Лабораторная работа 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ КАЛОРИМЕТРА

Лабораторная работа 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ
КАЛОРИМЕТРА
Цель работы: 1. Изучить закон Дюлонга и Пти; 2. Изучить модель Эйнштейна
для вычисления теплоемкости твердого тела; 3. Измерить удельную теплоемкость
твердых тел с помощью калориметра.
Приборы и оборудование: Водяной калориметр; электрическая плитка; сосуд с
водой для нагревания тел в кипящей воде, щипцы; технические весы с разновесом;
термометр; мензурка; манометр; справочная таблица зависимости температуры кипения
воды от давления.
1. Теория вопроса
В молекулярной физике понятие теплоемкости играет важную роль.
Это связано с тем, что теплоемкость является не только характеристикой
процесса, но и характеристикой вещества. Это говорит о том, что
теплоемкость определяется строением вещества и особенностями
теплового хаотического движения частиц, из которых состоит вещество.
Поэтому, зная теплоемкость вещества, можно делать выводы о строении
вещества и о поведении частиц вещества.
На основе распределения Максвелла была выведена теорема о
равномерном распределении энергии по степеням свободы, на основе
которой была сформулирована классическая теория теплоемкостей
идеальных газов. Согласно теореме о равномерном распределении энергии
по степеням свободы, на каждую степень свободы поступательного и
вращательного движения молекулы приходится в среднем одинаковая
энергия, равная одной второй k  T , то есть:
1
2
 nocm 1   bp   k  T
1
(1)
Согласно этой же теореме, на каждую степень свободы
колебательного движения молекулы приходится в среднем одинаковая
энергия, равная k  T :
 koл 1  k  T
(2)
Из этой теории следует, что теплоемкость газов зависит только от
геометрии молекул газа, которая позволяет определить число степеней
свободы вращательного и колебательного движений. По классической
теории теплоемкостей газов получается, что теплоемкость газов не зависит
2
от рода газа и не зависит от температуры.
Сравнение этой теории теплоемкостей с экспериментом показало,
что эта теория хорошо согласуется с экспериментом только при высоких
температурах, а при низких температурах наблюдается существенное
расхождение теоретических и экспериментальных результатов. Для
объяснения этих расхождений в классической физике было введено
понятие о «замораживании» степеней свободы. Согласно этому
представлению, молекулы газа при средних и низких температурах не
совершают колебательного движения. Для легкого газа, например для
водорода, при низкой температуре молекулы не участвуют во
вращательном движении.
Классическая физика не могла объяснить замораживание степеней
свободы. Это удалось сделать только на основе квантовых представлений,
согласно которым энергия колебательного движения атомов в молекулах
может принимать только дискретные значения.
При определении теплоемкости твердых тел Дюлонг и Пти
использовали классическую теорему о равномерном распределении
энергии по степеням свободы. При этом необходимо учитывать, что
атомы, ионы или другие структурные элементы, находящиеся в узлах
кристаллической решетки твердого тела, совершают хаотические
колебательные движения около положения равновесия. Все возможные
колебания можно разложит по трем осям неподвижной системы координат
и тогда получается, что каждый структурный элемент кристаллической
решетки совершает хаотические колебания по трем независимым
направлениям, а это означает, что каждый структурный элемент имеет три
степени свободы вращательного движения.
Так как по теореме о равномерном распределении энергии по
степеням свободы, на каждую степень свободы колебательного движения
приходится в среднем одинаковая энергия, равная k  T , то каждый
структурный элемент кристаллической решетки твердого тела имеет
среднюю энергию хаотического движения, равную 3  k  T :
  3 k T
(3)
Тогда внутренняя энергия одного моля твердого тела будет равна:
U  NA    3 NA  k T  3 R T
(4)
При записи формулы (4) использовался постулат термодинамики,
согласно которому все термодинамические величины определяются
средними значениями соответствующих величин, характеризующих
отдельные частицы. В формуле (4) k - постоянная Больцмана,
1
Дж
N A  6,02  1023
- число Авогадро, R  8,31
- универсальная
моль
моль  К
3
газовая постоянная, T - температура.
Используя формулу (4), можно найти молярную теплоемкость
твердого тела в процессах при постоянном объеме:
 U 
CV  
  3 R

T

V
(5)
Формула (5) называется законом Дюлонга и Пти. Согласно этой
формуле теплоемкость твердых тел не зависит от температуры и не
зависит от рода вещества. Сравнение этого закона с экспериментальными
данными показало, что классическая теория теплоемкостей дает хорошее
согласие с экспериментом только при высоких температурах. При низких
температурах наблюдается существенное расхождение теоретических и
экспериментальных результатов.
Для того, чтобы преодолеть различия экспериментальных и
теоретических результатов, Эйнштейн предложил квантовую теорию
теплоемкостей. Он рассматривал каждое колебательное движение в
кристалле как независимое от других колебаний и описывал его как
квантовый гармонический осциллятор. В квантовой механике показано,
что энергия квантового гармонического осциллятора определяется
формулой:
1

 n  h    n  
(6)
2

Здесь h  6,63 1034 Дж  с - постоянная Планка,  - частота колебаний
структурного элемента твердого тела, n  0,1,2,3,.... - целое положительное
число, описывающее номер состояния квантового гармонического
осциллятора.
Аналогично распределению Максвелла или распределению
Больцмана можно записать, что вероятность того, что энергия
колебательного движения равна  n , определяется формулой:
  
wn  A  exp   n     n 
 k T 
(7)
Здесь A - постоянная величина, которая, как известно, определяется из
условия нормировки,    n  - число состояний квантового гармонического
осциллятора, которым соответствует энергия  n . В квантовой механике
показано, что эта величина равна единице, то есть
  n   1
(8)
4
В модели Эйнштейна атомы в узлах кристаллической решетки
твердого тела могут колебаться с различными частотами, величина
которых может изменяться от нуля до бесконечности. С учетом этого,
подставив формулу (8) в формулу (7), можно найти постоянную величину
A из условия нормировки, которое в этом случае имеет вид:

 wn  1
(9)
n 0
Тогда имеем

 h  
1 
A   exp  
 n     1 или
2 
 k T 
n 0
 h 
A  exp  
 2  k T
 
 h  
 n 1
   exp  
 n 0
 k T 
(10)
Отсюда следует, что A определяется формулой:
A
1
 h 
exp  
 2  k T


 h  
 n
   exp  
 n 0
 k T 
(11)
По сравнению с распределением Максвелла в формулах (9) – (11)
используется не операция интегрирования, а суммирование. Это связано с
тем, что энергия квантового гармонического осциллятора принимает
только определенные значения, а не непрерывный ряд значений, как,
например, скорость молекул идеального газа.
Подставляем формулы (6) и (11) в формулу (7) и получаем
распределение по энергиям для квантового гармонического осциллятора:
 h  
1 
 h  
exp  
 n  
exp  
n
k T 
2 
k T 


wn 
 

h


h






 h  
exp  
 n   exp  
 n
   exp  
 2  k  T  n 0
 k  T  n 0
 k T 
(12)
Теперь по аналогии с использованием распределения Максвелла для
определения средней энергии найдем среднюю энергию квантового
гармонического осциллятора. При этом снова необходимо интегрирование
заменить суммированием. При этом получаем:
5


 koл    n  wn  n0
 h 

 h  
 exp   k  T  n 
n 0
n 0

h 

2
1

 h   n  2   exp   k  T  n 

 h 


(13)
 h   n  exp   k  T  n 
n 1

 h 

 exp   k  T  n 
n1
h 
(14) называется энергией нулевых
2
колебаний. Эта энергия не зависит от температуры. Такую энергию имеют
атомы даже при температуре, равной абсолютному нулю или температуре
близкой к абсолютному нулю.
Для того чтобы удобно было анализировать второе слагаемое в
 1 
формуле (13), обозначим величину  
  x и подставим в формулу
 k T 
(13). Тогда получаем:
Здесь
энергия
0 

 koл
h 


2
 h   n  exp  h   n  x 
n1

 exp  h   n  x 
(15)
n1
Во втором слагаемом формулы (15) в числителе стоит величина,
равная производной по переменной x от знаменателя, тогда имеем:
 koл

d  
  exp  h   n  x  
dx  n1


h 
h  d  




ln
exp
h



n

x



 (16)

2
2
dx  n1
 


  exp  h   n  x  
 n1

Вычислим величину
d
:
dx
d
d
d
d


 k T 2 
1  1 
dx
dT
 1 
d
     2   dT
k  T 
 k T 
(17)
6
d
из формулы (17) в формулу (16), тогда
dx
для средней энергии колебания получаем:
Подставим значение x и
 koл 
h 
d  
 h   
 k T 2 
ln   exp  
 n
2
dT  n1
 k T 
(18)
Проанализируем сумму во втором слагаемом формулы (18). Здесь
h 
h 
величина
 0 . Тогда величина
 0 , следовательно, величина 
k T
k T
 h  
q  exp  
  1 . Это позволяет рассчитать сумму как сумму членов
 k T 
убывающей геометрической прогрессии:

1
1
 h    n
 exp   k  T  n    q  1  q 
 h  
n1
n1
1  exp  

 k T 
Теперь подставим формулу
продифференцируем по температуре T :
(19)
в
(19)
формулу




h 
d
1

 koл 
 k T 2 
ln 
2
dT 
 h   
 1  exp   k  T  



 h  
exp  

h 
h 
h 
k T 
2 h 


 k T 



2
2
2
 h  
k  T 1  exp   h  
exp 


 1
 k T 
 k T 
(18)
и
(20)
В формуле (20) получена средняя энергия одного колебания. Чтобы
найти внутреннюю энергию кристалла, надо учесть, что каждый атом или
другой структурный элемент совершает три колебания, а также учесть
число атомов в кристалле. Тогда внутренняя энергия одного моля твердого
тела будет определяться по формуле:
U  3   koл  N A 
3  N A  h 
3  N A  h 

2
 h  
exp 
 1
 k T 
(21)
7
Теперь по известной формуле можно найти молярную теплоемкость
твердого тела в процессе при постоянном объеме:
 h  
 h  
3 NA  k 
 exp 


k T 
k T 
 U 


CV  
 
2
 T V

 h   
 exp  k  T   1

 

2
(22)
Из формулы (22) следует, что теплоемкость твердого тела зависит от
температуры и от частоты колебаний атомов твердого тела. Чтобы
сравнить результаты этой теории с экспериментом рассмотрим, как
выглядит эта функция при малых и при больших температурах.
h 
При малых температурах T  0 , тогда
 1 , следовательно
k T
 h  
exp 
  1. Это значит, что единицей в знаменателе формулы (22)
 k T 
можно пренебречь. Тогда получаем, что при низких температурах
теплоемкость твердого тела имеет вид:
 h  
 h  
CV  3  R  

exp



 k T 
 k T 
2
(23)
Сравнение этой формулы с результатами эксперимента показывает,
что при низких температурах модель Эйнштейна не применима, так как на
опыте показано, что при низких температурах теплоемкость твердого тела
растет пропорционально третьей степени температуры, то есть имеет вид
CV    T 3
(24)
где   const . Этот закон был получен в модели, предложенной Дебаем и
поэтому формула (24) называется законом Дебая.
Теперь проанализируем модель Эйнштейна при больших
h 
температурах. В этом случае
 1 , тогда экспоненциальную функцию
k T
можно разложить в ряд:
h 
 h  
exp 
 1
k T
 k T 
(25)
Подставляем формулу (25) в формулу (22) и получаем:
8
h  

1


k T 
 h  

CV  3  R  
 3 R
 
2
 k T  
h 

 1
1 
 k T

2
(26)
Формула (26) показывает, что при высоких температурах модель
Эйнштейна дает результат, совпадающий с классическим законом
Дюлонга и Пти, который дает хорошее совпадение с экспериментом при
этих условиях. Переход результата квантовой теории в предельном случае
к результату классической теории свидетельствует о выполнении одного
из главных признаков научного знания, который называется принципом
соответствия. Согласно этому принципу, новая более точная наука не
отбрасывает результаты менее точной науки, а содержит их как
предельный случай. Дальнейшее развитие теории теплоемкостей твердых
тел состоит в том, чтобы получить совпадение с экспериментом при
низких температурах.
h 
Величина
 TЭ имеет размерность температуры и называется
k
температурой Эйнштейна. Эту температуру можно рассчитать, зная
частоту колебаний атомов в том или ином кристалле. Тогда, если T  TЭ ,
то можно использовать классическую теорию для определения
теплоемкости твердого тела.
В данной лабораторной работе необходимо измерить теплоемкость
металлов и сравнить ее с классической теорией теплоемкостей и с
результатами модели Эйнштейна.
2. Теория метода измерений
Изучаемая макроскопическая система состоит из нескольких тел:
1.
Металлический цилиндр массой m1 , находящийся в сосуде с
кипящей водой при температуре кипения воды при данном атмосферном
давлении. Обозначим температуру этого цилиндра T1 . Удельную
теплоемкость этого металла необходимо определить в данной работе.
2.
Калориметр массой m2 , изготовленный из алюминия, удельная
теплоемкость которого известна и равна C2 .
3.
Вода в калориметре. Масса воды m3 , ее удельная теплоемкость C3 .
Вода и калориметр находятся в термодинамическом равновесии и имеют
одинаковую температуру T2
Если металлический цилиндр, нагретый до температуры кипения
воды, опустить в воду в калориметре, то через некоторое время вся
система придет в состояние термодинамического равновесия, и все тела
системы будут иметь одинаковую температуру T .
9
Применим к данному явлению первое начало термодинамики,
согласно которому количество теплоты, сообщенное системе тел, равно
сумме изменения внутренней энергии всех тел системы и работы,
совершенной телами системы:
Q  U  A
(27)
Так как системе из названных трех тел теплота не сообщалась, то
можно записать, что Q  0 . Кроме того, тела изучаемой макроскопической
системы не совершали работу, поэтому A  0 . Тогда первое начало
термодинамики или уравнение теплового баланса для данной задачи будет
иметь вид:
(28)
U  0
U  U1  U 2  U 3
(29)
Здесь U1 - изменение внутренней энергии металлического
цилиндра; U 2 - изменение внутренней энергии калориметра, U 3 изменение внутренней энергии воды.
Так как изменение внутренней энергии изучаемых тел происходило в
процессе теплопроводности, то U1 , U 2 и U 3 можно записать в виде:
U1  C1  m1  T  T1  ; U 2  C2  m2  T  T2  ; U 3  C3  m3  T  T2  (30)
Подставляем формулы (30) в (29), а затем в (28) и получаем
уравнение теплового баланса для данного случая:
C1  m1  T  T1   C2  m2  T  T2   C3  m3  T  T2   0
(31)
Отсюда определяем теплоемкость металла:
C1 
 C2  m2  C3  m3   T2  T 
m1  T  T1 
(32)
Формула (32) является рабочей формулой данной работы. Теперь
используем табличные значения теплоемкости материала калориметра и
воды, измеряем, массы и соответствующие температуры и вычисляем
искомую теплоемкость.
10
3 Порядок выполнения работы
На рисунке 1 представлена принципиальная схема опыта данной
работы.
Рис. 1. Принципиальная схема устройства калориметра
Техника безопасности
Перед включением лабораторного автотрансформатора (ЛАТРа) в
сеть ручку регулятора напряжения поставить в нулевое положение (против
часовой стрелки до упора).
Будьте осторожны при работе с электрической плиткой.
Тело переносите из нагревателя в калориметр только с помощью
щипцов. Температура тела около 100 0С.
1. Вспомнить правила взвешивания на лабораторных весах и определить
массу исследуемого тела и внутреннего стаканчика калориметра с
точностью до 0,01 г.
2. Записать в таблицу необходимые справочные данные
3. С помощью мензурки налить в калориметр 170 г воды. Определить
начальную температуру воды и калориметра T2 термометром.
4. Изучаемый металлический цилиндр поместить в некоторую емкость с
водой и нагреть на электрической плитке до кипения. Затем необходимо
этот цилиндр прокипятить 3 – 5 минут, чтобы установилось тепловое
равновесие, и изучаемый цилиндр имел бы температуру, равную
температуре кипящей воды.
5. С помощью щипцов быстро перенести цилиндр в калориметр с водой.
Осторожно помешивая воду в калориметре термометром, следить за
увеличением температуры до тех пор, пока она не начнет уменьшаться.
11
Записать максимальную температуру воды в калориметре T .
6. Рассчитать значение удельной теплоемкости исследуемого вещества по
формуле (32).
7. Определить абсолютную C и относительную  T погрешности
измерения.
Примечания
• При выполнении работы измеряются массы и температуры. Массы могут
быть определены на весах с большой точностью, а изменение температуры
определяется жидкостным термометром с недостаточно большой точностью.
Поэтому определять массу очень точно не имеет смысла.
4. Задания
1 Определить с помощью калориметра удельную теплоемкость меди.
Рассчитать молярную теплоемкость меди.
2. Сравнить полученное значение молярной теплоемкости с результатом
закона Дюлонга и Пти.
3 Определять с помощью калориметра удельную теплоемкость железа.
Рассчитать молярную теплоемкость железа.
4. Сравнить полученное значение молярной теплоемкости с результатом
закона Дюлонга и Пти.
5. Определять с помощью калориметра удельную теплоемкость алюминия.
Рассчитать молярную теплоемкость железа.
6. Сравнить полученное значение молярной теплоемкости с результатом
закона Дюлонга и Пти.
7. Сравнить полученные значения удельной теплоемкости с табличными
данными.
8. При сравнении теплоемкостей с законом Дюлонга и Пти и с табличными
данными рассчитать относительное различие этих величин по отношению
к результатам закона Дюлонга и Пти или по отношению к табличным
результатам.
9. Определить абсолютную и относительную погрешности измерений.
10. Результаты всех измерений и вычислений занести в таблицу. В таблице
должны быть указаны не только измеряемые дисциплины, но и
инструментальные погрешности измерения каждой величины. Для
вычисления погрешностей измерений можно сделать отдельную таблицу.
5 Контрольные вопросы
1.
2.
3.
Что называется макроскопической системой? Сколько частиц
содержится в такой системе частиц?
Что понимается под термодинамическим равновесием? Каким
параметром состояния оно описывается?
Что называется теплоемкостью тела (системы)? Что называется
12
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
молярной теплоемкостью, удельной теплоемкостью?
Какова связь между молярной и удельной теплоемкостями?
Как устроен калориметр? Каков принцип работы калориметра?
Сформулируйте первое начало термодинамики.
Выведите рабочую формулу для определения удельной теплоемкости
с помощью уравнения теплового баланса.
Вывести формулы для расчета абсолютной и относительной
погрешности в данной работе.
Какие измерения вносят наибольший вклад в погрешность
результата? Как уменьшить этот вклад?
Каково содержание закона Дюлонга и Пти? При каких
температурах этот закон удовлетворительно описывает результаты
эксперимента?
Каковы основные положения классической теории теплоемкости и
ее выводы?
Какова средняя энергия квантового осциллятора?
Получить формулу для теплоемкости кристаллической решетки по
Эйнштейну.
Вычислить частоту колебаний атомов в твердом теле по
результатам измерения теплоемкости.
6. Литература
1 Кикоин A.K., Кикоин И.К. Молекулярная физика. - М.: Наука, 1976. – С 459 –
467.
2. Курс общей физики: Молекулярная физика /Е.М. Гершензон, Н.Н.Малов и др.
- М.: Просвещение, 1982. - С. 162 -169.
3. Яковлев В.Ф. Курс физики: Теплота и молекулярная физика. - М.:
Просвещение, 1976. - С. 262 - 265.
4. Епифанов Г.И. Физика твердого тела. - М.: Высшая школа, 1977 - С. 89 –
103.
5. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. - М.: Высшая школа, 1987. -С. 289300.
6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Наука, 1978. -С. 211230.
7. Жданов Г.С. Физика твердого тела. - М.: МГУ, 1962. - С 378 – 381,
С 387-388.
8. Физический практикум. Механика и молекулярная физика. /Под ред. В.И.
Ивероновой. - М.: Физматгиз. 1967 - С. 196 - 198.
10. Сборник задач по общему курсу физики: Термодинамика и
молекулярная физика. /Под ред. Д. В. Сивухина. - М.: Наука, 1976.