Метод решения функциональных уравнений

Метод решения функциональных уравнений.
Теоретический материал.
Методы решения функциональных уравнений основаны на следующих теоремах:
Теорема
1.
Корни
уравнения
,
являются
корнями
уравнения
.
Теорема 2. Если
- возрастающая функция на отрезке
то на данном отрезке уравнения
Следствие
1.
Если
и
функция
и
возрастает
и
Если
любого
,
уравнения
равносильны.
убывающая
,
и
то
на
функция
данном
на
отрезке
отрезке
уравнения
равносильны.
Следствие 3. Если функция
убывает для любого
и
нечетное, уравнения
равносильны.
Следствие 4. Если функция
убывает на своей области определения и
нечетное, уравнения
и
Теорема 4. Если
для
возрастает на своей области определения,
уравнения
3.
равносильны.
равносильны.
Следствие 2. Если функция
Теорема
,
равносильны.
- возрастающая(или убывающая) функция на области
допустимых значений уравнения
, то уравнения
и
равносильны.
Следствие 5. Если
- возрастающая(или убывающая) функция на области
допустимых значений функций
, то уравнения
и
равносильны.
Теорема 5. Если четная функция
возрастает
(или
убывает)
уравнение
определена на отрезке
при
,
равносильно
совокупности
при условии, что
и
Задачи и решения.
Алгебраические уравнения и системы.
1. Решите систему уравнений:
то
на
данном
уравнений
.
и
отрезке
и
Решение: Перепишем уравнение в виде
системы следует, что
. Из первого уравнения
. Введем в рассмотрение функцию
определенную при
,
. В это случае систему уравнений можно представить в
виде функционального уравнения:
. Так как при
является возрастающей и при этом
уравнения
и
функция
, то
равносильны. Получим, что
.
Поучаем квадратное уравнение
. Однако
. Тогда
, поэтому
.
Ответ:
2. На
самостоятельное
решение.
Решите
решение.
Решите
систему
уравнений:
.
Ответ: решения нет.
3. На
самостоятельное
Ответ: (0; 0; 0),
систему
уравнений:
.
.
4. Решите уравнение
Решение: Пусть
, тогда уравнение можно переписать в виде
. Рассмотрим уравнение
уравнения
, корни которого являются корнями
. Уравнение
, принимает вид
. Корнями уравнения являются
,
. Полученные
корни являются корнями
. Для поиска
других корней уравнения представим его в виде:
Так как уравнение имеет корни
.
, разделим данное уравнение на
Получим
корней не имеет. Ответ:
5. (2x+1)(2+ ( 2 x  1 )2  3 )+3x(2+ 9 x 2  3 )=0
Введем f(x) = x(2+ x 2  3 ), тогда исходное уравнение примет вид:
f(2x +1)+ f(3x)=0
f(x) – нечетная функция, f(2x +1)= –f(3x) <=> f(2x+1)= f(–3x)
,
которое
Далее, при x  0, функция f(x) равна произведению двух возрастающих функций =>
f(x)возрастающая при x  0.
В силу нечетности функция f(x) возрастает при x < 0 => f(x) – возрастает для всех х.
f(2x+1)= f(–3x)
2x+1= –3x
5x= –1
x= –
4
6.
1
1
Ответ: x= – .
5
5
2x  1 
1 2 3
x 
4
4
Решение:
Замечаем, что х = 1 — корень уравнения.
1
3
2 x  1 и функция у = x 2  возрастают в области определения
4
4
уравнения, то есть на луче
Функция у =
4
1

 2 ;  . Преобразовать уравнение к такому виду, чтобы одна часть представляла
собой убывающую, а другая — возрастающую функцию, не удается.
Поступим по-другому. Найдем производные функций:
у1 =
4
1
3
2 x  1 и у2 = x 2 
4
4
и вычислим их в точке х = 1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем:
y1' 
3
1
2 x  1 4  2  4 1 3 , y1' ( 1 )  1 . Далее, y'2  x , y'2 ( 1 )  1 .
2
2
2
4
2 2 x  1
Так как y1' = y '2 , то графики функций ух(х), у2{х) имеют общую касательную в точке
(1;1). Но поскольку функция у2(х) выпукла вниз, а функция у1(х) выпукла вверх, то их
графики расположены по разные стороны от общей касательной, а потому уравнение
у1(х) = y2(x) имеет только один корень.
Итак, х = 1 - единственный корень уравнения.
Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.
7. Решите систему уравнений:
Решение: Из первого уравнения системы получим уравнение
Пусть
.
, тогда получим функциональное уравнение
как
, то функция
. Так
возрастает на всей числовой
прямой, поэтому уравнение
равносильно уравнению
второго уравнения данной системы получим
. Из
. Так как
, то
.
Ответ: (2, 2), (-2, -2).
8. Решите уравнение:
.
Решение: Обозначим
. Тогда уравнение
можно переписать в виде функционального уравнения
Поскольку
.
- функция нечетная, то
.
, то функция
поэтому
.
Так
как
Ответ:
.
, которое имеет единственный
9. На самостоятельное решение. Решите уравнение:
Ответ:
10. На
.
.
самостоятельное
Ответ:
решение.
.
Решите
уравнение:
, n – целое число.
11. Решите уравнение:
.
Решение: Обозначим
уравнение
и
. отсюда получаем
кубическое уравнение
.
и
- возрастает на области значений
. Получим
корень
Для
можно
. Тогда
переписать
в
виде
функционального
уравнения
. Функция
числовой
прямой,
,
возрастает на всей
поэтому
уравнение
квадратное
уравнение
равносильно
.
Ответ:
.
Задачи с параметрами на применение функционального метода.
1. Найдите все a, при которых уравнение
2
2x
1 x 2
 x2  1  2 5
  a   0
 a cos
4
 x 
(*) Имеет единственное решение.
Решение:
1) Если x0 – корень уравнения , то и
Он один, когда x0 =
 x 1
1
=>  0
=> (*) :
x0
x


1
0

3
 0 (D < 0 => a   )
4
х = 1:
a2  a 
x = –1
3
a a 0
4
2
• Проверим: a 
Пусть x = tg
1
- корень.
x0
1 

 a  2 
подозрительны.

3
a   
2 

1
2
t
, t  (– π; 0)  (0; π)
2
2 sint  a cos( 2ctgt )  a 2 
ОДЗ: sin
 t   ,  Z
t
≠0  t n
2
 2  2 , n  Z
5
0
4
sint
cos( 2ctgt )  2

21

 (**)

f1
f2
f1 (t) будем рассматривать как суперпозицию функций
g(u)=cosu при изменении
 (t)=ctgt,
,
имеет
два
т.е.
корня
- для t  (– π; 0), то  (t) монотонно убывает от +  до –  =>
 
f(t) совершает колебания от (–1) до (1), при этом f 1     1
 2
- для t  (0; π) в силу четности f1(t) ситуация аналогична
f 2 ( t )  2  21sint
g( u )  2  21u
u(t)= sint
График функции g( u )  2  21u поэтому при t  (– π; π)
 
 
f2 (t) сначала возрастает от f2 (– π) = 0 до f 2     1 , затем убывает от f 2     1 до
 2
 2
 
 
f 2    2 , потом опять возрастает от f 2    2 до f2 (π ) = 0.
2
2
Значит уравнение (**) имеет более одного корня при t  (– π; 0)  (0; π), т.о. a 
1
не
2
годно.
• Проверим: a  
3
2
2 sint  a cos( 2ctgt )  a 2 
5
0
4
1
cos( 2ctgt )  ( 2  21 sint ) (***)
3
При t  (– π; 0)  (0; π) функция y = cos(2ctgt) принимает значение y  [-1;1],
1
4 
a функция y  ( 2  21 sint ) принимает значения y  [1;2]\   , c учётом ОДЗ
3
3
 cos( 2ctgt )  1

(***) <=>  1
=> t=  , t  (– π; 0)  (0; π) этот корень годен и для
1 sint
(22
)1
2
 3
первого уравнения системы.
Ответ: a  
3
2
2. Решить систему уравнений
 x  a  y  b  1

 y  a  x  b  1
Решение:
Вычтем из первого уравнения второе. Получим
xa  xb  y a  y b .
Рассмотрим функцию f(t)= t  a  t  b . Она возрастающая. Имеем f(x) = f(y).
Следовательно, x = y. Отсюда x  a  x  b  1 . Это уравнение равносильно системе:
x  a


x  b

x  a  1  2 x  b  x  b

x  a


x  b

2 x  b  a  b  1


x  b1


x  b


a  b  12  b
x


4
Очевидно, что
Ответ: Если
2

a  b  1
x
 b  b
4
2

a  b  1
a  b  1 , то x=y=
4
b;
Если а < b + 1, то решений нет.
3. При каких а уравнение 4
 x x a
 log 3 ( x 2  2 x  3 )  2 ( x 2 x )  log 3 ( 2 x  a  2 )  0
2
имеет ровно три корня?
Решение:
Возможно, присутствие в данном уравнении повторяющихся выражений (имеется в виду
|х - а|, х2 - 2х ) послужит подсказкой для следующих преобразований:
2
2 x  a
2x
2
 2 log 3 ( x 2  2 x  3 )  2  x
2 x 3
 2 log 3 ( x 2  2 x  3 )  2
2
2 x
 log 3 ( 2 x  a  2 ),
2 x a  2
 log 3 ( 2 x  a  2 ),
Это уравнение следует «прочесть» так: левая и правая части — значения возрастающей
функции y=2tlog3t соответственно при t  x 2  2 x  3 и t  2 x  a  2 . (Функцию у = 2tlog3t
мы рассматриваем на области определения 2;  т.е. на промежутке возрастания).
Отсюда х2 - 2х + 3 = 2|х - а| + 2,
(x -1)2=2|x - a|.
Последнее уравнение должно иметь три корня. Искомое значение параметра можно
получить, проведя дальнейшее исследование аналитически. Однако графический подход
приведет к результату много быстрее. Поэтому мы прервем решение этой задачи и
вернемся к нему в § 3.