Косинский Ю.И., «Резонаторная система из переизлучающих

Косинский Ю.И.
Резонаторная система из переизлучающих плоских
решеток , в узлах которых расположены диполи
В работе [1] было выведена система уравнений для амплитуд волн
совокупности плоских источников переизлучения, возбуждаемых плоским
фронтом внешней электромагнитной волны.
zp
i k z z
E l ( z l )  r E 0  i k zl  r
' E j (z j )  l j
,
(1)
z j  z1
z j  zl

где
r
– эффективный коэффициент
между плоскостями, равный

r
r

r
1 r

r
r 
 2
1 r


,
r  i 2 N x y  ,
(2)




1 

,   arc tg   ,


r




r   Cos( ) ,
Nx y
i
диполь–дипольного взаимодействия
(3)
Sin( )  1  r .
2
(4)
– поверхностная плотность расположения диполей на плоскости,
– поляризуемость атомов,
E 0 – амплитуда внешней электрической плоской волны,
E l ( zl )
–
амплитуда
электрической
волны,
источником
которой
l
является переизлучающая плоскость , расположенная в точке zl .
Решение системы уравнений (1) дает значение амплитуды электрической волны
для любого плоского излучателя, расположенного в пределах рассматриваемой
системы z1  zl  z p , где p – количество условных переизлучающих
плоскостей. Парциальные волны от плоского переизлучающего источника
распространяются в пространстве со скоростью света в вакууме в двух
протитвоположных направлениях от источника.
При соблюдении условий установившегося процесса, в котором учтены все
обратные связи между условными плоскими источниками переизлучения, вклад в
суммарное (измеряемое) электрическое поле волны прямого направления вносят
источники, расположенные слева от плоскости наблюдения, а вклад в суммарное
электрическое поле волны обратного направления вносят источники,
расположенные справа от плоскости наблюдения.
zl
i k ( zl  z j )

i k zl
E l  E 0

E j (z j ) 
,
(5)
z j  z1

E l1 
zp
 E j (z j ) 
z j  zl 1
i k ( z j  zl 1 )
.
(6)
Принцип справедлив для любой плоскости наблюдения как внутри среды, так и за
ее пределами. Каждый источник переизлучения характеризуется амплитудой
парциальной электрической волны E j (z j ) , значение которой непосредственно
находится из системы уравнений (1).
Для выяснения основных особенностей и возможностей применения
рассматриваемой модели, а также с целью детального исследования тех прцессов,
которые она может описывать, представим среду в виде оптического плоского
резонатора, состоящего из двух переизлучающих плоскостей (Рис.1(А,Б)).
Согласно (1) запишем систему уравнений для амплитуд.
E1 ( z1 )  r E0  i k z1  r E2 ( z2 )  i k ( z2  z1 ) ,
(7)
E 2 ( z 2 )  r E 0 i k ( z2  z1 )  r E1 ( z1 )  i k ( z2  z1 ) .
(8)
Представим ( z 2  z1 )  z  n k , при z1  0 имеем
E1 ( z1 )  r E 0  r E 2 ( z2 )  i k z ,
E2 ( z2 )  r E0  i k z  r E1 ( z1 )  i k z .
(9)
(10)
Изменение расстояния между переизлучающими плоскостями на целое число
длин волн не вносит изменений в систему уравнений (9), (10) и, соответственно,
не повлияет на величину амплитуд волн источников переизлучения E1 и E 2 .
Решение системы (9), (10) дает следующие соотношения (Рис.1(А)).
E1  E 0
r (1  r  i 2k z )
1  r 2  i 2k z
r (1  r )  i k z
E2  E0
1  r 2  i 2 k z
,
(11)
.
(12)
E0

E1
E1

E2
E2

(A)
1
E 0
2
E1

E 2

E1

E 2


(Б)
Рис.1
Амплитуды встречных волн суммарного или наблюдаемого электрического
поля, существующего в вакуумных промежутках между плоскостями, находятся
из соотношений (5), (6).Рис.1(Б).
Амплитуда волны перед первой плоскостью в положительном направлении:
E0  E0 .
(13)
Амплитуда волны перед первой плоскостью в отрицательном направлении:
E1
 E1  E2 
i k z
r (1  (1  2r )  2 i k
 E0
1  r 2  2 i k z
z
.
(14)
Амплитуда волны между плоскостями в положительном направлении:
E1  E0  E1  E0
1 r
.
1  r 2  2 i k z
(15)
Амплитуда волны между плоскостями в отрицательном направлении:
E2  E2  E0
r (1  r )
i k z

.
1  r 2  2 i k z
(16)
Амплитуда волны за второй плоскостью в положительном направлении:
E2
 (E0  E1 ) 
i k z
(1  r )2
i k z
 E2  E0

.
1  r 2  2 i k z
(17)
Каждая из волн с амплитудой (13) – (17) переносит электромагнитную энергию.
Потоки энергии равны соответственно:
S0 
c
2
E0 ,
4
S1 
2
c
E1 ,
4
(18)
S1 
2
c
E1 ,
4
S2 
2
c
E2 ,
4
(19)
S2 
2
c
E2 .
4
(20)
Закон сохранения потока энергии утверждает:
S0  S1  S2 ,
(21)
S1  S2  S2 .
(22)
Учитывая (19) –(20), соотношения (20) –(21) запишутся
2
2
 E2 ,
2
2
 E2 .
E0  E1
E1  E2
2
(23)
2
(24)
Подставив соотношения (13) –(17) в зависимости, следующие из закона
сохранения энергии (23) –(24), получим тождества в случае выполнения закона
сохранения энергии.
2
2
2
1  r 2  2 i k z  r (1  (1  2r )  2 i k z )  (1  r )2 ,
2
(25)
2
2
1  r  r (1  r )  (1  r )2 .
(26)
Докажем, что соотношение (25) – тождество, используя функциональные
зависимости (2) – (4).
1  r2  2i k
z 2
 1  r  2 r Cos(2  2 k z ),
4
2
Cos(2  2 k z )  (2 r  1)Cos(2 k z )  2 r 1  r Sin(2 k z ).
2
r (1  (1  2r )  2 i k z )
2
2
2
 r (1  1  2r
2
(27)
 2Cos(2 k z )  4 r Cos(  2 k z )) 
 r (2  2Cos(2 k z )  4 r Cos(  2 k z )),
2
(28)
Cos(  2 k z )   r Cos(2 k z )  1  r Sin(2 k z).
2
2
(1  r )2  ( 1  r )2  (1  r  2 r Cos( ))2  1  2 r  r .
2
2
2
4
(29)
Подставив функционалоные зависимости (27) – (29) в соотношение (25), получим
тождество.
4
2
2
1 r  2 r  1 2 r  r
Аналогично докажем, что соотношение
функциональные зависимости (2) – (4).
(26)
4
.
(30)
–
тождество,
1  r  1  r  2 r Cos( )  1  r
2
2
2
2
используя
2
,
(31)
2
r (1  r )  r (1  r ) .
(32)
Подставив функциональные зависимости (31). (32), (29) в соотношение (26),
получим тождество (30).
Таким образом, для амплитуд полей (13), (17), найденных для плоского
резонатора, состоящего из двух переизлучающих плоскостей, в которых
расположены диполи, возбуждаемые плоским фронтом внешней электрической
волны, закон сохранения потока энергии (21), (22) выполняется, что говорит о
правильности всех найденных функциональных зависимостей.
Как в любом резонаторе, в рассматриваемом резонаторе существует
резонанс, когда амплитуда электрического поля волны внутри резонатора
достигает максимального значения. Это достигается при минимальном значении
знаменателя в функциональных зависимостях (14), (17) для амплитуд волн
резонатора.
1  r 2  2 i k z  1  r  2 i   2 i k z  1  r ,
2
2
(33)
2  2 k z  2 q ,     k z, k z     ,
где q – порядковый номер резонанса.
При значениях фазы (33) имеем
Cos( k z )   Cos( )  r , Sin( k z )  Sin( )  1  r ,
2
Cos(2 k z )  2 r  1, Cos(  2 k z )  Cos(  k z ) 
2
(34)
  Cos( k z )  Cos( )   r .
Числители функциональных зависимостей (14), (17) в резонансе имеют значения:
r (1  (1  2r )  2 i k z )  r (2  2Cos(2k z )  4 r Cos(  2k z ))  0,
2
1 r
2
2
 1 r ,
2
2
(35)
2
r (1  r )  r (1  r ),
(1  r ) 2
2
2
 (1  r ) 2 .
Используя соотношения (13), (17) ,(34), (35) в резонансе получаем следующие
характеристики резонатора:
Резонатор в резонансе отражает всегда
E1
2
E1
2
(36)
 0.
2
E0
Волна внутри резонатора в положительном направлении, всегда больше единицы
1

2
2
.
1 r
E0
Волна внутри резонатора в отрицательном направлении
E2
2
E2
2
r
(37)
2
.

2
2
1 r
E0
Амплитуда волны на выходе резонатора в резонансе всегда равна единице
(38)
(39)
 1.
2
E0
И наконец, амплитеды волн (11), (12), которые излучаются в обе стороны
переизлучающими плоскостями резонатора в резонансе, равны
E1
2
E2
2
r
2


.
(40)
2
2
2
1 r
E0
E0
Аналогом [2] рассматриваемого резонатора по отраженной волне и волне на
выходе может служить из оптически прозрачного материала пластина толщиной
L
где

2n
 – длина волны излучения в вакууме,
n – показатель преломления среды.
,
(41)
Это говорит о том, что оптически прозрачную среду в электрическом поле волн
можно представить в виде набора бесконечных плоских сеток, в узлах которых
расположены переизлучающие диполи. Плоские сетки с набором диполей
представляют собой условные переизлучающие плоскости, расстояние между
которыми равно d– постоянной решетки среды. Такая среда, состоящая из p=L/d
условных переизлучающих плоскостей, для плоской электромагнитной волны
представляет собой сложный резонатор из условных переизлучающих плоскостей,
рассмотренных выше, или полирезонатор, в котором могут наблюдаться сложные
резонансные явления.
Литература
1. Ю.И. Косинский, Принцип переизлучения электрического поля на
диполях в стационарных электрических явлениях, а также магнитных
и оптических явлениях, 11, (2002).
2. M.Борн, Э.Вольф, Основы оптики, 87, (1970)