Задачи ФА2011

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ АТОМА
1. ВВЕДЕНИЕ. ФОТОЭФФЕКТ.
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ. ЭФФЕКТ КОМПТОНА
1.1. Классическая частица массой m движется со скоростью v. Найдите
кинетическую энергию частицы в нерелятивистском и релятивистском
случаях.
1.2. Найдите импульс фотона с энергией E = h.
1.3. Медный шарик, отдалённый от других тел, облучают электромагнитным
излучением с длиной волны λ = 200 нм. До какого максимального потенциала
зарядится шарик? Работа выхода электрона из меди A = 4.47 эВ.
1.4. Монохроматический пучок -излучения падает на очень тонкую
металлическую пластинку, находящуюся в вакууме в однородном магнитном
поле B. Определите длину волны падающего излучения, если радиус
кривизны
траектории
испускаемых
электронов
в
плоскости,
перпендикулярной магнитному полю, равен R, а длина волны,
соответствующая работе выхода из металла — к. Релятивистскими
поправками пренебречь.
1.5. Красная граница при двухфотонном фотоэффекте на некотором катоде
равна λ0 = 580 нм. Найдите максимальную кинетическую энергию
электронов, вылетающих из этого катода при трёхфотонном фотоэффекте на
длине волны λ = 650 нм.
1.6. Воспользовавшись законами сохранения, покажите, что свободный
электрон не может полностью поглотить фотон.
1.7. На какое минимальное расстояние приблизится -частица с кинетической
энергией K = 40 кэВ (при лобовом соударении):
1) к покоящемуся ядру атома свинца;
2) к первоначально покоящемуся ядру 7Li?
1.8. Выведите формулу комптоновского рассеяния   λ  λ 0 
h
(1  cosθ) .
mc
1.9. Объясните следующие особенности эффекта Комптона:
1) в спектре рассеяния присутствует линия, соответствующая длине
волны падающего излучения 0, а также линия с длиной волны  > 0;
2) величина  =  – 0 не зависит от рода вещества, на котором
происходит рассеяние;
3) при возрастании атомного номера вещества, на котором происходит
рассеяние, интенсивность линии 0 возрастает, а линии  — падает;
4) линии рассеяния уширены;
5) эффект Комптона не наблюдается для видимого излучения;
6) из вещества вылетают электроны (комптоновские электроны отдачи).
1
1.10. Фотон из монохроматического пучка рентгеновского излучения с
длиной волны λ0 = 3.64 пм рассеялся на покоившемся свободном электроне
так, что кинетическая энергия электрона отдачи составила η = 25% от энергии
налетевшего фотона. Найдите комптоновское смещение длины волны и угол
θ, под которым рассеялся фотон.
1.11. При облучении вещества монохроматическим рентгеновским
излучением обнаружено, что максимальная кинетическая энергия
комптоновских электронов отдачи Kmax = 0.44 МэВ. Определите длину волны
падающего излучения.
1.12. На рисунке показан идеализированный
энергетический
спектр
электронов,
вылетающих из образца одного из лёгких
элементов при облучении его жёстким
моноэнергетическим
рентгеновским
излучением. Объясните характер спектра.
Найдите
длину
волны
рентгеновского
излучения, а также значения K1 и K2, если K2 –
K1 = 180 кэВ.
1.13. В результате столкновения фотона с покоившимся свободным
электроном углы, под которыми рассеялся фотон и отлетел электрон отдачи,
оказались равными и угол между направлениями их разлёта φ = 100º. Найдите
длину волны падающего излучения.
1.14. Определите спектр γ-квантов с энергией 1.25 МэВ, рассеянных
водородом на угол 90º.
2. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. ФОРМУЛА ПЛАНКА
2.1. Возникшее спустя 380 000 лет после Большого Взрыва электромагнитное
излучение в результате расширения Вселенной начало остывать. В настоящее
время это реликтовое излучение имеет вид равновесного теплового излучения
с максимумом испускательной способности на длине волны λ = 1.07 мм.
Какова температура этого излучения?
2.2. Показать, что в полости, имеющей форму прямоугольного
параллелепипеда объёмом V с абсолютно отражающими стенками, число
собственных колебаний электромагнитного поля в интервале частот от (ω,
ω + dω) равно dZω = (V/π2c3)ω2dω.
2.3. Тепловое излучение в полости можно представить как совокупность
осцилляторов (собственных колебаний) с различными частотами. Полагая,
что распределение осцилляторов по энергиям ε подчиняется закону
Больцмана (~ e–ε/kT), найдите при температуре T среднюю энергию ε
осциллятора с частотой ω, если энергия ε каждого осциллятора может иметь:
2
1) любые значения (непрерывный спектр);
2) только дискретные значения nħω, где n — целое число.
2.4. Преобразуйте формулу Планка к виду, соответствующему распределению
по линейным частотам ν и длинам волн λ.
2.5. Найдите с помощью формулы Планка среднее значение частоты ω в
спектре теплового излучения при температуре T = 2 000 К.
3. МОДЕЛЬ АТОМА РЕЗЕРФОРДА – БОРА
3.1. Найдите потенциальную, кинетическую и полную энергии электрона,
движущегося по круговой орбите радиуса r вокруг ядра с зарядом +Ze.
3.2. Выведите правило квантования проекции момента импульса исходя из
принципа соответствия.
3.3. На сколько эВ необходимо увеличить внутреннюю энергию иона He+,
находящегося в основном состоянии, чтобы он мог испустить фотон,
соответствующий головной линии серии Бальмера?
3.4. Определите квантовое число n возбуждённого состояния атомов
водорода, если известно, что при переходе в основное состояние испускается
излучение с длиной волны  = 97.25 нм.
3.5. Энергия связи электрона в атоме гелия равна E0 = 24.6 эВ. Найдите
энергию, необходимую для последовательного удаления обоих электронов из
этого атома.
3.6. Какой минимальной кинетической энергией должен обладать атом
водорода, чтобы при неупругом соударении с другим покоящимся атомом
водорода ионизировать его?
3.7. Определите скорость, которую приобрёл покоившийся атом водорода в
результате испускания фотона при переходе из первого возбуждённого
состояния в основное.
3.8. Найдите разность энергий фотонов, испускаемых и поглощаемых
свободным атомом водорода при переходе между основным и первым
возбуждённым состояниями.
3.9. Вычислите отношение массы протона к массе электрона, если известно,
что отношение постоянных Ридберга для тяжёлого и лёгкого водорода
 = 1.00027, а отношение масс ядер n = 2.00.
3.10. C какой минимальной скоростью должны сближаться ион He+ и атом
водорода H, чтобы испущенный ионом He+ фотон, соответствующий
головной линии серии Бальмера, смог возбудить атом водорода из основного
состояния?
3
3.11. Мезоатом водорода представляет собой связанную систему, состоящую
из протона и отрицательного мюона (μ–), вращающихся вокруг их общего
центра масс. Заряд μ– равен заряду электрона, а масса mμ = 207me. Вычислите
для мезоатома водорода расстояние между мюоном и ядром в основном
состоянии, длину волны резонансной линии и энергию связи в основном
состоянии.
4. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
4.1. Найдите длину волны электрона, обладающего кинетической энергий K.
4.2. Определите длину волны де Бройля для протонов, если известно, что
радиус кривизны их траекторий в магнитном поле с индукцией B = 10 кГс
равен r = 5 см.
4.3. При торможении электронов на аноде рентгеновской трубки возникает
тормозной рентгеновский спектр с коротковолновой границей λгр = 1 Å.
Определите длину волны де Бройля электронов.
4.4. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом
скольжения  = 30 на естественную грань монокристалла алюминия.
Расстояние
между
соседними
кристаллическими
плоскостями,
параллельными этой грани монокристалла, d = 0.20 нм. При некотором
ускоряющем напряжении U0 наблюдали максимум зеркального отражения.
Найдите U0, если известно, что следующий максимум зеркального отражения
возникал при увеличении ускоряющего напряжения в  = 2.25 раза.
4.5. Пучок электронов с кинетической энергией K = 180 эВ падает нормально
на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол
 = 55 с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения
четвёртого порядка. Найдите межплоскостное расстояние, соответствующее
этому отражению.
5. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
5.1. Найдите собственные функции и принадлежащие им собственные

значения оператора проекции импульса pˆ x  i .
x
5.2. Найдите собственные функции и принадлежащие им собственные
значения оператора координаты xˆ  x .
5.3. Найдите коммутатор операторов p̂ x и x̂ .
5.4. Найдите собственное значение оператора Â , принадлежащее собственной
функции A, если:
4
d2
ˆ
а) A   2 , A  sin 2 x ;
dx
d2
ˆ
б) A   2  x 2 , A  exp(  x 2 / 2) ;
dx
sin x
d2 2 d
ˆ
в) A  2 
, A 
.
x
x dx
dx
5.5. Найдите собственные функции и принадлежащие им собственные
значения оператора проекции углового момента на выделенную ось

Lˆ z  i .

5.6. Определите возможные собственные значения оператора L̂z и их
вероятности для системы, находящейся в состоянии:
а) () = A sin2;
б) () = A (1 + sin ).
5.7. Докажите соотношение A   ci Ai    * Aˆ dq .
2
i
5.8. Определите среднее значение физической величины, описываемой
оператором Lˆ2z в состоянии () = A sin2.
6. ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ АТОМНОЙ ФИЗИКИ
6.1. Решите уравнение Шрёдингера для свободного электрона в пространстве
с постоянным потенциалом.
6.2. Решите уравнение Шрёдингера для электрона в потенциальном поле,
0, x  0,
задаваемом функцией следующего вида: U ( x)  
Рассмотрите два
U 0 , x  0.
случая: E > U0 и E < U0. Найдите коэффициенты отражения и пропускания
потенциальной ступеньки.
6.3. Решите уравнение Шрёдингера для электрона, находящегося в
прямоугольной потенциальной яме со следующими параметрами: высоты
левой и правой стенок равны U1 и U2 соответственно, (U1 > U2), ширина ямы
равна a.
6.4. Найдите собственные функции и собственные значения энергии
электрона, находящегося в потенциальном ящике шириной a.
6.5. Найдите число энергетических состояний для прямоугольной
потенциальной ямы, параметры которой заданы в условии задачи 6.3.
Рассмотрите частные случаи симметричной ямы (U1 = U2 = U0) и
асимметричной ямы, когда U1  , U2 = U0.
5
6.6. Найдите собственные функции и собственные значения энергии
электрона, находящегося в двумерном потенциальном ящике с линейными
размерами a и b по осям x и y соответственно.
6.7. Найдите для электрона коэффициент прозрачности прямоугольного
потенциального барьера высотой U0 и шириной a. Постройте график
зависимости коэффициента прозрачности от энергии электрона при U0 = 10
эВ и a = 5 Å.
7. АТОМ ВОДОРОДА И ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ ИОНЫ
7.1. Найдите для 1s-электрона атома водорода наиболее вероятное расстояние
его от ядра rвер и вероятность нахождения электрона в области r < rвер.
7.2. Найдите для 1s-электрона атома водорода вероятность нахождения его
вне классических границ поля.
7.3. Найдите для основного состояния атома водорода среднее значение
модуля силы взаимодействия между электроном и ядром.
7.4. Найдите для основного состояния атома водорода среднее значение
потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.
7.5. Определите среднее значение кинетической энергии электрона в
основном состоянии атома водорода.
7.6. Рассчитайте средние значения дипольного момента атома водорода в 1s и
2p стационарных состояниях, а также в нестационарном суперпозиционном
состоянии.
7.7. Выпишите спектральные обозначения термов электрона в атоме водорода
для n = 3. Сколько компонент тонкой структуры имеет уровень атома
водорода с главным квантовым числом n?
7.8. Вычислите для иона He+ интервалы (в см–1) между крайними
компонентами тонкой структуры уровней с n = 2; 3 и 4.
7.9. Вычислите для иона He+ интервалы (в см–1) между соседними
компонентами тонкой структуры уровня с n = 3.
7.10. Определите для ионов He+ число компонент тонкой структуры и
интервал (в см–1) между крайними компонентами головной линии серий
Бальмера и Пашена.
8. ВЕКТОРНАЯ СХЕМА СЛОЖЕНИЯ МОМЕНТОВ
8.1. Найдите возможные значения полных механических
электронных оболочек атомов в состояниях 4P и 5D.
6
моментов
8.2. Выпишите возможные термы атомов, содержащих кроме заполненных
оболочек: 1) два электрона (s и p); 2) два электрона (p и d); 3) три электрона
(s, p и d).
8.3. Сколько и какие различные типы термов могут реализовываться у
двухэлектронной системы, состоящей из d-электрона и f-электрона?
8.4. Найдите угол между векторами орбитального и спинового механических
моментов для состояний 3P0 и 3D2.
8.5. Определите максимально возможный орбитальный механический момент
атома, находящегося в состоянии, мультиплетность которого пять и
кратность вырождения по J равна семи, спектральный символ состояния, а
также угол между полным механическим и спиновым моментами при
максимально возможном орбитальном механическом моменте.
9. ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА
И СПЕКТРЫ АТОМОВ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
9.1. Вычислите квантовые дефекты S-, P- и D-термов атома лития, если
известно, что энергия связи валентного электрона в основном состоянии
равна 5.39 эВ, первый потенциал возбуждения 1.85 В и длина волны головной
линии диффузной серии 610 нм.
9.2. Определите потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения
атома натрия, у которого квантовые дефекты основного терма 3S и терма 3P
равны соответственно 1.37 и 0.88.
9.3. Кварцевый монохроматор выделяет из спектра ртутной лампы линию с
длиной волны λ = 2536 Å, которая далее направляется в трубку, содержащую
пары цезия. Скорость электрона, возникающего при фотоионизации атома
цезия v = 6.0·105 м/с. Длина волны резонансной линии цезия λр = 8944 Å.
Определите квантовые дефекты S-, и P-термов атома цезия.
10. РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ
10.1. Определите напряжение на рентгеновской трубке с никелевым анодом,
если разность длин волн K-линии и коротковолновой границы сплошного
рентгеновского спектра равна 84 пм.
10.2. Найдите кинетическую энергию электронов, вырываемых с K-оболочки
атомов молибдена K-излучением серебра.
10.3. Установка излучает рентгеновские фотоны с энергиями E1 = 15 кэВ,
E2 = 74 кэВ и E3 = 150 кэВ. Подберите металл для селективно поглощающего
7
фильтра, который будет пропускать поток фотонов с энергиями E3 и
значительно ослаблять рентгеновское излучение с энергиями E1 и E2.
11. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ.
АТОМЫ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ
11.1. Имея в виду, что отношение магнитного момента к механическому для
спинового момента вдвое больше, чем для орбитального, получите с
помощью векторной модели выражение для множителя Ланде.
11.2. Вычислите множитель Ланде для атомов: 1) с одним валентным
электроном в состояниях S, P и D; 2) в состоянии 3P; 3) в S-состояниях; 4) в
синглетных состояниях.
11.3. Выпишите спектральные обозначения терма, у которого: 1) S = 1/2,
J = 5/2, g = 6/7; 2) S = 1, L = 2, g = 4/3.
11.4. Найдите магнитный момент  и возможные значения проекции Z атома
в состоянии 1F.
11.5. Максимальное значение проекции магнитного момента атома,
находящегося в состоянии D2, равно четырём магнетонам Бора. Определите
мультиплетность этого терма.
11.6. Найдите механический момент атома в состоянии 5F, если известно, что
в этом состоянии магнитный момент равен нулю.
11.7. Определите градиент индукции магнитного поля, в котором можно
«подвесить» невозбуждённый атом натрия.
11.8. В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов серебра (в основном
состоянии) проходит через поперечное резко
неоднородное магнитное поле и попадает на
экран Э. При каком значении градиента
индукции магнитного поля B/z расщепление
пучка на экране z = 2.0 мм, если a = 10 см,
b = 20 см и скорость атомов v = 300 м/с?
11.9. Вычислите величину расщепления пучка атомов лития в опыте Штерна
и Герлаха, если длина полюса магнита d = 10 см, градиент индукции
магнитного поля B/z = 200 кГс/см, температура печи T = 1000 К.
Расщепление измеряется на экране, расположенном у концов полюсов
магнита.
11.10. Узкий пучок атомов пропускают по методу Штерна и Герлаха через
поперечное резко неоднородное магнитное поле. Найдите максимальные
8
значения проекций магнитных моментов атомов в состояниях 4F, 6S и 5D, если
известно, что пучок расщепляется на 4, 6 и 9 компонент соответственно.
11.11. Узкий пучок атомов пропускают по методу Штерна и Герлаха через
поперечное резко неоднородное магнитное поле. На сколько компонент
расщепится пучок атомов, находящихся в состояниях 3D2 и 5F1?
11.12. На сколько компонент расщепится в опыте Штерна и Герлаха узкий
пучок возбуждённых атомов гелия, находящихся в наинизшем
метастабильном состоянии?
11.13. Из печи с температурой T в вакуумную камеру влетает узкий пучок
смеси атомов натрия и кадмия. Двигаясь через область поперечного сильно
неоднородного магнитного поля с градиентом индукции B/z
протяжённостью L1, атомы пучка попадают на экран, удалённый от поля на
расстояние L2 (L2 >> L1). Сколько необходимо щелей и где их следует
разместить на экране для вывода компонент смеси из установки?
11.14. Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией B = 3.00 кГс.
Определите полное расщепление в эВ терма 1D.
11.15. Постройте схему возможных переходов в слабом магнитном поле
между состояниями 1D  1P и 1F  1D и определите, сколько компонент
содержит спектральная линия, соответствующая каждому из этих двух
переходов.
11.16. Постройте схему возможных переходов в слабом магнитном поле
между состояниями 4D5/2  4F7/2.
11.17. Спектральная линия  = 612 нм обусловлена переходом между двумя
синглетными термами атома. Определите интервал  между крайними
компонентами этой линии в магнитном поле с индукцией B = 10.0 кГс.
11.18. На сколько компонент расщепляется узкий пучок атомов бора в опыте
Штерна и Герлаха в случае слабого и сильного магнитных полей?
12. ПОРЯДОК ЗАПОЛНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМА ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
12.1. Запишете электронную конфигурацию и найдите терм основного
состояния атома углерода.
12.2. Найдите число возможных термов у возбуждённого атома углерода,
электронная конфигурация которого 1s22s22p13d1.
12.3. Запишете электронную конфигурацию и найдите терм основного
состояния атома кислорода.
12.4. Определите терм основного состояния атома марганца Mn и иона Mn2+.
9
12.5. Запишете электронную конфигурацию и найдите терм основного
состояния атомов кальция и стронция.
12.6. Найдите терм основного состояния атома цинка.
12.7. На сколько компонент расщепляется узкий пучок атомов хрома в опыте
Штерна и Герлаха в слабом магнитном поле?
13. ВРЕМЯ ЖИЗНИ ВОЗБУЖДЁННОГО СОСТОЯНИЯ.
ИНТЕНСИВНОСТЬ И ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
13.1. Интенсивность резонансной линии убывает в  = 65 раз на расстоянии
l = 10 мм вдоль пучка атомов, движущихся со скоростью v = 2.0 км/с.
Вычислите среднее время жизни атомов в состоянии резонансного
возбуждения и оцените ширину уровня энергии.
13.2. Разреженные пары ртути, атомы которой находятся в основном
состоянии, освещают резонансной линией ртутной лампы ( = 253.65 нм).
При этом обнаружено, что мощность испускания этой линии парами ртути P
= 35 мВт. Найдите число атомов в состоянии резонансного возбуждения,
среднее время жизни которого  = 0.15 мкс.
13.3. Газообразный литий, содержащий N = 3.01016 атомов, находится при
температуре T = 1500 К. При этом мощность испускания резонансной линии
 = 670.8 нм (2P  2S) равна P = 0.25 Вт. Найдите среднее время жизни атома
лития в состоянии резонансного возбуждения.
13.4. Распределение интенсивности излучения в пределах спектральной
линии с естественным уширением имеет вид функции Лоренца:
(  / 2) 2
I  I0
,
(  0 ) 2  (  / 2) 2
где I0 — спектральная интенсивность в центре линии на частоте 0;  = 1/,
где  — среднее время распада возбуждённого состояния. Найдите
естественную ширину линии  с известным значением , а также среднее
время жизни атомов ртути в состоянии 61P, если известно, что при переходе в
основное состояние испускается линия  = 185.0 нм с естественной шириной
 = 1.510–5 нм.
13.5. Распределение интенсивности излучения в пределах спектральной
линии с доплеровским уширением имеет вид функции Гаусса:
 a(  0 )2 
I   I 0 exp  
,
02


где I0 — спектральная интенсивность в центре линии на частоте 0;
a = mc2/2kT, m — масса атома, T — температура газа. Найдите доплеровскую
ширину линии в шкале частот  и длин волн  при заданной температуре T.
10
13.6. Определите температуру водородной плазмы, если спектральные линии
серии Лаймана перекрываются начиная с 35-го номера.
11