Интервальная оценка времени запаздывания в связи между

ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В
СВЯЗИ МЕЖДУ ОСЦИЛЛЯТОРАМИ С НЕЛИНЕЙНОЙ
АМПЛИТУДНОЙ ДИНАМИКОЙ*
Сидак Е.В.1#, Безручко Б.П.1,2, Смирнов Д.А.1,2
1
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
2
Саратовский филиал института радиотехники и электроники им. В.А.
Котельникова, Саратов, Россия
Задача выявления времени запаздывания во взаимодействии между
колебательными системами по их сигналам возникает в различных областях
науки техники, от радиофизики [1-3] до медицинской техники [4]. Методика
интервальной оценки времени запаздывания, основанная на экспериментальном
моделировании наблюдаемой фазовой динамики с учетом автокорреляционных
свойств фазовых шумов, предложена в работе [3]. Ее эффективность была
проиллюстрирована на эталонных осцилляторах, как с белыми, так и с
цветными гауссовыми шумами, что обосновало ее перспективность при анализе
коротких зашумленных сигналов в широком круге ситуаций. Однако, для
маломерных нелинейных автоколебательных систем в хаотических или сильно
возмущенных периодических режимах предполагаемое условие независимости
шумов от значений фаз может нарушаться из-за того, что на фазы существенно
влияет нелинейная динамика амплитуд, на которую в свою очередь влияют
фазы, что меняет статистические свойства «эффективного шума» в фазовой
динамике (например, [5]). В данной работе проводится исследование
применимости известного метода оценки запаздывания связи в таких условиях,
что важно для обеспечения его надежности при практическом применении.
Развиваются способы диагностики проблематических ситуаций и устранения
возможных ошибок при оценивании времени запаздывания.
*
Работа поддержана РФФИ (гранты 14-02-31129-мол-а, 14-02-00492-а),
грантом Президента РФ (грант для поддержки ведущих научных школ НШ1726.2014.2)
#
sidakev@gmail.com
ИЗВЕСТНАЯ ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ [3].
По имеющимся временным рядам x1 (t ) и x2 (t ) одним из известных методов
[6] рассчитываются временные ряды фаз колебаний
2 (t1 ),..., 2 (t N ) ,
1 (t1 ),..., 1 (t N )
и
где t i  it , t – интервал выборки, N – длина ряда.
Ограничиваясь фазовым описанием [1,7] и используя дискретное время, для
оценки воздействия первого осциллятора на второй строят модель в виде
разностного стохастического уравнения (для оценки «в обратную сторону» все
аналогично):
2 (t   )  2 (t )  F2 (2 (t ), 1 (t  ))   2 (t ),
(1)
где приращения фазы берутся на интервале фиксированной длины  (параметр
метода),  2 – фазовый шум, проинтегрированный на интервале шириной ,  –
пробное
время
запаздывания,
F2
–
тригонометрический
многочлен,
коэффициенты которого определяются путем минимизации S 2 ( )  ˆ22 (ti ) , где
ˆ2 (ti )  2 (ti   )  2 (ti )  F2 (2 (ti ), 1 (ti  )) ,
усреднение по t i . Затем
угловые
скобки
означают
S 2 () минимизируется по  , что дает точечную
оценку времени запаздывания связи ˆ   min   2 , где  min  arg min S 2 () .

2 ˆ 22
2
Дисперсия ̂ оценивается как ˆ  
N
1
 d 2 S ()

2

 , где ˆ 2  min S ( ) ,
2
2

 d2   
min 

N  – «эффективное число степеней свободы» N   Nt / L , L  max[ T , ] , T –
время спадания автокорреляционной функции шума  2 до величины 0.2,
вторую производную оценивают путем аппроксимации графика
S 2 ( )
квадратичной параболой в окрестности min . Итоговая интервальная оценка
времени запаздывания (95%-ный интервал) имеет вид ˆ  1.96̂  .
ОШИБКИ
ОЦЕНКИ
ИЗ-ЗА
ВЛИЯНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ
АМПЛИТУДНОЙ ДИНАМИКИ.
Для исследования эффективности описанного метода в более общей
ситуации, чем фазовые осцилляторы с белыми или цветными шумами [3],
рассмотрим систему связанных осцилляторов Ресслера, в которых свойства
эффективных фазовых шумов определяются влиянием амплитуды и «третьей»
координаты z и могут быть весьма нетривиальными [1,5]:
 x1 (t )   1 y1 (t )  z1 (t )  1 ,  x2 (t )   2 y2 (t )  z2 (t )   ( x1 (t   0 )  x2 (t ) )   2 ,


(2)
 y1 (t )  1 x1 (t )  ay1 (t ),
 y 2 (t )  2 x2 (t )  ay2 (t ),
 z (t )  b  z (t )(r  x (t ));  z (t )  b  z (t )( r  x (t )).
1
1
2
2
1
 2
Здесь
1, 2
–
белые
шумы
с
автоковариационными
функциями
k (t )k (t )  Dk (t  t ) , коэффициент связи   0.05 . Время запаздывания
принималось равным  0  12 , угловые частоты 1  1.015, 2  0.985 , a  0.1 ,
b  0.1, параметр r менялся в широком диапазоне, обеспечивая различные
динамические режимы [8], от цикла периода один через каскад бифуркаций
удвоения периода до хаоса.
При каждом наборе значений параметров методом Эйлера генерировалось
100 пар временных рядов и подсчитывалась частота f err ложных выводов о
величине запаздывания, т.е. таких ситуаций, когда  0 не принадлежит
интервалу ˆ  1.96̂  . Оценка применима, если вероятность ложных выводов не
больше 0.05, т.к. доверительный интервал – 95%-ный.
Рис.1. Частота ложных выводов в зависимости от уровня шума в ведущей системе в (2) при
D2  0.089 ,   0.05 , N=100 периодов: a) - в периодическом режиме ( a  0.1 , b  0.1 , r=4), b)
– в хаотическом режиме( a  0.1 , b  0.1 , r=10), на вставках – графики S2 () для отдельных
временных рядов: a) левая – для
с) левая – для
D1  0.2 ,
D2  0.089 , правая – для
D1  0.5 , D2  0.089 , правая – для
D1  3 , D2  0.089 ;
D1  3 , D2  0.089 , вертикальный
пунктир означает истинное время запаздывания  0 .
На рис.1. приведены результаты оценки времени запаздывания связи в
системе (2) для периодического (r = 4) и хаотического (r=10) режимов по
временным рядам длиной 2000 точек (100 характерных периодов). На рис.1
можно
выделить
«благополучные»
случаи,
где
исследуемый
метод
обеспечивает вероятность ошибочных выводов не более 5%: это возмущенный
периодический режим при
D1  0.7 (рис.1.a) и возмущенный хаотический
режим при
D1  0.6 (рис.1.b). При меньших значениях уровня шума f err
превышает 5%-ный уровень. Диагностировать эту ситуацию предлагается по
графику
S 2 () , который не демонстрирует одного четко выраженного
минимума (левая вставка, рис.1,a,b) в отличие от «благополучной» ситуации на
правой вставке.
Аналогичные результаты наблюдаются при других способах введения
связи и других значениях параметров системы Ресслера, а также для системы
Лоренца, где свойства эффективных фазовых шумов определяются также
влиянием амплитуд и могут быть весьма нетривиальными.
Перспективной
запаздывания
в
идеей
таких
для
случаях
получения
более
представляется
надежных
отказ
от
оценок
локальной
аппроксимации графика параболой и грубая оценка ширины глобального
минимума. Используя в качестве интервальной оценки ширину минимума на
уровне середины между минимальным и максимальным значением S 2 () , мы
получили вероятность ошибочных оценок менее 0.05 во всех рассмотренных
случаях за счет некоторого уширения доверительного интервала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Пиковский
А.С.,
Розенблюм
М.Г.,
Куртс
Ю.
Синхронизация.
Фундаментальное нелинейное явление, Москва.: Техносфера, 2003.
2. Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70.
P. 046213.
3. Сидак Е.В., Смирнов Д.А., Безручко Б.П.// Письма в ЖТФ. 2014. Т. 40. В. 20.
С. 104-110.
4. P. Tass, D. Smirnov, A. Karavaev et al // J. Neural Eng. 2010. V. 7. 016009.
5. Smirnov D., Sidak E., Bezruchko B. // Eur. Phys. J. Special Topics, 2013. V. 222.
P. 2441-2451.
6. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. // Int. J. Bifurc. Chaos. 2000. V. 10.
P. 2291-2305.
7. Kuramoto Y. // Chemical Oscillations. Waves and Turbulence. Berlin. SpringerVerlag, 1984.
8. В.С. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, Г.А. Окрокверцхов, Г.И. Стрелкова // Успехи
физических наук. 2005. Т. 175. С.163-179.