Доклад - Институт вычислительных технологий СО РАН

Комплекс программ для математического
моделирования гидробиологических и гидрофизических
процессов в озерах
Белолипецкий П.В.
Аспирант Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск)
Комплекс программ для исследования гидробиологических и гидрофизических процессов
в озерах разрабатывается в ИВМ СО РАН совместно с ИБФ СО РАН. Целью является
создание инструмента, который позволит моделировать состояние водоема в зависимости
от внешних факторов, описать механизмы происходящих в озёрах явлений. Натурным
объектом является озеро Шира.
В настоящее время в составе комплекса имеются модели, основанные на нульмерном
[1,2], одномерном [3-5] и двумерном [6] приближениях.
Нульмерная модель “PCLake” была получена от коллег из Нидерландского института
экологии, встроена в комплекс и в данный момент адаптируется под озеро Шира. Модель
успешно симулирует бистабильность мелких водоёмов. Изначально модель описывает
абстрактный мелкий водоём со средней глубиной 2 м, однако, обладая гибкостью
конфигурации, может быть настроена на конкретный водоём и цели. Модель имеет
следующие компоненты: биогенные элементы, детрит, фитопланктон, макрофиты,
зоопланктон, зообентос, планктоноядные и хищные рыбы, птицы. Масштаб модельных
времён – 10 лет. Расчёты, проведённые для некоего абстрактного водоёма, показали, что
пороговое значение нагрузки биогенов, при котором происходит переключение из одного
состояния в другое, зависит от размеров водоёма и от скорости седиментации.
Моделирование различных сценариев развития водоёма показало, что
биоманипулирование (а именно зарыбление хищными рыбами) имеет длительный и
устойчивый эффект только при сочетании данной меры со снижением нагрузки
биогенных элементов.
Одномерная модель позволяет моделировать вертикальную гидрофизическую и
гидробиологическую структуру водоёма. Ведутся работы по её детализации, развитию,
сравнению с натурными данными. Динамика вещества (тепла) в сплошной среде
описывается уравнением переноса и диффузии. В одномерном случае основное уравнение
имеет вид:
Ci
C

C 
 wgi i   K zi i   Fi 
t
z z 
z 
(1)
Здесь Ci – концентрации компонентов водной системы, в качестве которых могут быть
рассмотрены температура, зеленые водоросли, различные бактерии, кислород,
сероводород, элементная сера, органика, зоопланктон, минеральный фосфор, wgi –
скорость осаждения частиц, Kzi – коэффициент вертикального турбулентного обмена, t –
время, ось z направлена вниз, Fi(C1,…,Cm,t,z) – функции, характеризующие
взаимодействия между компонентами водной системы, Fi, вообще говоря, могут быть
нелинейными функциями.
Скорость осаждения частиц зависит от плотности и размера частиц и определяется по
формуле Стокса.
 i   w  g  di2
g  



18


w


(2)
где w – плотность воды, i – плотность частиц, di – диаметр частиц,  – коэффициент
кинематической вязкости воды, g – ускорение свободного падения.
Для решения уравнений (1) необходимо задать граничные условия:
Ci
  2iCi  1i 
z
C
z  H   3i i   4iCi   2i
z
z  0  1i
(3)
и начальные условия:
Ci t 0  Ci0 
(4)
Одномерная модель температурного и солевого режимов
водоема в период отсутствия ледяного покрова
Существенное влияние на тепломассоперенос оказывает турбулентность. Для
параметризации вертикального турбулентного обмена применяется формула, полученная
на основе формулы Прандтля-Обухова и приближенного решения Экмана для ветровых
течений:
2
K z  (005h1 ) 2
здесь
   x2  y2
   2 z g   
  

e

K
0  z  ,
 0 0
(5)
– напряжение трения ветра, K0 – значение коэффициента

f
K0
h1  
2K0 ,
2 f , f – параметр
вертикального турбулентного обмена при z=0,
Кориолиса.
Напряжение трения ветра рассчитывается по формуле Давтян:
  a (09  017  W 2 )  103  W 2  W 2
 ( wx  wy ) – вектор скорости ветра на высоте 2 м (м/с).
где  a – плотность воздуха, W 2
Важными параметрами, влияющими на температурный режим водоема, являются
тепловые потоки. Полный тепловой поток через свободную поверхность находится по
известным соотношениям.
Для определения динамики толщины ледяного покрова применяется упрощенная модель,
основанная на квазистационарном температурном режиме в затвердевшей области. В этом
случае из баланса тепловых потоков на границе раздела вода-лед с учетом скрытой
теплоты фазового перехода получается уравнение:
T T
d
Lл
 л ф л  Fвл  Fi c  f ( )
dt

,
(6)
2 1  (1    )  exp(  )
f ( )  
 exp(  )
2
 
Тепловой поток
Fв  л  в
.
Fв л
на границе раздела вода-лед определяется по соотношению:
T (h)  Tф
h 
.
(7)
Здесь t – время, z – вертикальная координата (ось Oz направлена вниз, рис. 1),  – толщина
льда, 0 – начальная толщина льда, h – глубина распространения конвекции, H – глубина
водоёма, в – коэффициент теплопроводности воды, л – коэффициент теплопроводности
льда,  – плотность воды, л – плотность льда, С – удельная теплоёмкость воды, L –
удельная теплота плавления льда, T – температура воды, Tл – температура льда, Tф –
F c  Fi exp(0.4 c )
температура кристаллизации воды, зависящая от солёности воды S, i
,
c - толщина слоя снега,  - коэффициент ослабления солнечной радиации в ледяном
покрове.
Температура кристаллизации соленой воды определяется по формуле:
Tф  (3 103  527 104  S 2  40 106  S 3 )
Численное решение уравнения (6) находится по разностной схеме:
 n1  ( n )2  2(an  bn )t  2Fi c n f ( n )t /( L л ) 
л (Tф  Т л )
Fвn л n
n
n
a 
b 
L

L  л ,  n   (tn ) ,
л
где
,
tn1  tn  t
.
Рис. 1.
Если на поверхности льда имеется снег, то температура поверхности льда Tл выражается
через температуру снега Tc:
1
   
Tл  Tc  1  c л  
  c 
Здесь c – толщина слоя снега, c – коэффициент теплопроводности снега.
С использованием подробных метеоданных были проведены расчеты термоклина в озере.
Ветровое воздействие учитывается при определении коэффициента вертикального
турбулентного обмена в соответствие с формулой (5). По описанному вычислительному
алгоритму были выполнены расчеты динамики толщины льда пресного (озеро Иткуль) и
соленых (озеро Шира и озеро Шунет) водоемов для конкретных метеоданных. По
натурным данным толщина льда в глубоководной области оз. Шира 24.02.03г. была равна
1 м, на оз. Шунет 28.02.03 – 0.73 м. Рассчитанная толщина льда на оз. Шира – 1.02 м, на
оз. Шунет – 0.735 м. В соленом водоеме толщина льда меньше из-за наличия слоя
конвективного перемешивания и вследствие более низкой температуры фазового
перехода.
Двумерная модель позволяет описывать течения жидкости в вертикальной плоскости.
Математическая модель основана на уравнениях движения стратифицированной
жидкости в приближениях Буссинеска, "твердой крышки" и гидростатики, на уравнениях
конвекции-диффузии для температуры и солености воды. Для построения численного
алгоритма применяются метод расщепления по физическим процессам, метод конечных
элементов и схема с разностями против потока. Для ускорения расчётов был разработан
оригинальный алгоритм.
Этап 1:
~
 Un
 Un
U U n
U n
W n
 0.
t
x
z
(8)
Этап 2:8
~
U  U
U 
 U


Kx

Kz
 F1n ,
t
x
x z
z
Kz
U
z
U

z 0
x
,
0
U
z Hi
 

U n
 t 
Kz
 F1n 
z
z
,
(9)
 

U
 t 
Kx
 F1n 
x
x
.
n
x  xi
Этап 3:
H
   
1 
 H
  
U  dz,

x x
g t  x 0

x
  n1
d z,

x
0
z
F1n  g 

x  xL
1
U
g t

x

x  x0
1
U
g t
x  x0
,
(10)
x  xL
.
Этап 4:
U
n 1

 U  gt
,
x

W
n 1
U 
z
 
dz 
x
H
0
z
U 
0  x dz
H
.
(11)
Для двумерного варианта этапы 3 и 4 упрощаются. Проинтегрируем уравнение
относительно  по x и с учетом граничных условий для непроточного водоема из (11)
получим:
этап 3а:
H
z
H
U 
1
z U 
n 1


n 1
U  U   U dz
W  
dz  
dz
H 0
x
H 0 x
0
,
.
(12)
Таким образом, в данном варианте исключается этап численного решения задачи (10),
компоненты вектора скорости определяются в результате последовательного выполнения
этапов 1, 2 и 3а.
Моделирование показывает что в основном существуют две возможные картины течения
в озере. Это зависит в основном от силы ветра и распределений температуры и солёности.
В первом случае имеется одна циркуляционная зона, при этом вся вода перемешивается.
Такая картина возникает при сильном ветре или слабых вертикальных плотностных
градиентах. Другая картина – это две циркуляционные зоны. Здесь присутствуют два слоя
воды не перемешивающиеся друг с другом. Это происходит при слабом ветре или
сильных вертикальных плотностных градиентах.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ–ККФН (проект № 05-01-97700_
р_енисей), РФФИ-НВО (проект № 05-05-8902 НВО), Министерства образования и науки
Российской Федерации и Американского фонда гражданских исследований и развития
(грант RUX0-002-KR-06, программа «Фундаментальные исследования и высшее образование», интеграционного проекта СО РАН «Роль микроорганизмов в функционировании
живых систем».
[1] Aldenberg, T., Janse, J.H., Kramer, P.R.G. (1995) Fitting the dynamic model PClake to a
multi-lake survey through Bayesian statistics. Ecol. Mod. 78: 83-99.
[2] Janse, J.H. & Van Liere, L. (1995) PCLake: A modeling tool for the evaluation of lake
restoration scenarios.
[3] Белолипецкий П.В., Генова С.Н., Грицко В.В. Компьютерная модель вертикальной
структуры водоёма // Вычислительные технологии. – 2004.–Т.9.-Вестник КазНУ им. АльФараби, сер. Математика, механика, информатика №3(42).-Совместный выпуск. Ч.1. С.
289-294.
[4] Белолипецкий В.М., Генова С.Н. Одномерная модель вертикальной структуры озера.
Температурный и солевой режимы озера // Труды Международной конференции
«Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». I том.
– Павлодар. ТОО НПФ «ЭКО», 2006. С. 253-261.
[5] Andrei G. Degermendzhy, Victor M. Belolipetsky, Tatiana A. Zotina, Ramesh D. Gulati.
2002. Formation of the vertical heterogeneity in the Shira Lake ecosystem: the biological
mechanisms and mathematical model. “Aquatic Ecology”. 36:271-297.
[6] Белолипецкий В.М., Белолипецкий П.В. Численное моделирование ветровых течений в
стратифицированных водоемах методом расщепления. Гидростатическое приближение //
Вычислительные технологии. 2006. Т.11, №5. С. 21-31.