Разбор задач, представленных на университетской олимпиаде

1. (10 баллов) Первую треть пути черепаха проползла равномерно за 1 час,
вторую треть – тоже равномерно, но за 2 часа, третью – равномерно за
три часа. Во сколько раз средняя скорость на первой половине пути больше,
чем на второй?
Решение
Весь пройденный черепахой путь разделен на равные участки пути
S1  S2  S3  S
Выразим длину каждого участка через соответствующие скорость и время
v1t1  v2t2  v3t3
Находим соотношения между скоростями на отдельных участках пути
v1 t2 2 ч
 
2
v2 t1 1 ч
v1 t3 3 ч
 
3
v3 t1 1 ч
v1  2v2  3v3
Понятно, что половинки среднего участка пути пройдены за равные
промежутки времени длительностью по t2 / 2 .
Средняя скорость на первой половине пути равна
vср1 
S  S / 2 v1t1  v2t2 / 2 2v2t1  v2t2 / 2 3v2



t1  t2 / 2
t1  t2 / 2
t1  t2 / 2
2
Средняя скорость на второй половине пути равна
vср 2 
S  S / 2 v3t3  v2t2 / 2 2 / 3v2t3  v2t2 / 2 3v2



t3  t2 / 2
t3  t2 / 2
t3  t2 / 2
4
Отношение скоростей на первой и второй половинах пути равно
vср1  2vср 2
Разбалловка:
1. Найдено соотношение между отдельными участками пути – 1
1
2. Найдено соотношение между скоростями на отдельных участках – 2;
3. Указано, что половинки среднего участка пути пройдены за t2 / 2 - 1;
4. Найдена средняя скорость на первой половине пути – 2,5;
5. Найдена средняя скорость на второй половине пути – 2,5;
6. Найдено соотношение средних скоростей – 1.
2. (10 баллов) В два стакана налили одинаковые количества воды: в первый –
горячую при +70 0С, во второй – холодную при +20 0С. Ложку горячей воды
перелили в холодную и перемешали. Температура воды в этом стакане оказалась
+25 0С. Перелили ложку этой воды обратно в стакан с горячей водой и
перемешали. Какой стала температура в горячем стакане? Сколько раз нужно
повторить этот процесс (переливание «туда и обратно» с перемешиванием),
чтобы разность температур стала меньше одного градуса? Теплоёмкостью
стакана и ложки можно пренебречь. Теплообмен с окружающей средой не
учитывать.
Решение
a) Введем обозначения
m1 – масса горячей воды;
– масса холодной воды;
m1 = m2 = М
m – масса воды в ложке.
Записываем уравнение теплового баланса для первого переливания воды
cm  t1  t   cm2  t  t2 
m  t1  t   M  t  t2 
Находим отношение массы холодной воды и массы воды в ложке
M  t1  t  70  25 45



9
m  t  t2  25  20 5
M  9m
2
Записываем уравнение теплового баланса для второго переливания и
находим конечную температуру в первом стакане
c  m1  m  t1  t    cm  t   t 
 M  m  t1  t   m  t   t 
 9m  m  t1  t   m  t   t 
8  t1  t     t   t 
t 
8t1  t 8  70  25

 65  0 C 
9
9
b) Выразим температуру во втором стакане после первого переливания через
начальные температуры
m  t1  t   9m  t  t2 
t
t1  9t2
10
Аналогично выразим температуру воды в первом стакане после второго
переливания
t 
8t1  t

9
8t1 
t1  9t2
10  9t1  t2
9
10
Разность температур в стаканах после одного цикла переливаний
t  t 
9t1  t2 t1  9t2 8  t1  t2  4  t1  t2 



10
10
10
5
Видим, что за цикл перепад температур между водой в стаканах уменьшается
в 0,8 раз. Для нахождения числа переливаний необходимо решить неравенство
0,8n  t1  t2   1
0,8n  0,02
При помощи калькулятора (подбором) находим n = 18.
Разбалловка:
1. Записано уравнение теплового баланса для первого переливания и
найдено отношение массы воды в ложке и массы воды в стакане -2;
3
2. Записано уравнение теплового баланса для второго переливания и найдена
температура воды в первом стакане – 1;
3. Записаны уравнения теплового баланса в общем виде для первого цикла
переливаний
и выражены конечные
температуры в стаканах через
начальные - по 2 балла за каждую температуру;
4. Установлена связь между разностью температур в стаканах после одного
цикла и начальной разностью температур – 2;
5. Найдено число переливаний – 1.
3. (10 баллов) К идеальной батарейке подключили последовательно
соединённые вольтметр и амперметр. Вольтметр показывает 6 В, а амперметр
– 1 мА. Параллельно амперметру подключают ещё один такой же амперметр,
после этого показания первого амперметра уменьшаются до 0,51 мА. Считая
показания приборов точными, найдите по этим данным сопротивления приборов.
Решение:
а) Схема 1
Амперметр всегда показывает текущий через него ток, а вольтметр –
напряжение на самом себе.
Приборы соединены последовательно, следовательно, сила тока, текущего
по приборам, одинаковая. Сопротивление вольтметра находим на основании
закона Ома
RV 
UVo
6B

 6000 Ом
I Ao 0,001A
b) Схема 2
Амперметры одинаковые, следовательно, по ним текут одинаковые токи. Общий
ток в цепи (он же ток через вольтметр) равен сумме токов в двух амперметрах
I  2 I A  1,1мA
4
с) Общее напряжение для схем 1 и 2 одинаково, его можно найти двумя
способами:
U об  UVo  I Ao  RA
U об  UV  I Ao  RA  IRV  I A  RA
Приравниваем правые части уравнений и находим сопротивление амперметра
IRV  I A  RA  UVo  I Ao  RA
RA 
IRV  UVo 4
 Ом
I Ao  I A
3
Разбалловка:
1. Указано, что показывают амперметр и вольтметр – 1;
2. Найдено сопротивление вольтметра – 2;
3. Общее напряжение выражено через показания приборов для схемы 1 – 2;
4. Определен общий ток в схеме 2 – 1;
5. Записано общее напряжение для схемы 2 – 3;
6. Найдено сопротивление амперметра – 2.
4. (10 баллов) Статуэтка победителя олимпиады по физике отлита из золота и
алюминия – голова сделана золота (плотность 19,3 г/см3), ее объём составляет
2/3 общего объёма статуэтки, остальное – из алюминия (плотность 2,7 г/см3).
Утонет ли статуэтка в озере из жидкой ртути (плотность 13,6 г/см3)?
Решение:
Находим среднюю плотность статуэтки и сравниваем ее с плотностью ртути.
Масса статуэтки m  m1  m2 , где
m1  1 
2V
- масса золота,
3
m2   2 
V
- масса алюминия.
3
Плотность статуэтки  
1 
2V
V
 2 
3
3  2 1   2  2  19,3  2,7  13,8  г 
 3
V
3
3
 см 
5
Плотность статуэтки больше плотности ртути, следовательно, она будет
тонуть в ртути.
Разбалловка:
1. Найдена масса золота в детали – 2;
2. Найдена масса алюминия в детали – 2;
3. Найдена средняя плотность детали - 4;
4. Проведено сравнение плотности детали и плотности ртути, сделан вывод
– 2.
6