Тактаров Н. Г. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ НА ТЕЧЕНИИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ НА ТЕЧЕНИИ
МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ
Тактаров Н. Г.
Мордовский государственный педагогический институт
430007, г. Саранск, ул. Студенческая, 11 А. E-mail: colonnt@mail.ru
Тактаров Николай Григорьевич – доктор физико-математических
наук с 1989 г., профессор по кафедре теоретической механики с 1990 г.,
Заслуженный деятель науки Республики Мордовия с 1995 г. Имеет более
125 публикаций, среди них 2 учебных пособия по высшей математике,
изданных московским издательством URSS.
1. Сформулирована и исследована математическая модель
распространения нелинейных поверхностных волн на течении (потоке)
идеальной несжимаемой магнитной жидкости с постоянной магнитной
проницаемостью 1   , движущейся в промежутке между плоскими
горизонтальными полюсами постоянного магнита, создающего
однородное вертикальное магнитное поле. Система координат: ось z*
направлена вертикально вверх против ускорения свободного падения
g ; z *  h1* – поверхность нижнего полюса магнита; z *  h2* –
поверхность верхнего полюса; z *  0 – невозмущенная (плоская)
свободная поверхность жидкости, занимающей область:  h1*  z *  0.
( i  1 ); область: 0  z *  h2* ( i  2 ) – слой воздуха ( 2  1 ); i  1,2 –
номер области. Ось x* выбрана в направлении распространения волны,
совпадающего с направлением основного (невозмущенного) потока.
От координаты y * функции не зависят. Звездочкой обозначены в
необходимых случаях размерные величины для их отличия от
соответствующих безразмерных величин, обозначенных теми же
буквами без звездочки. Движение жидкости описывается уравнением
Эйлера, в котором объемная магнитная сила равна нулю, а также
уравнением неразрывности. Уравнения для магнитного поля:
*
rotH i*  0 , divH i  0 ( i  1,2 ). На поверхности жидкости действуют
максвелловские механические напряжения, обусловленные скачком
магнитной проницаемости.
Скорость, давление и напряженность магнитного поля в волне
записываются в виде: v *  u *  vw* , p *  p *  pw* , H i*  H 0*i  H wi* . Здесь
u * ( z * )  u * ( z * )e x ; u* ( z* )  sz *  u* (0) – скорость невозмущенного потока
(заданная линейная функция); p0* ( z * )  const  gz * – гидростатическое
давление; индексом «0» обозначены равновесные величины, индексом
( i  1,2 );
H 01*  H 02*  B0 ;
v *  v x*e x  v *z e z ; ex , ez – орты соответствующих осей координат.
На свободной поверхности жидкости выполняются граничные
условия: 1) равенство нормальных составляющих скоростей жидкости
vn* и поверхности жидкости; 2) непрерывность касательной
«w»
–
возмущения;
H 0*i  const
составляющей магнитного поля; 3) непрерывность нормальной
составляющей индукции: 1 H n*1   2 H n*2 ; 4) баланса сил, приложенных
к свободной поверхности жидкости с учетом коэффициента
поверхностного натяжения α. Условия на твердых поверхностях
*
z*  h1* , z *  h2* : vz  0 ,
 wi*  0
( H wi*   wi* ).
2. Для решения задачи используется метод малого параметра, в
качестве которого берется безразмерная амплитуда волны   k  * ,
max
где k  2 /  ,  – длина волны, предполагаемая заданной; z *   * ( x* , t * )
– уравнение свободной поверхности. Введем безразмерные величины:
*
*
x  k ( x*  c*t * ) , z  kz* ,   k * /  , v  vw /(  c0 ) ,
u  u * ( z * ) / c0* ,
i 
*
k wi
,
 H 0*i
p  pw* /(c0*2 ) ,
c  c* / c0* ,
 
H i  H wi* /( H 0*i ) ,
H 0*iz
 1 .
H 0*i
*
Здесь ρ – плотность, c0 – значение фазовой скорости c
*
в
линейном приближении (при ε = 0).
В результате, для нахождения безразмерных величин ξ, v , p, c, H1 ,
H 2 получаем следующую нелинейную краевую задачу с неизвестной
заранее формой свободной поверхности:
а) уравнения
v
u
(1)
divv  0 ,
(u  c)  v x e x   (v )v  p ,
x
z
 2i  2i
 2  0,
x 2
z
H i   i
( i  1,2 );
б) граничные условия
1) на свободной поверхности z   (x) ;
d
d ,
vz  (u  c)
 vx
dx
dx
d
 (1   )
 H1x  H 2 x  0 ,
dx
(2)
d
d ,
  ( H1z  H1x )
dx
dx
d

d

1
 H 22z )   ( ) 2  2H 2 x
]  a12 [H1z   ( H12x  H12z ) 
dx
dx
2
H 2 z  H 2 x
1
a22 [H 2 z   ( H 22x
2
d
d
d 2
3
d
  ( ) 2  2H1x
]  p  v 2   2 2 [1   2 ( ) 2 ] ,
dx
dx
dx
2
dx
*2
g
H 0i ,
k
2
ai2 
 2  *2 , v  * 2 ;
kc0
4c0*2
c0
2) на поверхности z  h1  kh1* :
vz  0 ,
1  0 ;
3) на поверхности z  h2  kh2* : 2  0 .
На функцию  (x) наложены условия:
 ( x  2 )   ( x) ,
 ( x)   ( x) ,
2
  ( x)dx  0 .
0
Решение краевой задачи (1), (2) ищется в виде степенных рядов по
малому параметру ε, например:
(3)
vz ( x, z )  vz 0  vz1   2vz 2  ... ,
c  1  c1   2c2  ...
Здесь vzi ( x, z ) – неизвестные функции, ci – неизвестные параметры.
Все граничные условия переносятся с возмущенной поверхности
z   (x) на плоскость z  0 , используя разложения соответствующих
функций в ряды Маклорена, например:
v
1  2 vx
vx ( x, z )  vx ( x,  )  vx ( x,0)  x ( ) 
( )2  ...
z z  0
2 z 2 z  0
3. Сначала методом разделения переменных решается линейная
краевая задача (первое приближение), получающаяся из нелинейной
при ε = 0. Для нахождения последующих приближений нелинейной
задачи функции, являющиеся коэффициентами при различных
степенях ε в рядах вида (3), например, vz 0 , vz1 , vz 2 , …, сами ищутся в
виде рядов по нормированным собственным функциям линейной
краевой задачи. В результате решения нелинейной краевой задачи
неизвестные размерные функции и величины найдены с точностью до
третьего приближения по ε включительно.
В частности, форма свободной поверхности определяется
уравнением:
1
k
 *  [ cos x   2 1 cos 2 x   3 ( 2 cos 3x   3 cos x)] .
(4)
Здесь
1
1 d (ln w) ,
1  K1  cth(kh1* ) 
2
4 dz z  0
1
d (ln w)
1 d (ln w)
 2  K 2  [ cth(kh1* ) 
]  [ K1 
]  K1cth(2kh1* )  ,
2
dz z 0
4 dz z 0
1
1
d (ln w) ;
 [2cth2 (kh1* )  1]  cth(kh1* ) 
8
4
dz z  0
1
d (ln w)
d (ln w)
 3  K 3  [cth(kh1* ) 
]  [ K1 
]  K1cth(2kh1* ) 
2
dz z 0
dz z 0
c
1
1
d (ln w)
 [2cth2 (kh1* )  3]  cth(kh1* ) 
 2 ;
8
4
dz z 0 w(0)
w( z )  u ( z )  1 ; K1 , K 2 , K 3 , c2 – некоторые определенные параметры,
зависящие от величин: g ,  ,  , h1* , h2* ,  , B0 .
Фазовая скорость определяется выражением:
с*  с0* (1   2с2 ) , ( с1  0 , с2  0 ).
Здесь:
 g k
 1 ,
B02 (  1) 2
с0*2   

L
*
* 
k

4

[


th
(
kh
)

th
(
kh
)]
2
1


L  w2 (0)cth(kh1* )  w(0)
dw .
dz z  0
При отсутствии основного течения жидкости, т. е. при u* ( z * )  0
( w  1 ), полученное здесь решение задачи переходит в решение,
приведенное в [1].
Высота волны (т. е. высота вершины при x  0 над впадиной при
x   ) равна:
2
h   (0)   ( )  [1   2 ( 2   3 )] .
k
Отклонения вершины и впадины волны от невозмущенной
поверхности z  0 , а также их разность соответственно равны:

hвр   (0)  [1  1   2 ( 2   3 )] ,
k

(5)
h в п   ( )  [1  1   2 ( 2   3 )] ,
k
h  hвр  hвп 
2 2 .
1
k
Отметим, что в формулах (5) исправлены неточности, замеченные в
работе [1].
4. Координаты x* , z * частицы жидкости в волне удовлетворяют
уравнениям:
dx*
dz *
* ,
* .
(6)
 u *  vwx
 vwz
*
dt
dt *
Вводя безразмерное время t   pt * (  p – частота колебаний частицы
жидкости), уравнения (6) запишем в виде:
dx kc0*
kc*
dz

(u  ct  v x )
  0 vz .
dt  p
dt
p
Решение этих уравнений ищется в виде рядов по малому параметру
ε с неизвестными коэффициентами. В результате найден
кинематический закон движения частицы жидкости с лагранжевыми
координатами a и b : x*  x* (t * , a, b) , z *  z * (t * , a, b) . Компонента
*
скорости частицы жидкости имеет вид:
v*x  u *  vwx
v*x  u * (b)   2c0*Vs (b) + периодические функции от времени
порядка ε и выше.
Здесь второе слагаемое справа, имеющее порядок  , называется
переносной скоростью Стокса. Величина Vs (b) зависит от
2
лагранжевой координаты b, характеризующей глубину b ( b  0 )
частицы жидкости, и от других величин, перечисленных в тексте,
который поясняет формулу (4).
Работа проводилась за счет средств ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по
теме: «Построение математической модели поверхностных волн в
жидкостях».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Тактаров Н. Г. Нелинейные поверхностные волны в магнитных жидкостях // Сб.
научн. тр. 11-й Международной Плесской конференции по магнитным жидкостям. Иваново:
ИГЭУ. 2004. С. 147-150.