Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» УТВЕРЖДАЮ

Учреждение образования
«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко
(подпись)
____________________
(дата утверждения)
Регистрационный № УД-____________/р.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Учебная программа для специальности
1-31 03 01 Математика (по направлениям)
1-31 03 01-02 Математика (научно-педагогическая деятельность)
Факультет
математический
Кафедра
Экономической кибернетики и теории вероятностей
Курс (курсы) 4
Семестр (семестры)
Лекции
7
14 часов
Практические (семинарские)
занятия
18 часов
Зачет
Самостоятельная управляемая работа студентов
Всего аудиторных
часов по дисциплине
7 семестр
4 часа
36 часов
Всего часов
по дисциплине 44 часа
Форма получения
высшего образования дневная
Составил Ю.Е. Дудовская ассистент
2013
Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы
«Марковские
процессы»,
утвержденной
28 мая
2010
года,
регистрационный № УД -15-2010-622/ баз.
Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта
на заседании кафедры экономической кибернетики и теории вероятностей
20 мая 2013 г., протокол № 11
Заведующий кафедрой
профессор _________ Ю.В. Малинковский
Одобрена и рекомендована к утверждению
Методическим советом математического факультета
20 мая 2013 г., протокол № 9
Председатель
доцент ____________ Л.Н. Марченко
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В результате современной компьютеризации и информатизации
различных сфер жизни все большее внимание уделяется исследованию
процессов, описывающих поступление, хранение, обработку и передачу
информации. Рассмотрение многих систем хранения, обработки и
передачи информации (например, сетей ЭВМ и ПЭВМ) требует
применения аппарата теории вероятностей и тесно связано с такими
дисциплинами как теория массового обслуживания и теория сетей
массового обслуживания. Базой для изучения указанных дисциплин
является спецкурс «Марковские процессы». Спецкурс «Марковские
процессы» посвящен изучению одного из важнейших классов случайных
процессов – марковских процессов. Для многих реальных процессов
марковские процессы являются удобной математической моделью.
Целью дисциплины «Марковские процессы» является изучение
основ теории марковских процессов.
Задачами спецкурса являются:
– ознакомление студентов с основными понятиями теории марковских
процессов, стационарного распределения марковского процесса,
знакомство с понятием эргодичности;
– усвоение студентами классификации цепей Маркова с дискретным и
непрерывным временем, понятий эргодичности и стационарного
распределения;
– овладение навыками составления уравнений равновесия для
стационарных вероятностей;
– усвоение студентами эргодических теорем, позволяющих
устанавливать факт существования и единственности стационарного
распределения вероятностей состояний марковского процесса;
– овладение методами исследования и моделирования марковских
процессов, а также методами анализа марковских процессов;
– формирование умений и навыков по применению понятий теории
марковских процессов, по составлению уравнений Колмогорова и
уравнений равновесия, по применению эргодических теорем, по
обращению с инфинитезимальными характеристиками.
Материал спецкурса «Марковские процессы» основывается на ранее
полученных студентами знаниях по таким дисциплинам, как «Теория
вероятностей и математическая статистика», «Случайные процессы».
Общее количество часов – 44; аудиторное количество часов — 36, из
них: лекции — 14, практические занятия — 18, самостоятельная
управляемая работа студентов (СУРС) — 4. Форма отчётности – экзамен.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Тема 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Цепи Маркова с дискретным временем, основные определения.
Переходные вероятности цепей Маркова. Уравнения ЧепменаКолмогорова. Эргодические цепи Маркова, эквивалентность определений.
Стационарное распределение вероятностей состояний.
Тема 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
Классификация цепей Маркова по арифметическим свойствам
вероятностей переходов. Неприводимые классы существенных и
несущественных состояний. Период. Циклические подклассы. Возвратные
и невозвратные состояния. Критерии возвратности.
Тема 3 ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С
ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Эргодическая теорема Феллера. Эргодическая теорема МарковаБернштейна. Эргодическая теорема Маркова. Эргодическая теорема
Фостера. Эргодическая теорема Мустафы.
Тема 4 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ
ВРЕМЕНЕМ И С КОНЕЧНЫМ ИЛИ СЧЕТНЫМ
ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ
Цепи Маркова с непрерывным временем, основные определения.
Эргодичность Марковского процесса. Переходные вероятности и их
свойства. Стандартные цепи Маркова. Уравнения Чепмена-Колмогорова.
Начальное распределение. Стационарное распределение. Связь между
эргодичностью и существованием единственного стационарного
распределения вероятностей состояний марковского процесса.
Тема 5 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ,
СИСТЕМА ПРЯМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ
УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА
Инфинитезимальные
характеристики
марковского
процесса.
Интенсивности переходов. Инфинитезимальная матрица и ее свойства.
Теорема Колмогорова. Классификация состояний. Консервативность цепи
Маркова. Система прямых дифференциально-разностных уравнений
Колмогорова.
Тема 6 СИСТЕМА ОБРАТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОРАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА, УРАВНЕНИЯ
КОЛМОГОРОВА ДЛЯ БЕЗУСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Система
обратных
дифференциально-разностных
уравнений
Колмогорова. Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей.
Лемма о существовании и единственности решения прямых и обратных
дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.
Тема 7 ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С
НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ,
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Регулярные цепи Маркова. Вложенная цепь Маркова. Эргодичность
цепи Маркова с непрерывным временем, эквивалентность определений.
Уравнения равновесия.
Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна.
Эргодическая теорема Маркова. Эргодическая теорема Фостера.
Тема 8 ПРОЦЕССЫ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ
Определение процесса размножения и гибели. Процессы размножения
и гибели с конечным и счетным пространством состояний. Интенсивности
переходов между состояниями процесса. Уравнения равновесия для
процесса размножения и гибели. Стационарное распределение
вероятностей состояний процесса размножения и гибели.
1
1
2
3
2
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
1 Цепи Маркова с дискретным временем, основные
определения.
2 Переходные вероятности цепей Маркова.
3 Уравнения Чепмена-Колмогорова.
4 Эргодические цепи Маркова, эквивалентность
определений.
5 Стационарное
распределение
вероятностей
состояний.
КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
1 Классификация цепей Маркова по арифметическим
свойствам вероятностей переходов.
2 Неприводимые
классы
существенных
и
несущественных состояний.
3 Период. Циклические подклассы.
4 Возвратные и невозвратные состояния. Критерии
возвратности.
ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С
ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
1 Эргодическая теорема Феллера.
2 Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна.
3 Эргодическая теорема Маркова.
7
Формы контроля
знаний
Литература
контролируемая
самостоятельная
работа студента
лабораторные
занятия
практические
(семинарские)
занятия
Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых
вопросов
лекции
Номер раздела, темы,
занятия
Количество аудиторных часов
Материальное
обеспечение занятия
(наглядные,
методические пособия и
др.)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ
3
14
2
4
18
4
5
–
6
4
–
8
2
4
–
–
[1-4]
2
–
–
–
[1-4]
[1-4]
9
4
5
6
4 Эргодическая теорема Фостера.
5 Эргодическая теорема Мустафы.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ
ВРЕМЕНЕМ И С КОНЕЧНЫМ ИЛИ СЧЕТНЫМ
ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ
1 Цепи Маркова с непрерывным временем, основные
определения.
2 Эргодичность марковского процесса.
3 Переходные вероятности и их свойства.
4 Стандартные цепи Маркова.
5 Уравнения Чепмена-Колмогорова.
6 Начальное распределение.
7 Стационарное
распределение.
Связь
между
эргодичностью и существованием единственного
стационарного
распределения
вероятностей
состояний марковского процесса.
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ,
СИСТЕМА ПРЯМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОРАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА
1 Инфинитезимальные характеристики марковского
процесса.
2 Интенсивности переходов.
3 Инфинитезимальная матрица и ее свойства.
4 Теорема Колмогорова.
5 Классификация состояний.
6 Консервативность цепи Маркова.
7 Система
прямых
дифференциально-разностных
уравнений Колмогорова.
СИСТЕМА ОБРАТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОРАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА,
УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ БЕЗУСЛОВНЫХ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1 Система обратных дифференциально-разностных
уравнений Колмогорова.
2 Уравнения
Колмогорова
для
безусловных
вероятностей.
3 Лемма о существовании и единственности решения
прямых и обратных дифференциально-разностных
уравнений Колмогорова.
2
2
–
–
[1-4]
2
2
–
–
[1-4]
2
2
–
2
[1-4]
7
8
ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С
НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ, СТАЦИОНАРНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
1 Регулярные цепи Маркова.
2 Вложенная цепь Маркова.
3 Эргодичность цепи Маркова с непрерывным
временем, эквивалентность определений.
4 Уравнения равновесия.
5 Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна.
6 Эргодическая теорема Маркова.
7 Эргодическая теорема Фостера.
ПРОЦЕССЫ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ
1 Определение процесса размножения и гибели.
2 Процессы размножения и гибели с конечным и
счетным пространством состояний.
3 Интенсивности переходов между состояниями
процесса.
4 Уравнения равновесия для процесса размножения и
гибели.
5 Стационарное распределение вероятностей состояний
процесса размножения и гибели.
2
2
–
–
[1-4]
–
2
–
2
[1-4]
14
18
4
Зачет
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Перечень практических занятий
1. Основные определения и понятия, классификация цепей Маркова.
Нахождение стационарного распределения.
2. Классификация
цепей
Маркова
по
арифметическим
и
асимптотическим свойствам переходных вероятностей.
3. Основные определения и понятия цепей Маркова с непрерывным
временем.
4. Инфинитезимальные
характеристики.
Система
прямых
дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.
5. Система
обратных
дифференциально-разностных
уравнений
Колмогорова.
Уравнения
Колмогорова
для
безусловных
вероятностей.
6. Эргодические теоремы, стационарное распределение марковского
процесса.
7. Процессы размножения и гибели.
Формы контроля знаний
1
Контрольные работы.
Темы контрольных работ
1
2
Цепи Маркова с дискретным временем.
Цепи Маркова с непрерывным временем.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Малинковский, Ю.В. Методические указания по спецкурсу «Теория
марковских процессов» для студентов 3–5 курсов математического
факультета / Ю.В. Малинковский – Гомель: ГГУ, 1990. – 44 с.
2. Карлин, С. Основы теории случайных процессов/ С. Карлин. – М.:
Мир, 1971. – 536 с.
3. Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. – М., 1980. – 576 с.
4. Прохоров, А.В. Задачи по теории вероятностей / А.В. Прохоров, В.Г.
Ушаков, Н.Г. Ушаков. – М.: Наука, – 1986. – 328 с.
ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
Название
дисциплины,
с которой
требуется
согласование
Название
кафедры
Предложения
об изменениях в
содержании
учебной
программы
по изучаемой
учебной
дисциплине
Решение, принятое
кафедрой,
разработавшей
учебную программу
(с указанием даты и
номера протокола)
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
на _____/_____ учебный год
№№
пп
Дополнения и изменения
Основание
Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
экономической кибернетики
и теории вероятностей
(протокол № ____ от ________ 200_ г.)
Заведующий кафедрой
экономической кибернетик
и и теории вероятностей
д.ф.-м.н.,профессор
_______________Ю.В. Малинковский
УТВЕРЖДАЮ
Декан математического факультета УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
к.ф.-м.н., доцент
__________________ С.П. Жогаль