1 - МФТИ

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
МФТИ, 23 марта 2008 г.
1. Санки скатываются с крутой вогнутой горы, которую можно принять за дугу в четверть окружности. При
каком коэффициенте трения санки смогут доехать до подножия горы? (В.С. Булыгин)
2. Сегодня части Вселенной, разделенные расстоянием r, удаляются друг от друга со скоростью V  r  H ,
где  H  4 1017 с — величина, характеризующая время, прошедшее от Большого Взрыва, когда началось
расширение нашей Вселенной (эта величина обратно пропорциональна постоянной Хаббла). Плотность
массы во Вселенной по разным оценкам составляет  0  0,3  3 10-29 г/см3. Определить, применяя ньютоновскую механику, будет ли расширение Вселенной продолжаться вечно или сменится сжатием. Применение ньютоновской механики к данной задаче даёт результат, согласующийся с результатом общей теории
относительности (ОТО). (Е.З. Мейлихов)
3. В «популярной» книге У. Кауфмана «Космические рубежи теории относительности» (Москва, Мир,
1981, с.67), трактующей горизонты событий, сингулярности и прочие крайне туманные премудрости ОТО,
сущность закона всемирного тяготения поясняется, при всём том, на следующем уровне: «Допустим, что
вы находитесь на расстоянии 1 м от тела, притягивающего вас с силой 1 кГ . При удвоении расстояния до
источника тяготения сила гравитации станет вчетверо меньше. Соответственно, на расстоянии 3 м сила тяготения будет равна лишь 1/9 кГ . . . и т.д. . , а на расстоянии 10 см гравитационная сила достигнет 100 кГ .»
Укажите, по меньшей мере, две причины, по которым этот пример в книге о современной физике следует
считать, мягко говоря, неудачным. Реально ли, в свете современных представлений, создать тело или, выражаясь осторожнее, «объект» с описываемыми свойствами? Насколько безопасно человеку находится на
расстоянии от 10 см до 3 м от подобного объекта? (М.Г. Кремлёв)
4. Астроном наблюдает достаточно яркую звезду, находящуюся недалеко от небесного экватора. Телескоп
установлен традиционным способом, так что он может проворачиваться вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, одна из которых параллельна оси вращения Земли. Оцените, отдельно для каждой из этих
осей (в любых угловых единицах) величины погрешностей, с которыми астроном мог бы указать «истинное» направление на звезду, т.е. на точку, в которой звезда находится в момент её наблюдения, а также
направление на точку, в которой звезда находилась в момент испускания света, наблюдаемого сейчас на
Земле. Эффектов общей теории относительности не рассматривать, также можно отвлечься и от атмосферной рефракции. (М.Г. Кремлёв)
5. Вертикально поставленная труба высотой h = 10 м, закрытая снизу, заполняется водой и сверху по её
поверхности плотно закрывается так, что между крышкой и водой не остается никаких газовых пузырьков.
Полагая, что давление воды в области её верхней границы совпадает с атмосферным Pатм= 105 Па и что вода является несжимаемой жидкостью, определите, во сколько раз изменится сила давления воды на дно сосуда, если единственный случайно прилипший к дну пузырек воздуха оторвётся и всплывет к верхней
крышке. (В.И. Плис)
6. Жидкость с коэффициентом вязкости  = 104 П течёт через длинную трубу круглого сечения. Течение
ламинарное. Температура стенки трубы поддерживается постоянной. Определить скорость течения жидкости на оси трубы V0, при которой разность температур между стенкой и осью трубы равна Т = 5˚С. Коэффициент теплопроводности жидкости  = 4.2104 эрг/(смсград). Коэффициенты вязкости  и теплопроводности  считать постоянными. Краевыми эффектами пренебречь. (Э.В. Прут)
7. В 1920 г У. Брэгг предположил, что журчание ручейков создается воздушными пузырьками, содержащимися в воде. В 50-х годах прошлого столетия было показано, что основным источником звука в жидкости
являются пульсации газовых пузырьков. Пульсации можно рассматривать как малые собственные колебания газового пузырька в воде, учитывая изменение только объёма. Оценить минимальный радиус газового
пузырька, при пульсации которого человек будет слышать звук. (Э.В. Прут)
8. Формула Больцмана для энтропии позволяет объяснить существование остаточной энтропии у некоторых веществ. В идеальном кристалле число возможных микросостояний при температуре, близкой к абсолютному нулю, равно W = 1, поэтому такой кристалл имеет нулевую энтропию. Некоторые вещества
(например, СО и Н2О) при любой температуре имеют число возможных микросостояний W > 1 за счёт того,
что молекулы в кристалле могут иметь разные направления ориентации, поэтому энтропия таких веществ
отличается от нуля даже вблизи абсолютного нуля. Оценить остаточную энтропию S0 для 1 моля СО и Н2О.
Указание. Оценить S0 для Н2О можно, исходя из статистической модели Л. Полинга о протонном беспорядке во льде. Атомы кислорода, которые гораздо больше протонов, образуют регулярную гексагональную
решетку, каждый атом в ней имеет по 4 ближайших соседа, тетраэдрически расположенных вокруг него.
Связи между соседними атомами кислорода заняты протонами. Каждый протон, однако, приближен к одному из двух атомов кислорода, которые он связывает, и каждый атом кислорода принимает по два таких
протона. Длина водородной связи ОН равна 0.177 нм, а длина ковалентной связи между этими атомами
равна 0.099 нм. Распределение водородных и ковалентных связей в кристалле льда может быть представлено следующим образом:
H
H
H
H
O
O
H
H
Как показано на схеме, протоны могут менять один вид связи на другой.
Результаты экспериментальных измерений энтропии кристаллов льда, экстраполированные к 0 К, дают
остаточное значение S0 = 3.43 Джмоль-1К-1. (Э.В. Прут)
9. Трансформатор Тесла состоит из первичной обмотки L1 которая входит в состав колебательного контура,
содержащего конденсатор емкостью C = 0.1 мФ и искровой промежуток
F. Колебательный контур через дроссели D соединен с индуктором I
(рис.). Вторичной обмоткой L2, которая помещается внутри первичной,
служит спираль, состоящая из многих витков тонкой проволоки, намотанной в один ряд на изолирующий цилиндр. Когда пробивается искровой промежуток F, в первичной обмотке возникают высокочастотные
электрические колебания, а во вторичной индукционные токи той же частоты. Оценить амплитуду колебаний напряжения между концами вторичной обмотки, если конденсатор заряжается до напряжения V = 100 B,
а длина вторичной обмотки 2l = 50 см и радиус r0 = 3 см. (Г.М. Тарнопольский, студент группы 522)
10. Сфера пересекается плоскостью. В точке плоскости, через которую проходит ось симметрии системы,
расположен точечный электрический заряд q. Найти поток электрического поля через часть сферы, располагающуюся по одну сторону плоскости. (Е.З. Мейлихов))
11. Вокруг некоей звезды по общей круговой орбите вращаются цилиндрические космические аппараты
различных размеров и пропорций, которые покрыты материалом с высоким коэффициентом теплопроводности, полностью поглощающим всё падающее электромагнитное излучение. Все космические аппараты
ориентированы в пространстве таким образом, чтобы поглощать максимальное количество излучения звезды. На сколько (в процентах) могут отличаться их температуры? Оцените также минимальную температуру, которую мог бы иметь подобный космический аппарат, находящийся на околоземной орбите (солнечная постоянная P  1,35 кВт  м-2 , постоянная Стефана–Больцмана   5, 67 108 Вт  м-2  К -4 )
(В.С. Булыгин)
12. Объясните (если можете, то количественно), почему в последних моделях систем лазерной записи и
считывания информации стали применять полупроводниковые лазеры с круговой, а не линейной (как это
было в ранних моделях) поляризацией света. Для количественных оценок светосилу (относительное отверстие) оптической системы для обоих режимов записи и считывания изображения принять равной единице
(D/f  1). (В.Г. Жотиков)
Задачи подготовили и отредактировали А.Д. Гладун, Э.В. Прут, В.С. Булыгин.