес по бор. У лесу столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю92 и от ямы возле бору к сосне, на ней гран[ь], подле ее яма. От тои сосны з гран[ь]ю и от ямы и от бору прямо // (Л.258 об.) к сосне ж, на ней гран[ь], подле ее яма. От той сосны з гран[ь]ю и от ямы прямо на столб, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово столба з гран[ь]ю и от ямы возле бору к болотцу. Возле болотца столб ж, на нем гран[ь], подле ево яма. От тово болотца и от столба и от ямы прямо к дороге к прогол[ь]ской да на первую гран[ь] и на яму той церковной земли. Да муромцы ж посацкие люди косят сена за Окою рекою супротив города и посаду по берегу и меж озер и меж лесу, кустарю и по пороснягу сверху от Золотово бору вниз по Оке реке по устье с Морговского озера. А по мере тех сенных покосов и что на тех сенных покосех поросло лесом порознягом // (Л.259) и кустарю 215 десятин, а на них сена ставилося по 4300 копен. А ныне тех посадцких сенных покосов в тех местех лесом поросло 1500 копен, а тол[ь]ко ставитца на 2800 копен. Да в тех же межах меж посацких сенных покосов луги на оброке Благовещенского монастыря за игуменом Сергеем за братьею да за Никольским попом набережного за Стефаном. А что на тех оброчных благовещенских и на Никольских лугех ставитца сена, оприч[ь] посацких покосов, и что с них оброку, и то писано именно в оброчных в Сеченских лугех. А межа тем сенным покосом сверху от Оки реки подле Золотого бору стоит вяз, на нем гран[ь]. А до того вяза от Оки реки 25 сажен. У того вяза яма, а от // (Л.259 об.) того вяза и от ямы через арзамаскую дорогу да истоком к озеру возле Золотого ж бору. Да озерком и истоком на низ, возле того ж Золотово бору межою валом. На валу дуб, на нем грань. От того дуба тем же истоком да до другово истоку, на устье истоку дуб, на нем гран[ь]. От того дуба и от грани на низ другим истоком да х Кудрявому озеру. Да возле Кудрявого озера берегом до устья того озера. Да от того озера и от устья вышла кулишка. А около тое кулишки бол[ь]шой лес деревни Окуловской. А по конец той кулишки стоит у истока под лесом под окуловским дуб, на нем гран[ь]. А у того дуба и от грани направо возле окуловской же лес, по лес же от Кудрявого озера в луги // (Л.260) идучи по правой стороне. Под лесом стоит дуб, на нем гран[ь]. От того дуба и от грани возле лес[а] и подле болота вдалися посадцкие сено жати клином меж Окуловского лесу по веретен. А от того веретея возле лес[а] и возле болота по правую сторону дуб, на нем гран[ь]. А оттого дуба и от грани около болота и от окуловского лесу долом до озера до Могилишново до крестова веретея по крутой [о]враги по благовещенские луги. А от того озера Могилишново тем же крутым [о]врагом до Велетемского озера. Да крутым же [о]врагом по верхи Beлетемсково озеро и 22 по переволоку, что переволока из Оки реки в Велетемское озеро. У переволоки стоит // (Л.260 об.) дерево ветла, на ней гран[ь]. Да от тово дерева к реке к Оке по устье, что впало в Оку реку озеро Морговское. И по той меже и по граням едучи сверху от Оки реки от Золотово бору на леве сенные покосы и лес посацких людей, а на праве от тех же мест по тем же урочищам и по граням лес краичево княз[я] Васил[и]я Яншеевича Сулешова вотчины села Карачарова. Да лес же деревни Окуловы да сенные покосы и озера Благовещенсково монастыря да соборново протопопа Ивана з братею что в Муроме. Да в тех же межах меж посацких сенных покосов под Нагим перевесьем у Пустово озера луг оброчной Благовещенского монастыря игумена Сергея з братею. // (Л.261) Да оброчные же пожни никол[ь]ского попа набережного Стефана Тарасьева, варыпаевские пушкарева. А почему на тех лугах и пожнях оброчных ставитца копен сена, и что с них оброку, и то писано именно в оброчных в Сеченских лугах под их статьями. Да посацкие ж сенные за Окою ж рекою и за рекою за Тешею по Оке реке и в Сеченских лугах. А по мере тех сенных покосов 171 десятина сена на них ставитца 3420 копен. Да в тех же сенных покосов лесом поросло 66 десятин, а сена на них ставилос[ь] 1320 копен. А межа // (Л.261 об.) тем посацким Сеченским лугом сверху от Оки реки от заводи от взвозной у заводи на берегу стоит вяз, на нем гран[ь]. От тово вяза и от грани прямо к Теше реке. У реки у Теши на берегу вяз, и на нем гран[ь]. От тово вяза и от грани вверх рекою Тешою на дерево на осокор[ь]. На осокори старая гран[ь], да новая гран[ь] же. От тово дерева и от граней в верх же по реке по Теше да на дуб, на дубу гран[ь]. От того дуба и от грани к озеру к Хомутову. Возле тово озера на берегу стоит вяз, на нем гран[ь]. От тово вяза и от грани да озером Хомутовым берегом до истоку, что впал в то ж Хомутово озеро. На усть[е] того истоку вяз, на нем гран[ь]. От того вяза и от грани вверх по ис // (Л.262) току к дву[м] дубком. На одном дубу гран[ь]. А от тех дву[х] дубков по лес по Позняковской. По конец тово лесу дуб, на нем гран[ь] А от тово дуба и от грани к Оке реке подле лес Ставижерской у Оки реки на берегу стоит дерево осокор[ь], на нем грань. Да посацкие ж отхожие луги за Окою ж рекою по берегу у Харитонову яру, Котел[ь]никово тож. А по мере тех лугов 10 десятин, сена на них ставитца 200 копен. А межа тем отхожим лугом от Оки реки от берегу против болотца дуб виловатой, на нем гран[ь]. От тово дуба и от грани через болото прямо прямо93 межою теми ж лугами Харитоновым яром до благовещенских лугов. А от благо // (Л.262 об.) вещенских лугов к дубу, на нем гран[ь]. 23 Да посацкой же луг за Окою ж рекою по берегу у Велетемсково94 озера по верх Харитонова яру по лес по позняковской по мере по мере95 тово лугу 3 десятины, сена на нем ставитца 60 копен. Да посацкие ж луги по сю сторону Оки реки на луговой половине на устье Белово озера по берегу ж Оки реки от Спас[с]ких лугов по троецкую межу сергиева монастыря деревни Чегадаевой да по оброчные луга, что слывут Пушкарские. По мере тех лугов 10 десятин, сена на них ставитца 200 копен. Да в тех же лугах сенных покосов лесом поросло 10 ж десятин. Сена на них ставилос[ь] по 200 ж копен.96 Приписано сверху. В рукописи: «верет». 91 В рукописи: «китов». 92 На полях рукописи стоит штамп: «Библиотека А. Титова». 93 Так в рукописи 94 Написано по исправленному. 95 Так в рукописи 96 Внизу на полях приписка, выполненная другим почерком и другими чернилами: «132-го октября 8 день © [сверку ― ?] свершил» 89 90 24 ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ НА ТЕМУ «ЗЕМЛЕМЕРИЕ» ЗАДАЧА 1 Одна из вершин земельного участка треугольной формы недоступна. Как измерить периметр этого участка, используя свойство средней линии треугольника? Решение. Разделите пополам сторону АС, соединяющую доступные вершины (см. рис.), и через середину ее Е проведите прямые параллельные двум другим сторонам, что определяет положение всех трех средних линий треугольника (EF||AB, KE||BC). По теореме Фалеса точки F и К — середины отрезков ВС и АВ. Тогда AC = 2FK, AB = 2EF и ВС = 2КЕ. Периметр ∆АВС равен АВ+ВС+АС=2(EF+KE+KF), а отрезки КЕ, EF и KF можно измерить. ЗАДАЧА 2 Через точку, лежащую внутри участка, имеющего форму квадрата, нужно провести прямую так, чтобы отсечь участок наименьшей площади. Решение Задача имеет бесчисленное множество решений, если заданная точка есть центр квадрата. В остальных случаях через точку Q внутри квадрата, не совпадающую с его центром, проведем прямую, параллельную его диагонали. Площадь ∆EFA наименьшая (см. рис.). 25 ЗАДАЧА 3 Треугольный участок ABC разделите на три равновеликие части межами, исходящими из одной точки D, лежащей на стороне АС, если известно, что площадь участка равна т, АС = b, а расстояние от точки D до вершины А равно d. Решение Из трех равновеликих участков, получающихся в результате деления ∆АВС межами DM и DN, четырехугольный участок находится между треугольными (см. рис. а). Проводим через вершины А и С перпендикуляры к 2m стороне АС, откладываем на них соответственно отрезки длиной h1 и 3d 2m . Проводя через концы полученных отрезков прямые, h2 3b d параллельные АС, получим точки М и М их пересечения со сторонами АВ и ВС. Тогда М и N будут вершинами ∆AMD и ∆DNC, площадь каждого из m m которых равна . Тогда S DMBN . Рассматриваемый случай имеет место 3 3 b 2b при выполнении условия < d > . В случае если четырехугольный участок 3 3 4m 2m находится не между треугольниками (см. рис. б), h1 , а h2 . 3b d 3b d b 2b Этот случай имеет место, если d < или d > . 3 3 26 ЗАДАЧА 4 На земельном участке прямоугольной формы разбит сад, имеющий форму круга. Как провести прямую, которая одновременно разбивает участок и сад на две равные части? В каком случае задача имеет бесчисленное множество решений? Решение. Рассмотрим два случая: 1) Если центр сада О1 не совпадает с центром симметрии прямоугольника О, то искомая прямая EF проходит через центры этих фигур (см. рис.). 2) Если центр сада О1 совпадает с центром симметрии прямоугольника О, то искомой прямой будет любая прямая, проходящая через общий центр. ЗАДАЧА 5 Участок FDEG (см. рис.) разбит межой на участки DFABC и CBAGE. Замените межу ABC, изображенную на рисунке, прямолинейной межой, проходящей через точку А так, чтобы площади двух участков не изменились. Решение Точки А и С соединим отрезком (см. рис.) и через точку В проведем ВМ||АС (точка М на стороне DE). Тогда MA — искомая межа, так как ∆АВС и ∆АМС равновелики. 27 ЗАДАЧА 6 Земельный участок имеет форму трапеции ABCD. Разделите участок ABCD на две равновеликие части межой, проходящей через середину отрезка АВ. Решение Проведем EF — среднюю линию трапеции ABCD, СК||АВ и DK1||AB (рис. 275). Очевидно, что S∆EBC = S∆FKC, S∆КСF = S∆DK1F, и S∆AED = S∆EDF+S∆DK1F, 1 откуда S∆ECD = SABCD. Значит, чтобы найти искомую фигуру, достаточно 2 середину одной боковой стороны трапеции соединить с концами другой боковой стороны. Ломаная CED — искомая межа. ЗАДАЧА 7 Как разделить участок, имеющий форму параллелограмма, на две равновеликие части межой, проходящей через произвольную точку, которая задана на плане участка? Решение Можно доказать, что любая межа, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, разделит его на две равновеликие части. Действительно, из рисунка 259 видно, что S3 = S6, S2 = S5, S1 = S4, следовательно, S6 + S1 + S2 = S3 + S4 + S5, т. е. S AFEB = S FDCE. ЯСНО, чтобы решить нашу задачу, надо провести через данную точку К и точку О пересечения его диагоналей прямую EF. 28 ЗАДАЧА 8 Земельный участок, имеющий форму квадрата, был огорожен изгородью, от которой сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того, остался столб в центре квадрата. Как восстановить границу участка? Решение Пусть М и К — данные точки на сторонах искомого квадрата, О — его центр (см. рис.). Построим точки М1 и К1, симметричные соответственно М и К относительно точки О. Получим прямые МК1 и КМ1 которым принадлежат две противоположные стороны квадрата. Параллелограмм МКМ1К1 определяет направления сторон квадрата МК1 и КМ1. Если К'К— перпендикуляр на прямую MK1, то КК' — длина 2 стороны квадрата, а КК половина его диагонали. Строим циркулем с 2 2 центром О и радиусом КК на прямых МК1 и К1М вершины А, В, С, D 2 искомого квадрата. ЗАДАЧА 9 Земельный участок, имеющий форму трапеции, отдан под спортивный городок. Какие размеры должен снять землемер, чтобы начертить план этого участка? Решение. Необходимо измерить 3 стороны и один угол. 29 ЗАДАЧА 10 Как от части поля, ограниченной двумя межами АВ и АС, исходящими из одной общей точки А, отрезать участок, имеющий форму параллелограмма, площадь которого равна m, если вершина параллелограмма D лежит на меже АВ и AD = d? Решение Основанием искомого параллелограмма должен служить отрезок AD (см. рис.). Высоту параллелограмма можно определить из равенства m S dh m , откуда h . Поэтому, проведя AK AD, отложим на d m перпендикуляре АК отрезок АК h . Проводим затем в точке К d перпендикуляр к АК и находим его пересечение с межой АС в точке Е. Для того чтобы построить искомый параллелограмм, остается на перпендикуляре ЕК отложить отрезок EF||AD длиной d. Легко видеть, что полученная таким образом точка является четвертой вершиной искомого параллелограмма. m S AEFD d AK d m . d 30 ЗАДАЧА 11 Часть поля ограничена двумя исходящими из точки А межами АВ и АС. Через точку К, лежащую на меже АВ, проведите еще одну межу, которая отрежет от этой части поля треугольный участок площадью m, если KA = d. Решение Для того чтобы иметь возможность отрезать треугольник заданной площади т, нужно, очевидно, вычислить и построить высоту этого треугольника (его основание уже дано: KA = d). Так как площадь отрезанного 1 2m треугольника должна быть равна m, то S∆ m dh , откуда h . Строим d 2 2m теперь AF KA (см. рис.) и на AF откладываем высоту h = AD = . Затем d проводим через точку D перпендикуляр DE к AD до пересечения этого перпендикуляра с межой АС в точке Е. Полученная точка Е является вершиной искомого треугольника, а прямая КЕ есть искомая линия раздела. 31 ЗАДАЧА 12 Участок, имеющий форму прямоугольника ABCD, нужно разделить двумя межами, исходящими из вершины A, на три равновеликие части. Как это сделать? Решение На сторонах ВС и DC прямоугольника ABCD от вершины С, противоположной вершине А, отложим отрезки СЕ и CF, имеющие длины — 1 1 ВС и CD (см. рис.). Тогда АЕ и AF разделят прямоугольник ABCD на три 3 3 равновеликие части. Действительно, пусть АВ = CD = a, AD = BC = b. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна ab. Площадь ∆АВЕ равна 1 2 1 1 2 1 a b ab . Площадь ∆AFD равна b a ab . Площадь 2 3 3 2 3 3 1 1 четырехугольника ABCF равна ab 2 ab ab . Следовательно, S∆BAE = 3 3 SAECF = S∆AFD. 32 ЗАДАЧА 13 Найдите наиболее простой способ деления участка прямоугольной формы на четыре равновеликие части. Решение Пусть Е и F — середины сторон DC и ВС (см. рис.). Точки Е и F соединим с вершиной А отрезками АЕ и AF. Проведя диагональ АС, получим 1 четыре равновеликих треугольника. Докажем это. S∆ABF= AB BF , 2 1 1 S∆AEC= FС AB , но BF=FC, следовательно, S∆ABF=S∆AFС, S∆ADE = DE AD , 2 2 1 S∆AEC = EС AD , но DE=EC, следовательно, S∆ADE=S∆AEС. Так как 2 S∆ADE=S∆AEC, следовательно, S∆ABF=S∆AFC=S∆ACE=S∆AED. Этим же способом можно разделить на четыре равновеликие части квадрат, параллелограмм и ромб. 33 ЗАДАЧА 14 Землемер должен был найти площадь участка земли ABCDE (см. рис.). Он провел линию север — юг через точку Е, а также линию восток — запад через точки А, В, С, D и установил, что AO = 37 м, BR = 47 м, CQ = 42 м, DP = 28 м, PQ = 13 м, QE = 7 м, ER = 19 м и OR = 18 м. Затем он вычислил искомую площадь. Найдите эту площадь. Решение. Из рисунка участка земли ABCDE видно, что 1 SPDCQ= (42 28) 13 455 , SQCBR =1157, SRBA0 =756, S∆EPD =280, S∆EOA =684,5, 2 S=SPDQC+SQCBR+SRBAO–(S∆EPD+S∆EOA) =1403,5 м2. ЗАДАЧА 15 Земельный участок ABCD, имеющий форму прямоугольной трапеции, разделен высотой MN на две равновеликие части (см. рис.). Найдите расстояние AN, если АВ = а = 100 м, a DC = b = 60 м. Решение Пусть основания АВ и CD трапеции ABCD соответственно равны а и b, а неизвестное расстояние AN от вершины А до межи равно х (см. рис.). По 1 AD BC требованию задачи SANMD = SABCD, т.е. AN MN MN , поэтому 4 2 ab ab x MN MN , откуда x 40 м . Можно предложить простое 4 4 геометрическое решение. Трапеция ABCD делится на равновеликие части линией, перпендикулярной к АВ и проходящей через середину средней линии трапеции. 34 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Математика всегда решала задачи, которые ставила перед ней жизнь, практика. Очень интересные задачи решали уже в древности. Но наука не стоит на месте. И никому сегодня и в голову не придет измерять земельные участки с помощью веревок, количества посеянного зерна, или обегать их по периметру. Для этого существуют современные способы измерений. Но пройдет время, и о том, каковы будут новые средства и теории измерений сегодня можно только спорить. И искать. И наверное, учебники будущего по математике – это не только формулы и числа – а это истории открытий, судеб и эпох, когда эти открытия делались. Очевидно, что изучая землемерие мы изучаем геометрию и историю одновременно. Проведя данную работу я узнал как люди измеряли землю в древности и мне стало интереснее решать задачи по планиметрии связанные с измерением площадей земельных участков. 35 ЛИТЕРАТУРА 1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав.ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2002. – 688 с.: ил. 2. Варданян С. С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Кн. Для учащихся 6 – 8 кл. сред. шк./Под ред. В. А. Гусева. – М.: Просвящение, 1989. – 144 с.: ил. 3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособия для учащихся 5 – 6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.287 с.: ил. 4. Сотная с писцовых книг г. Мурома 1623/24 г. / В. Я. Чернышев; Владим. гос. ун-т. – Владимир: Изд-во Владим. . гос. ун-та, 2010. – 196 с. (Серия «Памятники истории Мурома». Вып. 1 5. Щетников А. И. Первоначала геометрии: Учеб. пособие/Художники О. В. Кумегер, В. И. Рывчин. – М.: Изд-во гимназии «Открытый мир», 1995. – 64 с.: ил. – (Учеб. сер. «Шаг за шагом»: Математика). 36
