МАОУ СОШ с УИОП № 3 г. Березники Пермский край Тема «Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе алгебры в 7,8 классе» Разработала: Архипова Н.В. учитель математики высшая квалификационная категория. г. Березники 2014 г. В последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, но и в контрольных и экзаменационных работах (ЕГЭ). Уравнения с параметрами – один из наиболее труднейших разделов математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются друг от друга. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильных решаемых уравнений, неравенств с учетом области определения выражений, которые входят в уравнения и неравенства, а также учитывать выполнимость операций. Решить уравнение с параметрами: 1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров. 2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения. I. ЛИНЕЙНЫЕ РАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ. Уравнения вида ax=b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называются линейным. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней и может не иметь корней. 𝑏 1. если а≠0, х = - единственный корень, 𝑎 2. если а = 0, b ≠ 0, получим 0*x = b – это уравнение не имеет корней, 3. если а = 0, b = 0, получим 0*х = 0 – это уравнение имеет множество корней. Рассмотрим на решении линейных уравнений возможность получения различных ответов. 1. 5х + 3*(3х + 7)=35 5х + 9х + 21 = 35 14х = 14 Ответ: х = 1 – один корень. 2. 28 – 20х = 2х + 25 – 16х – 12 – 6х 28 – 20х = -20х + 13 0х = -15 Ответ: нет корней. 3. 10 – 4х + 3 = 9х – 2 – 6х + 9 – 7х +6 13 – 4х = 13 – 4х 0х = 0 Ответ: х – любое число. Перейдем непосредственно к разбору решений линейных уравнений с параметрами. Алгоритм решения. 1. Привести уравнение к виду ax = b. 2. Исследование. Решить уравнение: 1. ах = 10 а) а = 0, то 0*х = 10 Ответ: корней нет. б) а ≠ 0, то 𝑥 = 10 𝑎 Ответ: 1. при а ≠ 0 единственное решение 𝑥 = 2.при а = 0 – корней нет. 2. (а – 2) * х = 5 Если уравнение имеет вид: а) а=2, то 0 * х = 5 – нет корней б) а ≠ 2, то 𝑥 = 5 𝑎−2 Ответ: при а ≠ 2 единственное решение х = 5 а−2 при а = 2 нет корней. 3. 2а*(а – 4)*х = а – 4 а=0 [ а=4 2а*(а – 4) = 0 1. а=0, то 0х = -4 нет корней; 2. а=4, то 0х = 0 – множество корней; 3. а≠0, а≠4, то х = а – 4/2а(а – 4) = 1/2а Ответ: 1) при а=0, нет корней, 2) при а=4, х – любое, 3) при а≠0, а≠4, то х = 1/2а. 4. (а2 − 4) ∗ х = а2 + а − 6 а=2 [ а = −2 1) А=2, то 0х = 0, х – любое; 2) Если а=-2, то 0х=-4 – нет корней; 3) а≠ ±2, то х = а2 = а – 6/а2 – 4 = а + 3/а +2 Ответ: при а≠ ±2 х = а + 3/а + 2, при а= - 2 нет корней, при а = 2х – любое. 5. b*(b-1)*x = b2 + b – 2 𝑏=0 b(b-1)=0[ 𝑏=1 1) b=0, то 0х= - 2 нет корней; 2) b=1, то 0х = 0 – х – любое; 10 𝑎 …. 3) b≠0, b≠1, то х = (𝑏−1)(𝑏+2) 𝑏(𝑏−1) = Ответ: при b=0 нет корней; при b=1 х – любое. Решить самостоятельно. 1) px=10 2) ax+7=8 3) bx-a=bx 4) 3-bx=14 5) ax+3=3 6) 2ax-4=0 7) ax-3=2x+5 8) 3x+4=ax-8 9) px-3=3x-p 10) k-5x=-5+kx 11) (a-1)x+2=a+1 12) ax+2x+3=1-x 13) a2(x-5)=25(x-a) 14) (3x-a)2+(4x+1)2=(5x-1)2 15) (2x+b)*(8x-2)=(4x+1)2+a 16) (2x-2)*(18x+1)=(6x-1)2+a 17) (a2-1)x=2a2-a+3 𝑏+2 𝑏 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ Рассмотрим систему а + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 { 1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 II. если если если а1 а2 𝑎1 𝑎2 𝑎1 𝑎2 ≠ = = 𝑏1 , то система имеет единственное решение, 𝑏2 𝑏1 𝑏2 𝑏1 𝑏2 𝑐 = 1, то система имеет бесконечное множество решений, 𝑐2 𝑐1 ≠ , то система решений не имеет. 𝑐2 Примеры решений 1. При каких а система имеет единственное решение. 𝑎𝑥 − 𝑦 = 5 { 𝑥+𝑦 =4 𝑎 −1 ≠ ⟹ 𝑎 ≠ −1 1 1 Ответ: при а≠-1 При каких а система имеет бесконечно много решений. (а + 3)х + (а + 2)𝑦 = 2𝑎 + 1 а) { (𝑎 + 8)𝑥 + (𝑎 + 6)𝑦 = 2𝑎 + 6 𝑎 + 3 𝑎 + 2 2𝑎 + 1 = = 𝑎 + 8 𝑎 + 6 2𝑎 + 6 (a+3)(a+6)=(a+8)(a+2) a2+9a+18=a2+10a+16 a=2 5 5 5 = = 8 8 8 Ответ: при а=2. 2. б) { 2𝑥 + 3𝑦 = 18 𝑎𝑥 + 𝑦 = 6 Ответ: при а = 2 3 3. При каких а система не имеет решения 2𝑥 + (9𝑎2 − 2)𝑦 = 3𝑎 { 𝑥+𝑦 =1 2 9𝑎2 − 2 3𝑎 = ≠ 1 1 1 2 9a =4 2 𝑎= 3 [ 2 𝑎=− 3 Проверяем. 2 3а 3 2 1 3а 3 1 Удовлетворяет при а=− Не удовлетворяет при а= = −3∗2 3 = −2 =2 4. При всех значениях параметра а решить систему уравнений 𝑥 + 𝑎𝑦 = 1 { 𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑎3 Решение. 𝑥 = 1 − 𝑎𝑦 𝑥 = 1 − 𝑎𝑦 { { 2 3 𝑎−𝑎 𝑦+𝑦 =𝑎 𝑦(1 − 𝑎2 ) = 𝑎3 − 𝑎 𝑦 = −𝑎 1) Если 1-а2≠0, т.е. а≠±1, то данная система равносильна { 𝑥 = 1 + 𝑎2 0=0 2) Если а=1, то система имеет вид { ⇔𝑥 =1−𝑦 𝑥 =1−𝑦 3) Если а=-1, то система равносильна уравнению x=1+y Ответ: при а≠±1 (1+а2; -а) Примеры для самостоятельного решения. (𝑎 − 2)𝑥 + 27𝑦 = 4,5 1) { 2𝑥 + (𝑎 + 1)𝑦 = −1 2𝑥 + (9𝑎2 − 2)𝑦 = 3𝑎 2) { 𝑥+𝑦 =1 (𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑏 3) { 𝑥−𝑦 =2 𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 4) { 𝑎𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 − 1 𝑥 − 𝑦𝑏 = 𝑎 5) { 𝑎𝑥 + 𝑦 = 1 𝑥+𝑦=𝑏 6) { 𝑎𝑥 − 𝑦 = 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎 7) { 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑏 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑎𝑏 8) { 2𝑎𝑥 − 𝑦 = 𝑎 III. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c – числа, причем а≠0 называется квадратным уравнением. а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член. Например: а) 2х2 – 3х + 0,7 = 0 б) -0,9 х2 + 8 – 2 1/6х=0 Найти a, b, c? Решим уравнение ax2+bx+c=0 а) если а=0, то уравнение имеет вид bx+c=0. Тогда x=-c|b б) если а≠0, то уравнение имеет: 1) 2 различных корня х1≠х2, если Д>0, 2) 2 равных корня х1=х2, если Д=0 3) не имеет корней, если Д<0. Рассмотрим примеры. 1. При каких значениях уравнение имеет 2 корня? 2х2+6х+b=0 Уравнение квадратное. Найдем Д=36-4*2*b=36-8b. По условию задачи уравнение имеет 2 корня, значит Д>0. Решим неравенство 36-8b>0 -8b>-36 b<4,5. Ответ: при b<4,5. 2. При каких значениях имеет один корень? 3х2-6х+2v=0 Уравнение квадратное. Д=36-4*3*2v=36-24v. Так как уравнение имеет один корень, то Д=0. 36-24v=0 24v=36 V=1,5. 3. При каких t уравнение не имеет корней? 2x2-15x+t=0 Уравнение квадратное. Д=225-4*2t=225-8t По условию Д<0, то 225-8t<0 -8t<-225 t>281/8. Ответ: при t>281/8/ 4. При каких значениях а квадратное уравнение ах2+х+2=0 имеет два корня? Из чисел -1/3; 1/3; -1/10; 1/10; выберите те, которые удовлетворяют этому условию. Решение. ах2 +х+2=0. При а=0 получим линейное уравнение х+2=0, х=-2 – единственный корень данного уравнения. Поэтому а≠0. Найдем Д=1-4*а*2=1-8а. По условию задачи уравнение имеет два корня, значит Д>0. 1-8а>0 при а<1/8. Условиям а<1/8 и а≠0; -1/3; -1/10; 1/10. 5. Решите уравнение ax2+2x+1=0 Решение. а) если, а=0, т о получим линейное уравнение 2х+1=0, х=- ½ - единственный корень. б) если а≠0, то уравнение является квадратным. Д=4-4*а=4(1-а). 1) Если Д>0, т.е. 1-а>0, a<1, уравнение имеет 2 различных корня. −2 + √4(1 − а) − 1 + √1 − а − 1 − √1 − а Х1=2а=а, х2=а. 2) Если Д=0, то 1-а=0, а=1, уравнение имеет два равных корня х1=х2=-1/1=-1. 3) Если Д<0, т.е. 1-а<0,a>1 уравнение не имеет корней. Ответ: при а=0 х=-1/2, при а=1 х1=х2=-1, При а>1 нет корней, При а<1, а≠0 х1=(-1+√1 − а)/а, х2=(-1-√1 − а)/а 6. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение (а+1)х2+2(а+1)х+а-2=0 имеет: а) 2 различных корня; б) 2 равных корня, в) не имеет корней. Решение. Так как по условию задачи уравнение квадратичное, то а+1≠0, а≠-1. Д/4=(а+1)2-(+1)*(а-2)=(а+1)*(а+1-а+2)=3*(а+1) а) если Д/4>0, то х1≠х2. Тогда 3*(а+1)>0, a<-1. б) х1=х2 если Д=0, т.е. 3*(а+1)=0, а=-1, но по условию уравнение квадратное и а≠-1. в) уравнение не имеет корней, если Д<0, 3*(а+1)<0, a<-1. Ответ: при а >-1 уравнение имеет два различных корня; при а<-1 нет корней; квадратное уравнение равных корней не имеет. 7. При каких значениях а уравнение х2=2х+а=0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х2+7х+6=0? Решение: Найдем корни уравнения 2х2+7х+6=0. Д=1, х1=-2, х2=-1,5. Если х=-2 общий корень уравнений, то (-2)2+2*(-2)+а=0, а=0. Если х=-1,5 общий корень уравнений, то (-1,5)2+2*(-1,5)+а=0, а=3/4. Ответ: при а=0 или а=3/4. 8. ах2-6х+9=0. а=? уравнение имеет одно решение. Если, а=0, то -6х+9=0, х=1,5 – корень уравнения. Если, а≠0, то уравнение квадратное. Д=36-4*а*9=36-36а. По условию задачи уравнение имеет одно решение, значит Д=0. 36-36а=0, а=1. Ответ: при а=0 или а=1. 9. (а+4)х2+6х-1=0 а=? уравнение имеет одно решение. Если, а+4=0, а=-4, то 6х-1=0, х=1/6 корень уравнения. Если, а≠4, то уравнение является квадратным. Д=9+ф+4=13+а. Из условия задачи следует, что Д=0. Значит 13+а=0, а=-13. Ответ: при а=-4 или а=-13 уравнение имеет одно решение. 10. (а-1)х2+2(а-1)х+а+5=0. Исследовать решение уравнения в зависимости от а. Так как уравнение квадратное, то а-1≠0, а≠1. Д=(а-1)2-(а-1)(а+5)=(а-1)(а-1-а-5)=-6(а-1) а) Если, Д>0, т.е. -6(а-1)>0, а-1<0, a<1 уравнение имеет 2 различных корня. б) Если, Д=0, т.е. -6(а-1)=0, а=1 – не удовлетворяет условию. А=1, х1=х2 в) Если, Д<0, то уравнение не имеет корней. -6(а-1)<0, а-1>0? a>1. Ответ: при а <1 уравнение имеет 2 различных корня, при а >1 нет корней, квадратное уравнение равных корней не имеет. IV. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения x2+3x+(k2-7k+12)=0 равно нулю? 2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения x2+(k2+4k5)x-k=0 равна нулю? 3. В уравнении х2-4х-а=0 сумма квадратов корней равна 16. Найдите а. 4. В уравнении х2-2х-а=0 квадрат разности корней равен 16. Найдите а. 5. При каких значениях а сумма корней уравнения х2-2а(х-1)-1=0 равна сумме его корней? 6. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2+(2-m)x-m-3=0 наименьшая? 7. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2+(m-1)x-m2-1,5=0 наибольшая? 8. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения x2-3|x|+1=0. 9. При каких значениях p и q корни уравнения x2+px+q=0 равны 2p и q/2? 10.При каких значениях параметра а один из корней квадратного уравнения (а2-5а+3)х2+(3а-1)+2=0 в два раза больше другого? 11.Известно, что корни уравнения х2-5х+а=0 на 1 меньше корней уравнения х2-7х+3а-6=0. Найдите а и корни каждого уравнения. 12.Известно, что корни уравнения х2-13х+b=0 равны соответственно квадратам корней уравнения х2+ах+6=0. Найдите a и b и корни каждого из уравнений. 13.При каких значениях параметра с уравнение 5х2-4х+с=0: a. Имеет действительные различные корни; b. Имеет один корень; c. Не имеет действительных корней; d. Имеет хотя бы один общий корень с уравнением х2+13х-30=0? Здесь и далее фраза «квадратное уравнение имеет один корень» означает наличие у уравнения корня двойной квадратности. 14.При каких значениях параметра b уравнение x2+bx+4=0: a. Имеет один из корней, равный 3; b. Имеет действительные различные корни; c. Имеет один корень; d. Не имеет действительных корней? 15.При каких значениях параметра b корни уравнения 4x2+(3b2-5|b|+2)x3=0 равны по модулю? 16.Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение x2-x-k=0 не имеет действительных корней. 17.Найдите наименьшее целое значение а, при котором уравнение х2-2(а+2)х+12+а2=0 имеет два различных действительных корня. 18.При каком значении а уравнение ах2-(а+1)х+2а-1=0 имеет один корень? 19.При каком значении а уравнение (а+2)х2+2(а+2)+2=0 имеет один корень? 20.При каких значениях а уравнение (а2-6а+8)х2+(а2-4)х+(10-3а-а2)=0 имеет более двух корней? 21.При каких значениях а уравнение 2х2+х-а=0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х2-7х+6=0? 22.При каких значениях а уравнения х2+2(а-3)х+(а2-7а+12)=0 и х2+9а2-5а+6)х=0 равносильны? 23.Докажите , что корни уравнения х2+px+q=0, где p и q – нечетные числа, иррациональны.