УДК [69+699.8](0.83.74) К ВОПРОСУ ОПТИМИЗАЦИИ ТОЛЩИНЫ

УДК [69+699.8](0.83.74)
К ВОПРОСУ ОПТИМИЗАЦИИ ТОЛЩИНЫ СЛОЯ ИЗОЛЯЦИИ НА
ПОВЕРХНОСТИ ТРУБОПРОВОДОВ ТЕПЛОВЫХ СЕТЕЙ СИСТЕМ
ЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ
Горшенин В.П.
Россия, Орел, ФГБОУ ВПО «ГОСУНИВЕРСИТЕТ-УНПК»
Шумарин В.Ф.
Россия, г Александровск, ОАО « АКС»
Решение задачи проведено с использованием в качестве критерия оптимальности
минимума полных затрат на поддержание требуемого теплового состояния
теплоносителя. В качестве оптимизируемой величины принята толщина слоя
изоляции. Отдельные члены формулы полных затрат представлены как функции от
оптимизируемой величины и, соответственно, получена целевая функция в виде
квадратного многочлена. Первая производная от целевой функции представляет собой
кубический многочлен. В результате решения кубического уравнения находится
экономически целесообразное значение толщины слоя изоляции. Кубическое уравнение
предложено решать с использованием формулы Кардано или метода Ньютона.
The problem solution is done by applying as optimality criterion the minimum of full
expenditures on supporting the required heat condition of a coolant. The insulation layer
thickness is taken as an optimize value. Some of the members of total expenditures formula
are presented as functions from optimize value and correspondingly goal function in the form
of quadratic polynomial; is obtained. The first order derivative from goal function is a cubic
polynomial. As a result of cubic polynomial equation is economically rational value of
insulation layer thickness. Cubic equation is suggested to be solved by applying already used
Cardano formula or by Newton’s method.
Целью данного исследования является обобщение и дальнейшее развитие
аналитического аппарата технико-экономического метода оптимизации толщины слоя
изоляции теплопроводов тепловой сети СЦТ.
Подобное исследование применительно к непрозрачным элементам ограждения
зданий (стенам и перекрытиям) проведено в [1]. Непрозрачные элементы ограждения
зданий – это многослойные плоские стенки.
Теплопровод – это многослойная цилиндрическая стенка, состоящая обычно из
таких слоев как стальная труба (m), антикоррозионное покрытие (a), тепловая изоляция
(u), защитное покрытие (з). Площадь сечения f i i-того слоя цилиндрической стенки
определяется известным образом:
fi   (d 22i  d12i ) / 4   (d1i i   i2 ) , м 2 ,
(1)
где π=3,14; i=m, a, u, з; d1i , d2i  соответственно, внутренний и наружный диаметры
слоя, м;  i  толщина слоя, м.
В связи с тем, что математическое описание механизма распространения
теплоты в плоской и цилиндрической стенках не одинаково, то целевые функции
оптимизации применительно к ограждениям зданий и теплопроводам тепловых сетей
имеют, естественно, различный вид. С этим собственно и связана необходимость
решения задачи оптимизации сопротивления теплопередачи R теплопроводов.
В качестве параметра оптимизации в решаемой задаче принимается толщина  и
слоя изоляции на поверхности стальной трубы теплопровода.
Существующие подходы к решению задачи оптимизации толщины
теплозащитных элементов проанализированы в [1].
Анализ литературных источников [2, 3] показывает, что толщина слоя изоляции
 и на поверхности трубопроводов тепловой сети в общем случае может быть
определена исходя из требования обеспечения:
- нормированного значения линейной плотности теплового потока (удельной
линейной потери теплоты) ql ;
- заданного значения перепада температуры теплоносителя по длине
теплопровода Δτ;
- допустимого значения температуры наружной поверхности теплопровода tз;
- минимума полных затрат π на поддержание требуемого теплового состояния
теплоносителя.
Основной метод определения толщины слоя изоляции теплопровода – это
технико-экономический метод, использующий в качестве критерия принятия решения
минимум полных затрат π [1, 4, 5].
В рамках остальных трех методов осуществляется проверка соответствия
полученного технико-экономического решения требованиям энергосбережения,
качества теплоснабжения и техники безопасности.
Соответственно, решение рассматриваемой задачи проводится с использованием
в качестве критерия оптимальности минимума полных затрат π. При этом величина π
имеет вид [1, 4, 5]:
  K  TэС,
(2)
где π – полные затраты на поддержание требуемого теплового состояния
теплоносителя, циркулирующего через теплопроводы тепловой сети, руб/м; K –
капитальные вложения (единовременные затраты) в теплопроводы, руб/м; Тэ - срок
эксплуатации (службы) трубопроводов тепловой сети, год; С – ежегодные
эксплуатационные (текущие) затраты, обусловленные потерей теплоты путем
теплопередачи через стенку теплопроводов, руб/(м год).
Если отдельные члены формулы (2) выразить через оптимизируемый параметр
 и , то она принимает смысл целевой функции в решаемой задаче. При этом величина К
в формуле (2) первоначально может быть представлена следующим образом:
K  Cсмр  Ц тр   a Ц a f a  u Ц u fu   з Ц з f з ,
(3)
где Ссмр  стоимость строительно-монтажных, ремонтных, демонтажных и пр. работ
при прокладке и эксплуатации теплопроводов, руб/м; Цтр – стоимость трубопроводов,
руб/м; Ц тр = Ц тб  Ц об ; Ц тб – цена 1 м трубы, руб/м; Ц об – стоимость сопутствующего
оборудования трубопроводов (запорной арматуры, фасонных изделий, компенсаторов,
подвижных опор и пр.), руб/м; и , a ,  з  поправочные коэффициенты, учитывающие
различие в сроках службы стальных трубопроводов и их изоляции, а также
антикоррозионного и защитного покрытий; u  Tэ / Tu ; a  Tэ / Ta ;  з  Tэ / Tз ; Tэ  тоже,
что и в выражении (2); Tu , Ta , Tз  сроки службы, соответственно, тепловой изоляции,
антикоррозионного и защитного покрытий, год; Ц a , Ц u , Ц з  цена 1 м3 соответственно,
антикоррозионного покрытия, тепловой изоляции, защитного покрытия, руб/м3;
f a , fu , f з  тоже, что и по выражению (1).
Принимая во внимание выражения (1) и (3) и учитывая, что d1з  d2u  d1u  2du ,
величина К как функция от толщины слоя изоляции  и записывается следующим
образом:
K  с1 u2  c1 u  c0  с1 u2  c2* u ,
(4)
где
c1  u Ц u ; c2   ( u Ц u d1u  2 з Ц з d з ); c0  Ссмр  Ц тр  a Ц a f a   з Ц з (d1u з  32 );
c2*  c2  c0 /  u ;  з  толщина защитного покрытия, м; остальные величины теже, что и
в выражениях (1) и (3).
Принимая во внимание известное уравнение теплопередачи:
ql   ( тн  tос ) / R,
(5)
второй член правой части формулы (2) преобразуется к виду:
Т эС  Т э qпт Ц т  a2 / R,
(6)
где ql - линейная плотность теплового потока (удельная линейная потеря теплоты
теплопроводом), Вт/м; π – тоже, что и в выражении (1);  тн - расчетная средняя
температура теплоносителя, °С, принимается согласно [3]; tос - расчетная температура
окружающей среды (воздуха в каналах или наружного воздуха), °С, принимается
согласно [3]; R – линейное сопротивление теплопередачи теплопровода, (м оС)/Вт;
Tэ , С – тоже, что и в выражении [2]; qпт - годовая линейная потеря теплоты
теплопроводами, (Вт ч)/(м год); qnm  ql z; z - число часов работы тепловой сети в году,
час/год; Ц т - цена (тариф) на тепловую энергию, руб/(Вт ч); a2   Tэ Ц т ( тн  tос ) z.
Величина R в выражении (5) определяется известным образом:
R  Rвн  Rт  Ra  Rи  Rз  Rнр ,
(7)
где Rвн , Rнр - линейные сопротивления теплоотдачи, соответственно, на внутренней и
наружной поверхностях теплопровода; Rт , Ra , Rи , Rз - линейные сопротивления
теплопроводности слоев, соответственно, металла, антикоррозионного покрытия,
изоляции, защитного покрытия теплопровода.
Чтобы математически описать функциональную зависимость текущих затрат С
от толщины слоя изоляции  u , необходимо провести линеаризацию логарифмической
 i d/ 1i ))
 aл i d/1i  в л и затем преобразовать выражение
функции: ln(d2i / d1i ) ln(1 (2
для определения величины Ru к следующему виду:
Ru  au u  вu ,
(8)
aл , вл  постоянные числа, значения которых принимаются по результатам
линеаризации логарифмической функции; au  aл / (2u d1u ); вu  вл / (2u ).
Учитывая соотношение (8), выражение (7) принимает вид:
R  R*  au u ,
(9)
где R*  Rвн  Rт  Ra  Rз  Rнр  вu ; вu  тоже, что и в выражении (8).
С учетом соотношения (9) выражение (6) окончательно принимает вид:
TэС  a2 / ( R*  au u )  a2* /  u ,
(10)
где
a2*  a2 / ( R* /  u  au ).
После подстановки выражений (4) и (10) формула (2) приобретает смысл
целевой функции в решаемой задаче:
  c1 u2  c2* u  a2* /  u ,
(11)
где величины те же, что и в выражениях (4) и (10).
Взяв от целевой функции, заданной выражением (11), производную d / d u и
приравняв её нулю, получаем уравнение, в результате решения которого
представляется возможным определить экономически целесообразное значение
толщины слоя изоляции  u . Это уравнение после соответствующих преобразований
имеет вид:
где
 uз  a u2  в u  c  0,
(12)
где   2au c1; a  (2 R*c1  au c2 ) /  ; в  ( R*c2  au c0 ) /  ; c  ( R*c0  a2 ) /  ; au  тоже, что
и в выражении (8); c0 , c1 , c2  тоже, что и в выражении (4); - тоже, что и в выражении
(9); a2  тоже, что и в выражении (6).
Уравнение (12) после преобразований решается с использованием формулы
Кардано [6].
Для решения уравнения (12) может быть использован и метод Ньютона [6],
который является методом последовательных приближений.
Выводы
Проведено решение задачи оптимизации толщины слоя изоляции  и на
поверхности трубопроводов тепловых сетей. Решение этой задачи выполнено с
использованием в качестве критерия оптимальности минимума полных затрат π на
поддержание теплового состояния теплоносителя. Величина π определяется по
формуле (2).
Отдельные члены формулы (2) (капитальные К и текущие С затраты)
представлены как функции толщины слоя изоляции  и в виде выражений (4) и (10).
Учитывая выражения (4) и (10), записана в виде многочлена (11) целевая
функция оптимизации.
Взята и приравнена нулю первая производная от целевой функции (11), что
позволило получить кубическое уравнение (12). В результате решения уравнения (12)
представляется возможным найти экономически целесообразное значение толщины
слоя изоляции  и на поверхности трубопроводов тепловых сетей.
Кубическое уравнение (12) решается точно с использованием формулы Кардано
или приближенно с использованием метода Ньютона.
ЛИТЕРАТУРА
1.Горшенин В.П. Совершенствование метода оптимизации толщины непрозрачных
элементов ограждения зданий и сооружений [Текст] /В.П. Горшенин// Строительные
материалы, 2003. - №11. – С.52-54.
2.Соколов Е.Я. Теплофикация и тепловые сети [Текст]: Учебник для вузов / Е.Я.
Соколов. – 8-е изд., стереот. – М.: Издательский дом МЭИ, 2006. – 472 с.
3.СНиП 41-03-2003. Тепловая изоляция оборудования и трубопроводов. [Текст] /
Госстрой России. – М.: ЦИТП Госстроя России, 2003. – 26 с.
4.Горшенин В.П. Оптимизация теплового режима зданий и сооружений [Текст] / В.П.
Горшенин // Известия вузов. Строительство, 2005. - №3. – С.71 – 73.
5.Горшенин В.П. Оптимизация параметров состояния теплоносителя в тепловых сетях
[Текст] / В.П. Горшенин // Энерго- и ресурсосбережение – XXI век: Материалы
четвертой международной научно-практической интернет – конференции. – Орел: Орел
ГТУ, 2006.- С.40 - 44.
6.Воднев В.Т. Основные математические формулы [ Текст]: Справочник / В.Т. Воднев,
А.Ф. Наумович,Н.Ф. Наумович; Под ред. Ю.С. Богданова. – 2-е изд., перераб. и доп. –
Мн.: Выш. шк., 1988. – 269 с.
Горшенин Владимир Петрович, к.т.н., с.н.с., доцент кафедры «Городское строительство и
хозяйство» ФГБОУ ВПО «Государственный университет – учебно-научно-производственный комплекс»,
г. Орел
Тел. +7 (4862) 43-26-30; +7 (960) 643-47-41
Шумарин Валерий Фёдорович, доктор электротехники, ген. директор ОАО « Александровские
коммунальные системы », г. Александровск
Тел. 8 (492) 442 24 10