Дробно-рациональные уравнения с параметром

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
ВВЕДЕНИЕ
Экзаменационная работа ГИА по математике в 9 классе состоит из трех
модулей: «Алгебра», «Геометрия» и «Реальная математика».
В настоящей статье речь идет о части два модуля «Алгебра», которая
направлена на проверку владения материалом на повышенном уровне,
назначением которой является дифференцирование хорошо успевающих
школьников по уровням подготовки, выявление наиболее подготовленной
части выпускников, составляющих потенциальный контингент профильных
классов. Данная часть содержит задания повышенного уровня сложности из
различных разделов курса «Алгебры», которые требуют записи решений и
ответов. Задания расположены по нарастанию трудности – от относительно
более
простых
до
сложных,
предполагающих
свободное
владение
материалом.
За курс математики в общеобразовательной школе должны быть
отработаны умения учащихся решать задачи с параметрами. Главной задачей
данного раздела является повысить на более высокий уровень изучение
математики в школе, следующий за развитием умений и навыков решения
определенного набора стандартных задач.
§1. ТЕМА: "ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"
Значимую роль в курсе алгебры основной школы занимает тема
"Дробно-рациональные уравнения".
Решение дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное
уравнение заменяется целым. Для этого умножают обе части уравнения на
общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают
целое уравнение, исключая посторонние корни, т.е. числа, которые
обращают общий знаменатель в нуль. При решении уравнений с
параметрами эта задача усложняется. Здесь, чтобы исключить посторонние
корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий
знаменатель в нуль, т.е. решать соответствующие уравнения относительно
параметра.
1. Приведу пример решения дробно-рационального уравнения с
параметром:
3mx  5
3m  11 2 x  7


 m  1 x  3 m  1 x  3
m  1
ООУ: 
 x  3
Данное уравнение равносильно с учетом D (y):
3mx  5   3m  1 x  3   2 x  7  m  1
3mx  5  3mx  11x  9m  33  2 xm  7 m  2 x  7
 4m  9 x  31  2m -канонический
вид линейного уравнения с параметрами,
наиболее удобный для исследования
m  2, 25
31  2m
а) если 
,то существует единственное решение x 
4m  9
m  1
б) выясним, при каких значениях параметра m x=-3
31-2m = -12m+27,
31  2m
 3
4m  9
10m=-4, m=-0,4 ,то есть, при m =- 0,4
x  OOY
в) Если m=2,25 ,то x=26,5 ,следовательно, решений нет.
Графическая иллюстрация исследования по параметру а:
m  2, 25
31  2m

Ответ: 1) При m  0, 4 единственное решение x 
;
4m  9
m  1

2) При m=2,25
x ;
3) При m=-0,4
x ;
4) При m=1 уравнение не определено или не имеет смысла.
2. Подборка дробно- рациональных уравнений с параметром:
1) m 
1
m 1

m m( x  1)
t2  3
t 3
4t


2)
t  1 t ( x  1) t  1
3)
x  3m 2m  3 m  5


x2  9
x3
x 3
4) m  2 
5) m 
2m 8

x2 m
m  8 3(m  4)

m 1
x3
6)
3mx  5
2m  1
5


2
(m  2)( x  9) (m  2)( x  3) x  3
7)
m 1
2
mx  5


m( x  2) x  3 m( x 2  5 x  6)
§2. МЕТОДИЧЕСКИЕ
РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО
ОБУЧЕНИЮ
УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ ПО ТЕМЕ
"ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"
1. Рассмотрим методическую концепцию подхода к изучению темы.
Если ставится задача: отыскать такие пары (x,a), которые
удовлетворяют данному уравнению, то данное уравнение - это уравнение с
двумя переменными x и a.
Однако относительно уравнения можно поставить другую задачу: если
придать переменной a какие либо фиксированное значение, то уравнение
можно рассматривать как уравнение с одной переменной x. Решения этого
уравнения определяются выбранным значением a.
Если ставиться задача для каждого значения а из некоторого числового
множества А решить уравнение относительно x, то уравнение называют
уравнение с переменной x и параметром а, а множество А - областью
изменения параметра.
Под
область
изменения
параметра
обычно
подразумевают
(если не сделано специальных оговорок) множество всех действительных
чисел, а задачу решения с уравнения с параметром формулируют следующим
образом: решить уравнение (с переменной x и параметром а) - это значит, что
на множестве действительных чисел решить семейство уравнений,
получающихся из уравнения при любых действительных значениях
параметра.
2. Решить уравнение с параметрами означает следующее:
а) Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет
корни и сколько их при разных значениях параметров.
б) Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те
значения параметров, при которых это выражение действительно определяет
корень уравнения.
Ответ к задаче “решить уравнение с параметрами” должен выглядеть
следующим образом: уравнение при таких-то значениях параметров имеет
корни, при такихто значениях параметров - корни, при остальных значениях
параметров уравнение корней не имеет.
Рекомендую алгоритм решения рациональных уравнений с
параметром:
1. Найти область допустимых значений уравнения.
2. Решить целое рациональное уравнение.
3. Найти те значения параметра ,при котором найденные корни целого
рационального уравнения являются посторонними.
4. Сформулировать ответ.
Список литературы:
1) Ященко И.В., Семенов А.В., Захаров П.И. Подготовка к экзамену по
математике ГИА 9 в 2011 году. Методические рекомендации.
2) ГИА - 2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30
вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И.В. Ященко.
3) Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с
параметрами.
4) Шахмейстер А.Х. " Уравнения и неравенства с параметром", С. Петербург, 2004 г.