ФГБОУ ВПО НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ФГБОУ ВПО
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Лабораторная работа № 3
Моделирование длинной линии однородной цепной схемой
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Москва 2012
Лабораторная работа № 3
Моделирование длинной линии однородной цепной схемой
Цель работы – исследование электромагнитных процессов в длинной линии
методами
физического
моделирования,
сравнение
результатов
физического
моделирования с результатами расчета по аналитическому описанию процессов в линии.
Ключевые слова: длинная линия, однородная цепная схема, четырехполюсник,
каскадное соединение, низкочастотный фильтр, физическая модель.
Объект и задача моделирования
Объект исследования: однородная длинная линия при синусоидальных токах и
напряжениях и различных нагрузках.
Задача моделирования: Под задачей физического моделирования в данной работе
понимается, во-первых, исследование искусственного физического объекта – модели
линии, в виде однородной цепной схемы из П-образных четырехполюсников. Процессы в
модели имеют другую физическую природу, но математически они подчиняются тем же
закономерностям, что и процессы в реальной линии, а их исследование не вызывает
сложностей. И, во-вторых, проведение экспериментального исследования модели с
переносом его результатов на объект моделирования.
Теоретическая справка
Аналитическое описание процессов в длинной линии
Распределение напряжений и токов в однородной длинной линии без потерь (рис.1)
описывается уравнениями:
 cosβx
U ( x)  
 I ( x)    j sinβx


 Z C
jZ C sinβx 
 U 2  ,
cosβx   I 2 

(1)
где: х – расстояние от конца линии до точки наблюдения процесса (при х=l
U (l )  U 1 , I (l )  I 1 ), ZC – волновое (характеристическое) сопротивление линии:
L0
;
C0
(2)
β   L0C0 ,
(3)
ZC 
β – коэффициент фазы:
2
позволяющий определить длину волны в линии:

Здесь ω  2 f
2
.
β
(4)
- угловая частота синусоидальных токов и напряжений, погонная
индуктивность L0 и погонная емкость C0 – первичные параметры линии. Волновое
сопротивление ZC и коэффициент распределения γ  α  jβ - вторичные параметры
линии (для линии без потерь коэффициент затухания α  0 и γ  jβ ).
Рис.1
Уравнения (1) позволяют построить графики распределения действующих значений
тока и напряжения вдоль линии для различных режимов нагрузки. В частности, при
согласованной нагрузке ( Z H  Z H  Z C ).
U ( x)  U 2  cosβx  j sinβx   U 2e j βx и U ( x)  U 2 ,
I ( x)  I 2  cosβx  j sinβx   I 2e j βx и I ( x )  I 2 ,
т.е. модули действующих значений напряжения и тока не зависят от х, а начальная фаза
напряжения (тока) изменяется пропорционально х. При согласованной нагрузке в линии
существует только прямая волна. Согласованный режим линии называется режимом
бегущей волны.
При коротком замыкании ( Z H  0), холостом ходе ( Z H  ) и реактивной нагрузке
( Z H  jxH ) в линии распространяются прямая и обратная волны равной амплитуды.
3
Для иллюстрации режима стоячих волн, рассмотрим распределенияU(x) и I(x) при
холостом ходе и емкостной нагрузке.
При холостом ходе, когда I2=0, имеем
U ( x)  U 2 cosβx и U ( x)  U 2 cosβx ,
I ( x)  j
U2
U
sinβx и I ( x)  2 sinβx ,
ZC
ZC
т.е. действующие значения U и I изменяются вдоль линии по закону «выпрямленной»
синусоиды, а начальная фаза напряжения (тока) в пределах половины длины волны
остается неизменной и при переходе через узел скачком меняется на π. Такой режим
называется режимом «стоячих волн». В конце линии - пучность напряжения и узел тока.
При емкостной нагрузке ( Z H   jX C ) будем иметь




jZ C
Z
U ( x)  U 2  cosβx 
sin x   U 2  cosβx  C sinβx  ,
 jX C
XC






Z
U ( x)  U 2  cosβx  C sinβx  ,
XC



I ( x)  I 2  cosβx 


I ( x)  I 2  cosβx 




 jX C
X
sinβx   I 2  cosβx  C sinβx  ,
ZC
ZC




XC
sinβx  .
ZC

j
Таким образом при емкостной нагрузке также наблюдается режим «стоячих волн», но
в отличие от режима холостого хода в конце линии не будет максимума напряжения. При
перемещении от конца линии к началу на расстоянии x ' 

4
 y будет узел напряжения,
где y можно найти из уравнения
1
 ZC ctg y.
C
Связь уравнений цепной схемы с уравнениями длинной линии
Связь между входными ( U 1 , I 1 ) и выходными ( U 2 , I 2 ) напряжениями и токами
четырехполюсника (рис.2) может быть описана уравнением типа А
4
U 1   A11
 I   A
 1   21
A12  U 2 
,
A 22   I 2 
(5)
Рис.2
коэффициенты
Aij , i, j  1,2
которого называемые А-параметрами четырехполюсника
могут быть определены экспериментально из опытов холостого хода (х) и короткого
замыкания (к) четырехполюсника при питании со стороны первичных зажимов:
A11 
U 1x
I
U
I
, A21  1x , A12  1к , A22  1к
U 2x
U 2x
I 2к
I 2к
или рассчитаны по входным сопротивлениям четырехполюсника в режимах холостого
хода и короткого замыкания при питании со стороны первичных и вторичных зажимов.
А- коэффициенты могут быть рассчитаны и по первичным параметрам. Для схемы
рис.3
ω2 LC
A11  A22  1 
, A12  jωL, A21  jωC (1  ω2 LC ).
2
Рис.3
5
Вторичные параметры симметричного четырехполюсника (характеристическое
сопротивление ZC и постоянная передачи Г =A+jB, где A - коэффициент затухания, B коэффициент фазы) определяют по коэффициентам матрицы A с помощью формул:
Z C  A12
A21


, Г  ln A11  A12 A21 .
П-образный четырехполюсник из реактивных элементов (рис.3), является
низкочастотным фильтром. Для такого фильтра можно указать граничные частоты полосы
пропускания, где коэффициент затухания A=0 и ZC - действительное число. Первая
граничная частота ω1=0, вторая граничная частота 2 
1
2
или f 2 
.
 LC
LC
Коэффициент фазы в полосе пропускания определяется из уравнения:
cos B  1 
ω2 LC
.
2
По которому можно построить зависимость B(ω), приведенную на рис.4. При
построении этой зависимости знак B выбран положительным, что следует из векторнотопографической диаграммы, показанной на рис.5.
Рис.4
6
Рис.5
Экспериментальное значение B звена можно определить по напряжениям на входе и
выходе при холостом ходе. Действительно, в полосе пропускания из условия A=0 следует,
что:
A11 
U 1x
 ch Г  ch  A  jB  =chA cos B  jshA sin B  cos B .
U 2x
Отсюда, учитывая, что при холостом ходе U1x совпадает по фазе с U2x, значение
коэффициента В можно определить через модули напряжений на входе и выходе, т.к.:
cos B 
U1 x
.
U2x
Т.о. параметры A11  A22  cos B симметричного реактивного четырехполюсника
являются величинами вещественными. Параметры A12 , A21 также могут быть выражены
через коэффициент фазы В:
A12  jZ C sin B, A21 
j
sin B,
ZC
причем в полосе пропускания низкочастотного фильтра когда Z C  Z C , они являются
мнимыми величинами.
Таким образом, уравнения четырехполюсника, представленного на рис.3 в полосе
пропускания могут быть записаны:
 cos B
U 1  
 I    j sin B
 1
 ZC
jZ C sin B 
 U 2  .
cos B   I 2 

(6)
Сравнивая уравнение (6) с уравнением (1) длинной линии без потерь видим, что
цепная схема четырехполюсников (рис.6) может использоваться для моделирования
отрезка длинной линии без потерь
(у которой волновое сопротивление ZC 7
действительное число) в диапазоне частот в пределах полосы пропускания (при A=0)
звена. Однако в отличие от длинной линии без потерь, у которой параметр ZC есть
частотно-независимая расчетная величина, определяющая отношение между амплитудами
напряжения и тока в волне, характеристическое сопротивление ZС реактивного
четырехполюсника - физически реализуемая частотно-зависимая величина. Сопоставляя
звено цепной схемы с отрезком длинной линии, по коэффициенту фазы можно определить
длину l’ отрезка линии, которому эквивалентно звено цепочки. Заметим, что при
фиксированной частоте коэффициент фазы Вц цепной схемы (рис.6), состоящей из n
звеньев будет связан с коэффициентом фазы одного звена В (рис.3) соотношением Вц= nВ.
Рис.6
Для
отрезка
  βl ' 
линии
длиной
l ' фаза напряжения изменяется на величину
ω
l ' , где β - коэффициент фазы длинной линии, v - фазовая скорость волны в
v
длинной линии, которая в воздушной линии равна скорости света (v=с). Из равенства фаз
напряжений на отрезке линии и на звене четырехполюсника следует:
ω
βv
l '  β, откуда l '  .
v
ω
Длина l линии, эквивалентной n звеньям, определяется равенством l=n l ' .
Подготовка к работе
1. По первичным параметрам линии L0  0,24 мГн/км, C0  0,1 мкФ/км. Рассчитать
волновое сопротивление линии без потерь
v
ZC 
L0
, фазовую скорость
C0
1
.
L0C0
2. Длина линии без потерь =10 км. Определить при какой длине волны   v ,
f
частоте f длина линии составляет

=5/8λ. Рассчитать коэффициент фазы
2 f .
v
8
Замечание. Выбор подобного соотношения l и λ в данной работе обусловлен
исключительно соображениями наглядности результатов моделирования.
3. Для низкочастотного фильтра (рис.3) определить коэффициент фазы В при
C  C0
и
L  L0
и частоте, рассчитанной в п.2. Сравнить численное значение В и β
(без учета размерности). Определить длину линии, эквивалентной одному звену
цепной схемы и длину линии, эквивалентной цепочке из 10 одинаковых звеньев.
4. При согласованной нагрузке построить на миллиметровке распределение
действующего значения напряжения вдоль линии, эквивалентной цепочке из 10
звеньев. По оси ординат отложить отношение напряжения в точке,
соответствующей номеру звена n к напряжению в конце линии U[n]/U[0]. На оси
абсцисс отметить и пронумеровать точки соединения звеньев n.
5. На графике п.4 построить распределение начальной фазы (аргумента) напряжения
φ[n] вдоль линии, считая, что напряжение в конце цепочки имеет нулевую
начальную фазу.
6. Построить на другом графике (выполняя требования п.4 и п.5) распределения вдоль
линии действующего значения и начальной фазы напряжения в режиме холостого
хода.
7. Определить входное сопротивление низкочастотного фильтра (рис. 3) при C  C0
и
L  L0
и частоте, рассчитанной в п.2, при Zн =∞.
Рассчитать СH конденсатора,
реактивное сопротивление которого равно входному сопротивлению участка
разомкнутой линии, эквивалентной одному звену цепочки.
8. Построить (выполняя требования п.4 и п.5) под графиком п.6 распределения
действующего значения напряжения и начальной фазы напряжения при емкостной
нагрузке линии Z H   jX CH ( СН равно значению рассчитанному в п.7).
Замечание. Обратить внимание, что при соответствующем изменении масштаба
по оси абсцисс этот график получается из графика, построенного для режима
холостого хода (п. 6), смещением на длину отрезка линии, который эквивалентен
одному звену цепочки.
Вопросы для допуска студентов к работе и её защиты
1. Какая линия называется длинной?
2. Какова связь между первичными и вторичными параметрами длинной линии.
3. Напишите и объясните уравнения длинной линии в произвольном режиме. Получите
из них распределения U(x) и I(x).
4. Каковы распределения U(x) и I(x)в согласованном режиме? Нарисуйте годограф
U(x).
9
5. Почему длинную линию моделируют цепной схемой из большого числа звеньев, а
не одним четырехполюсником?
6. Нарисуйте векторную диаграмму токов и напряжений в одном звене цепной схемы в
согласованном режиме.
7. Нарисуйте векторную диаграмму комплексных действующих значений Uпр2, Uобр2,
Iпр2, Iобр2, U2 и I2 при
а) согласованном режиме;
б) в режиме короткого замыкания;
в) в режиме холостого хода;
г) при произвольной нагрузке.
8. Объясните, почему при переходе через узел фаза напряжения (тока) скачком
меняется на 1800?
Рабочее задание
1. Собрать цепочку четырехполюсников, установив перемычку К (рис.7). На вход
цепи подать синусоидальное напряжение Uвх ≈5-7 В, частотой около 10 кГц. В
режиме холостого хода определить частоту f таким образом, чтобы на 4 звене (от
конца) был узел напряжения, т.е. U(4) ≈0. В дальнейшем f не менять. Сравнить
экспериментальное значение частоты и значение, рассчитанное в п.2 Подготовки к
работе.
f=______________ Гц.
Рис. 7
2. Вычислить коэффициент фазы В четырехполюсника, для этого выделить из
цепочки один четырехполюсник - звено, сняв перемычку К. Измерить
мультиметром напряжения на входе и выходе звена в режиме холостого хода. По
полученным данным вычислить коэффициент фазы В. Сравнить результат с
рассчитанным в п.3 Подготовки к работе.
3. Измерить распределение действующего значения напряжения U(n) вдоль цепочки в
режиме холостого хода с помощью стрелочного милливольтметра.
Экспериментальные данные занести в таблицу. Нанести экспериментально
10
полученные значения на график, построенный в п.6 Подготовки к работе.
Измерить распределение фазы φ(n) напряжения U(n), используя двулучевой
осциллограф (φ(0) принять равным нулю). Для измерения φ(n) необходимо
сначала подключить оба входа двулучевого осциллографа к точке 0.
Отрегулировать кривые напряжения так, чтобы они совпадали. Между двумя
максимумами установить по шкале осциллографа 8 см (8 клеток). Таким образом,
по шкале абсцисс масштабный коэффициент 1 см/450. Такой масштабный
коэффициент удобен для определения сдвига фаз между двумя кривыми
напряжения.
4. Измерить распределение действующего значения напряжения U(n) при
резистивной нагрузке: Zн=10 Ом < ZC и Zн=100 Ом > ZC, с помощью стрелочного
милливольтметра. Экспериментальные данные занести в таблицу. Построить
графики распределения действующего значения напряжения, определить Umax и
Umin. Рассчитать коэффициент стоячей волны
KC 
U max
U min
и волновое
сопротивление модели линии Z C  Z H  K C (если в конце линии Uн=Umin) или
ZC 
ZH
(если Uн=Umax). Сравнить экспериментальное значение волнового
KC
сопротивления и значение, рассчитанное в п.1 Подготовки к работе.
5. Измерить распределения U(n) и φ(n) в режиме согласованной нагрузки при Zн= ZС,
выполняя указания п.3. Выбрать из модуля резисторов в качестве ZС резистор с
сопротивлением, близким к рассчитанному в п.1. Подготовки к работе.
Экспериментальные данные занести в таблицу. Нанести экспериментально
полученные значения на график, построенный в п.4 и п.5 Подготовки к работе.
6. По результатам измерений п. 5 построить годограф вектора напряжения
(геометрическое место концов вектора) по всем точкам соединения звеньев.
7. Измерить распределения U(n) и φ(n) при емкостной нагрузке, выполняя указания
п.3. Выбрать из модуля конденсаторов конденсатор с емкостью, близкой к
рассчитанной п.7 Подготовки к работе. Подключить к цепочке в качестве
нагрузки. Экспериментальные данные занести в таблицу. Нанести
экспериментально полученные значения на график, построенный в п. 8
Подготовки к работе.
11
Таблица экспериментальных данных
U 2  U (0)  ______В, f= ________ кГц .
1
2
3
U1x =_______ В, U 2 x =_______ В, cos B 
n
0
1
2
3
4
U1 x

U2x
5
, В=_______
6
7
U  n , В
холостой ход
U  n  / U (0)
φ(n), град
холостой ход
4
U  n , В
Zн =10 Ом
Umax=_______ В, Umin=_______ В, КС =_______ , Z C =________ Ом
U  n , В
Zн =100 Ом
Umax=_______ В, Umin=_______ В, КС =_______ , Z C =________ Ом
5
U  n , В
согласованный
режим: Zн= ZС
U  n  / U (0)
φ(n), град
согласованный
режим: Zн= ZС
7
U  n , В
емкостная
нагрузка:
12
8
9
10
Сн=_____ мкФ
U  n  / U (0)
φ(n), град
емкостная
нагрузка:
Сн=_____ мкФ
13